必修一第二章集体备课教案
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文档简介
必修一集体备课材料
第二章 函数
第三章 基本初等函数
第二章 函数
第一课时 映射
一、基础知识
1、构成映射的基础条件：A不余且象唯一。
2、映射的要素：
3、映射的分类和关系
4、构成映射的个数：
A中有m个元素，B中有n个元素，则的映射个数是个
课堂例题与练习：
例1：下列对应是从A到B的映射的是_________； 是从A到B的一一映射的是_________；是从A到B的函数的是_________.
(1);(2)
(3); (4)
(5) (6)
(7)
(8);(9)
例2：求映射的象和原象
1、已知映射中，，
（1）是否存在这样的元素，使它的象还是它本身？若存在求出这个元素，若不存在说明理由。（2）求A中元素在B中的象；（3）求B中元素在A中的原象
2、若是从集合到集合的一个一一映射，的象是，的原象是，求自然数的值及集合。
例3．求映射的个数
已知，，问
（1）可构成多少个的映射？
（2）可构成多少个的一一映射
（3）映射满足，可构成多少个满足条件的映射
第二课时 函数的概念
1．函数的定义（1）两要素（2）如何判断给定两个变量之间的关系是否为函数关系（3）判断两个函数是否为同一个函数
2．函数的表示方法：函数是非空数集与非空数集之间的映射。
例1、下列几组表示同一函数的是_________
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；
（6）
3．分段函数：函数的特点是在不同的区间上有着不同的解析式
在求函数的定义域、值域时，求各个区间上的定义域、值域的并集。
例2、已知定义在上的函数，求_________。
例3．已知函数为，求下列的值。（1）_________；（2）_________；（3），求的值；（4）若，求的取值范围；（5）函数的值域为_________。
例4 课本44，例3
4．复合函数：如果是的函数，记作；是的函数，记作；那么是的函数，记作。
注：（1）要掌握两个原则：①复合函数的自变量是；②复合函数的对应法则施加的对象性质相同；（2）在求单调性的时候，要做到“同增异减”，分别求两部分的单调性和单调区间；
（3）在求奇偶性的时候，要做到“有偶则偶”，但前提是定义域关于原点对称。
例5
第三课时 函数的定义域
基础知识：函数的定义域：使得函数成立的自变量的取值范围。
（1）整式函数的定义域是全体实数；
（2）分式函数的分母不为零；
（3）偶次根式或者是幂指数的指数为分母是偶数时，底数不小于零；
（4）奇次根式或者是幂指数的指数为分母是奇数时，定义域是全体实数；
（5）对数中底数大于零且不等于1，指数大于零；
（6）零指数函数底数不为零；
（7）分段函数各部分的定义域取并集；
（8）几个简单函数通过加减乘除运算的各部分定义域取交集；
例1求下列函数的定义域
（1）
（5） （6）
（7）实际问题中的定义域
用长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆的框架，若矩形的底边长为，求此框架围成的面积与的函数关系式，并指出其定义域。
例2 （1）已知函数的定义域为，则的定义域 ;
（2）已知函数的定义域为，则的定义域 ；
（3）已知函数的定义域为，则的定义域 ；
例3若函数的定义域为，求实数的取值范围。
作业：
1．求下列函数的定义域（1）； （2） ； （3）
2．（1） 函数的定义域为，求下列函数的定义域； ；
（2）已知函数的定义域为，其中且，求函数的定义域
3．（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围是；
（2）已知函数的定义域为，求实数的取值范围。
（3）设函数的定义域为，求实数的值。
第四课时 函数的值域
一、基础知识
（1）单调性求值域：首先求函数的单调性，则只需求解函数两个端点的值就行了；
（2）反函数求值域：
要求函数的值域，只需要求反函数的定义域就是了；
要求函数的定义域，只需要求反函数的值域就是了；
（3）换元法求函数的值域，将函数转换成为复合函数来求；
（4）分式函数：分离系数法、判别式法、直接观察法等。
（5）复合函数：分解成两个函数，分别求值域，注意第一个函数的值域是第二个函数的定义域
（6）图像：通过图像观察各部分函数的特点。
例1、求下列函数的值域
（1） （2） （3）
例2、求下列函数的值域
（1） （2）
例3、求下列函数的值域
（1） （2） （3）
例4、 求下列函数的值域
（1） （2）（）
例5、求下列函数的值域（1） （2）
例6、分段函数：
例7、求函数（为常数），的最小值（或值域）。
例8、求函数在（为常数）的最小值（或值域）。
例9．已知的定义域和值域都是，求实数的值。
例10．函数在上的值域是，则的取值组成的集合是（ ）
A． B． C． D．
第五课时 函数的图像
1、简单函数的图像
（1）复习一次、二次、反比例函数的图像
例1画出下列函数的图像
(1) (2) (3)
(4)根据定义域，画出函数的图像
① ② ③
例2、画出函数的图象.
例3、分别画出下列函数的图象
①②
思考：已知函数的图象，通过怎样的图象变换可得到的图象。
平移变换
向 平移 个单位；以 代换
向 平移 个单位；以 代换
向 平移 个单位
对称变换
关于 对称 ； 关于 对称； 关于 对称
翻折问题 ：::
第六课时 图像的对称性
函数的对称性 知识点：
问题1. 已知函数的图象关于.
问题1.证明: 设关于, 若即
也在
反思升华1：如果函数的图象关于直线
证明：设的图象上的任意一点为关于的对称点是上的一点. 若即 重合图象上的任意一点也在图象上图象关于直线
反思升华2：如果函数满足则函数的图象关于直线对称
反思升华3：如果函数满足则函数的图象关于直线
问题2. 已知函数若的图象关于原点对称
问题2证明：设的图象上的任意一点为关于原点的对称点为图象上的点. 若这时重合
图象上的任意一点关于原点的对称点也在图象上
反思升华4：如果函数满足则函数的图象关于点（1,0）对称.
证明：设的图象上的任意一点为对称点
图象上的点，若
即重合图象上的任意一点的对称点 也在图象上 图象关于点(1,0)对称
反思升华5：如果函数满足则函数的图象关于点(a,o)对称
反思升华6：如果函数满足，则函数的图象关于点(a,b)对称
问题3.设函数定义在实数集上，则函数与函数 的图象关于直线对称
证明：设函数图象上的任意一点为关于直线对称点为即=
即函数图象关于直线对称
反思升华7：设函数定义在实数集上，则函数与函数的图象关于直线对称
反思升华8：设函数定义在实数集上，则两个函数与的图象关于
直线对称
例题与练习
设二次函数满足,图象与轴交点为（0, 2），与轴两交点间的距离为2，求的解析式。
2.二次函数满足,求的顶点的坐标。
3.已知,且.（1）写出的关系式 （2）指出的单调区间。
4．若函数在其定义域内满足，方程有五个实数根，则其和为 。
5．奇函数满足，当时，；则当时，
6.对于任意的函数，在同一坐标系中的图象关于 对称。
第七课时 函数的解析式
一、基础知识
（1）直接代入法 （2）换元法 （3）配凑法 （4）消去法 （5）待定系数法 （6）赋值法
（7）利用奇偶性求解析式
例1 的解析式
已知，求的解析式
例3 如果函数是一次函数，且满足，求
例4 已知函数满足+2，求
设是上的函数，且满足，并且对任意的实数x,y，有，求的解析式.
