9.4 正方形的性质和判定 同步训练（含解析）

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初中数学苏科版八年级下册9.4
正方形的性质和判定
同步训练
一、单选题（本题共10题，每题3分，共30分）
1.以下命题中正确的是（?
）
A.?对角线相等的平行四边形是正方形??????????????????????
B.?对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C.?对角线相等且互相平分的四边形是正方形???????????D.?对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
2.如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（???
）
A.?4??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?1
3.边长分别为2和4的两个正方形按如图的样式摆放并连线，则图中阴影部分的面积为（??
）
A.?6???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?12
4.如图，正方形
的边长为
，
，
，连接
，则线段
的长为（??
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
5.如图，在正方形ABCD中，BD=2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于（　　）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?1.5??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?2.5
6.正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FC过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（
???）
A.?先变大后变小???????????????????????B.?先变小后变大???????????????????????C.?一直变大???????????????????????D.?保持不变
7.如图，正方形
和正方形
中，点D在
上，
，
，H是
的中点，那么
的长是（??
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
8.如图，在平面直角坐标系中有一边长为
的正方形
，边
，
分别在
?轴、
轴上，如果以对角线
为边作第二个正方形
，再以对角线
为边作第三个正方形
，照此规律作下去，则点
的坐标为（???
）
　
A.???????????B.???????????C.???????????D.?
9.在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点
与点B关于AE对称，
与AE交于点F，连接
，
，
下列结论：
；
为等腰直角三角形；
；
其中正确的是(??
)
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
10.如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F分别为BC、CD上的两点，BE＝CF，AE、BF分别交BD、AC于M、N两点，连OE、OF．下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③CE+CF＝BD；④S四边形OECF＝
S正方形ABCD
，
其中正确的是（
??????????）
A.?①②?????????????????????????????????B.?①④?????????????????????????????????C.?①②④?????????????????????????????????D.?①②③④
二、填空题（本题共8题，每题2分，共16分）
11.如图，正方形
的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且
，则四边形
的面积为________．
12.如图，两个正方形的边长分别为
、
，若
，
，则四边形
（阴影部分）的面积为________
13.如图，在正方形
中，直线
分别过
三点且
,若
与
的距离为
，
与
的距离为
，则正方形
的边长是________．
14.如图，正方形ABCD的边长为10cm，E是AB上一点，BE=4cm，P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是________cm.
15.如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，若PE=1，PF=3，则AP=________?。
16.如图，矩形纸片
中，已知
，
，点
在
边上，沿
折叠纸片，使点
落在点
处，连结
，当
为直角三角形时，
的长为________.
17.四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为2的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝4
EF，则正方形ABCD的面积为________
18.如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC
，
AE交CD于点F
，
CE⊥AE
，
垂足为点E
，
EG⊥CD
，
垂足为点G
，
点H在边BC上，BH＝DF
，
连接AH、FH
，
FH与AC交于点M
，
以下结论：①FH＝2BH；②AC⊥FH；③S△ACF＝1；④CE＝
AF；⑤EG2＝FG?DG
，
其中正确结论的有________（只填序号）．
三、解答题（本题共7题，共84分）
19.如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），
，且
.求证：四边形ABCD是正方形.
20.正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为b和a将它们如图所示放置，求图中阴影部分的面积．
21.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OG＝OE.
22.如图，边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P不与A、C重合），连结BP，过点B作
且使得
，连结QP交BC于点E，延长QP与直线AD交于点F.
（1）
面积的最小值为________；
（2）连结CQ，求证：
；
（3）猜想PF与EQ的数量关系，并说明理由.
23.如图（1），正方形
的对角线
相交于点
是
上一点，连接
过点A作
垂足为
与
相交于点F.
（1）直接写出
与
的数量关系；
（2）如图（2）若点E在
的延长线上，
于点
交
的延长线于点F,其他条件不变.试探究
与
的数量关系，并说明理由.
24.如图①，
的顶点P在正方形
两条对角线的交点处，
，将
绕点P旋转，旋转过程中
的两边分别与正方形
的边
和
交于点E和点F（点F与点C、D不重合）.
（1）如图①，当
时，
、
、
之间满足的数量关系是________；
（2）如图②，将图①中的正方形
改为
的菱形，其他条件不变，当
时，（1）中的结论变为
，并给出证明过程；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中
的边
与边
的延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，
、
、
之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明.
