2020-2021学年北师大版七年级数学下册5.2探索轴对称的性质-同步提升训练（word版含答案）

2021年度北师大版七年级数学下册《5.2探索轴对称的性质》同步提升训练（附答案）
1．“折叠”是数学上常见构造新图形的重要方法如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿图中标示的DE折叠，点A恰好落在边BC的点G处，若∠CDG＝52°，则∠DEG的度数为（　　）
A．73° B．71° C．68° D．52°
2．如图，在△ABC中，点D在AC上，沿AC将△ABC对折，点B与点E重合，则图中全等的三角形有（　　）
A．3对 B．2对 C．4对 D．1对
3．如图，在△ABC中，点D是BC上的点，AD＝BD，将△ABD沿AD翻折得到△AED，若∠B＝40°，则∠CDE等于（　　）
A．20° B．30° C．35° D．40°
4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
6．如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝20°，AB+BD＝AC，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，那么∠AED等于（　　）
A．80° B．60° C．40° D．30°
7．如图，将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处．若△AFD的周长为18，△ECF的周长为6，四边形纸片ABCD的周长为（　　）
A．20 B．24 C．32 D．48
8．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折形成的，若∠1：∠2：∠3＝13：3：2，CD与BE交于O点，则∠EOC的度数为（　　）
A．80° B．85° C．90° D．100°
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝68°，∠C＝36°，AD平分∠BAC，M、N分别是AD、AB上的动点，当BM+MN最小时，∠BMN的度数为（　　）
A．34° B．68° C．76° D．90°
10．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，点M、N分别是BC、AB边上的动点，∠B＝56°，当△DMN的周长最小值时，则∠MDN的度数是（　　）
A．124° B．68° C．60° D．56°
11．如图，△ABD和△ABC关于直线AD对称，若S△ABC＝12，则图中阴影部分面积为　 　．
12．如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝35°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝　 　°．
13．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，点E，F分别是CD，AC上的动点．若BC＝6，S△ABC＝12，则AE+EF的最小值是　 　．
14．将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，若∠CBD＝34°，则∠ABC＝　 　．
15．如图所示的三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD．则BE＝　 　，△ADE的周长等于　 　．
16．如图，三角形纸片ABC中∠A＝80°，∠B＝60°，将纸片一角折叠，使点C落在△ABC的内部C′处，若∠2＝38°，则∠1＝　 　．
17．如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，在BC边上取一点P，沿AP折叠，使点B与AC延长线上的点D重合，∠CPD＝40°，则∠PAC＝　 　°．
18．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值为3，则OP＝　 　．
19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝130°，∠D＝∠B＝90°，点M，N分别是CD，BC上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为　 　．
20．如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为　 　．
21．（1）如图1，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；
②分别以D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F；
③作射线BF交AC于G．
如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，求△CBG的面积；
（2）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．将△ABC沿直线l折叠，点B刚好落在AC边上，直线l交AB于点P，求BP．
22．如图，点P关于OA、OB轴对称的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N．
（1）若CD的长为18厘米，求△PMN的周长；
（2）若∠C＝21°，∠D＝28°，求∠MPN的度数．
23．如图，P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求作一点M，使△PQM的周长最短（不写作法）．
24．在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE＝∠DAC，与CD的延长线交于点E．
（1）如图①，求∠ACD，∠E的大小；
（2）如图②，连接BE，求证AB⊥BE．
25．折纸，是生活中一种常见的操作．通过折纸，可以直观的发现一些线段之间的数量关系．小明现有两张△ABC纸片，∠C＝2∠B，进行了如下的操作：
（1）操作一：如图1，小明拿出第一张△ABC纸片，将边AC沿直线AD折叠，使点C落在边BC上，求证：AC+CD＝BD；
（2）操作二：如图2，小明拿出第二张△ABC纸片，将边AC沿直线AD折叠，使点C落在边AB上，判断AC、CD和AB的数量关系并证明．
26．已知△ABC，∠ABC＝80°，点E在BC边上，点D是射线AB上的一个动点，将△BDE沿DE折叠，使点B落在点B'处．
（1）如图1，若∠ADB'＝125°，求∠CEB'的度数；
（2）如图2．试探究∠ADB'与∠CEB'的数量关系，并说明理由；