课本44页例2 ； 46页例4 例5；
将周长为的铁丝弯成一个下半部分为矩形，上半部分为半圆形的框架，圆的半径为，求此框架的面积与的函数关系。
作业：
1．已知满足，求
2．已知，则=
3．设二次函数满足，且=0的两个实根平方和为10，图象过(0,3)求的解析式。
4．求
5．设函数为常数，且，满足，方程有唯一解，求的解析式，并求出的值。
第八课时 函数的单调性
单调性的概念：
⑴ 建立感性认识：观察分析二次函数、反比例函数的图象，总结图象的“升、降”
⑵进行数学定义：P48——P49
增函数、减函数、单调区间、单调性
注意：
⑴、单调性是相对于定义域内区间而言的。单调区间有时是整个定义域。
⑵、关于区间端点。
⑶、对同一函数，可能在某些区间上是增，另一些区间上为减。
⑷、同一函数在定义域某些区间上为增（减），并不说明在这些区间的并集上为增（减）。
单调性的证明：
步骤：设量——作差——变形——定号——结论
单调性的判断、单调区间的求法（利用定义、图象）
典型例题：
教材例1、证明函数在上是增函数
2、教材例2、证明函数在和上是减函数
3、求证f(x)=－在定义域上为减函数。
4、f(x) 、g(x)在（）上是增函数，求证f(g(x)) 在上是增函数。
5、求的单调区间
6．求的单调区间
7．求的单调区间
8．函数在区间上是增函数，求a的范围
9．y=x2+2ax+1在上最大值为4，求a的值。
10．求y=x2－2x+3 (2)的最值。
11．与；与；与
第九课时 函数的奇偶性
1、奇偶函数的概念：P50
注：定义域内的任意x均f(－x)=f(x)之一成立
2、奇偶性的判定与证明。步骤：
考虑定义域是否对称。
（2）验证f(－x)=f(x)是否成立
例题：
（1）① ② （2）① ②
（3） （4）（5） （6）
（7） (8)
2.设f（x）是定义在A上的奇函数，g（x）是定义在B上的奇函数，那么在上，f(x)+g(x)是奇函数， f(x)*g(x)是偶函数，类似的结论还有：
3、性质及应用。
性质 图像 （充要条件） （指出判定方法）
典型例题：
例1、求做f(x)=2x2_6|x|+5的图象
例2、正确的命题：①偶函数的图象与y轴相交②奇函数的图象过原点③偶函数的图象关于y轴对称
④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0⑤一个函数不是奇函数就是偶函数
例3、f(x)=x5+ax3+bx－8 若f(-2)=10 ,求f(2)
例4．y= f(x)的图象与x轴有四个交点，则f(x)=0的实根之和为0是y= f(x)为偶函数的 条件。
例5、已知函数中，对于任意的，有，，，则是_______函数。
例6、已知函数与定义在R上，为奇函数，为偶函数，且有，求
例7、若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则的解集是___________，的解集是___________。
例8、设函数为定义在R上的偶函数且，在上是增函数，．
（1）求证（2）若，求解不等式。
第十课时 单调性奇偶性综合
复习两种性质的知识。
综合应用
1．已知函数在上是奇函数而且在上是增函数，证明在上也是增函数
2．为奇函数，当时，则时，
3．的定义域为，且为奇函数，当时，求的解析式
4．满足，求
5．定义域为满足，判定的奇偶性
6． 函数在上满足（1）（2）在定义域上单调递减（3）
求：（1）为奇函数（2）的取值范围
7．为偶函数，试比较的大小
8．已知是定义在（-1，1）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，若
，试确定的取值范围
9．设函数对任意非零实数均满足，求证：是偶函数
10．设是R上的奇函数，，当时，，求
11、已知奇函数在上的减函数，对任意的实数，恒有成立，求的取值范围。
12、设在上的偶函数，在上递增，且有，则实数的取值范围
13、函数是定义在上的奇函数，且
（1）确定的解析式；（2）用定义证明在上是增函数；（3）解不等式
14、设是实数，函数
（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值。
第十一课时 函数的零点
课堂引入
例：研究的以下情况：（1）（2）（3）
一、定义：一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做函数的零点。
说明：
（1）函数的零点指的是一个实数，自变量取这个实数时，其函数值为零；
（2）函数的零点即是函数图像与横轴焦点的横坐标；
（3）我们只讨论函数的实零点。
练习：右图的函数零点是多少？
二、函数零点的性质 通过观察图像得到。
（1）相邻两个零点之间的所有函数值同号；
（2）函数在一个区间不间断，且端点处异号即，则函数在此区间上至少有一个零点；
（3）函数在一个单调区间上之多有一个零点；
（4）函数图像通过零点时，如果是二重零点，函数值不变化；如果不是二重零点，函数值变号。
三、求函数零点的方法
（1）分解因式 （2）公式法 （3）图像法 （4）二分法
四、判断函数零点的个数
图像法 例：函数零点的个数是_________。
参考例题：
1、求解函数零点
（1）函数，又，则函数的零点是_____。
（2）函数的两个零点是2和3，则函数的零点是__________。
（3） （4） （5）
2、对于函数，若，则函数在区间内零点有（ ）A、一定有零点 B、一定没有零点 C、可能有两个零点 D、至多有一个零点
3、若函数没有零点，试求的取值范围。
4、已知函数，求满足下列条件的的取值范围。
（1）函数没有零点 （2）函数只有一个零点 （3）函数有两个零点
5、函数，，且与有一个共同零点，试求（1）的值（2）如果与还有零点，试求之。
参考作业：同步训练 同步测控相应题目（选作）
第十二课时 一元二次方程根的分布
首先研究一元二次方程根的存在条件：
例：求为何值时，函数（1）有两个零点（2）有唯一的零点（3）没有零点？
那么大家思考：上述函数什么时候（1）有两个正根（2）有两个负根（3）有两个异号根（4）两个根在中。
方法一、一二三韦达
；
作图的思路：1、判断两根之和与两根之积的情况；2、列相应的不等式组；；3、求解结果
解前面出的题目
方法二、一二三图像
；
做题的思路：1、画图像草图；2、列相应的不等式组；3、求解结果
解前面出的题目
参考例题：
1、已知函数的图像与横轴没有交点，求实数的取值范围。2、已知函数的两根都大于2，求实数的取值范围。
3、方程在内恰有一个根适合方程，求实数的取值范围。
4、已知函数的图像与横轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数的取值范围是
5、二次函数的两个零点满足关系：一个小于1，另一个在（1,3）上，求实数的取值范围。
参考作业：
对于函数，在函数零点满足下列关系时，求实数的取值范围。
（1）有两个正根 （2）有两个负根 （3）有两个异号根
（4）都比1大 （5）两个实根，一个大于2，一个小于2
（6）两个实根，一个在（-1,1）上，一个大于2 （7）恰好有一个根在（0,1）中
（8）至少有一个正根
第十三课时 求函数近似解的一种方法——二分法
一、数学史引入（简单介绍）
数学源于生活。由于解决实际问题的需要，人们经常需要寻求函数 的零点，即方程的根。设一元n次方程，人们总是希望能用各项的系数来表示它的所有根。9世纪，中亚西亚学者穆罕默德。阿里。花拉子模发现了二次方程 的解为。1545年意大利的 卡尔达诺 在他的《大法》一书中给出了一元三次方程的求根公式；之后，卡尔达诺的学生费拉里给出了一元四次方程的求根公式。
但是当时，人们却找不到方程的公式解。年轻的挪威数学家阿贝尔和法国数学家伽罗瓦证明了：一般五次和五次以上代数方程的解不能用公式给出。下面我们探讨一下求函数零点的其他方法。
二、创设情境：（简单分析）
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
三、二分法的定义：对于在区间[a,b]上连续不断，且的函数，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，
进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
四、一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个变号零点的近似值，使它与零点的误差不超过正数ε，即使得.
