福建省福州市八县（市）协作校2020-2021学年高一下学期期中考试数学（扫描版含答案）

福州市八县(市)协作校 2020— 2021学年第二学期期中联考
高一数学试卷
【 完卷时间 ： 120分钟 满分 ： 150分】
命题与审核 ：平潭城关中学 王学坚 高芳燕
一 、单选题 ：本题共 8小题 ，每小题 5分 ，共 40分。每小题中仅有一个选项正确 .
3+i
1.已知 i是虚数单位 ，则复数 ???= ( )
2-i
A.-1-i B. -1+i C. 1-i D. 1
?
? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?
已知向量 a,b满足 |a|= 3,|b| =2,且 (a+b)⊥a,则 a与 b的夹角是 ( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
6. ,
则该三角形的最大角和最小角之和是 ( )
A. 150° B. 135° C. 120° D. 90°
7.在? ABCD中 ，点 E为对角线 AC上靠近 A点的三等分点 ，连结 BE并延长交 AD于 F，
???
则 EF= ( )
1
A. 3
?
若复数 z满足 2z+z=3-2i， 则复数 z的虚部为 -2
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10.下列说法中正确的是 ( )
?? ? ? ? ?? ?
A.若 a//b,b//c,则 a//c
?? ? ?? ? ?? ? ?? ?
B.若两个非零向量 a,b满足 |a-b| = |a| +|b|，则 ab
??? ??? ???
C.若对平面内的任意一点 O，有 OA=xOB+yOC(x∈R,y∈R),且 x+y=1，
则 A,B,C三点共线
?? ? ?? ? 3
D.若 a= (2,1),b= (λ,3),且 ab λ>-?
2
11.下列命题中 ，正确的是 ( )
A.在 △ABC中 ，若 sin A>sin B，则 A>B
B. 在锐角三角形 ABC中 ，不等式 sin A>cos B恒成立
C. 在 △ABC中 ，若 acos A=bcos B，则 △ABC必是等腰直角三角形
2
D.在 △ABC中 ，若 B=60°， b =ac，则 △ABC必是等边三角形
12.若点 O在 △ABC所在的平面内 ，则以下说法 错误 的是 ( )
??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ?
A.若 OA?OB=OB?OC=OC?OA，则点 O为 △ABC的内心
??? ??? ??? ?
B. 若 OA+OB+OC=0，则点 O为 △ABC的重心
??? ??? ??? ??? ??? ???
C. 若 (OA+OB) ?AB= (OB+OC) ?BC=0，则点 O为 △ABC的外心
??? ??? ??? ???
??? AC AB ??? BC BA
D.若 OA? (??????? -?????? ) =OB? (?????? -?????? ) =0，则点 O为 △ABC的垂心
|AC| |AB| |BC| |BA|
三 、填空题 ：本题共 4小题 ，每小题 5分 ，共 20分 .
??? π
13.复数 z=2i在复平面内对应的点为 Z，将向量 OZ O按逆时针方向旋转 ?
3
.
? ? π ? ? ? ?
14.已知平面向量 a与 b的夹角为 ?a= ( 3 1)， |b| =1，则 |a-2b| =____.
3
15.如图 ，某景区的山上原有一条笔直的山路 BC,现在又新架设了一条索道 AC，
小李在山脚 B处看索道 ，发现张角 ∠ABC=120°;从 B处攀登
3千米到达 D处 ，回头看索道 AC，发现张角 ∠ADC=150°；从
D处在攀登 4千米到达 C处 ，则索道 AC的长为 千米 .
?? ? ?? ? ?? ? 3 ?? ? ? ?
16.已知向量 a,b满足 |a| =1,|b| = 3且 a?b=-?,若向量 a-c与 b-c的夹角为 30°,
2
?
则 |c|的最大值是 .
四 、解 答 题 (本 题 共 6个 小 题 ，共 70分 。 解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、证 明 过 程 或 演
算步骤 ，请把答案写在答题卷上 )
17.(本小题满分 10分 )
已知 2
m∈R,复数 2
z= (2m -m-1) + (m -1)i(其中 i为虚数单位 ).
(1)当实数 m取何值时 ，复数 z是纯虚数 ；
?
(2)若复数 z1= z+3i在复平面上对应的点位于第一象限 ，求实数 m的取值范围 .