25.如图1，点E是正方形ABCD边AB上任意一点，以BE为边作正方形BEFG
，
连接DF
，
点M
，
N分别是线段AE、DF中点，连接MN
．
（1）请猜想MN与AE的关系，并证明你的结论；
（2）把图1中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转
，此时点E、G恰好分别落在线段BC、AB上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故不符合题意；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故不符合题意；
D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，符合题意，
故答案为：D．
2.【答案】
C
解：连接AC，如下图所示：
∵正方形ABCD的面积为8
∴AD=
∴在Rt△ACD中，由勾股定理知：
，
∵菱形AECF的面积为4，
∴
×EF×AC=4，代入AC=4，
故求得EF=2.
故答案选：C．
3.【答案】
B
解：如图，
∵BC=4，CE=2，
∴BE=2，
∴BE=
BC，
∵边长分别为2和4的两个正方形按如图的样式摆放并连线，
∴ER//CQ，
∴ER为△BCQ的中位线，
∴ER=
CQ=1，
∴S阴影=S△ABQ-S△BER=
AB·BC-
BE·ER=
×4×4-
×2×1=7，
故答案为：B.
4.【答案】
B
解：如图，延长
交
于点
，
，
，
，
，
和
是直角三角形，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
同理可得
，
在
中，
，
故答案为：B.
5.【答案】
A
CG⊥BD于G，
∵CF是∠DCE的平分线，
∴∠FCE=45°，
∵∠DBC=45°，
∴CF∥BD，
∴CG等于△PBD的高，
∵BD=2，
∴CG=1，
△PBD的面积等于=1．
故答案为：A．
6.【答案】
D
解：连接DE，
∵S△CDE=S四边形CEGF，S△CDE=S正方形ABCD
，
∴S四边形CEGF=S正方形ABCD
，
故答案为：D.
7.【答案】
B
解：如图，连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，AC＝
BC＝2
，CF＝
CE＝6
，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
所以，∠ACF＝45°+45°＝90°，
所以，△ACF是直角三角形，
由勾股定理得，AF＝
＝4
，
∵H是AF的中点，
∴CH＝
AF＝
×4
＝2
.
故答案为：B.
8.【答案】
D
解：
∵正方形OABC边长为1，
∴OB=，
∴OB1=2，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知B2点坐标为（-2，2），B3点坐标为（-4，0），
B4点坐标为（-4，-4），B5点坐标为（0，-8），
B6点坐标为（8，-8），B7点坐标为（16，0）
B8点坐标为（16，16），B9点坐标为（0，32），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∵2020÷8=252…4，
∴B2020的纵横坐标符号与点B4的相同，纵横坐标都是负值，
∴B2012的坐标为（-21010，
-21010）．
故答案为：D.
9.【答案】
B
解：
点
与点B关于AE对称，
与
关于AE对称，
，
，
故
正确；
如图，连接
.
则
，
，
.
则
，
即
为直角三角形.
为
的中位线，
，
∽
，
，
即
，
故FB
.
.
为等腰直角三角形.
故
正确.
设
度，
度，
则在四边形
中，
，
即
度.
又
，
.
故
正确.
假设
成立，
则
，
，
为等边三角形，
故B
，与
矛盾，
故
错误.
故答案为：B.
10.【答案】
C
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
在△ABE和△BCF中，
∵
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，
故①符合题意；
②由①知：△ABE≌△BCF，
∴∠FBC=∠BAE，
∴∠FBC+∠ABF=∠BAE+∠ABF=90°，
∴AE⊥BF，
故②符合题意；
③∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=
BC，
∴CE+CF=CE+BE=
=
BC，
故③不符合题意；
④∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，
在△OBE和△OCF中，
∵
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴S△OBE=S△OCF
，
∴S四边形OECF=S△COE+S△OCF=S△COE+S△OBE=S△OBC=
S正方形ABCD
，
故④符合题意；
故答案为：C．
二、填空题
11.【答案】
1
解：∵四边形ABD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴△AOE的面积＝△BOF的面积，
∴四边形AFOE的面积＝
正方形ABCD的面积＝
×22＝1；
故答案为：1．
12.【答案】
20
解：如图，
由题意得：
S四边形ABCD(阴影部分)=a2+b2-S△ADE-S△ABF
=a2+b2-
a2-
=
=
=
=20，
故答案为：20.