下面我们分步写出，用二分法求函数零点的一般步骤：
第一步：在D内取一个闭区间，验证。令
第二步：取区间的中点，则此中点对应的横坐标为 计算和
判断：（1）如果，则就是的零点，计算终止；
（2）如果，则零点位于区间中，令；
（3）如果，则零点位于区间中，令；
第三步 取区间的中点，则此中点对应的横坐标为
计算和
判断：（1）如果，则就是的零点，计算终止；
（2）如果，则零点位于区间中，令；
（3）如果，则零点位于区间中，令；
……………………
实施上述步骤，函数的零点总位于区间上。
判断是否达到精度，当时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过，
此时区间的中点就是函数的近似零点。
参考例题
例1 求函数的一个为正数的零点。
（1）精确到0.1 （2）精确到0.01
解:由于可以取区间[1，2]作为计算的初始区间。用二分法逐步计算，列表如下：
次数 端点（中点）坐标 计算中点函数值 取区间 区间长度
0 [1,2] 1
1 1.5 0.625 [1,1.5] 0.5
2 1.25 -0.984 [1.25,1.5] 0.25
3 1.375 -0.260 [1.375,1.5] 0.125
4 1.4375 0.165 [1.375,1.4375] 0.0625
5 1.40625 -0.05405 [1.40625,1.4375] 0.03125
6 1.421875 0.0526237 [1.40625,1.421875] 0.015625
7 1.4140625 -0.0010313 [1.4140625,1.421875] 0.0078125
由上表可知，第3次取中点后，区间长度为0.125<0.2，所以1.375和1.5的中点1.4375满足精度要求，精确到0.1后为1.4（4 次取中点）；第6次取中点后，区间长度为0.015625<0.02,所以1.40625和1.421875的中点1.4140625满足精度要求，精确到0.01后为1.41（7次取中点）。
例2 用二分法求的近似值（结果保留三位有效数字）
解:不妨构造函数,那么为函数的一个零点。
由于可以取区间[1，2]作为计算的初始区间。用二分法逐步计算，列表如下：
次数 端点（中点）坐标 计算中点函数值 取区间 区间长度
0 [1，2] 1
1 1.5 1.375 [1，1.5] 0.5
2 1.25 -0.047 [1.25，1.5] 0.25
3 1.375 0.6 [1.25，1.375] 0.125
4 1.3125 0.261 [1.25，1.3125] 0.0625
5 1.28125 0.103 [1.25，1.28125] 0.03125
6 1.265625 0.027 [1.25，1.265625] 0.015625
7 1.2578125
由上表可知，结果保留三位有效数字，即精度为0.01。第6次取中点后，区间长度为0.015625<0.02，所以1.25和1.265625的中点1.2578125满足精度要求，精确到0.01后为1.26（7 次取中点）；
参考作业：
教材-练习A 2， 练习B 2
章节测试 函数的概念与性质测试题
一、选择题（在题目所给的四个选项中，每题只有一个选项是正确的，每小题5分，共40分）
1、设集合和都是实数集，且映射把集合中的元素映射到中的元素，则在映射下，象的原象组成的集合是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、下列几组表示同一函数的是( )．
3、设，则下列四个图中能表示从集合到集合的函数关系的是（ ）
A、（1）（3） B、（2）（3） C、（2）（4） D、（1）（4）
4、已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、二次函数和在同一坐标系中如图，其中正确的是（ ）
6、已知函数，则等于（ ）
A、6 B、24 C、120 D、1
7、若都是奇函数，且在上有最大值，则在上（ ）
A、有最小值 B、有最大值 C、有最小值 D、有最大值
8、已知是偶函数，则函数的对称轴是（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题（将每题的正确答案写在题中的横线上，每小题5分，共20分）
9、在都是减函数,则在上是____函数(填增或减)
10、给定映射，在映射下象的原象是，则函数 的顶点坐标是__________．
11、的单调递减区间是__________.
12、已知函数是定义在上的偶函数，当时，，函数的解析式是__________.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
9、_________________10、_________________11、_________________12、_________________
三、解答题（写明每题的计算证明过程）
13、（12分）求函数定义域
（1） （2）
14、（10分）函数对于任意的,都有，求证函数是偶函数。
15、（18分）函数是定义在上的奇函数，且
（1）确定的解析式；（2）用定义证明在上是增函数；（3）解不等式
第三章 基本初等函数
第一课时 有理指数幂及其运算
一、知识讲授：
1．复习整数指数幂及其运算法则
2．根式：（1）定义：一般地，如果有，那么叫做的次方根，其中为大于1的整数，叫做根式，这里叫做根指数，叫被开方数.
