9.5 三角形的中位线 同步训练（含解析）

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初中数学苏科版八年级下册9.5
三角形的中位线
同步训练
一、单选题（本题共10题，每题3分，共30分）
1.Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为(????
)
A.?10cm????????????????????????????????????B.?3cm????????????????????????????????????C.?4cm????????????????????????????????????D.?5cm
2.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（
??）
A.?20?????????????????????????????????????????B.?15?????????????????????????????????????????C.?10?????????????????????????????????????????D.?5
3.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D
，
E分别是边AB
，
BC的中点，AD与CE交于点F
，
则△DEF与△ACF的面积之比是（???
）
A.?1：2????????????????????????????????????B.?1：3????????????????????????????????????C.?2：3????????????????????????????????????D.?1：4
4.如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（??
）
A.?32??????????????????????????????????????????B.?16??????????????????????????????????????????C.?8??????????????????????????????????????????D.?4
5.如图，在平行四边形ABCD中，已知
分别是线段OD,OA的中点，则EF的长为（??
）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?8
6.如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，E，F分别为AB，AD的中点，BC＝2，CD＝
，则EF的长为（??
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
7.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，则应添加的条件是(???
)
A.?AB//CD?????????????????????????????B.?AC⊥BD?????????????????????????????C.?AC=BD?????????????????????????????D.?AD=BC
8.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将
BCE沿BE翻折至
BFE，连接DF，则DF的长度是（??
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
9.矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连结AF，取AF的中点H，连结GH，若BC=EF=4，CD=CE=2，则GH=(
???)
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
10.如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有（??
）
A.?3个?????????????????????????????????????B.?4n个?????????????????????????????????????C.?3n个?????????????????????????????????????D.?3n个
二、填空题（本题共8题，每题2分，共16分）
11.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是BO、BC的中点，若AB=5，BC=12，则EF=________；
12.如图，在△ABC中，点D在BC上，BD=AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN。若AB=5，BC=8，则MN=________。
13.如图所示，
为
的中位线，点F在
上，且
，若
则
的长为________.
14.如图，
ABC中，AB＝AC=4，以AC为斜边作Rt
ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝30°，E、F分别是BC、AC的中点，则ED＝________.
15.如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为________.
16.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC
，
∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB
，
AC、BD的中点，若BC＝8，则△PMN的周长是________．
17.如图，△ABC的周长为26，点D、?E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P.若BC=10，则PQ的长是________.
18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE长度的取值范围是________.
三、解答题（本题共10题，共84分）
19.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D
，
E
，
F分别为AB
，
AC
，
BC的中点.求证：CD＝EF
．
20.如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．
21.已知：如图，在四边形
中，
，
为对角线
的中点，
为
的中点，
为
的中点.求证：
22.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE、BF交于点M，连接CF、DE交于点N，连接MN.试探讨MN与AD的大小关系和位置关系，并加以证明.
23.如图，D是△ABC内一点，连接DB、DC、DA
，
并将AB、DB、DC、AC的中点E、H、G、F依次连接，得到四边形EHGF
．
（1）求证：四边形EHGF是平行四边形；
（2）若BD⊥CD
，
AD＝7，BD＝8，CD＝6，求四边形EHGF的周长．
24.已知：四边形ABCD，E，F，G，H是各边的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）假如四边形ABCD是一个矩形，猜想四边形EFGH是什么图形？并证明你的猜想。
25.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.
（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长.
26.如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G.
（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长.
27.如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，点F是CB的中点，过点F作FE∥AC交AB于点E点D是CA延长线上的一点，且AD=
AC，连接DE、AF
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）若四边ADEF的周长是24cm，BC的长为6cm，求四边形ADEF的面积.
28.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°
（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE、CE.若AB＝4，求线段EC的长
（2）如图2，M为线段AC上一点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC、DM，Q为线段NC的中点，连接DQ、MQ，判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论
（3）在(2)的条件下，若AC＝
，请你直接写出DM＋CN的最小值
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
解：∵Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边=
=10cm，
∴连接这两条直角边中点的线段长为
×10=5cm.
故答案为：D.
2.【答案】
C
解：∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE=
AC，同理
EF=
BC，DF=
AB，∴C△DEF=DE+EF+DF=
（AC+BC+AB）=
×20=10．
故答案为：C．
3.【答案】
D
解：∵点D
，
E分别是边AB
，
BC的中点，
∴DE∥AC
，
DE＝
AC
，
∴△FDE∽△FAC
，
∴S△DEF：S△ACF＝（DE：AC）2＝1：4．
故答案为：D
．
4.【答案】
C
解：∵AD＝AC
∴
是等腰三角形
∵AE⊥CD
∴
∴E是CD的中点
∵F是BC的中点
∴EF是△BCD的中位线
∴
故答案为：C.
