福建省龙岩一中2012届高三下学期第八次月考试卷 数学（理）

龙岩一中2011-2012学年高三第二学期第八次月考试卷数学（理科）
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置。
1．在复平面内，复数对应的点的坐标在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
２．设全集U=R，集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
3. 右图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）
A．20＋3π B．24＋3π C．20＋4π D．24＋4π
4.在各项均为正数的数列中，对任意都有．若，则等于（ ）
A．256 B．510 C．512 D． 1024
5．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若、 m、n∥，则∥ B．若m∥、n∥、∥，则∥n
C．若m⊥、n∥、∥，则mn D．若∥n 、m∥、n∥，则∥
6．设，是直角坐标平面内轴正方向上的单位向量，若,且则点的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B.双曲线 C.线段 D. 射线
7．函数在区间上的图像如图所示，则
的值可能是( )
A． B．
C． D．
8．袋中装有m个红球和n个白球,,现从中任取两球,若取出的两球是同色的概率等于取出的两球是异色的概率,则满足关系的数组的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
9. 已知函数有两个零点、，则有（ ）
A． B． C． D．
10． 如图，有6个半径都为1的圆，其圆心分别为O1(0，0)，O2(2，0)，
O3(4，0)，O4(0，2)，O5(2，2)，O6(4，2)．记集合M＝{⊙Oi｜i＝1，2，
3，4，5，6}．若A，B为M的非空子集，且A中的任何一个圆与B中
的任何一个圆均无公共点，则称 (A，B) 为一个“有序集合对”(当A≠B
时，(A，B) 和 (B，A) 为不同的有序集合对)，那么M中 “有序集合
对”(A，B) 的个数是（ ）
A．50 B． 54 C．58 D．60
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.
11.已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取辆汽车
进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速
在区间上的汽车大约有 辆.
12.设若 ，
则的值是 .
13．(－)8的展开式中的系数为，则的值为 .
14.已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是 .
15.我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对x求导数，得于是，运用此方法可以求得函数在（1，1）处的切线方程是 .
三、 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.（本题满分13分）
的三个内角所对的边分别为，向量，
，且．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）现在给出下列三个条件：①；②；③，试从中再选
择两个条件以确定，求出所确定的的面积．
17．（本题满分13分）
如图，四边形是矩形，平面，四边形
是梯形，，
点是的中点，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
18.（本题满分13分）
有甲、乙等7名选手参加一次演讲比赛，采用抽签的方式随机确定每名选手的演出顺序（序
号为1，2，…，7）.
（Ⅰ）甲选手的演出序号是1的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；
（Ⅲ）设在甲、乙两名选手之间的演讲选手个数为,求的分布列与期望.
19. （本题满分13分）
已知椭圆的离心率为，直线过点，，且与椭圆相切于点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的动直线与曲线相交于不同的两点、，曲线在点、处的切线交于点.试问：点是否在某一定直线上，若是，试求出定直线的方程；否则,请说明理由.
20. （本题满分14分）
定义函数其导函数记为.
(Ⅰ)求的单调递增区间；
(Ⅱ)若，求证：；
（Ⅲ）设函数，数列前项和为, ，其中.对于给定的正整数，数列满足，且，求.
21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
变换是将平面上每个点的横坐标乘，纵坐标乘，变到点.
（Ⅰ）求变换的矩阵；
（Ⅱ）圆在变换的作用下变成了什么图形？
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程为：（为参数）.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线上有一定点，曲线与交于M，N两点，求的值．
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知为实数，且
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求实数m的取值范围．
龙岩一中2012届第八次月考高三数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1—5 BCACC 6—10 CBADB
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.
11. 80 12. 1 13． 14. 15.
三、 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.解析：(I)因为，所以……………2分
即：，所以…………4分
因为，所以所以…………………6分
(Ⅱ)方案一:选择①②，可确定，因为
由余弦定理，得：
整理得：……………10分
所以……………………13分
方案二:选择①③，可确定，因为
又
由正弦定理……………10分
所以……………13分
（注意;选择②③不能确定三角形）
17．（Ⅰ）证明：连结，交于点，∴点是的中点.
∵点是的中点，∴是的中位线. ∴
∵平面，平面，∴平面.………………………5分
（Ⅱ）解：四边形 是梯形，，
又四边形是矩形，，又，
又，。在中，，由可求得 ……………… 6分
以为原点，以，，分别为， ，轴建立空间直角坐标系.…………… 7分
∴，，，，
∴，，. 设平面的法向量，
∴，. ∴ 令，则，.
∴. 又是平面的法向量，
∴ 如图所示，二面角为锐角.
∴二面角的余弦值是…………………………13分
18.解：（Ⅰ）设表示“甲选手的演出序号是1”，所以所以甲选手的演出序号是1的概率为 ………………………… 3分
（Ⅱ）设表示“甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数”，表示“甲、乙两名选手的演出序号都是偶数”. 所以
所以甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率为……………………… 6分
（Ⅲ）的可能取值为，，，，，， ……………………… 7分
所以，，，
，，.……………10分
所以的分布列为
0 1 2 3 4 5
………………… 12分
所以………………… 13分
19. 解: （Ⅰ）由题得过两点，直线的方程为.………… 1分
因为，所以，. 设椭圆方程为,
由消去得，.
又因为直线与椭圆相切,所以,解得.
所以椭圆方程为.……………………………………………… 4分
（Ⅱ）易知直线的斜率存在,设直线的方程为，…………………… 5分
由，消去，整理得. ………… 6分
设，， 由题意知， 解得.…8分
由知过点的切线方程为
过点的切线方程为 ……………… 10分
两直线的交点坐标 ，
所以点所在的直线方程为. ………………………………… 13分
20. 解：（Ⅰ），
令，则，
当时，，当时，，
所以的单调递增区间为…………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，则在有最小值，
则，即.…………………5分
由得，。
所以，所以。易知，
，由①知，时，，
所以，所以，即，
所以…………………9分
（Ⅲ）
故，即
，，，，
以上式子累加得
…………………14分
21. （1）解：（Ⅰ）由已知得T:
∴变化T的矩阵是∴ ……3分
（Ⅱ）由得： ………………………4分
代入方程，得： ………………………6分
∴圆C: 在变化T的作用下变成了椭圆……………………7分
（2）解：（Ⅰ）由得
即，从而
整理得………………………………… 3分
（Ⅱ）把直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程，得
.由的几何意义知……………… 7分
（3）解：（Ⅰ）由柯西不等式得………2分
即…………4分
（Ⅱ）由已知得
…………6分
又…………7分
x
O1
O2
O4
O5
O3
O6
y
时速（km/h）
001
002
003
004
组距
40
50
60
70
80
频率
O