青岛版七年级下册第9章角全章学案(无答案）

七年级数学第9章《角》学案
§9.1 角的表示
主备人：新泰羊流初级中学 郭玲
【教师寄语】“学而不思则惘，思而不学则殆”，只有在学习中不断思考才能不断地进步.
【学习目标】1、掌握角的两种定义及有关概念；
2、掌握角的四种表示方法；
3、提高抽象、概括能力及操作实践能力．
【重难点】1、角的两种定义表示法；2、角的四种表示法.
【课前预习】
1、角的两种定义表示法：（1） ；（2） ．
2、角的四种表示法：（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
【学习过程】
一、自主学习
1、角的定义
观察：秒针在钟面上转动；
操作：把圆规的两只脚由并在一起到逐渐把一只脚旋转到另一个位置；
思考：在秒针的转动过程中，有没有给我们形成角的形象？那么角又可以是怎样形成的呢？
小结：角是具有 的两条射线组成的图形。其中，组成角的两条射线叫做角的两条 ，公共端点叫做角的 ．
2、角的表示方法：
试结合图形来说明角的四种表示方法：
⑴用一个角的符号∠，加上三个 表示．例如，∠
⑵用一个角的符号∠，加上表示顶点的一个 表示．例如，∠
⑶用一个角的符号∠，加上一个 字母表示．例如，∠
⑷用一个角的符号∠，加上一个 表示．例如，∠
合作交流
1、举例说明什么是角的始边？角的终边？（组内交流）
2、小结：角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于 位置的那条射线叫做角的始边， 位置的那条射线叫做角的终边．
3、当始边和终边处于同一条直线上时，这时构成的角是 ；当终边旋转回到始边位置，并与始边重合，这时，所构成的角是 ．
三、巩固练习
1、分别说出、、的顶点和边.
角
顶点
边
2、用三个大写字母表示下列图形中的角.
3、用一个大写字母或一个希腊字母表示图中的角.
4、图中共有（ ）个角，并分别用一个大写字母或三个大写字母表示.
四、小结反思
这节课我学会了：
我的困惑：
五、当堂测试
1、请将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：
∠1 ∠2 ∠3
2、如图所示，图中所有角有_____个.
3、 如图，把一根小棒一端钉在点，旋转小木棒，使它落在不同的位置上形成不同的角，其中为____，为____，为____木棒转到时形成的角为____(回答钝角、锐角、直角、平角).
4、如图,为一直线，、、是射线，则图中大于小于的角有__________个， 分别是： .
§9.2 角的比较
主备人：新泰羊流初级中学 郭玲
【教师寄语】自信是走向成功的第一步！
【学习目标】
1、理解角的大小比较意义；掌握直角、锐角、钝角的概念；掌握角平分线的概念.
2、会估计一个角的大小；会用叠合法和度量法进行角的大小比较；会区别直角、锐角和钝角；会运用角平分线的性质解决一些角的计算问题.
3、体验生活中的几何知识，激发学生对生活的热爱；通过动脑、动手、动口、合作和探究，启发学生的智慧，感受快乐数学，接受逻辑推理思维的熏陶.
【重难点】角的大小比较和角平分线的概念.
【课前预习】 比较角的大小.
