福建省龙岩市六校联考2020-2021学年高一下学期期中联考数学（扫描版含解析）
文档属性
| 名称 | 福建省龙岩市六校联考2020-2021学年高一下学期期中联考数学（扫描版含解析） |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-07 19:37:00 | ||
图片预览
文档简介
!长 汀
"连 城
"上 杭
"武 平
"漳 平
"永 定
#六 校
$一 中
%联 考
#%#%!#%#!学 年 第 二 学 期 半 期 考
高 一 数 学 试 题
!考 试 时 间
"!#%分 钟
!总 分
"!)%分
#
一
"选 择 题
&本 题 共
*小 题
’每 小 题
)分
’
#%#!.
(!$!01 +!!01 ,!!$1 -!$!$1
"!已 知 棱 长 为
’的 正 方 体 的 所 有 顶 点 均 在 球
$的 球 面 上 !则 球
$的 表 面 积 为
(!!""" +!!%*" ,!2#" -!&’"
)!旅 游 区 的 玻 璃 栈 道 %玻 璃 桥 %玻 璃 观 景 台 等 近 年 来 热 搜 不 断 !因 其 惊 险 刺 $ %
激 的 体 验 备 受 追 捧
!某 景 区 顺 应 趋 势 !
" ! #
!&点 的 仰 角
")’&. 以
" ’ "
及 槡
#
456"%’&. !则 两 座 山 峰 之 间 的 距 离
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"
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#3
,!’%%3 -!’%%槡
#3
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#0#槡
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#0#槡
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#0#槡
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#0"槡
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!"六 校 联 考
#半 期 考 高 一 数 学 试 卷
!第
!!!!!页
$共
"页
%& ’#!$%&$&"’(’
书书书
2!在
#(’)中 !角
(!’!)的 对 边 分 别 为 618( 槡
&* &&% &&% !&&%
*!+!,! . !$’)$.#!’-. ’(!#(’)的
456’ + &
外 接 圆 半 径 为 槡
#!
.!若
.. !则
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槡
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(! +! ,!槡
& -!!
# #
*!已 知 平 行 四 边 形
(’)-中 !点
0!1分 别 在 边
(’!(-上 !连 接
01交
()于 点
%!且 满 足 &&%
’0
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."0(!(1.&1-!(%.!(’0"(-!则
)!0 .
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! &
(! +!! ,!$ -!$&
# #
二
"选 择 题
&本 题 共
"小 题
’每 小 题
)分
’共
#%分
!在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中
’有 多 项 符 合 题 目
要 求
!全 部 选 对 的 得
)分
’部 分 选 对 的 得
#分
’有 选 错 的 得
%分
!
/!若 一 个 多 面 体 共 有
)个 面 !则 这 个 多 面 体 不 可 能 是
(!三 棱 锥
+!四 棱 柱
,!三 棱 台
-!四 棱 台
!%!已 知 复 数
2."#$1#"1$!#在 复 平 面 内 对 应 的 点 为
3!则
(!3在 第 二 象 限
+!3在 第 四 象 限
,!2’.$!$&1 -!2的 虚 部 为
&1
!!!窗 花 是 贴 在 窗 纸 或 窗 户 玻 璃 上 的 剪 纸 !是 中 国 古 老 的 传 统 民 间 艺 术 之 一
!每 年 新 春 佳 节 !我
国 许 多 地 区 的 人 们 都 有 贴 窗 花 的 习 俗 !以 此 达 到 装 点 环 境 %渲 染 气 氛 的 目 的 !并 寄 托 着 辞 旧
迎 新 %接 福 纳 祥 的 愿 望
!图 一 是 一 张 由 卷 曲 纹 和 回 纹 构 成 的 正 六 边 形 剪 纸 窗 花 !已 知 图 二 中
正 六 边 形
(’)-01的 边 长 为
"!圆
$的 圆 心 为 正 六 边 形 的 中 心 !半 径 为
#!若 点
3在 正 六 边
形 的 边 上 运 动 !%& 为 圆
$ 的 直 径 !则 &&% &&%
3%$3&的 取 值 可 能 是
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(!" +!’ ,!* -!!#
!#!在
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(!当
). 时 !’). +!#(’)不 可 能 是 直 角 三 角 形
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"
,!(的 最 大 值 为 "
-!#(’)面 积 的 最 大 值 为
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三
"填 空 题
&本 题 共
"小 题
’每 小 题
)分
’共
#%分
!把 答 案 填 在 答 题 卡 中 的 横 线 上
!
!&!若
21.!01!则
$2$.!!(!!!2.!!(!!!"第 一 空
&分 !第 二 空
#分 #
!"!已 知 非 零 向 量
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!)"!0"#!则 向 量
!!"的 夹 角 是
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!"六 校 联 考
#半 期 考 高 一 数 学 试 卷
!第
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$共
"页
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!)!如 图 !在 棱 长 为
#的 正 方 体
(’)-$(!’!)!-!中 !3!4分 别 为
))!!’!)!的 中 点 !则 过
-!
