15.3分解因式
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(共26张PPT)
分 解 因 式
九年义务教育八年级 数学
问题1：计算:
2.3×12+1.9×12+1.8×12=12×（2.3+1.9+1.8）
=12×6
=72
想一想：简便运算的依据是什么？
2.3×12+1.9×12+1.8×12=？
简便运算怎样进行？
乘法分配律逆用
问题2：
在一个边长为6.6米的正方形空地的中央修建一个边长为3.6米的正方形花坛，其余的地方种草坪．问草坪的面积有多大？
你能快速、简便地求出结果吗？
6.6m
3.6m
小亮是这样做的：
想一想：
（1）小亮将
进行了怎样的变形？
（2）你能说出变形的依据吗？
将 化成了(6.6+3.6)与(6.6-3.6)的积的形式.
逆用平方差公式(乘法公式)
(2)993-99能被100整除吗
你是怎样想的 与同伴交流.
问题3：
(1)993-99能被99整除吗 你是怎样想的 与同伴交流.
993-99=99×992-99 =99(992-1) ∴993-99能被99整除
小
明
是
这
样
想
的:
想一想:
（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？
（2）请你说明小明每一步的依据。
（3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，
你该怎样做？与同学交流。
想一想：
993- 99 = 99 × （99+1） × （99-1）
23×12+19×12+18×12=12×（23+19+18）
把一个数式化成了几个数的积的形式。
在解决以上三个问题时都将式子进行了
怎样的变形
×
合作探究
将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗
可以了解: 可以被98、99、100三个连续
整数整除.
①你能理解吗 你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？
②这样变形是为了达到什么样的目的
类似数式:
有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式
即：多项式=整式1 ×整式2 ×整式3 × …
例如: x2+x =
x(x+1)
(x+1)(x-1)
x2 -1=
怎么得到的？
因为：x(x+1)=x2+x
所以：x2+x = x(x+1)
因为：(x-1)(x+1)=x2-1
所以：x2-1 = (x-1)(x+1)
做一做
(1) 3x(x-1) =
(2) m(a+b+c)=
(3) (m+4)(m-4) =
(4) (y-3)2 =
(5) a(a+1)(a-1)=
3x2-3x
ma+mb+mc
m2-16
y2-6y+9
a3-a
第一组:
根据上面的算式填空:
(1) 3x2-3x = ( )( )
(2) ma+mb+mc= ( )( )
(3) m2-16 = ( )( )
(4) y2-6y+9 = ( )2
(5) a3-a = ( )( )( )
x-1
3x
m-4
a+1
a
y-3
m+4
m
a+b+c
a-1
第二组:
老师点拨：像上面第二组变形这样，
叫做把一个多项式分解因式.
你能试着说说什么是分解因式吗
第二组:
(1) 3x2-3x = 3x(x-1)
(2) ma+mb+mc= m(a+b+c)
(3) m2-16 = (m+4)(m-4)
(4) y2-6y+9 = (y-3)2
(5) a3-a = a(a+1)(a-1)
观察与思考:
这五个等式的左边都是 式,右边都是几个 式的 的形式.
多项式
整
积
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。
分解因式与整式乘法是互逆过程
分解因式与整式乘法的关系是怎样呢？
分解因式与整式乘法的关系
想一想
如果把整式乘法看作是一个变形过程，那么多项式
的分解因式就是它的逆过程;如果把多项式的分解因
式看作是一个变形过程，那么整式乘法又是分解因
式的逆过程.因此，多项式的分解因式与整式乘法互
为逆过程。
观察与辨别
a2+2ab+b2=(a+b)2，
a2-9=(a-3)(a+3)，
2πR+2πr= 2π(R+r)，
a3-a=a(a+1)（a-1）.
是分解因式
2x(x-3y)=2x2-6xy， (a-3)(a+3)=a2-9, 5ma2=5·a2·m， ,
不是分解因式
1
3)
x(x
1
3x
2
x
+
-
=
+
-
把一个多项式化成几个整式的积的形式
叫做把这个多项式分解因式。
1.分解因式的对象必须是多项式；
2.分解因式的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3.分解因式与整式乘法互为逆过程.
下列各式中由等号的左边到右边的变形是因式
分解的在括号里打“√”,不是的打“×”, ：
1. (x＋3)(x－3)＝x2－9 ( )
2. x2＋x－5＝(x－2)(x＋3)＋1 ( )
3. x2＋1＝x( x＋ ）
4. a2b + ab2= ab(a+b)
5. a2+2ab+b2 = (a+b)2
（ ）
（ ）
1
x
（ ）
√
√
×
×
×
1.下列等式从左到右的变形是分解因式的
是 ( )
A. 6a2b=3a· 2ab
B. (x+2)(x-2)=x2-4
C. 2x2-4x-l=2x(x-2)-1
D. 2ab-2ac= 2a(b-c)
D
随堂练习
理解概念
2.判断下列各式哪些是整式乘法
哪些是分解因式
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1
(4).x2+4x+4=(x+2)2
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
(6).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)
分解因式
整式乘法
整式乘法
分解因式
整式乘法
分解因式
请你解决
能被n+1整除吗
通过本节课学习，你的收获与体会？
谈谈你的收获
本节学习的数学知识是：
(1)分解因式的概念;
(2)分解因式与整式乘法
的关系；
（3）分解因式的简单
应用。
本节学习的数学方法是
(1)类比的数学方法;
(2)逆向思维的数学方法.