如图1，两块三角尺的顶点分别记为、、和、、.你认为与哪个角较大？说说你是怎样比较的？
【学习过程】
自主学习
1、估计角的大小
叠合法：如图2，把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，其中的一边也重合，并使两个角的另一边都在这一边的同侧. 此时，边落在内部，这就说明小于，记作<或>．
如果两个角的顶点和它们的两边都能分别重合，我们就说这两个角相等．
度量法：比较角的大小，我们也可以用量角器分别量出角的度数，然后加以比较．
例如∵，，∴<．
2、试一试：
根据两块三角板（如图1）上各个角的度数，在“＝”、“>”或“<”中，选择适当的符号填入下面的各空格内：
___，，，，．
3、做一做：
在一张透明纸上任意画一个角（如
图3），把这张透明纸折叠，使角的两边与
重合，然后把这张纸展开、铺平，画出折
痕．
试比较与的大小．
角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，
把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线（angular bisector）．
例如：图3中射线就是的平分线，这时．
4、想一想：怎样用量角器画一个角的平分线？
如图4，已知，画射线，使平分．
5、练一练：（仿照例2）
如图5，，，平分．求的度数．
解：
小结：一般地，一个角的度数是另两个角的度数的和，这个角就是另两个角的和．一个角的度数是另两个角的度数的差，这个角就是另两个角的差．
二、合作交流
利用一副三角尺，你能画出哪些度数的角？
三、巩固练习
1、比较下列各题中两个角的大小．
（1） （2）
2、根据图形填空：
（1）；（2）；
（3）．
3、已知是，你可以用哪些方法画出的平分线？
4、如图，点在直线上，画出的平分线．若，求的度数．
四、小结反思
这节课我学会了：
我的困惑：
五、当堂测试
1、3∶30时，时针与分针所成的角是（ ）．
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角
2、填“>”或“<”．
（1）直角 锐角，直角 钝角，钝角 锐角，直角 钝角 平角．
（2）如图1，
∠AOC ∠AOB
∠BOD ∠COD
∠AOC ∠AOD
∠BOD ∠BOC
3、看图2填空：
（1）．
（2）若，，则，若，，，则，．
（3） ＝，．
4、如图3，为直线上一点，平分，
平分，则；
若，则，，
，．
5、如图,∠AOB是平角,OD、OC、OE是三条射线,OD是∠AOC的平分线, 请你补充一个条使∠DOE=90°,并说明你的理由.
§9.3 角的度量
主备人：新泰羊流初级中学 郭玲
【教师寄语】在探究中求知，在合作中解疑，展示自我，相信自己！
【学习目标】1、认识度、分、秒，会进行它们之间的简单换算，会通过角度比较角的大小。
2、会用量角器度量一个角的大小，并判断它是直角、锐角还是钝角。
3、认知互为余角，互为补角 ，能利用互余角互补角进行计算．
4、余角性质，补角性质 ，能利用余角性质、补角性质解决问题．
【重难点】1、互为余角，互为补角． 2、余角性质，补角性质．
【课前预习】
1、什么叫互为余角？余角的性质？ ．
2、什么叫互为补角？补角的性质？ ．
3、若，，则与_______;若，，则与_________;若，则与________;若，则与________;若，且，则与_______．
若，则与互为补角，对吗？
4、互为余角的两个角必是_________．
互为补角的两个角中能是两直角？两钝角？两锐角？
5、与互余，则＝________ ，与互补，则＝________．
【学习过程】
一、自主学习
1、角的度量单位之间的关系
把圆周分成360份，每一份是1度记作1°，1周角=360°；
把1度分成60份，每一份是1分记作1′，1°=60′；
把1分分成60份，每一份是1秒记作1″，1′=60″
2、角的分类：
（1）特殊的角：
用一副三角板可画出哪些角（不大于180°）：直接画：30°、45°、60°、90°；间接画：15°、75°、105°、120°、135°、150°、165°、180°
绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角；
绕着端点旋转到角的终边和始边再次重合，这时所成的角叫做周角。