3!4三 点 的 平 面 截 正 方 体
(’)-$(!’!)!-!所 得 截 面 的 面 积 为
!!(!!!
!’!&列 子 $汤 问 ’记 有 古 代 传 说 ()渤 海 之 东 !不 知 几 亿 万 里 !有 大 壑 焉 !实 为 无 底 之 谷 !其 下 无
底 !名 曰 归 墟
!*现 代 研 究 发 现 海 洋 蓝 洞 是 海 底 突 然 下 沉 的 巨 大 )深 洞 *!从 海 面 上 看 蓝 洞 呈 现
出 与 周 边 水 域 不 同 的 深 蓝 色 !我 国 西 沙 群 岛 的 )三 沙 永 乐 龙 洞 *为 世 界 最 深 的 海 洋 蓝 洞 !深 达
&%%!*/3!若 要 测 量 如 图 所 示 的 蓝 洞 的 口 径 !即
(!’两 点 间 的 距 离 !现 在 珊 瑚 群 岛 上 取 两 点
)!-!且
(!’!)!- 四 点 共 面 !测 得
"(-).!)%7!"-)’.!&)7!"’-)."()-.!)7!
)-.*%!则
(!’两 点 间 的 距 离 为
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#
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第
!)题 图 第
!’题 图
四
"解 答 题
&本 题 共
’小 题
’共
2%分
!解 答 应 写 出 文 字 说 明
"证 明 过 程 或 演 算 步 骤
!
!2!"!%分 #
如 图 !在 直 四 棱 柱
(’)-$(!’!)!-! 中 !底 面
(’)- 为 正 方 形 !((!.#(’."!%!&!3
分 别 是
(-!--!!))!的 中 点
!
"!#证 明 (平 面
%&)*平 面
(-!3!
"##求 三 棱 锥
-!$(-3的 体 积
!
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已 知 向 量 # ! "
#."#槡
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" #
"!#若 "
5. !求
#与
$的 夹 角 的 余 弦 值 +
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"##若
#)$!求 "
618"5$ #的 值
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#半 期 考 高 一 数 学 试 卷
!第
!!!!&页
$共
"页
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!/!"!#分 #
在
#2,%!$2的 实 部 与 虚 部 互 为 相 反 数 !%2为 纯 虚 数 这 三 个 条 件 中 任 选 一 个 !补 充 在 下 面
的 问 题 中 !并 解 答
!
问 题 (已 知 复 数 # #
2." $"$’0"" $/#1!
"!#若
!!!!!求 实 数
"的 值 +
"##若
"为 整 数 !且
$2$.!%!求
2在 复 平 面 内 对 应 点 的 坐 标
!
注 (若 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答 !按 第 一 个 解 答 计 分
!
#%!"!#分 #
如 图 !平 面 四 边 形
(’)-是 某 公 园 的 一 块 草 地 !为 方 便 市 民 通 行 !该 公 园 管 理 处 计 划 在 草 地
中 间 修 一 条 石 路 #"
’-"不 考 虑 石 路 的 宽 度 #!"(’).#"(-). !’).#(’.#(-."!
&
"!#求 该 草 地 的 面 积 + $
"##求 石 路
’-的 长 度
!
#
" !
#!!"!#分 #
如 图 !在 棱 长 为
!的 正 方 体
(’)-$(!’!)!-!中 !点
0是
’’!的 中 点 !点
1在 棱
(’ 上 !且
(1.#1’!设 直 线
’-!!-0相 交 于 点
6!
"!#证 明 (61*平 面
((!-!-! %! $!
"##求 点
’到 平 面
601 的 距 离
!
&! #!
% ’ (
$
! " #
##!"!#分 #
在
#(’)中 !内 角
(!’!)的 对 边 分 别 为 * +0, 618(
*!+!,!且
. . !
+ * 456’
"!#求
(+
"##如 图 !已 知
(’.#!-为
() 的 中 点 !点 &&% &&%
3在
’- 上 !且 满 足
(3$)3.!!求
#3()的
面 积
!
#
"
%
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!"六 校 联 考
#半 期 考 高 一 数 学 试 卷
!第
!!!!"页
$共
"页
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!长 汀
"连 城
"上 杭
"武 平
"漳 平
"永 定
#六 校
$一 中
%联 考
#%#%!#%#!学 年 第 二 学 期 半 期 考
高 一 数 学 试 题 参 考 答 案
!!(! 规 定 (零 向 量 与 任 意 向 量 平 行
!
#!+!!$".�&"./!所 以
"0#.&!
&!-!因 为
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."1"#)%)
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1#%#!. . .$!$1!
1 1#
"!+!由 题 可 知 !正 方 体 的 体 对 角 线 长 度 为
’槡 &!即 球
$的 半 径 为
&槡 &!故 球
$的 表 面 积 为
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" 618
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! "
为
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槡 &!即
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!因 为
.. !所 以
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因 为
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#半 期 考 高 一 数 学 试 卷
$参 考 答 案
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*!""