（2）性质：①当为奇数时，有；当为偶数时，有
②负数没有偶次方根③零的任何次方根都是零。
3．分数指数（1）正分数指数幂：①（，且为既约分数）
（2）负分数指数幂：（，且为既约分数）
4．有理指数幂的运算性质:
二、典型例题
例1．下列说法中正确的是( )．
(A)-2是16的四次方根 (B)正数的次方根有两个 (C)的次方根就是 (D)
例2．比较大小：（1）（2）
例3．用分数指数幂的形式表示根式：(，)
（1）（2）（3）（4）（5）
例4．化简：（1）（2） （3）
（4）（5）
化简的步骤：
化简结果的要求：
例5．求值：（1）（2）（3）（4）
（5）（6）
例6．若，求的值
第二课时 指数函数
知识讲授：定义：一般地,(，)叫做指数函数.
让学生思考：（1）定义中有几个要点？（2）为什么要限制“且”？
如果如果，比如，这时对于都无意义.
如果，对于任何实数，是一个常量，对它没有研究的必要.
2．性质：二、典型例题：例1．指出下列函数哪些是指数函数.
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
（7）
例2．比较下列各题中两个值的大小.
（1）、（2）、（3）、1（4）、（5）、（6）、（）
例3．求下列函数的定义域和值域，并求出单调区间（1）（2）（3）（4）
三、巩固练习
1．当x>0时，的值总大于1，则实数a 的范围是 ；
2．函数恒过一定点P，则P点的坐标是 。
3、比较的大小。4、求函数的定义域。
5、且，，比较的大小
6、求函数的值域。求函数的值域
7、在[0，1]上的最大值与最小值的和是3，则a= 。
8、求证在定义域上是增函数。
9、已知函数求函数发f(x)的定义域、值域讨论函数f(x)的单调性、奇偶性
10、判断函数的奇偶性。
第三课时 对数及其运算
一、对数：
1．定义：一般地，对于指数式我们把“以为底的对数”记作，即.
说明：（1）数叫做对数的底数，叫做真数，读作：
（2）对数式是指数式的另外一种表达形式，注意两者之间的转化
（3）为什么要规定？
（4）自然对数与常用对数
2．性质：0和负数没有对数，
二、对数恒等式与换底公式
1．对数恒等式：
2．换底公式：
三、对数的运算性质
四、典型例题：
1．求下列各式的值
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）
（8）（9）
2．课本例4、例5
3．课本例6
4．求值：
（1）（2）
（3）（4）（5）
（6）
（7）
5（1）已知，试用表示
（2）若试用表示
6．设，求的值
第四课时 对数函数
知识讲授：
反函数：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两函数互为反函数.
说明：（1）函数的反函数记为
（2）一个函数是一一映射时才有反函数
（3）单调函数一定有反函数,但有反函数的函数未必单调(请自举反例)
（4）原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域。
性质：
（1）原函数与反函数的图象关于y=x对称
（2）奇函数若有反函数，则反函数也为奇函数
偶函数未必没有反函数()
(3) 互为反函数的两个函数单调性相同
求反函数的步骤：
练习：
1．求下列函数的反函数：
（1）（2）（3）
2．（1），求（2），=
3．与关于对称，则
4．（）存在反函数，则
5．已知函数过点（0，1），则函数的反函数过点 ；函数过点 。
二、对数函数
1．定义：
2．性质：
①定义域: (0,+∞)； ②值域 (-∞,+∞)； ③过定点(1,0)；
④ 单调性: a>1时，在在(0,+∞)上是增函数 ；0⑤ a>1时, x>1,y>0;01,y<0;00；
⑥ a>1时, a越大图象越靠近x轴；0⑦ 与图象关于x轴对称
三、对数函数典型例题
1．求下列函数的定义域：
（1）（2）（3）（4）
（5）（6）
2．比较大小
（1） （2）（3）
（4）（5）（6）
3．（1）求的值域，并划分函数的单调区间。
（2）求函数值域及单调区间
（3）已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围
4．判断函数的奇偶性。
（1） （2）
5．函数
（1）函数的定义域为R，求实数a的范围。
（2）函数的值域为R，求实数a的范围。
6．解关于x的不等式
7．函数
（1）求函数f(x)的定义域；（2）判定函数f(x)的单调性；（3）解不等式
第五课时 幂函数
一、定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.
例1：判断下列函数哪几个是幂函数？
（1）（2）（3）（4）（5）
（6）（7）（8）（9）（10）
例2：已知函数，当是何值时，是
（1）正比例函数（2）反比例函数（3）指数函数（4）幂函数
说明：严格按照幂函数定义判断
二、性质
作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：
图像 性质
指数
图像过点
非奇非偶函数
奇函数
偶函数
性质 图像过点，且在第一象限内是单减的 图像过和点，且在第一象限内是单调增的．
将几种图像画在一个区间上，让学生感觉到数学的美
三、幂函数的应用
1、比较大小
同指数：幂函数单调性：
同底数：指数函数单调性：
不同底不同指：选取中间变量（一选指、一选底）：
作差：；
作商：
例1：、、、、
例2：当时，，，，的大小关系。
2、图像特点
例1：函数的图像不经过点，求的取值范围。
例2：已知函数的图像与轴、轴都没有交点，且图像关于轴对称，则=___________
例3、幂函数的图像一定不过第________象限。
例4、右图是函数，，的图像，则依次可以是（ ）A、 B、 C、 D、
3、单调性：
例1、函数为幂函数，且在上是减函数，求实数的值。
例2、证明：函数在上是减函数。
例3、已知，
（1）证明：当时，在上是减函数；
（2）当时，在上是增函数还是减函数？说明理由。
4、奇偶性
例1、判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3）（4）
练习：判断正确
（1）幂函数的图像都通过两点；
（2）图像不经过的幂函数，一定不是偶函数；
（3）幂函数的图像不可能出现在第四象限；
（4）若是奇函数，则在其定义域内为减函数；
（5）当时，函数的图像是一条直线；
（6）如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个函数一定相同；
（7）当时，幂函数的值随的增大而增大。
第六课时 函数的凹凸性
探索与研究
因为近年来高考中凹凸性的考察较多，所以有必要介绍一下相关知识：
1．定义
设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点和任意实数总有 ，则称为上的凸函数．反之，如果总有 则称为的凹函数．
如果不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数．
易证：若为区间上的凸函数，则为区间上的凹函数．故只需讨论凸性即可．
线性函数既是凸函数，也是凹函数。
例1：（2002高考北京卷）如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“中任意的和， 恒成立”的只有( )
A． B． C． D．
例2、（05湖北）在，，，这四个函数中，当时，使
恒成立的函数个数是（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
例3：（94全国文）已知函数f(x) = logax （a > 0且 a≠1 ,x∈R+）,若x1， x2∈R+，判断 和的大小，并加以证明。
例4、（2006北京卷理13）对于函数f(x)定义域中任意的，有如下结论：
①；②；③； ④.