（2）小于180°角可以分成：锐角、直角、钝角
例1 把18°15′化成用度表示的角。
解：
思考18°15′与18．15°是否相等 并说明理由。
例2 ∠α=37°50′∠β=52°10′
求 ∠α+∠β与 ∠β-∠α
3、认知互为余角，互为补角
若，则和互为余角，是的余角，是的余角．
若∠1＋∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角，∠1是∠2是补角，∠2是∠1的补角．
例3、如图，如果与互余, 与互余，那么与相等吗 为什么
解： 与相等．
∵与互余, 与互余，
∴，，(余角的定义)
∴．(等量代换)
想一想：如果与互补, 与互余，，那么与有怎样的关系 为什么 (理解例题的说理过程，说明的过程及理由．)
2、题组训练：
（1）已知，，则．
（2）若，则它的余角是_______，它的补角是________．
（3）若一个角有补角但没有余角这个角是__________．
（4）一个角的补角是它余角的3倍，则这个角是_____．
二、合作交流
补角性质与余角性质
例4、如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1＝∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
补角性质：同角或等角的补角相等． 余角性质：同角或等角的余角相等．
三、巩固练习
1、判断题
（1）一个锐角与一个钝角的和一定大于平角．　　　　　　　　　　　　　　　　 　( )
（2）一个角一定小于它的余角，也小于它的补角．　　　　　　　　　　　　　　　( )
（3）如果两个角互补，则它们的角平分线互相垂直．　　　　　　　　　　　　　　( )
（4）如两个角互补，则一个角为锐角，另一个为钝角．　　　　　　　　　　　　　( )
（5）互余的两个角的比是4：6，则这两个角分别是、　　　　　　　　　( )
（6）如果，，，那么互为补角．　　　( )
（7）用一副三角板的内角可画出大于且小于不同度数的角共有11种．　　　 ( )
2、填空题
（1）若，，则．
（2）若，，且，则．
（3）若，，则．
（4）若，∠1＋∠2＝180°，且，则．
3、已知一个角的补角和这个角的余角互补，求这个角的度数．
4、如图，　，图中有与互补的角吗
四、小结反思
这节课我学会了：
我的困惑：
五、当堂测试
1、计算:
(1)49°38′+66°22′; (2)180°-79°19′;
2、，则其余角为_______，补角为_______．
3、的补角是70°，则＝__________．
4、一个角的补角与它的余角的2倍的和是平角 ，则这个角是______．
5、一个锐角的补角与它的余角的差为________．
6、一个角的补角是这个角的余角的5倍，求这个角_______．
§9.4 对顶角
主备人：新泰羊流初级中学 郭玲
【教师寄语】善于珍惜时间的人就等于延长了生命．
【学习目标】1、理解对顶角的概念，能在图形中辨认；
2、掌握对顶角相等的性质和它的推证过程；
3、会用对顶角的性质进行有关的推理和计算．
【重难点】1、对顶角的正确判断．2、对顶角相等的应用，写出简单的证明过程．
【课前预习】
1、如果，则与是______．
2、已知，是的邻补角，则=_______．
3、如图，是的角平分线，
，则=_______．
4、与互为补角，与也互
为补角，则_______．
【学习过程】
一、自主学习
对顶角定义：
（1）指出的边和顶点．
（2）把，延长，得到，，
形成，观察这两个角，它们有什么特点？
（3）总结：
对顶角的定义： ．
于是我们在上图中可得到：∠ 与∠ 是对顶角，∠ 与∠ 是对顶角．
二、合作交流（对顶角相等）
1、操作：每个同学画一对对顶角，分别量出它们的度数．
猜想：下图中，= ，.（为什么？）
结论：如果两个角是对顶角，那么这两个角 ．简单的说： 相等．
如图，直线与相交于点，射线是角的平分线，已知，求，，，的度数．
三、巩固练习
1、说出下列图中的对顶角．
2、已知：直线与直线相交于， ，求，，各为多少度？
解：
四、小结反思
这节课我学会了：
我的困惑：
五、当堂测试
如图： ， ,那么,=____,=____，=_____，=___．
2、已知：直线、相交于点，平分，，求．
3、直、相交于点，，如果，那么等于多少度？
§9.5 垂直
主备人：新泰羊流初级中学 郭玲