作业
P45-46 习题2.1 1、2、3、4
分 解 因 式
九年义务教育八年级 数学
问题1：计算:
2.3×12+1.9×12+1.8×12=12×（2.3+1.9+1.8）
=12×6
=72
想一想：简便运算的依据是什么？
2.3×12+1.9×12+1.8×12=？
简便运算怎样进行？
乘法分配律逆用
问题2：
在一个边长为6.6米的正方形空地的中央修建一个边长为3.6米的正方形花坛，其余的地方种草坪．问草坪的面积有多大？
你能快速、简便地求出结果吗？
6.6m
3.6m
小亮是这样做的：
想一想：
（1）小亮将
进行了怎样的变形？
（2）你能说出变形的依据吗？
将 化成了(6.6+3.6)与(6.6-3.6)的积的形式.
逆用平方差公式(乘法公式)
(2)993-99能被100整除吗
你是怎样想的 与同伴交流.
问题3：
(1)993-99能被99整除吗 你是怎样想的 与同伴交流.
993-99=99×992-99 =99(992-1) ∴993-99能被99整除
小
明
是
这
样
想
的:
想一想:
（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？
（2）请你说明小明每一步的依据。
（3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，
你该怎样做？与同学交流。
想一想：
993- 99 = 99 × （99+1） × （99-1）
23×12+19×12+18×12=12×（23+19+18）
把一个数式化成了几个数的积的形式。
在解决以上三个问题时都将式子进行了
怎样的变形
×
合作探究
将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗
可以了解: 可以被98、99、100三个连续
整数整除.
①你能理解吗 你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？
②这样变形是为了达到什么样的目的
类似数式:
有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式
即：多项式=整式1 ×整式2 ×整式3 × …
例如: x2+x =
x(x+1)
(x+1)(x-1)
x2 -1=
怎么得到的？
因为：x(x+1)=x2+x
所以：x2+x = x(x+1)
因为：(x-1)(x+1)=x2-1
所以：x2-1 = (x-1)(x+1)
做一做
(1) 3x(x-1) =
(2) m(a+b+c)=
(3) (m+4)(m-4) =
(4) (y-3)2 =
(5) a(a+1)(a-1)=
3x2-3x
ma+mb+mc
m2-16
y2-6y+9
a3-a
第一组:
根据上面的算式填空:
(1) 3x2-3x = ( )( )
(2) ma+mb+mc= ( )( )
(3) m2-16 = ( )( )
(4) y2-6y+9 = ( )2
(5) a3-a = ( )( )( )
x-1
3x
m-4
a+1
a
y-3
m+4
m
a+b+c
a-1
第二组:
老师点拨：像上面第二组变形这样，
叫做把一个多项式分解因式.
你能试着说说什么是分解因式吗
第二组:
(1) 3x2-3x = 3x(x-1)
(2) ma+mb+mc= m(a+b+c)
(3) m2-16 = (m+4)(m-4)
(4) y2-6y+9 = (y-3)2
(5) a3-a = a(a+1)(a-1)
观察与思考:
这五个等式的左边都是 式,右边都是几个 式的 的形式.
多项式
整
积
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。
分解因式与整式乘法是互逆过程
分解因式与整式乘法的关系是怎样呢？
分解因式与整式乘法的关系
想一想
如果把整式乘法看作是一个变形过程，那么多项式
的分解因式就是它的逆过程;如果把多项式的分解因
式看作是一个变形过程，那么整式乘法又是分解因
式的逆过程.因此，多项式的分解因式与整式乘法互
为逆过程。
观察与辨别
a2+2ab+b2=(a+b)2，
a2-9=(a-3)(a+3)，
2πR+2πr= 2π(R+r)，
a3-a=a(a+1)（a-1）.
是分解因式
2x(x-3y)=2x2-6xy， (a-3)(a+3)=a2-9, 5ma2=5·a2·m， ,
不是分解因式
1
3)
x(x
1
3x
2
x
+
-
=
+
-
把一个多项式化成几个整式的积的形式
叫做把这个多项式分解因式。
1.分解因式的对象必须是多项式；
2.分解因式的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3.分解因式与整式乘法互为逆过程.
下列各式中由等号的左边到右边的变形是因式
分解的在括号里打“√”,不是的打“×”, ：
1. (x＋3)(x－3)＝x2－9 ( )
2. x2＋x－5＝(x－2)(x＋3)＋1 ( )
3. x2＋1＝x( x＋ ）
4. a2b + ab2= ab(a+b)
5. a2+2ab+b2 = (a+b)2
（ ）
（ ）
1
x
（ ）
√
√
×
×
×
1.下列等式从左到右的变形是分解因式的
是 ( )
A. 6a2b=3a· 2ab
B. (x+2)(x-2)=x2-4
C. 2x2-4x-l=2x(x-2)-1
D. 2ab-2ac= 2a(b-c)
D
随堂练习
理解概念
2.判断下列各式哪些是整式乘法
哪些是分解因式
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1
(4).x2+4x+4=(x+2)2
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
(6).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)
分解因式
整式乘法
整式乘法
分解因式
整式乘法
分解因式
请你解决
能被n+1整除吗
通过本节课学习，你的收获与体会？
谈谈你的收获
本节学习的数学知识是：
(1)分解因式的概念;
(2)分解因式与整式乘法
的关系；
（3）分解因式的简单
应用。
本节学习的数学方法是
(1)类比的数学方法;
(2)逆向思维的数学方法.
作业
P45-46 习题2.1 1、2、3、4