当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 ②③ 。
第二章 函数
第三章 基本初等函数
第二章 函数
第一课时 映射
一、基础知识
1、构成映射的基础条件：A不余且象唯一。
2、映射的要素：
3、映射的分类和关系
4、构成映射的个数：
A中有m个元素，B中有n个元素，则的映射个数是个
课堂例题与练习：
例1：下列对应是从A到B的映射的是_________； 是从A到B的一一映射的是_________；是从A到B的函数的是_________.
(1);(2)
(3); (4)
(5) (6)
(7)
(8);(9)
例2：求映射的象和原象
1、已知映射中，，
（1）是否存在这样的元素，使它的象还是它本身？若存在求出这个元素，若不存在说明理由。（2）求A中元素在B中的象；（3）求B中元素在A中的原象
2、若是从集合到集合的一个一一映射，的象是，的原象是，求自然数的值及集合。
例3．求映射的个数
已知，，问
（1）可构成多少个的映射？
（2）可构成多少个的一一映射
（3）映射满足，可构成多少个满足条件的映射
第二课时 函数的概念
1．函数的定义（1）两要素（2）如何判断给定两个变量之间的关系是否为函数关系（3）判断两个函数是否为同一个函数
2．函数的表示方法：函数是非空数集与非空数集之间的映射。
例1、下列几组表示同一函数的是_________
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；
（6）
3．分段函数：函数的特点是在不同的区间上有着不同的解析式
在求函数的定义域、值域时，求各个区间上的定义域、值域的并集。
例2、已知定义在上的函数，求_________。
例3．已知函数为，求下列的值。（1）_________；（2）_________；（3），求的值；（4）若，求的取值范围；（5）函数的值域为_________。
例4 课本44，例3
4．复合函数：如果是的函数，记作；是的函数，记作；那么是的函数，记作。
注：（1）要掌握两个原则：①复合函数的自变量是；②复合函数的对应法则施加的对象性质相同；（2）在求单调性的时候，要做到“同增异减”，分别求两部分的单调性和单调区间；
（3）在求奇偶性的时候，要做到“有偶则偶”，但前提是定义域关于原点对称。
例5
第三课时 函数的定义域
基础知识：函数的定义域：使得函数成立的自变量的取值范围。
（1）整式函数的定义域是全体实数；
（2）分式函数的分母不为零；
（3）偶次根式或者是幂指数的指数为分母是偶数时，底数不小于零；
（4）奇次根式或者是幂指数的指数为分母是奇数时，定义域是全体实数；
（5）对数中底数大于零且不等于1，指数大于零；
（6）零指数函数底数不为零；
（7）分段函数各部分的定义域取并集；
（8）几个简单函数通过加减乘除运算的各部分定义域取交集；
例1求下列函数的定义域
（1）
（5） （6）
（7）实际问题中的定义域
用长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆的框架，若矩形的底边长为，求此框架围成的面积与的函数关系式，并指出其定义域。
例2 （1）已知函数的定义域为，则的定义域 ;
（2）已知函数的定义域为，则的定义域 ；
（3）已知函数的定义域为，则的定义域 ；
例3若函数的定义域为，求实数的取值范围。
作业：
1．求下列函数的定义域（1）； （2） ； （3）
2．（1） 函数的定义域为，求下列函数的定义域； ；
（2）已知函数的定义域为，其中且，求函数的定义域
3．（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围是；
（2）已知函数的定义域为，求实数的取值范围。
（3）设函数的定义域为，求实数的值。
第四课时 函数的值域
一、基础知识
（1）单调性求值域：首先求函数的单调性，则只需求解函数两个端点的值就行了；
（2）反函数求值域：
要求函数的值域，只需要求反函数的定义域就是了；
要求函数的定义域，只需要求反函数的值域就是了；
（3）换元法求函数的值域，将函数转换成为复合函数来求；
（4）分式函数：分离系数法、判别式法、直接观察法等。
（5）复合函数：分解成两个函数，分别求值域，注意第一个函数的值域是第二个函数的定义域
（6）图像：通过图像观察各部分函数的特点。
例1、求下列函数的值域
（1） （2） （3）
例2、求下列函数的值域
（1） （2）
例3、求下列函数的值域
（1） （2） （3）
例4、 求下列函数的值域
（1） （2）（）
例5、求下列函数的值域（1） （2）
例6、分段函数：
例7、求函数（为常数），的最小值（或值域）。
例8、求函数在（为常数）的最小值（或值域）。
例9．已知的定义域和值域都是，求实数的值。
例10．函数在上的值域是，则的取值组成的集合是（ ）
A． B． C． D．
第五课时 函数的图像
1、简单函数的图像
（1）复习一次、二次、反比例函数的图像
例1画出下列函数的图像
(1) (2) (3)
(4)根据定义域，画出函数的图像
① ② ③
例2、画出函数的图象.
例3、分别画出下列函数的图象
①②
思考：已知函数的图象，通过怎样的图象变换可得到的图象。
平移变换
向 平移 个单位；以 代换
向 平移 个单位；以 代换
向 平移 个单位
对称变换
关于 对称 ； 关于 对称； 关于 对称
翻折问题 ：::
第六课时 图像的对称性
函数的对称性 知识点：
问题1. 已知函数的图象关于.
问题1.证明: 设关于, 若即
也在
反思升华1：如果函数的图象关于直线
证明：设的图象上的任意一点为关于的对称点是上的一点. 若即 重合图象上的任意一点也在图象上图象关于直线
反思升华2：如果函数满足则函数的图象关于直线对称
反思升华3：如果函数满足则函数的图象关于直线
问题2. 已知函数若的图象关于原点对称
问题2证明：设的图象上的任意一点为关于原点的对称点为图象上的点. 若这时重合
图象上的任意一点关于原点的对称点也在图象上
反思升华4：如果函数满足则函数的图象关于点（1,0）对称.
证明：设的图象上的任意一点为对称点
图象上的点，若
即重合图象上的任意一点的对称点 也在图象上 图象关于点(1,0)对称
反思升华5：如果函数满足则函数的图象关于点(a,o)对称
反思升华6：如果函数满足，则函数的图象关于点(a,b)对称
问题3.设函数定义在实数集上，则函数与函数 的图象关于直线对称
证明：设函数图象上的任意一点为关于直线对称点为即=
即函数图象关于直线对称
反思升华7：设函数定义在实数集上，则函数与函数的图象关于直线对称
反思升华8：设函数定义在实数集上，则两个函数与的图象关于
直线对称
例题与练习
设二次函数满足,图象与轴交点为（0, 2），与轴两交点间的距离为2，求的解析式。
2.二次函数满足,求的顶点的坐标。
3.已知,且.（1）写出的关系式 （2）指出的单调区间。
4．若函数在其定义域内满足，方程有五个实数根，则其和为 。
5．奇函数满足，当时，；则当时，
6.对于任意的函数，在同一坐标系中的图象关于 对称。
第七课时 函数的解析式
一、基础知识
（1）直接代入法 （2）换元法 （3）配凑法 （4）消去法 （5）待定系数法 （6）赋值法
（7）利用奇偶性求解析式
例1 的解析式
已知，求的解析式
例3 如果函数是一次函数，且满足，求
例4 已知函数满足+2，求
设是上的函数，且满足，并且对任意的实数x,y，有，求的解析式.