（3）连接CB'，当CB'∥AB时，直接写出∠CB'E与∠ADB'的数量关系为　 　．
参考答案
1．解：∵∠CDG＝52°，
∴∠ADG＝90°﹣∠CDG＝90°﹣52°＝38°，
又∵∠ADE＝∠GDE＝＝＝19°，∠DAE＝∠DGE＝90°，
∴∠DEG＝90°﹣∠GDE＝90°﹣19°＝71°．
故选：B．
2．解：∵沿AC将△ABC对折，点B与点E重合，
∴△ABC≌△AEC，
∴AB＝AE，BC＝CE，∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
同理可得△BCD≌△ECD，
∴全等的三角形有3对，
故选：A．
3．解：∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠ABC＝40°，
∵将△ABD沿着AD翻折得到△AED，
∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝40°+40°＝80°，∠ADE＝∠ADB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠CDE＝100°﹣80°＝20°，
故选：A．
4．解：∵点A与点E关于直线CD对称，
∴AD＝DE，AC＝CE＝9，
∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，
∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．
故选：B．
5．解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
故选：A．
6．解：根据折叠的性质可得BD＝DE，AB＝AE．
∵AC＝AE+EC，AB+BD＝AC，
∴DE＝EC．
∴∠EDC＝∠C＝20°，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝40°．
故选：C．
7．解：由折叠的性质知，AF＝AB，EF＝BE．
所以矩形的周长等于△AFD和△CFE的周长的和为18+6＝24．
故矩形ABCD的周长为24．
故选：B．
8．解：如图，AE与DC交于点P，
∵∠1：∠2：∠3＝13：3：2，
∴∠1＝130°，∠3＝20°，
∴∠DCA＝20°，∠EAB＝130°，
∵∠PAC＝360°﹣2∠1＝100°，
∴∠EPD＝∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠DCA＝60°．
由翻折的性质可知∠E＝∠3＝20°．
∴∠EOC＝180°﹣∠EPD﹣∠E＝180°﹣60°﹣20°＝100°．
故选：D．
9．解：∵∠BAC＝68°，∠C＝36°，
∴∠ABC＝180°﹣68°﹣36°＝76°，
如图，过B作BE⊥AC于E，交AD于M，
在AB上截取AN＝AE，连接MN，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM＝∠NAM，
在△AME与△AMN中，
，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME＝MN．∠ANM＝∠AEM，
∴BM+MN＝BM+ME＝BE，
BM+MN最小值，只要求BM+EM的最小值，
当BE⊥AC时，BM+ME最小，
此时∠ABE＝90°﹣68°＝22°，
∴∠ANM＝90°，
∴∠BMN＝90°﹣22°＝68°
故选：B．
10．解：延长DA到E使DA＝AE，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF交AB于N，交BC于M，
此时，△DMN的周长最小，
∵AB⊥AD，BC⊥DC，
∴∠DAB＝∠DCB＝90°，
DM＝FM，DN＝EN，
∴∠E＝∠ADN，∠F＝∠CDM，
∵∠B＝56°，
∴∠ADC＝124°，
设∠MDN＝α，
∴∠ADN+∠CDM＝124°﹣α
∴∠DNM+∠DMN＝2（124°﹣α），
∴α+2（124°﹣α）＝180°，
解得：α＝68°，
故选：B．
11．解：∵△ABD和△ABC关于直线AD对称，
∴S△BEF＝S△CEF，
∴S阴＝S△ADC＝S△ABC＝6．
故答案为：6．
12．解：∵∠BAD＝∠ABC＝35°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠ABC＝35°+35°＝70°，∠ADB＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∵将△ABD沿着AD翻折得到△AED，
∴∠ADE＝∠ADB＝110°，
∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40．
13．解：作A关于CD的对称点H，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴点H一定在BC上，
过H作HF⊥AC于F，交CD于E，
则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，
过A作AG⊥BC于G，
∵△ABC的面积为12，BC长为6，
∴AG＝4，
∵CD垂直平分AH，
∴AC＝CH，
∴S△ACH＝AC?HF＝CH?AG，
∴HF＝AG＝4，
∴AE+EF的最小值是4，
故答案为：4．
14．解：如图，由折叠的性质可得：∠ABC'＝∠ABC，
∵∠ABC'+∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠ABC＝73°，
故答案为：73°．
15．解：∵折叠这个三角形点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，
∴BE＝BC＝6cm，DE＝CD，
∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm），
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE，＝5+2，＝7（cm）．
故答案为：6cm；7cm．
16．解：设折痕为EF，连接CC′．
∵∠2＝∠ECC′+∠EC′C，∠1＝∠FCC′+∠FC′C，∠ECF＝∠EC′F，
∴∠1+∠2＝2∠ECF，
∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°，
∴∠1＝80°﹣38°＝42°，
故答案为：42°．
17．解：∵△APB沿AP折叠，
∴∠DAP＝∠BAP，∠D＝∠B，
∵∠CPD＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB﹣∠CPD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠B＝50°，