5.【答案】
B
解：∵在平行四边形ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝20，BD＝12，
∴AO＝CO＝10，BO＝DO＝6，
故AD＝
＝
＝8，
∵E、F分别是线段OD、OA的中点，
∴EF是△ADO的中位线，
∴EF∥AD，EF＝
AD，
则EF的长为：4.
故答案为：B.
6.【答案】
D
解：连接BD，
∵BC＝2，CD＝
，∠C＝90°，
∴BD＝
＝
，
∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴BD＝
EF＝
，
故答案为：D．
7.【答案】
B
解：∵E、F、G、H是四边形各边中点，
∴易得四边形EFGH是平行四边形，
当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．
故答案选B．
8.【答案】
D
解：如图，连接CF，交BE于H，
∵在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，
∴BC＝CD＝4，CE＝DE＝2，∠BCD＝90°，
∴BE＝
，
∵将△BCE沿BE翻折至△BFE，
∴CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，
∵S△BCE＝
×BE×CH＝
×BC×CE，
∴CH＝
，
∴EH=
，
∵CE＝DE，FH＝CH，
∴DF＝2EH＝
，
故答案为：D.
9.【答案】
C
解：解法一：以C点为原点建立直角坐标系，CE为x正半轴，CG为y正半轴，
则A（-4,2），F（2,4），G（0,4）；
∵H为AF的中点，则xH=,
yH=?
则H的坐标为（1，3），
∴.
解法二：作HL⊥FE，HM⊥BE，DN⊥FE，
?,
，
?.
故答案为：C.
?
10.【答案】
D
解：图（1）中，?A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点?，
∴?A1B1∥AB?，B1C1?∥BC，A1C1?∥AC，，
∴四边形AC1A1B1C1?，A1B1C1B，
A1CB1C1是平行四边形，共有3=3×1个；
图（2）中，同理可得AC1A1B1C1?，A1B1C1B，
A1CB1C1
，
A1C2B2C1分?A2B2
A1C2分
A2B2C2B1是平行四边形，共有6=2×3个；
···，依次规律，可得第n个图形中平行四边形的个数为3n个.
故答案为：D.
二、填空题
11.【答案】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OC=
AC，AD=BC=12，
∴AC=
=13，
∴OC=
，
∵点E、F分别是BO、BC的中点，
∴EF是△BOC的中位线，
∴EF=
OC=
，
故答案为：
.
12.【答案】
1.5
解：∵BD⊥AB，BM⊥AD于点M
∴AM=DM
∵N为AC的中点
∴AN=CN
∴MN为三角形ACD的中位线
∴MN=DC
∵AB=5，BC=8
∴DC=3
∴MN=
13.【答案】
3
解：∵
为
的中位线，
∴DE=
，点D为AB的中点
∵
∴DF=
∴EF=DE－DF=3
故答案为：3.
14.【答案】
解：∵E、F分别是BC、AC的中点，∠CAD=∠CAB=30°，∠ADC＝90°，
∴EF是△ABC的中位线，CD=
AC，
∴EF=
AB，∠EFC=∠CAB=30°.
∵AB=AC，△ACD是直角三角形，点F是斜边AC的中点，
∴EF=DF=CF=CD=2，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠DFC=60°，
∴∠DFC+∠EFC
=60°+30°=90°，
∴△EFD为等腰直角三角形，
∴DE=
，
故答案为
.
15.【答案】
12
解：如图，延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA），
∴AD＝AB＝8，BN＝ND，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴DC＝2MN＝4，
∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，
故答案为：12.
16.【答案】
12
解：∵P、N是AB和BD的中点，
∴PN=
AD=
×8=4，PN∥AD，
∴∠NPB=∠DAB=50°，
同理，PM=4，∠MPA=∠CBA=70°，
∴PM=PN=4，∠MPN=180°-50°-70°=60°，
∴△PMN是等边三角形．
∴MN=PM=PN=4，
∴△PMN的周长是12，
故答案为：12．
17.【答案】
3
解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点Q是AE中点，点P是AD中点，
∴PQ是△ADE的中位线.
∵BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16，
∴DE=BE+CD-BC=6，
∴PQ=DE=3.
故答案为C.
18.【答案】
解：作CH⊥AB于H，连接CM，
在Rt△ABC中，AB
5，
S△ABC
AC×BC
AB×CH，即
3×4
5×CH，
解得：CH
，
∵点D、E分别为CN、MN的中点，
∴DE是△MNC的中位线，
∴DE
CM，
当CM⊥AB时，CM最小，最小值为
，
当点M与点B重合时，CM最大，最大值为4，
∴
.