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在
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所 以 由 余 弦 定 理 得
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*’*#
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$#’*"%*"673"’*%*1%#
0/#故
’%*1%槡 /!
!8!$!%证 明 !因 为
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’*#**!#))!的 中 点 #
所 以
&(+’*!#)(+3*!!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!分
又
’*!,平 面
&()#&(-平 面
&()#
所 以
’*!+平 面
&()!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
&分
同 理
3*!+平 面
&()#… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
"分
又
’*!.3*!**!#
所 以 平 面
&()+平 面
’*!3!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
/分
$#%解 !因 为 三 棱 锥
*!$’*3的 体 积 等 价 于 三 棱 锥
3$’**!的 体 积 #且
’’!*#’%*"#… … … … …
1分
所 以
5*!$’*3*53$’**!*!
0!
0#0"0#*1
!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!%分
& # &
!1!解 !$!%因 为
6*"#所 以
#*$槡 &#!%# … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!分
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$"#*$# 槡 & !
槡 &#$"%"$ # %*!!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
#分
# #
又 因 为
###* $槡 &%# $!%#
*!#$ * $ %# $ %#
*#8#… … … … … … … … … … … … … …
&分
槡
# +
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#槡 & + $" 槡
"
所 以
673)$##**$ #
* !
*槡 8
!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
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#$#### !0#槡 8 !"
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$"#*%!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
’分
由
#槡 &3.4#6$"$3.4#
6$!%*%#得
#&3.4#6+#673#6$!*%#… … … … … … … … … … … … … … …
8分
" 槡
所 以
3.4$#6+"%*!
!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
1分
’ "
因 为
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所 以
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3.4$6$"%*<槡 ’
!… … … … … … … … … … … … … …
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因 为
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($%#"%#所 以
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#分
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!"六 校 联 考
#半 期 考 高 一 数 学 试 卷
$参 考 答 案
!第
!!!!#页
%共
"页
&’ $#!$%&$&"’($
解 得
#*$&!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
"分
若 选 择
$!因 为
2的 实 部 与 虚 部 互 为 相 反 数 #所 以
##
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$,*%#… … … … … … … … … … …
#分
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! … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
"分
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##
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若 选 择
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#分
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解 得
#*$#!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
"分
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/分
所 以 $#$&%#$###
+!%#+!&%*!%%!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
’分
因 为
#为 整 数 #所 以 $#$&%#为 平 方 数 ####
+!%#+!&为 奇 数
! … … … … … … … … … … … … … … …
8分
因 为
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0!或
!%%*##
0#/#… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
1分
所 以 验 证 可 得
#$&*$##即
#*!! … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
,分
因 为
#*!#所 以
2*$’$1.#其 在 复 平 面 内 对 应 点 的 坐 标 为 $$’#$1%!… … … … … … … … … … … …
!#分
#%!解 !$!%连 接
’)!
在
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’)#
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# ! $
即
’) *"+!’$#0#0"0$$ %*#1#则
’)*#8!… … … … … … … … … … …
#分
# 槡
在
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’)#
*’*#
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则
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$#)**#1#解 得
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! ! 槡 & !
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# "
# # 槡
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/#*!
’*")*3.4 ’*)*!
0#0’0槡 &
*&&# … … … … … … … … … … … … … …
’分
# "
# # 槡
故 该 草 地 的 面 积
槡 &!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
8分
$#%因 为
"’%)*# #
"’*)* "#所 以
%’*+ %)** #
& " " "
所 以
673"%’**$673"%)*!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
1分
由 余 弦 定 理 可 得
%*#
*’*#
+’%#
$#’*"’%673"%’**)*#
+%)#
$#)*"%)673"%)*#
即
"+"$1673"%’**&’+!’$"1673"%)**%*##… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
,分
解 得
673"%’**$!!#%*#
*!%%#… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!!分
!" 8
故
%**!%槡 8#即 石 路
%*的 长 度 为 !%槡 8
!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!#分
8 8
#!!$!%证 明 !如 图 #连 接
’*!#因 为
%0+**!#所 以
&%701&*!7*# %! $!
所 以 %7
*%0
*!#从 而 %7
*!
!… … … … … … … … … … … … … … … …
#分
*!7 **! # %*! & &! #!
又 由 条 件 知 %1
*!#所 以 %7
*%1#
’% & %*! %’ % ’ (
$
所 以
71+’*!!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
"分
因 为
71,平 面
’’!*!*#’*!-平 面
’’!*!*#
! " #
所 以
71+平 面
’’!*!*!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
/分
$#%解 !设
7到 平 面
%01的 距 离 为
8!#由 8!
*%7
*!#得
8!*!
!… … … … … … … … … … … … …
’分
’!*! %*! & &
又
/&%01*!
0!
0!
*!#所 以 三 棱 锥
7$%01的 体 积
57$%01*!
0!
0!
*!