13.【答案】
解：过点B作
于E，
于F
∵ABCD为正方形
∴AB=BC，
∴
∴
∵
∴
∴AE=BF=5
∵BE=3
∴
故答案为：
．
14.【答案】
解：这是一个”将军饮马“类型的两条线段之和的最小值问题，可作点E关于AC的对称点F，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值.
如图，在AD取一点F，使AF=AE，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值，
在Rt△ABF中，AB=10，AF=AE=10-4=6，由勾股定理得：
.
故答案为
.
15.【答案】
图，延长FP、EP交AB、AD于M、N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠PBE=∠PDF=45°，∴BE=PE=PM=1，PN=FD=FP=3，则?.
16.【答案】
3或
解：分两种情况：①当∠EFC=90°，如图1，
∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，
∴点A、F、C共线，
∵矩形ABCD的边AD=4，
∴BC=AD=4，
在Rt△ABC中，AC=
设BE=x，则CE=BC-BE=4-x，
由翻折的性质得AF=AB=3,EF=BE=x，∴CF=AC-AF=5-3=2
在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2
，
即x2+22=(4-x)2
，
解得x=
；
②当∠CEF=90°，如图2
由翻折的性质可知∠AEB=∠AEF=45°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE=AB=3，
故BE的长为3或
.
故答案为：3或
.
17.【答案】
98
解：如图，
设AM=2a.BM=b.则正方形ABCD的面积=4a2+b2
由题意可知EF=（2a-b）-2（a-b）=2a-b-2a+2b=b，
∵AM=
EF，
∴2a=
b，
∴a=?
b，
∵正方形EFGH的面积为2，
∴b2=2，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=49b2=98.
故答案为：98.
18.【答案】
①②④⑤
解：①②∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD
，
∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，∵AE平分∠DAC
，
∴∠FAD=∠CAF=22.5°，∵BH=DF
，
∴△ABH≌△ADF
，
∴AH=AF
，
∠BAH=?FAD=22.5°，∴∠HAC=∠FAC
，
∴HM=FM
，
AC⊥FH
，
∵AE平分∠DAC
，
∴DF=FM
，
∴FH=2DF=2BH
，
故答案为：项①②正确；
③在Rt△FMC中，∠FCM=45°，∴△FMC是等腰直角三角形，∵正方形的边长为2，∴AC=
，MC=DF=
﹣2，∴FC=2﹣DF=2﹣（
﹣2）=4﹣
，S△AFC=
CF?AD≠1，所以选项③错误；
④AF=
=
=
，∵△ADF∽△CEF
，
∴
，∴
，∴CE=
，∴CE=
AF
，
故答案为：项④正确；
⑤在Rt△FEC中，EG⊥FC
，
∴
=FG?CG
，
cos∠FCE=
，∴CG=
=
=1，∴DG=CG
，
∴
=FG?DG
，
故答案为：项⑤正确；
本题正确的结论有4个，
故答案为：①②④⑤.
三、解答题
19.【答案】
证明：如图，作
于点M，
∵四边形
是矩形，∴
，∴
，
∴
，
，∠ABC=90°
∵
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，∴
∴矩形
是正方形.
20.【答案】
解：由题意得：
?
?
21.【答案】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OC=OD，
∴∠DOG=∠EOC=90°，∠OCE+∠CED=90°
∵DF⊥CE，
∴∠EDF+∠CED=90°
∴∠EDF=∠OEC
∴△DOG≌△COE（ASA）
∴OE=OG
22.【答案】解：（1）连接BD交AC于O，
∵
，
，
∴△BPQ为等腰直角三角形，
∴当BP最短即BP⊥AC，△BPQ的面积最小，此时P为AC的中点O，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴BD=
AB=2
，
∴BO=
，即BP=
，
∴△BPQ的最小面积为
=1，
故答案为：1；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵BP⊥BQ，
∴∠CBQ+∠PBC=90°，
∴∠ABP=∠CBQ，又BP=BQ，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴CQ=AP
（3）解：PF=EQ，理由为：
作PM⊥AB，PN⊥AD，GQ⊥BC，垂足分别为M、N、G，则∠PNF=∠QGE=90°，
在正方形ABCD中，AC平分∠DAB，AD∥BC，
∴PN=PM，∠NFP=∠GEQ，
∵△ABP≌△CBQ，
∴PM=QG，
∴PN=QG，
在△NFP和△GEQ中，
，
∴△NFP≌△GEQ（AAS），
∴PF=EQ.