【教师寄语】好问，是好的．但是如果自己不想，只随口问，即使能得到正确答复，也未必受到大益．所以学问二字，“问”放在“学”的后面．
【学习目标】1、通过画、折等活动，认识两条直线互相垂直及垂线的概念，掌握有关的符号表示．
2、会借助三角尺、量角器等画垂线，进一步丰富操作活动经验．
3、通过操作活动，探索有关垂直的一些性质，体会点到直线距离
【学习重点】1、垂直的定义；
2、通过动手画垂直的两条直线，探索有关垂直的一些性质．
【学习难点】垂线的画法．
【课前预习】
1、平面内的两条直线有哪几种位置关系？
2、收集有垂直的图案或物品．
【学习过程】
一、自主学习（垂直的定义）
1.（动手做一做）将一张长方形的纸对折，量一量折痕与纸边所成角的度数．
2.你能说一说什么叫垂直吗？
只要两条直线相交成 角，就说这两条直线互相垂直.其中一条直线是另一条直线的 ，它们的交点叫做 ．
如图，直线AB与直线CD相交成直角，
我们就说直线AB与直线CD互相 ，
直线AB是直线CD的 ，直线CD也是
直线AB的 ．交点O是 ．
3.垂直的表示
垂直用符号 表示，直线与直线互相垂直，记作 或 读作 ．如果垂足是，那么可记作： 或 ．在垂足处常打上直角标志“”以便运用和识别．如果用l、m表示这两条直线，那么直线l与m垂直，记作： ．
大家要注意：两条线段或射线垂直是指这两条线段或射线所在的直线垂直．
4.思考：互相垂直的两条直线形成的四个角都是直角，你是如何得出的？
二.合作交流
（一）垂线的画法
1、探索画垂线的方法：（1）利用三角尺作出两条互相垂直的直线．（2）用量角器画垂线．
（3）用方格纸画垂线，有几种画法？在这些方法中，你认为哪一种比较简单呢？
2.直线与点有哪几种位置关系？
在下图中过点A作l的垂线，你能作出多少条？
3、归纳操作要点
画这条直线的垂线的方法，分为三步：
一靠：即把三角尺的一条直角边靠在已知直线上．
二移：即移动三角尺使三角尺的另一条直角边经过已知点．
三画：即沿已知点所在的直角边画出直线．
通过画图，得出垂线的性质：在平面内，过一点(这一点可以在直线上，也可以在直线外)只能作一条直线与已知直线垂直．
（二）垂线段性质
如图，从P点出发向直线m所作的线段中哪一条最短？你怎么知道的？
从以上的两个活动中得出垂线的另一性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
（三）点到直线的距离
如下图，如何测量跳远成绩？请学生上来演示．
得出：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
三、巩固练习
1、找出图中互相垂直的线段．
2、判断
1）一条直线的垂线只能画一条．　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ）
2）两直线相交所构成的四个角相等，则这两直线互相垂直．　　　　　　（ ）
3）点到直线的垂线段就是点到直线的距离．　　　　　　　　　　　　　（ ）
4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．　　　　　　　　　　　　（ ）
３、如图，，且，则为（ ）．
A． B．
C． D．
４、如图，是的边上一点．
（1）过点画的垂线，交于点；（2）过点画的垂线，垂足为．
５、思考：要把水渠中的水引到村庄，(1)在渠岸的什么地方开沟，才能使水沟最短，画出图形，并说明道理.(2)若河另一侧有村庄，问怎样架桥，才能使到距离最近.
四、小结反思
这节课我学会了：
我的困惑：
五、当堂测试
1、点到直线的距离是指这点到这条直线的( )．
A.垂线段 B.垂线 C.垂线的长度 D.垂线段的长度
2、已知,且∶=2∶3，则的度数是( )．
A.30 ° B.150° C.30°或150° D.不能确定
3、如图中的与满足_____________条件时，能使．(只要添一个条件即可)
4、如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，则__________．
第2题
第3 题
第4题
第1题
第3题
第2题
第4题
图3
图4
图5
第1题
O
图3
第3 题
A
B
C
D
O
1
2
3
4
第2题
第1题
第2题
第1题
第3 题
m
第3题
第4 题
第5 题图
·D
·C
A
·
·
·
·
····
B
第3 题
第4 题