!… … … … …
8分
# & # !# & !# & !%1
!"六 校 联 考
#半 期 考 高 一 数 学 试 卷
$参 考 答 案
!第
!!!!&页
%共
"页
&’ $#!$%&$&"’($
设
%到 平 面
701的 距 离 为
8##在
&701中 #70*!
*0*!
0 !+!+$!%#
*!#
& & 槡
# #
71*!
’*!*槡 ##01* $!%# $!%#
*槡 !&# … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
,分
& & 槡
& +
# ’
# !& !
+ $
所 以
673"017* , &’ "
* & #3.4 槡 !8 ! 槡 # 槡 !& 槡 !8 槡 !8
"017* #/&017* 0 0 0 * !… … …
# !& #’ #’ # & ’ #’ &’
#0槡
&0槡 槡 槡 槡
’
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!!分
由
5%$701*57$%01#得 !
0槡 !8
8#*!#解 得
8#*槡 !8#即 点
%到 平 面
701的 距 离 为 槡 !8
!… …
!#分
& &’ !%1 !8 !8
##!解 !$!%由 +
*3.4’#可 得
3.4’673%*3.4%3.4’#… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!分
, 673%
又
3.4’0%#则
9:4%*!!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
#分
因 为
%($%#"%#所 以
%*"
! … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
&分
"
由 +
*,+. # # #
#可 得
+#
*,#
+,.#即 ++.$,
*.+,#
, + #+. #+
所 以
.+,*#+673%!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
"分
由 正 弦 定 理 可 得
3.4)+3.4%*#3.4’673%#
则
3.4$’+%%+3.4%*#3.4’673%#
可 得
3.4%*3.4$’$%%# … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
/分
则
%*’$%或
%+’$%*"$舍 去 %#所 以
’*#%*"
!… … … … … … … … … … … … … … … … … … …
’分
#
$#%因 为
’%%$3")%%$3*!#所 以
’3")3673"’3)*!! #
又 因 为
’)#
*’3#
+)3#
$#’3")3673"’3)#所 以
’3#
+)3#
*’!… … … …
8分
因 为
)3#
*)*#
+*3#
$#)*"*3673")*3#
"
’3#
*’*#
+*3#
$#’*"*3673"’*3#
&
%
两 式 相 加 可 得
)3#
+’3#
*)*#
+’*#
+#*3##解 得
*3*槡 #! … … … … … …
,分
$ !
如 图 #过 点
3作
30*’)#
则 /&3’)
*03
**3 槡 # 槡 !% … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 分
/&’%) * * ! !!
’% %* 槡 / /
又 因 为
/&’%)*!
’%"’)*##
#
所 以
/&3’)*#槡 !%
! … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!#分
/
!"六 校 联 考
#半 期 考 高 一 数 学 试 卷
$参 考 答 案
!第
!!!!"页
%共
"页
&’ $#!$%&$&"’($
"连 城
"上 杭
"武 平
"漳 平
"永 定
#六 校
$一 中
%联 考
#%#%!#%#!学 年 第 二 学 期 半 期 考
高 一 数 学 试 题
!考 试 时 间
"!#%分 钟
!总 分
"!)%分
#
一
"选 择 题
&本 题 共
*小 题
’每 小 题
)分
’
#%#!.
(!$!01 +!!01 ,!!$1 -!$!$1
"!已 知 棱 长 为
’的 正 方 体 的 所 有 顶 点 均 在 球
$的 球 面 上 !则 球
$的 表 面 积 为
(!!""" +!!%*" ,!2#" -!&’"
)!旅 游 区 的 玻 璃 栈 道 %玻 璃 桥 %玻 璃 观 景 台 等 近 年 来 热 搜 不 断 !因 其 惊 险 刺 $ %
激 的 体 验 备 受 追 捧
!某 景 区 顺 应 趋 势 !
" ! #
!&点 的 仰 角
")’&. 以
" ’ "
及 槡
#
456"%’&. !则 两 座 山 峰 之 间 的 距 离
%&.
"
(!&%%3 +!&%%槡
#3
,!’%%3 -!’%%槡
#3
’!
&!
(!’0#槡
#0#槡
’
$! #!
+!*0#槡
#0#槡
’
!! "! %!
,!!#0"槡
#0#槡
’
-!!’0"槡
#0"槡
’
!"六 校 联 考
#半 期 考 高 一 数 学 试 卷
!第
!!!!!页
$共
"页
%& ’#!$%&$&"’(’
书书书
2!在
#(’)中 !角
(!’!)的 对 边 分 别 为 618( 槡
&* &&% &&% !&&%
*!+!,! . !$’)$.#!’-. ’(!#(’)的
456’ + &
外 接 圆 半 径 为 槡
#!
.!若
.. !则
/#’)-.
&
槡
& !
(! +! ,!槡
& -!!
# #
*!已 知 平 行 四 边 形
(’)-中 !点
0!1分 别 在 边
(’!(-上 !连 接
01交
()于 点
%!且 满 足 &&%
’0
&&% &&% &&% &&% &&% &&% "
."0(!(1.&1-!(%.!(’0"(-!则
)!0 .