23.【答案】
（1）
（2）解：OE=OF；证明如下：
∵四边形
为正方形，对角线AC、BD相交于点
，
，
∴
∴
于点
，
，
在
和
中
∴OE=OF.
解：（1）
；
∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=OD，OA⊥OD，
∵AM⊥DE，
∴∠EAM+∠AEM=∠EDO+∠AEM=90°，
∴∠EAM=∠EDO，
在△FAO和△EDO中，
，
∴△FAO≌△EDO，
∴OE=OF.
24.【答案】
（1）
（2）解：如图②，取AD的中点M，连接PM，
∵四边形ABCD为∠ADC＝120°的菱形，
∴BD＝AD，∠DAP＝30°，∠ADP＝∠CDP＝60°，
∴△MDP是等边三角形，
∴PM＝PD，∠PME＝∠PDF＝60°，
∵∠PAM＝30°，
∴∠MPD＝60°，
∵∠QPN＝60°，
∴∠MPE＝∠FPD，
在△MPE和△DPF中
，
∴△MPE≌△DPF（ASA）
∴ME＝DF，
∴DE＋DF＝
AD；
（3）解：如图③，
当点E落在AD的延长线上时，取AD的中点M，连接PM，
∵四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°，
∴AD＝CD，∠DAP＝30°，AC⊥BD，
∴∠ADP＝∠CDP＝60°，
∵AM＝MD，
∴PM＝MD，
∴△MDP是等边三角形，
∴∠PME＝∠MPD＝60°，PM＝PD，
∵∠QPN＝60°，
∴∠MPE＝∠FPD，
在△MPE和△DPF中
，
∴△MPE≌△DPF（ASA），
∴ME＝DF，
∴DF?DE＝ME?DE＝DM＝
AD.
解：（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，
∴PA＝PD，∠PAE＝∠PDF＝45°，
∵∠APE＋∠EPD＝∠DPF＋∠EPD＝90°，
∴∠APE＝∠DPF，
在△APE和△DPF中
，
∴△APE≌△DPF（ASA），
∴AE＝DF，
∴DE＋DF＝AD；
25.【答案】
（1）解：MN与AE的关系：MN⊥AE，MN=
AE．
证明：连接EN，并延长交AD于H．
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴EF//BG，AD//BC，EF=BE，AD=AB，
∴AD//EF，
∴∠HDN=∠EFN．
∵N是DF的中点，
∴DN=NF，
在△DHN和△FEN中，
，
∴△DHN≌△FEN，
∴HD=EF，
∴HD=BE，
∴AH=AE，
∵M是AE的中点，N是DF的中点，
∴MN是△AHE的中位线，
∴MN//AD，MN=
AD，
∵AD⊥AB，
∴MN⊥AB，
∴MN⊥AE，MN=
AE
（2）解：成立．
证明：如图，连接AN，BF，NE，GN，取AG中点H，连接NH．
∵H是AG中点，N是DF中点，
∴NH//AD．
∵AD⊥AB，
∴NH⊥AG，
在△ANH和△GNH中，
，
∴△ANH≌△GNH，
∴AN=GN，
∠ANH=GNH．
∵∠GBF=45°，
∠GBD=45°，
∴B，F，D共线，
∵∠BFG=∠BFE=45°，
∴∠GFN=∠EFN=135°，
在△GNF和△ENF中，
，
∴△GNF≌△ENF，
∴EN=GN，
∠GNF=∠ENF，
∵∠GHN=∠HGF=90°，
∠GFN=135°，
∴∠HNF=360°-90°-90°-135°=45°，
∴∠ANE=90°，
∵EN=GN，
AN=GN，
∴AN=EN，
∴△ANE是等腰直角三角形，
∵M是AE中点，
∴MN⊥AE，MN=
AE
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精品试卷·第
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