课本44页例2 ； 46页例4 例5；
将周长为的铁丝弯成一个下半部分为矩形，上半部分为半圆形的框架，圆的半径为，求此框架的面积与的函数关系。
作业：
1．已知满足，求
2．已知，则=
3．设二次函数满足，且=0的两个实根平方和为10，图象过(0,3)求的解析式。
4．求
5．设函数为常数，且，满足，方程有唯一解，求的解析式，并求出的值。
第八课时 函数的单调性
单调性的概念：
⑴ 建立感性认识：观察分析二次函数、反比例函数的图象，总结图象的“升、降”
⑵进行数学定义：P48——P49
增函数、减函数、单调区间、单调性
注意：
⑴、单调性是相对于定义域内区间而言的。单调区间有时是整个定义域。
⑵、关于区间端点。
⑶、对同一函数，可能在某些区间上是增，另一些区间上为减。
⑷、同一函数在定义域某些区间上为增（减），并不说明在这些区间的并集上为增（减）。
单调性的证明：
步骤：设量——作差——变形——定号——结论
单调性的判断、单调区间的求法（利用定义、图象）
典型例题：
教材例1、证明函数在上是增函数
2、教材例2、证明函数在和上是减函数
3、求证f(x)=－在定义域上为减函数。
4、f(x) 、g(x)在（）上是增函数，求证f(g(x)) 在上是增函数。
5、求的单调区间
6．求的单调区间
7．求的单调区间
8．函数在区间上是增函数，求a的范围
9．y=x2+2ax+1在上最大值为4，求a的值。
10．求y=x2－2x+3 (2)的最值。
11．与；与；与
第九课时 函数的奇偶性
1、奇偶函数的概念：P50
注：定义域内的任意x均f(－x)=f(x)之一成立
2、奇偶性的判定与证明。步骤：
考虑定义域是否对称。
（2）验证f(－x)=f(x)是否成立
例题：
（1）① ② （2）① ②
（3） （4）（5） （6）
（7） (8)
2.设f（x）是定义在A上的奇函数，g（x）是定义在B上的奇函数，那么在上，f(x)+g(x)是奇函数， f(x)*g(x)是偶函数，类似的结论还有：
3、性质及应用。
性质 图像 （充要条件） （指出判定方法）
典型例题：
例1、求做f(x)=2x2_6|x|+5的图象
例2、正确的命题：①偶函数的图象与y轴相交②奇函数的图象过原点③偶函数的图象关于y轴对称
④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0⑤一个函数不是奇函数就是偶函数
例3、f(x)=x5+ax3+bx－8 若f(-2)=10 ,求f(2)
例4．y= f(x)的图象与x轴有四个交点，则f(x)=0的实根之和为0是y= f(x)为偶函数的 条件。
例5、已知函数中，对于任意的，有，，，则是_______函数。
例6、已知函数与定义在R上，为奇函数，为偶函数，且有，求
例7、若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则的解集是___________，的解集是___________。
例8、设函数为定义在R上的偶函数且，在上是增函数，．
（1）求证（2）若，求解不等式。
第十课时 单调性奇偶性综合
复习两种性质的知识。
综合应用
1．已知函数在上是奇函数而且在上是增函数，证明在上也是增函数
2．为奇函数，当时，则时，
3．的定义域为，且为奇函数，当时，求的解析式
4．满足，求
5．定义域为满足，判定的奇偶性
6． 函数在上满足（1）（2）在定义域上单调递减（3）
求：（1）为奇函数（2）的取值范围
7．为偶函数，试比较的大小
8．已知是定义在（-1，1）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，若
，试确定的取值范围
9．设函数对任意非零实数均满足，求证：是偶函数
10．设是R上的奇函数，，当时，，求
11、已知奇函数在上的减函数，对任意的实数，恒有成立，求的取值范围。
12、设在上的偶函数，在上递增，且有，则实数的取值范围
13、函数是定义在上的奇函数，且
（1）确定的解析式；（2）用定义证明在上是增函数；（3）解不等式
14、设是实数，函数
（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值。
第十一课时 函数的零点
课堂引入
例：研究的以下情况：（1）（2）（3）
一、定义：一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做函数的零点。
说明：
（1）函数的零点指的是一个实数，自变量取这个实数时，其函数值为零；
（2）函数的零点即是函数图像与横轴焦点的横坐标；
（3）我们只讨论函数的实零点。
练习：右图的函数零点是多少？
二、函数零点的性质 通过观察图像得到。
（1）相邻两个零点之间的所有函数值同号；
（2）函数在一个区间不间断，且端点处异号即，则函数在此区间上至少有一个零点；
（3）函数在一个单调区间上之多有一个零点；
（4）函数图像通过零点时，如果是二重零点，函数值不变化；如果不是二重零点，函数值变号。
三、求函数零点的方法
（1）分解因式 （2）公式法 （3）图像法 （4）二分法
四、判断函数零点的个数
图像法 例：函数零点的个数是_________。
参考例题：
1、求解函数零点
（1）函数，又，则函数的零点是_____。
（2）函数的两个零点是2和3，则函数的零点是__________。
（3） （4） （5）
2、对于函数，若，则函数在区间内零点有（ ）A、一定有零点 B、一定没有零点 C、可能有两个零点 D、至多有一个零点
3、若函数没有零点，试求的取值范围。
4、已知函数，求满足下列条件的的取值范围。
（1）函数没有零点 （2）函数只有一个零点 （3）函数有两个零点
5、函数，，且与有一个共同零点，试求（1）的值（2）如果与还有零点，试求之。
参考作业：同步训练 同步测控相应题目（选作）
第十二课时 一元二次方程根的分布
首先研究一元二次方程根的存在条件：
例：求为何值时，函数（1）有两个零点（2）有唯一的零点（3）没有零点？
那么大家思考：上述函数什么时候（1）有两个正根（2）有两个负根（3）有两个异号根（4）两个根在中。
方法一、一二三韦达
；
作图的思路：1、判断两根之和与两根之积的情况；2、列相应的不等式组；；3、求解结果
解前面出的题目
方法二、一二三图像
；
做题的思路：1、画图像草图；2、列相应的不等式组；3、求解结果
解前面出的题目
参考例题：
1、已知函数的图像与横轴没有交点，求实数的取值范围。2、已知函数的两根都大于2，求实数的取值范围。
3、方程在内恰有一个根适合方程，求实数的取值范围。
4、已知函数的图像与横轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数的取值范围是
5、二次函数的两个零点满足关系：一个小于1，另一个在（1,3）上，求实数的取值范围。
参考作业：
对于函数，在函数零点满足下列关系时，求实数的取值范围。
（1）有两个正根 （2）有两个负根 （3）有两个异号根
（4）都比1大 （5）两个实根，一个大于2，一个小于2
（6）两个实根，一个在（-1,1）上，一个大于2 （7）恰好有一个根在（0,1）中
（8）至少有一个正根
第十三课时 求函数近似解的一种方法——二分法
一、数学史引入（简单介绍）
数学源于生活。由于解决实际问题的需要，人们经常需要寻求函数 的零点，即方程的根。设一元n次方程，人们总是希望能用各项的系数来表示它的所有根。9世纪，中亚西亚学者穆罕默德。阿里。花拉子模发现了二次方程 的解为。1545年意大利的 卡尔达诺 在他的《大法》一书中给出了一元三次方程的求根公式；之后，卡尔达诺的学生费拉里给出了一元四次方程的求根公式。
但是当时，人们却找不到方程的公式解。年轻的挪威数学家阿贝尔和法国数学家伽罗瓦证明了：一般五次和五次以上代数方程的解不能用公式给出。下面我们探讨一下求函数零点的其他方法。
二、创设情境：（简单分析）
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
三、二分法的定义：对于在区间[a,b]上连续不断，且的函数，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，
进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
四、一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个变号零点的近似值，使它与零点的误差不超过正数ε，即使得.