&"
! &
(! +!! ,!$ -!$&
# #
二
"选 择 题
&本 题 共
"小 题
’每 小 题
)分
’共
#%分
!在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中
’有 多 项 符 合 题 目
要 求
!全 部 选 对 的 得
)分
’部 分 选 对 的 得
#分
’有 选 错 的 得
%分
!
/!若 一 个 多 面 体 共 有
)个 面 !则 这 个 多 面 体 不 可 能 是
(!三 棱 锥
+!四 棱 柱
,!三 棱 台
-!四 棱 台
!%!已 知 复 数
2."#$1#"1$!#在 复 平 面 内 对 应 的 点 为
3!则
(!3在 第 二 象 限
+!3在 第 四 象 限
,!2’.$!$&1 -!2的 虚 部 为
&1
!!!窗 花 是 贴 在 窗 纸 或 窗 户 玻 璃 上 的 剪 纸 !是 中 国 古 老 的 传 统 民 间 艺 术 之 一
!每 年 新 春 佳 节 !我
国 许 多 地 区 的 人 们 都 有 贴 窗 花 的 习 俗 !以 此 达 到 装 点 环 境 %渲 染 气 氛 的 目 的 !并 寄 托 着 辞 旧
迎 新 %接 福 纳 祥 的 愿 望
!图 一 是 一 张 由 卷 曲 纹 和 回 纹 构 成 的 正 六 边 形 剪 纸 窗 花 !已 知 图 二 中
正 六 边 形
(’)-01的 边 长 为
"!圆
$的 圆 心 为 正 六 边 形 的 中 心 !半 径 为
#!若 点
3在 正 六 边
形 的 边 上 运 动 !%& 为 圆
$ 的 直 径 !则 &&% &&%
3%$3&的 取 值 可 能 是
) ! (
"
* ’
$ #
% &
!" !#
(!" +!’ ,!* -!!#
!#!在
#(’)中 !(’.#!618’.#618(!则
" #槡
&
(!当
). 时 !’). +!#(’)不 可 能 是 直 角 三 角 形
& &
"
,!(的 最 大 值 为 "
-!#(’)面 积 的 最 大 值 为
& &
三
"填 空 题
&本 题 共
"小 题
’每 小 题
)分
’共
#%分
!把 答 案 填 在 答 题 卡 中 的 横 线 上
!
!&!若
21.!01!则
$2$.!!(!!!2.!!(!!!"第 一 空
&分 !第 二 空
#分 #
!"!已 知 非 零 向 量
!!"满 足
$"$.#$!$!且
!)"!0"#!则 向 量
!!"的 夹 角 是
!!(!!!
!"六 校 联 考
#半 期 考 高 一 数 学 试 卷
!第
!!!!#页
$共
"页
%& ’#!$%&$&"’(’
!)!如 图 !在 棱 长 为
#的 正 方 体
(’)-$(!’!)!-!中 !3!4分 别 为
))!!’!)!的 中 点 !则 过
-!
3!4三 点 的 平 面 截 正 方 体
(’)-$(!’!)!-!所 得 截 面 的 面 积 为
!!(!!!
!’!&列 子 $汤 问 ’记 有 古 代 传 说 ()渤 海 之 东 !不 知 几 亿 万 里 !有 大 壑 焉 !实 为 无 底 之 谷 !其 下 无
底 !名 曰 归 墟
!*现 代 研 究 发 现 海 洋 蓝 洞 是 海 底 突 然 下 沉 的 巨 大 )深 洞 *!从 海 面 上 看 蓝 洞 呈 现
出 与 周 边 水 域 不 同 的 深 蓝 色 !我 国 西 沙 群 岛 的 )三 沙 永 乐 龙 洞 *为 世 界 最 深 的 海 洋 蓝 洞 !深 达
&%%!*/3!若 要 测 量 如 图 所 示 的 蓝 洞 的 口 径 !即
(!’两 点 间 的 距 离 !现 在 珊 瑚 群 岛 上 取 两 点
)!-!且
(!’!)!- 四 点 共 面 !测 得
"(-).!)%7!"-)’.!&)7!"’-)."()-.!)7!
)-.*%!则
(!’两 点 间 的 距 离 为
!!(!!!
%
"
#
$
!
%! "
"! $ !
$! &
#! #
!!!!
第
!)题 图 第
!’题 图
四
"解 答 题
&本 题 共
’小 题
’共
2%分
!解 答 应 写 出 文 字 说 明
"证 明 过 程 或 演 算 步 骤
!
!2!"!%分 #
如 图 !在 直 四 棱 柱
(’)-$(!’!)!-! 中 !底 面
(’)- 为 正 方 形 !((!.#(’."!%!&!3
分 别 是
(-!--!!))!的 中 点
!
"!#证 明 (平 面
%&)*平 面
(-!3!
"##求 三 棱 锥
-!$(-3的 体 积
!
%! #!
!!
