2020—2021学年沪科版八年级数学下册 19.2平行四边形的性质（第1课时）同步课件（35张）

19.2
平行四边形的性质(1)
平行四边形的边角性质
生活中，平行四边形无处不在，那么它有哪些性质呢？今天我们就一起来探讨一下吧！
新课导入
活动1：如果将一个三角形的两边分别平移,会得到什么图形？
思考：请观察颜色相同的两组对边，它们有怎样的位置关系呢？
平行四边形边的相关概念
合作探究
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
观察图形，说出各四边形中的边的位置有何特征？
两组对边
都不平行
一组对边平行，另
一组对边不平行
两组对边
分别平行
你能从以下图形中找出平行四边形吗？
2
3
1
4
5
说一说
1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
几何语言：
∵AB∥CD，AD∥BC
，
∴四边形ABCD是平行四边形.
概念学行四边形的第一种判定方法——定义法)
如图，四边形ABCD是平行四边形，
读作：平行四边形ABCD，
其中，AD与BC叫对边，AB与CD叫对边，
表示：
ABCD
ABCD的四个顶点：点A、点B、点C、点D，
ABCD的四条边：AB、BC、CD、AD，
ABCD的四个内角：∠A、∠B、∠C、∠D，
其中，∠A与∠C叫对角，∠B与∠D叫对角，
认识平行四边形
平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线.如图AC.
平行四边形的对边平行，相邻的内角互为
补角，除此以外，平行四边形中，边、角还
有什么性质呢？
图中，AD∥BC，AB∥DC，
∠A+∠B＝180°，∠A+∠D
＝180°
，
∠B+∠C＝180°，∠C+∠D
＝180°
，
活动3：将两个全等的三角形纸片相等的边重合在一起，你能拼出平行四边形吗？你能拼出几个？与同学交流你的拼法，并把它展示出来.
说一说：通过拼图你可以得到什么启示？
平行四边形对边相等，对角相等.
平行四边形边和角的性质
这个结论正确吗？
平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形；
A
B
C
D
四边形问题
转化
三角形问题
方法2：推理证明
探究：证明
已知：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，
AD∥BC，
求证：（1）AB＝DC，AD＝BC；
（2）∠DAB＝∠DCA，∠B＝∠D，
证明：连接AC，
(1)
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴
∠BAC＝∠DCA，∠BCA＝∠DAC，
在△ABC和△CDA中，
∴
△ABC≌△CDA（ASA）
∴AB＝DC，AD＝BC；
(2)由(1)知：
△ABC≌△CDA，
∴∠B＝∠D，
∠DAB＝
∠BAC+
∠DAC
＝
∠DCA+
∠BCA
＝
∠DCB.
思考：不添加辅助线，你能否直接
运用平行四边形
的定义，证明其对角相等？
A
B
C
D
证明：∵AB∥DC,
∴∠ABC+∠BCD=180°
∵AD∥BC,
∴∠BAD+∠ABC=180°,
∴∠BCD=∠BAD,
同理
∠ABC=∠ADC.
结论：由此得到平行四边形的性质：
性质1：平行四边形的对边相等.
性质2：平行四边形的对角相等.
由此可以看出：如下图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AD＝BC；
∠A＝∠C，
∠B＝∠D，
几
何
语
言
边
角
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等
∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴
AD∥BC
，AB∥DC.
∴
AD=BC
，AB=DC.
∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴
∠
A=∠C，∠
B=∠D.
∵
四边形ABCD是平行四边形，
A
B
C
D
平行四边形的性质
知识要点
性质定理1
性质定理2
例题讲解
例1
已知：如图，
ABCD中，BE平分∠ABC
交AD于点E，
(1)如果AE＝2，求CD的长；
(2)如果∠AEB＝40°，求∠C的度数.
解：(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠3
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB＝AE＝2，
又∵CD＝AB，
∴CD＝2；
(2)由(1)知：
∴∠1＝∠3＝40°，
∴∠A＝180°－∠1－∠3＝100°，
又∵∠C＝∠A，
∴∠C＝100°.
例2.已知：
ABCD,E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF，求证：
BE=DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE=∠DCF.
∴
△ABE≌
△CDF(SAS).
∴
AB=CD，AB
∥
DC,
又∵AE=CF，
∴BE=DF.
A
D
B
C
E
F
典例精析
例2
有一块形状如图
所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？
解∵AE//BC，AB//CF,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴∠D=∠B=60°，
AD=BC=60cm.
∴ED=AD-AE=80-60=20cm.
答：DE的长度是20cm,
∠D的度数是60°.
探究：
如图，直线l1∥直线l2，
AB，CD是夹在直线l1
，
l2之间的两条平行线，
AB与CD相等吗？为什么？
结论：夹在两条平行线之间的平行线段相等.