下面我们分步写出，用二分法求函数零点的一般步骤：
第一步：在D内取一个闭区间，验证。令
第二步：取区间的中点，则此中点对应的横坐标为 计算和
判断：（1）如果，则就是的零点，计算终止；
（2）如果，则零点位于区间中，令；
（3）如果，则零点位于区间中，令；
第三步 取区间的中点，则此中点对应的横坐标为
计算和
判断：（1）如果，则就是的零点，计算终止；
（2）如果，则零点位于区间中，令；
（3）如果，则零点位于区间中，令；
……………………
实施上述步骤，函数的零点总位于区间上。
判断是否达到精度，当时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过，
此时区间的中点就是函数的近似零点。
参考例题
例1 求函数的一个为正数的零点。
（1）精确到0.1 （2）精确到0.01
解:由于可以取区间[1，2]作为计算的初始区间。用二分法逐步计算，列表如下：
次数 端点（中点）坐标 计算中点函数值 取区间 区间长度
0 [1,2] 1
1 1.5 0.625 [1,1.5] 0.5
2 1.25 -0.984 [1.25,1.5] 0.25
3 1.375 -0.260 [1.375,1.5] 0.125
4 1.4375 0.165 [1.375,1.4375] 0.0625
5 1.40625 -0.05405 [1.40625,1.4375] 0.03125
6 1.421875 0.0526237 [1.40625,1.421875] 0.015625
7 1.4140625 -0.0010313 [1.4140625,1.421875] 0.0078125
由上表可知，第3次取中点后，区间长度为0.125<0.2，所以1.375和1.5的中点1.4375满足精度要求，精确到0.1后为1.4（4 次取中点）；第6次取中点后，区间长度为0.015625<0.02,所以1.40625和1.421875的中点1.4140625满足精度要求，精确到0.01后为1.41（7次取中点）。
例2 用二分法求的近似值（结果保留三位有效数字）
解:不妨构造函数,那么为函数的一个零点。
由于可以取区间[1，2]作为计算的初始区间。用二分法逐步计算，列表如下：
次数 端点（中点）坐标 计算中点函数值 取区间 区间长度
0 [1，2] 1
1 1.5 1.375 [1，1.5] 0.5
2 1.25 -0.047 [1.25，1.5] 0.25
3 1.375 0.6 [1.25，1.375] 0.125
4 1.3125 0.261 [1.25，1.3125] 0.0625
5 1.28125 0.103 [1.25，1.28125] 0.03125
6 1.265625 0.027 [1.25，1.265625] 0.015625
7 1.2578125
由上表可知，结果保留三位有效数字，即精度为0.01。第6次取中点后，区间长度为0.015625<0.02，所以1.25和1.265625的中点1.2578125满足精度要求，精确到0.01后为1.26（7 次取中点）；
参考作业：
教材-练习A 2， 练习B 2
章节测试 函数的概念与性质测试题
一、选择题（在题目所给的四个选项中，每题只有一个选项是正确的，每小题5分，共40分）
1、设集合和都是实数集，且映射把集合中的元素映射到中的元素，则在映射下，象的原象组成的集合是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、下列几组表示同一函数的是( )．
3、设，则下列四个图中能表示从集合到集合的函数关系的是（ ）
A、（1）（3） B、（2）（3） C、（2）（4） D、（1）（4）
4、已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、二次函数和在同一坐标系中如图，其中正确的是（ ）
6、已知函数，则等于（ ）
A、6 B、24 C、120 D、1
7、若都是奇函数，且在上有最大值，则在上（ ）
A、有最小值 B、有最大值 C、有最小值 D、有最大值
8、已知是偶函数，则函数的对称轴是（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题（将每题的正确答案写在题中的横线上，每小题5分，共20分）
9、在都是减函数,则在上是____函数(填增或减)
10、给定映射，在映射下象的原象是，则函数 的顶点坐标是__________．
11、的单调递减区间是__________.
12、已知函数是定义在上的偶函数，当时，，函数的解析式是__________.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
9、_________________10、_________________11、_________________12、_________________
三、解答题（写明每题的计算证明过程）
13、（12分）求函数定义域
（1） （2）
14、（10分）函数对于任意的,都有，求证函数是偶函数。
15、（18分）函数是定义在上的奇函数，且
（1）确定的解析式；（2）用定义证明在上是增函数；（3）解不等式
第三章 基本初等函数
第一课时 有理指数幂及其运算
一、知识讲授：
1．复习整数指数幂及其运算法则
2．根式：（1）定义：一般地，如果有，那么叫做的次方根，其中为大于1的整数，叫做根式，这里叫做根指数，叫被开方数.