"!
&
$
% #
! ’
"
!*!"!#分 #
已 知 向 量 # ! "
#."#槡
&!$"#!$."618#5!6185$ #!5+"%! #!
" #
"!#若 "
5. !求
#与
$的 夹 角 的 余 弦 值 +
&
"##若
#)$!求 "
618"5$ #的 值
!
’
!"六 校 联 考
#半 期 考 高 一 数 学 试 卷
!第
!!!!&页
$共
"页
%& ’#!$%&$&"’(’
!/!"!#分 #
在
#2,%!$2的 实 部 与 虚 部 互 为 相 反 数 !%2为 纯 虚 数 这 三 个 条 件 中 任 选 一 个 !补 充 在 下 面
的 问 题 中 !并 解 答
!
问 题 (已 知 复 数 # #
2." $"$’0"" $/#1!
"!#若
!!!!!求 实 数
"的 值 +
"##若
"为 整 数 !且
$2$.!%!求
2在 复 平 面 内 对 应 点 的 坐 标
!
注 (若 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答 !按 第 一 个 解 答 计 分
!
#%!"!#分 #
如 图 !平 面 四 边 形
(’)-是 某 公 园 的 一 块 草 地 !为 方 便 市 民 通 行 !该 公 园 管 理 处 计 划 在 草 地
中 间 修 一 条 石 路 #"
’-"不 考 虑 石 路 的 宽 度 #!"(’).#"(-). !’).#(’.#(-."!
&
"!#求 该 草 地 的 面 积 + $
"##求 石 路
’-的 长 度
!
#
" !
#!!"!#分 #
如 图 !在 棱 长 为
!的 正 方 体
(’)-$(!’!)!-!中 !点
0是
’’!的 中 点 !点
1在 棱
(’ 上 !且
(1.#1’!设 直 线
’-!!-0相 交 于 点
6!
"!#证 明 (61*平 面
((!-!-! %! $!
"##求 点
’到 平 面
601 的 距 离
!
&! #!
% ’ (
$
! " #
##!"!#分 #
在
#(’)中 !内 角
(!’!)的 对 边 分 别 为 * +0, 618(
*!+!,!且
. . !
+ * 456’
"!#求
(+
"##如 图 !已 知
(’.#!-为
() 的 中 点 !点 &&% &&%
3在
’- 上 !且 满 足
(3$)3.!!求
#3()的
面 积
!
#
"
%
$ !
!"六 校 联 考
#半 期 考 高 一 数 学 试 卷
!第
!!!!"页
$共
"页
%& ’#!$%&$&"’(’
!长 汀
"连 城
"上 杭
"武 平
"漳 平
"永 定
#六 校
$一 中
%联 考
#%#%!#%#!学 年 第 二 学 期 半 期 考
高 一 数 学 试 题 参 考 答 案
!!(! 规 定 (零 向 量 与 任 意 向 量 平 行
!
#!+!!$".�&"./!所 以
"0#.&!
&!-!因 为
1#%#%
."1"#)%)
.!)%)
.!!所 以 !$1 !$1 "!$1#1
1#%#!. . .$!$1!
1 1#
"!+!由 题 可 知 !正 方 体 的 体 对 角 线 长 度 为
’槡 &!即 球
$的 半 径 为
&槡 &!故 球
$的 表 面 积 为
""9"& #
槡 &#.!%*"!
)!,!’%. (%
. &%%
.&%%#3!’&. )&
. &%%
.’%%3!
618"(’% 槡
618 )’&
618" " "
" 618
’
%&.槡 ’%#
0’&#
$#’%$’&456"%’&.’%%3!
’!-!原 图 是 一 个 如 图 所 示 的 直 角 梯 形 !其 中
(’."!’).*!)-."0"槡 #!(-."槡 ’!则 周 长 &
! "
为
"0*0"0"槡 #0"槡 ’.!’0"槡 #0"槡 ’!
2!( 618( 槡 &*
!由
. 及 正 弦 定 理 !可 知
:;8’. 槡 #!
槡 &!即
’."
!因 为
.. !所 以
+.#.618’ # $ %
456’ + & &
.槡 2!因 为
*#
0,#
$+#
.#*,456’!且
*.$’&&%)$.#!所 以
,#
$#,$&.%!解 得
,.&或
,.$!"舍 去 #!因 为
’&&%-
.!
’&&%(!所 以
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/#’)-.!
’&&%- ’&&%)618’.槡 &
!
& $ $
#$ $$ $
#
*!+!因 为
’&&%0."0&&%(!(&&%1.&1&&%-!所 以
(&&%’.)(&&%0!(&&%-."
(&&%1!所 以
(&&%%.)(&&%00"
(&&%1!
& !
&"
因 为
0!1!%三 点 共 线 !所 以
)!0"
.!!
&"
/!(+-!由 多 面 体 的 概 念 知 !三 棱 锥 有
"个 面 !四 棱 柱 和 四 棱 台 有
’个 面 !三 棱 台 有
)个 面
!