如果两条直线平行，那么一平行直线上所有
的点（任意一点）到另一平行直线的距离都相等.
若AE⊥l2，CF⊥l2，则AE与CF相等吗？
如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度．
经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等(从图中也可以看到这一点)．
平行线之间的距离
三
合作探究
猜想：平行线间距离处处相等.
1
如图，直线a//b，A,B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C,D.求证：AC=BD.
证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
理论证明
a
b
A
B
C
D
∴∠1=∠2=90°.
∴AC∥BD.
∵AB∥CD，
∴四边形ACDB是平行四边形.
∴AC=BD.
2
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等(如图：AC=BD),这个距离称为这两条平行线之间的距离.
归纳总结
(简记为：两条平行线间的距离（高）处处相等）.
例3
如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为
.
A
B
C
D
E
分析：根据平行线之间的距离处处相等.
解析：设高为h,则S△ABD=
·BD·h=16,h=4,
所以S
△ACE=
×5
×4=10.
10
典例讲解
例2
已知：如图，
ABCD中，AB＝4，AD＝5，
∠B＝45°.求直线AD和直线BC之间的距离，直线
AB和直线DC之间的距离.
解：过点A作AE⊥BC，
AF⊥CD，垂足分别为
点E、点F，
∴线段AE，AF的长分别为点A到直线BC和直线
CD的距离，
∴线段AE的长为直线AD和直线BC之间的距离，
线段AF的长为直线AB和直线CD之间的距离，
∵在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠B＝45°，AB＝4，
∴∠B＝∠BAE，
∴BE＝AE，
又∵AE2+BE2＝AB2，
∴2AE2＝16，
∴AE＝2
，
同理：AF＝
，
所以直线AD和直线BC之间的距离为2
，
直线AB和直线CD之间的距离为
.
5
2
2
例3
已知：如图，过△ABC的三个顶点，分别作
对边的平行线，这三条直线两两相交，得△
.
求证：△ABC的顶点分别是△
三边的中点.
证明：∵AB∥
C，BC∥A
，
同理：
同理：
∴△ABC的顶点分别是△
三边的中点.
1
.如图，在□ABCD中
(1)若∠A=130°，则∠B=______
，∠C=______
，
∠D=______.
(2)若∠A+
∠C=
200°，则∠A=______
，∠B=______.
(3)若∠A:∠B=
5:4，则∠C=______
，∠D=______.
（4）若AB=3,BC=5,则它的周长=
______.
C
D
A
B
50°
130°
50°
100°
80°
100°
80°
16
当堂练习
2.(1)在□ABCD中，∠A=150°，AB=8cm,BC=10cm,则S
□ABCD=
.
提示：过点A作AE⊥BC于E，然后利用勾股定理求出AE的值.
40cm2
(2)若点P是□ABCD上AD上任意一点，那么△PBC的面积是
.
20cm2
提示：△PBC与□ABCD是同底等高.
解：在
ABCD中，AB=DC,AD=BC,
(平行四边形的对边相等)
∵
AB=8，DC=8,
又∵AB+BC+DC+AD=24,
∴AD+BC=
(24-2AB)=8.
∴AD=BC=4.
3.如图，在
ABCD中，AB=8，周长等于24，求其余三条边的长.
B
C
D
A
随堂练习
解：如图，∵∠A＝60°，则∠A的对角∠C＝60°，
又∵AB∥CD，∴∠D＝180°－60°＝120°.
同理可知∠B＝120°.
A
B
C
D
1．在
ABCD中，已知∠A＝60°，求∠B，∠C，∠D的度数．
解：∵平行四边形对边相等，所以AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，∴四边形的周长为2a+2b.
A
B
C
D
2．在
ABCD中，已知AB＝a，BC＝b，求这个平行四边形的周长．
解：取AD中点F，连接EF，
∵BC＝2AB，∴AB＝BE＝CD＝CE，
又∵
AB∥EF∥CD
，
∴∠AED＝∠EAB+∠EDC＝∠AEB＋∠DEC
∵
∠AED+∠AEB+∠DEC＝180°，
∴∠AEC＝90°，∴AE⊥ED.
3．在
ABCD中，BC＝2AB，点E为边BC的
中点．求证：AE⊥ED．
·
F
则AB∥EF∥CD.
(2)平行四边形的性质及应用；
小结与反思
(1)认识平行四边形及平行四边形的定义；
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流.
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？
谈谈你的感悟.
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
性质1：平行四边形的对边相等；
性质2：平行四边形的对角相等；
布置作业
课本第84页：习题19.2
再见！
第1～2题.