（2）性质：①当为奇数时，有；当为偶数时，有
②负数没有偶次方根③零的任何次方根都是零。
3．分数指数（1）正分数指数幂：①（，且为既约分数）
（2）负分数指数幂：（，且为既约分数）
4．有理指数幂的运算性质:
二、典型例题
例1．下列说法中正确的是( )．
(A)-2是16的四次方根 (B)正数的次方根有两个 (C)的次方根就是 (D)
例2．比较大小：（1）（2）
例3．用分数指数幂的形式表示根式：(，)
（1）（2）（3）（4）（5）
例4．化简：（1）（2） （3）
（4）（5）
化简的步骤：
化简结果的要求：
例5．求值：（1）（2）（3）（4）
（5）（6）
例6．若，求的值
第二课时 指数函数
知识讲授：定义：一般地,(，)叫做指数函数.
让学生思考：（1）定义中有几个要点？（2）为什么要限制“且”？
如果如果，比如，这时对于都无意义.
如果，对于任何实数，是一个常量，对它没有研究的必要.
2．性质：二、典型例题：例1．指出下列函数哪些是指数函数.
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
（7）
例2．比较下列各题中两个值的大小.
（1）、（2）、（3）、1（4）、（5）、（6）、（）
例3．求下列函数的定义域和值域，并求出单调区间（1）（2）（3）（4）
三、巩固练习
1．当x>0时，的值总大于1，则实数a 的范围是 ；
2．函数恒过一定点P，则P点的坐标是 。
3、比较的大小。4、求函数的定义域。
5、且，，比较的大小
6、求函数的值域。求函数的值域
7、在[0，1]上的最大值与最小值的和是3，则a= 。
8、求证在定义域上是增函数。
9、已知函数求函数发f(x)的定义域、值域讨论函数f(x)的单调性、奇偶性
10、判断函数的奇偶性。
第三课时 对数及其运算
一、对数：
1．定义：一般地，对于指数式我们把“以为底的对数”记作，即.
说明：（1）数叫做对数的底数，叫做真数，读作：
（2）对数式是指数式的另外一种表达形式，注意两者之间的转化
（3）为什么要规定？
（4）自然对数与常用对数
2．性质：0和负数没有对数，
二、对数恒等式与换底公式
1．对数恒等式：
2．换底公式：
三、对数的运算性质
四、典型例题：
1．求下列各式的值
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）
（8）（9）
2．课本例4、例5
3．课本例6
4．求值：
（1）（2）
（3）（4）（5）
（6）
（7）
5（1）已知，试用表示
（2）若试用表示
6．设，求的值
第四课时 对数函数
知识讲授：
反函数：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两函数互为反函数.
说明：（1）函数的反函数记为
（2）一个函数是一一映射时才有反函数
（3）单调函数一定有反函数,但有反函数的函数未必单调(请自举反例)
（4）原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域。
性质：
（1）原函数与反函数的图象关于y=x对称
（2）奇函数若有反函数，则反函数也为奇函数
偶函数未必没有反函数()
(3) 互为反函数的两个函数单调性相同
求反函数的步骤：
练习：
1．求下列函数的反函数：
（1）（2）（3）
2．（1），求（2），=
3．与关于对称，则
4．（）存在反函数，则
5．已知函数过点（0，1），则函数的反函数过点 ；函数过点 。
二、对数函数
1．定义：
2．性质：
①定义域: (0,+∞)； ②值域 (-∞,+∞)； ③过定点(1,0)；
④ 单调性: a>1时，在在(0,+∞)上是增函数 ；0
⑥ a>1时, a越大图象越靠近x轴；0
三、对数函数典型例题
1．求下列函数的定义域：
（1）（2）（3）（4）
（5）（6）
2．比较大小
（1） （2）（3）
（4）（5）（6）
3．（1）求的值域，并划分函数的单调区间。
（2）求函数值域及单调区间
（3）已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围
4．判断函数的奇偶性。
（1） （2）
5．函数
（1）函数的定义域为R，求实数a的范围。
（2）函数的值域为R，求实数a的范围。
6．解关于x的不等式
7．函数
（1）求函数f(x)的定义域；（2）判定函数f(x)的单调性；（3）解不等式
第五课时 幂函数
一、定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.
例1：判断下列函数哪几个是幂函数？
（1）（2）（3）（4）（5）
（6）（7）（8）（9）（10）
例2：已知函数，当是何值时，是
（1）正比例函数（2）反比例函数（3）指数函数（4）幂函数
说明：严格按照幂函数定义判断
二、性质
作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：
图像 性质
指数
图像过点
非奇非偶函数
奇函数
偶函数
性质 图像过点，且在第一象限内是单减的 图像过和点，且在第一象限内是单调增的．
将几种图像画在一个区间上，让学生感觉到数学的美
三、幂函数的应用
1、比较大小
同指数：幂函数单调性：
同底数：指数函数单调性：
不同底不同指：选取中间变量（一选指、一选底）：
作差：；
作商：
例1：、、、、
例2：当时，，，，的大小关系。
2、图像特点
例1：函数的图像不经过点，求的取值范围。
例2：已知函数的图像与轴、轴都没有交点，且图像关于轴对称，则=___________
例3、幂函数的图像一定不过第________象限。
例4、右图是函数，，的图像，则依次可以是（ ）A、 B、 C、 D、
3、单调性：
例1、函数为幂函数，且在上是减函数，求实数的值。
例2、证明：函数在上是减函数。
例3、已知，
（1）证明：当时，在上是减函数；
（2）当时，在上是增函数还是减函数？说明理由。
4、奇偶性
例1、判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3）（4）
练习：判断正确
（1）幂函数的图像都通过两点；
（2）图像不经过的幂函数，一定不是偶函数；
（3）幂函数的图像不可能出现在第四象限；
（4）若是奇函数，则在其定义域内为减函数；
（5）当时，函数的图像是一条直线；
（6）如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个函数一定相同；
（7）当时，幂函数的值随的增大而增大。
第六课时 函数的凹凸性
探索与研究
因为近年来高考中凹凸性的考察较多，所以有必要介绍一下相关知识：
1．定义
设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点和任意实数总有 ，则称为上的凸函数．反之，如果总有 则称为的凹函数．
如果不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数．
易证：若为区间上的凸函数，则为区间上的凹函数．故只需讨论凸性即可．
线性函数既是凸函数，也是凹函数。
例1：（2002高考北京卷）如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“中任意的和， 恒成立”的只有( )
A． B． C． D．
例2、（05湖北）在，，，这四个函数中，当时，使
恒成立的函数个数是（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
例3：（94全国文）已知函数f(x) = logax （a > 0且 a≠1 ,x∈R+）,若x1， x2∈R+，判断 和的大小，并加以证明。
例4、（2006北京卷理13）对于函数f(x)定义域中任意的，有如下结论：
①；②；③； ④.
当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 ②③ 。