!%!(,!因 为
2."#$1#"1$!#.$!0&1!所 以 其 对 应 的 点 位 于 第 二 象 限 !2’.$!$&1!2的 虚 部 为
&!
!!!,-!3&&%%$3&&%&."3&&%$0$&&%%#$"3&&%$0$&&%&#.3&&%$#
$$&&%%#
. #
$3&&%$$$"!
因 为
3&&%$+,#槡 &!"-!所 以
3&&%%$3&&%&的 取 值 范 围 是 ,*!!#-!
!#!(-!在
#(’)中 !设 内 角
(!’!)所 对 的 边 分 别 为
*!+!,!由
618’.#618(!可 得
+.#*!又
,#
.*#
0+#
$
#*$+456)!当
)."时 !".*#
0"*#
$#9*$#*456"!解 得
*.#槡 &!(正 确 +当
)."时 !*.#槡 &!+.
& & & & &
" # # #
槡 &!满 足
+#
.*#
0,#!(’)为 直 角 三 角 形 !+错 误 +456(.+0,$*
.&*
0! 槡 &!当 且 仅 当
*.#槡 &
& #
#+, * #*-
# &
# # # #
时 等 号 成 立 !所 以
(的 最 大 值 为 "!,错 误 +456).*0+$,
.)*$"!设
/#(’)./!
’ #*+ "*#
/# #
."!
*+618)##
.!
*#"#*##
618#
).*""!$456#
)#.*",!$")*$"##-
# " "*#
.!"$’%%$0#’%%$**"
’%%$1#所 以
’%%$&*/’%%$0+"
’%%$1!
& !
&"
因 为
0#1#&三 点 共 线 #所 以
/!+"
*!!
&"
,!()-!由 多 面 体 的 概 念 知 #三 棱 锥 有
"个 面 #四 棱 柱 和 四 棱 台 有
’个 面 #三 棱 台 有
/个 面
!
!%!(2!因 为
2*$#$.%$.$!%*$!+&.#所 以 其 对 应 的 点 位 于 第 二 象 限 #2’*$!$&.#2的 虚 部 为
&!
!!!2-!3%%$&"3%%$(*$3%%$$+$%%$&%"$3%%$$+$%%$(%*3%%$$#
$$%%$&#
* #
#3%%$$#$"#
因 为
3%%$$(&#槡 &#"’#所 以
3%%$&"3%%$(的 取 值 范 围 是 &1#!#’!
!#!(-!在
&’%)中 #设 内 角
’#%#)所 对 的 边 分 别 为
+#,#.!由
3.4%*#3.4’#可 得
,*#+#又
.#
*+#
+,#
$
#+",673)#当
)*"时 #"*+#
+"+#
$#0+"#+673"#解 得
+*#槡 &#(正 确 (当
)*"时 #+*#槡 &#,*
& & & & &
" # # #
槡 &#满 足
,#
*+#
+.##’%)为 直 角 三 角 形 #)错 误 (673’*,+.$+
*&+
+! 槡 &#当 且 仅 当
+*#槡 &
& &
#,. 1 #+)
# &
# # # #
时 等 号 成 立 #所 以
’的 最 大 值 为 "#2错 误 (673)*++,$.
*/+$"#设
/&’%)*/#
’ #+, "+#
/# #
*$!
+,3.4)%#
*!
+#$#+%#
3.4#
)*+"$!$673#
)%*+"&!$$/+$"%#’
# " "+#
*!$$,+"
+"%+#
$!’%*$,$+#
$#%%#
+!’#当
+#
*#%时 #/取 最 大 值 #且 最 大 值 为 "#-正 确
!
!’ !’ , , , &
$ %
!&!槡 #(!+. !+. !+.. #
!因 为
2* * *!$.#所 以
2 * !+!*##2*!+.!
. .# ## 槡 槡
!"!#" 因 为
! $!+"%#所 以
!"$!+"%*%#即
!#
+!""*%#所 以
!""*$!#
!因 为
" *#! #所 以
673)!#"*
&! * ## ##
!"六 校 联 考
#半 期 考 高 一 数 学 试 卷
$参 考 答 案
!第
!!!!!页
%共
"页
&’ $#!$%&$&"’($
书书书
*!""
* $!#
*$!#则 )!#"**#"
!
#!##"# #!##"# # &
%
!/!,
!如 图 #可 知 过
*#3#4三 点 的 平 面 截 正 方 体
’%)*$’!%!)!*!所 得 的 截 面 为 等 "
# #
$
腰 梯 形
’!43*#且
’!4*3**槡 /#34*槡 ##’!**#槡 ##所 以 梯 形
’!43*的 面 积 !
为 ,
! %!
# "!
$! &
!’!1%槡 /!如 图 所 示 #在
&’)*中 #因 为
"’)**!/;#"’*)*!/%;# #!
所 以
")’**!/;#所 以
"’)**")’*#则
’**)**1%!
在
&%)* 中 #因 为
"%*)*!/;#"%)**!&/;#")%**&%;#!