故答案为：
.
三、解答题
19.【答案】
解：根据直角三角形斜边中中线等于斜边的一半可得
，再根据中位线定理可得
，从而可以得到
20.【答案】
解：在△AGF和△ACF中，
，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG=AC=6，GF=CF，
则BG=AB﹣AG=8﹣6=2．
又∵BE=CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF=
BG=1．
21.【答案】
证明：∵
是
中点，
是
中点，
∴
是
的中位线，
∴
，
∵
是
中点，
是
中点，
∴
是
的中位线，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
是等腰三角形，
∴
.
22.【答案】
MN=
AD，MN∥AD；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AB，∴EF∥CD
∴四边形ABEF、四边形EFDC均是平行四边形，
∴AM=EM，FN=CN，
∴MN是△AED的中位线，
∴MN=
AD，MN∥AD.
23.【答案】
（1）证明：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF＝
BC．
∵H、G分别是DB、DC的中点，
∴HG∥BC，HG＝
BC．
∴HG＝EF，HG∥EF．
∴四边形EHGF是平行四边形
（2）解：∵BD⊥CD，BD＝8，CD＝6，
∴BC＝
＝
＝10，
∵E、F、H、G分别是AB、AC、BD、CD的中点，
∴EH＝FG＝
AD＝3.5，
EF＝GH＝
BC＝5，
∴四边形EHGF的周长＝EH＋GH＋FG＋EF＝17
24.【答案】
（1）∵E，F，G，H是各边的中点，
∴EF∥AC∥HG，HE∥BD∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形；???????????
（2）四边形ABCD是一个矩形，四边形EFGH是菱形；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴EF＝
AC＝
＝EH，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．?????????????????
25.【答案】
（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，且MN=
AD，在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM=
AC，又∵AC=AD，∴MN=BM；
（2）解：∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=
AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°.∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴
，而由（1）知，MN=BM=
AC=
×2=1，∴BN=
.
26.【答案】
（1）解：四边形DEFG是平行四边形，
理由如下：∵E、F分别为线段OB、OC的中点，
∴EF=
BC，EF∥BC，
同理DG=
BC，DG∥BC，
∴EF=DG，EF∥DG，
∴四边形DEFG是平行四边形
（2）解：∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=2，
∴EF=2OM=4，
∴BC=2EF=8.
27.【答案】
（1）证明：∵点F是CB的中点，过点F作FE∥AC，
∴BE=AE，
∴EF=
AC，
∵AD=
AC，
∴EF=AD，
∵EF∥AD，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ADEF的周长是24cm，
∴AD+AF=12，
∴AF=12-AD，
∵AC=2AD，CF=
BC=3，
∴AC2+CF2=AF2
，
即（2AD）2+9=（12-AD）2
，
∴AD=
-4，
∴四边形ADEF的面积=AD?CF=3
-12.
28.【答案】
（1）解：如图1,连接BD,则BD平分∠ABC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∴∠A+∠ABC=180?,
∵∠A=60?,
∴∠ABC=120?,
∴?ABD是等边三角形,
∴BD=AD=4，
∵E是AB的中点,
由勾股定理得:DE=2
,
∵DC∥AB,
∴∠EDC=∠DEA=90?,
在Rt?DEC中,
EC=2
（2）解：如图2,延长CD至H,使CD=DH,连接NH、AH,
∵AD=CD,
∴AD=DH,
∵CD∥AB,
∴∠HDA=∠BAD=60?,
∴?ADH是等边三角形,
∴AH=AD,
∠HAD=60?,
∵?AMN是等边三角形,
∴AM=AN,
∠NAM=60?,
∴∠HAN=∠DAM,
∴?ANH≌?AMD,
∴HN=DM,
∵D是CH的中点,Q是NC的中点,
∴DQ是?CHN的中位线,
∴HN=2DQ,
∴DM=2DQ
（3）解：如图2，由（2）知，HN=DM，
∴要CN+DM最小，便是CN+HN最小，
即：点C，H，N在同一条线上时，CN+DM最小，
此时，点D和点Q重合，
即：CN+DM的最小值为CH，
如图3，
由（2）知，△ADH是等边三角形，
∴∠H=60°.
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACD=
∠BCD=
∠BAD=30°，
∴∠CAH=180°-30°-60°=90°，
在Rt△ACH中，CH=
=2，
∴DM+CN的最小值为2
?
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精品试卷·第
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