∴∠DAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，
∴∠PAC＝∠DAB＝×40°＝20°．
故答案为：20．
18．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点E、F，连接OP、OC、OD、PE、PF．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PE＝CE，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PF＝DF，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD．
∴△PEF的周长的最小值＝PE+EF+PF＝CE+EF+DF≥CD＝3．
∴OP＝3，
故答案为3．
19．解：如图，
作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，
连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点N、M，
∵∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠130°＝50°，
由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AN，∠A″＝∠A″AM，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×50°＝100°．
故答案为：100°
20．解：由轴对称的性质可知：PM＝MQ＝2.5cm，PN＝RN＝3cm，
QN＝MN﹣QM＝4﹣2.5＝1.5cm，QR＝QN+NR＝1.5+3＝4.5cm．
故答案为：4.5cm．
21．解：（1）如图，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N．
∵BG平分∠ABC，
∴GM＝GN，
∵S△ABG＝?AB?GM＝18，
∴GM＝，
∴GN＝GM＝，
∴S△BCG＝?BC?GN＝×12×＝27．
（2）如图，过点P作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H．
由翻折的性质可知，PC平分∠ACB，
∴PG＝PH，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵＝＝＝＝，
∴PB＝AB＝．
22．解：（1）∵点P关于OA，OB的轴对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，
∴PM＝CM，ND＝NP，
∵△PMN的周长＝PN+PM+MN，PN+PM+MN＝CD＝18cm，
∴△PMN的周长为：18cm；
（2））∵P关于OA、OB的对称，
∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD，
∴CM＝PM，PN＝DN，
∴∠C＝∠MPC，∠D＝∠NPD，
∵∠PRM＝∠PTN＝90°，
∴在四边形OTPR中，∠CPD+∠O＝180°，
∵∠D+∠C+∠CPD＝180°，
∴∠C+∠D＝∠O＝49°，
∴∠MPN＝180°﹣49°×2＝82°．
23．解：如图，作点P关于BC的对称点P′，连接P′Q，交BC于点M，点M是所求的点．
24．解：（1）∵∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，
∴∠ACB＝120°，
∵将△ACB沿直线AC翻折，
∴∠B＝∠ADC＝45°，∠CAD＝∠BAC＝15°，∠ACB＝∠ACD＝120°，
∵∠DAE＝∠DAC＝15°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DAE＝30°；
（2）∵∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝30°，
∴∠E＝∠CAE＝30°，
∴AC＝CE，
∵∠ACB＝∠ACD＝120°，
∴∠BCE＝120°＝∠ACB，
在△ABC和△EBC中，
，
∴△ABC≌△EBC（SAS），
∴∠ABC＝∠EBC＝45°，
∴∠ABE＝90°，
∴AB⊥BE．
25．（1）证明：如图1中，在DB上取一点T，使得DT＝DC，连接AT．
∵AD⊥CT，DT＝DC，
∴AT＝AC，
∴∠ATC＝∠C，
∵∠C＝2∠B，
∴∠ATC＝∠B+∠TAB＝2∠B，
∴∠B＝∠TAB，
∴TA＝TB，
∴AC+CD＝DT+BT＝BD．
（2）解：结论：AC+CD＝AB．
理由：如图2中，在线段AB上取一点H，使得AH＝AC，连接DH．
由折叠可知，∠DAH＝∠DAC，
在△ADH和△ADC中，
，
∴△ADH≌△ADC（SAS），
∴DH＝DC，∠AHD＝∠C，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AHD＝∠B+∠HDB＝2∠B，
∴∠B＝∠HDB，
∴HB＝HD＝DC，
∴AC+CD＝AH+BH＝AB．
26．解：（1）如图1中，连接BB′．
由翻折的性质可知，∠DBE＝∠DB′E＝80°，
∵∠ADB′＝∠DBB′+∠DB′B＝125°，
∴∠EBB′+∠EB′B＝160°﹣125°＝35°，
∴∠CEB′＝∠EBB′+∠EB′B＝35°．
（2）结论：∠CEB′＝∠ADB′+20°．
理由：如图2中，
∵∠ADB′+∠BEB′＝360°﹣2×（180°﹣80°），
∴∠ADB′+180°﹣∠CEB′＝160°，
∴∠CEB′＝∠ADB′+20°．
（3）如图1﹣1中，当点D在线段AB上时，结论：∠CB′E+80°＝∠ADB′
理由：连接CB′．
∵CB′∥AB，
∴∠ADB′＝∠CB′D，
由翻折可知，∠B＝∠DB′E＝80°，
∴∠CB′E+80°＝∠CB′D＝∠ADB′．
如图2中，当点D在AB的延长线上时，结论：∠CB′E+∠ADB′＝80°．
理由：连接CB′．
∵CB′∥AD，
∴∠ADB′+∠DB′C＝180°，
∵∠ABC＝80°，
∴∠DBE＝∠DB′E＝100°，
∴∠CB′E+100°+∠ADB′＝180°，
∴∠CB′E+∠ADB′＝80°．
综上所述，∠CB'E与∠ADB'的数量关系为∠CB′E+80°＝∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′＝80°．
故答案为：∠CB′E+80°＝∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′＝80°