$
)**1%#所 以 由 正 弦 定 理 )*
* %* #得
%**)*3.4!&/;
*
3.4&%; 3.4!&/; 3.4&%;
" #
1%槡 #!
在
&’%*中 #因 为
"’*%*"’*)$"%*)*!&/;#’**1%#%**1%槡 ##
所 以 由 余 弦 定 理 得
’%#
*’*#
+%*#
$#’*"%*"673"’*%*1%#
0/#故
’%*1%槡 /!
!8!$!%证 明 !因 为
&#(#3分 别 是
’*#**!#))!的 中 点 #
所 以
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又
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所 以
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同 理
3*!+平 面
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"分
又
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所 以 平 面
&()+平 面
’*!3!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
/分
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3$’**!的 体 积 #且
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1分
所 以
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#分
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又 因 为
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所 以
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/分
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’分
由
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6$!%*%#得
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8分
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所 以
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!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
1分
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因 为
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,分
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所 以
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3.4$6$"%*<槡 ’
!… … … … … … … … … … … … … …
!%分
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因 为
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($%#"%#所 以
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!#分
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##
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#分
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!"六 校 联 考
#半 期 考 高 一 数 学 试 卷
$参 考 答 案
!第
!!!!#页
%共
"页
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解 得
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"分
若 选 择
$!因 为
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##
$#$’+##
$,*%#… … … … … … … … … … …
#分
解 得
#*&或
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! … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
"分
#
##
$#$’*%#
若 选 择
%! 因 为
2为 纯 虚 数 #所 以 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
#分
+##
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解 得
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"分
$#%因 为
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/分
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’分
因 为
#为 整 数 #所 以 $#$&%#为 平 方 数 ####
+!%#+!&为 奇 数
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8分
因 为
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0!或
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1分
所 以 验 证 可 得
#$&*$##即
#*!! … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
,分
因 为
#*!#所 以
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!#分
#%!解 !$!%连 接
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$#’%"%)673"’%)#
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即
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#分
# 槡
在
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则
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# # 槡
&’)*的 面 积
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’分
# "
# # 槡
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槡 &!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
8分
$#%因 为
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"’*)* "#所 以
%’*+ %)** #
& " " "
所 以
673"%’**$673"%)*!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
1分
由 余 弦 定 理 可 得
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*’*#
+’%#
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+%)#
$#)*"%)673"%)*#
即
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,分
解 得
673"%’**$!!#%*#
*!%%#… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!!分
!" 8
故
%**!%槡 8#即 石 路
%*的 长 度 为 !%槡 8
!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!#分
8 8
#!!$!%证 明 !如 图 #连 接
’*!#因 为
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所 以 %7
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#分
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又 由 条 件 知 %1
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所 以
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"分
因 为
71,平 面
’’!*!*#’*!-平 面
’’!*!*#
! " #
所 以
71+平 面
’’!*!*!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
/分
$#%解 !设
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*!#得
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!… … … … … … … … … … … … …
’分
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又
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0!
0!
*!#所 以 三 棱 锥
7$%01的 体 积
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0!
0!
*!
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8分
# & # !# & !# & !%1
!"六 校 联 考
#半 期 考 高 一 数 学 试 卷
$参 考 答 案
!第
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%共
"页
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设
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701的 距 离 为
8##在
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*0*!
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71*!
’*!*槡 ##01* $!%# $!%#
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,分
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所 以
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* & #3.4 槡 !8 ! 槡 # 槡 !& 槡 !8 槡 !8
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# !& #’ #’ # & ’ #’ &’
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’
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!!分
由
5%$701*57$%01#得 !
0槡 !8
8#*!#解 得
8#*槡 !8#即 点
%到 平 面
701的 距 离 为 槡 !8
!… …
!#分
& &’ !%1 !8 !8
##!解 !$!%由 +
*3.4’#可 得
3.4’673%*3.4%3.4’#… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!分
, 673%
又
3.4’0%#则
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#分
因 为
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&分
"
由 +
*,+. # # #
#可 得
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*,#
+,.#即 ++.$,
*.+,#
, + #+. #+
所 以
.+,*#+673%!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
"分
由 正 弦 定 理 可 得
3.4)+3.4%*#3.4’673%#
则
3.4$’+%%+3.4%*#3.4’673%#
可 得
3.4%*3.4$’$%%# … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
/分
则
%*’$%或
%+’$%*"$舍 去 %#所 以
’*#%*"
!… … … … … … … … … … … … … … … … … … …
’分
#
$#%因 为
’%%$3")%%$3*!#所 以
’3")3673"’3)*!! #
又 因 为
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*’3#
+)3#
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8分
因 为
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’3#
*’*#
+*3#
$#’*"*3673"’*3#
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两 式 相 加 可 得
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+#*3##解 得
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3作
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则 /&3’)
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又 因 为
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所 以
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! … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
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/
!"六 校 联 考
#半 期 考 高 一 数 学 试 卷
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