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18.(本小题满分 12分 ) D
在一个如图所示的直角梯形 ABCD内挖去一个扇形 ，
45°
E恰好是梯形的下底边的中点 ，将所得平面图形绕直线 DE C
旋转一圈 ， E
(1)说明所得几何体的结构特征 ； 4
(2)求所得几何体的表面积和体积．
A 4 B
19.(本小题满分 12分 )
?? ? ?
平面内三个向量 a= (1,2),b= ( -1,1),c= (3,3)
?? ? ?
(1)以 a,b为基底表示向量 c;
?? ?? ?? ??
(2)若 |d| =2 5,且 da d
?? ? ?? ? ?? ? ??
(3)若 (a+kc) ⊥ (a-2b),求 a+kc在向量 a .
20.(本小题满分 12分 )
在 ：
b cosB+1
① ?=??????；
a 3sinA
② 2bsinA=atanB；
③ (a-c)sinA+csin(A+B) =bsinB;
这三个条件中任选一个 ，补充在下面的横线上 ，并加以解答．
已知 △ABC的内角 A， B， C所对的边分别是 a， b， c，若 _______．
(1)求角 B；
(2)若 a+c=4，求 △ABC周长的最小值 ，并求出此时 △ABC的面积．
3页—（共 4页）
D
21.(本小题满分 12分 ) ??? ???
如图 ，四边形 ABCD中 ，已知 AD=2BC．
??? ??? ??? C
(1)用 ABAD DC
??? ??? ??? ??? M
(2)若 AN =2NB， DM =λDN，
当 A， M， C三点共线时 ，求实数 λ的值． A N B
2 7
22.已知菱形 ABCD的边长为 2， M 为 BD上靠近 D的三等分点 ，且线段 AM =???
3
(1)求 ∠DAB的值 ； ??? ??? ???
(2)点 P为对角线 BD上的任意一点 ，求 PA? (PC+PD)的最小值 .
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福州市八县 (市 )协作校 2020— 2021学年第二学期期中联考
高一数学试卷参考答案及评分标准
一 、单选题 ： 每小题 5 分 ，共 40 分。每小题中仅有一个选项正确.
1-8 DBCA DCBA
二 、多选题 ： 每小题 5 分 ，共 20 分。全部选对的得 5 分 ，部分选对的得 3 分 ，有选错的得 0 分.
9.BD 10.BC 11.ABD 12.AD
三 、填空题 ： 每小题 5 分 ，共 20 分.
13.- 3i 14.2 15. 79 JG2 7
四 、解答题 ： 本题共 6 个小题 ，共 70 分.
17.【解答】
2
2m ?m?1=0 1
(1)依题意 ，得 ? ?m=?? ………… 4分
?? 2
m ?1≠0 2
? 2 2 2 2
(2)由已知得 z1=z+3i= (2m ?m?1) ? (m ?1)i+3i= (2m ?m?1) + (4?m)i ………… 6分
由题可得
2
2m ?m?1>0
??? 2
4?m >0
1
m1
?? 2
???21
??22
1
即 实数 m的取值范围是 ( ?2, ??) ∪ (1,2) ………… 10分
2
18.【解答】
(1)根据题意知 ，
将所得平面图形绕直线 DE旋转一圈后 ，
所得几何体是 D
上部是圆锥 ，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体 ； ………… 4分
45°
(2)则该组合体的表面积为
S组合体 =S圆锥侧 +S圆柱侧 +S半球 C
E
1 2
=π×4×4 2+2π×4×4+?×4π×4
2 4
= (16 2+64)π； ………… 8分
A B
组合体的体积为 4
V组合体 =V圆锥 +V圆柱 -V半球
?1 2 2 1 4 3
= ×π×4 ×4+π×4 ×4-?×?×π×4
3 2 3
128
=???π．
3
………… 12分
19.【解答】
高一数学 --参考答案 --第 1页
? ? ? m?n=3 m=2 ? ?
(1)设 ?
c=ma+nb(m,n∈R)，则有 ? ?? ∴c=2a?b ………… 4分
??2m+n=3 ??n=?1
? ? ? ?
(2)设 d=λa(λ<0)，则 d=λa= (λ,2λ)
?
由 2 2
|d| =2 5可得 λ + (2λ) =2 5?λ=?2
?
∴d= ( ?2, ?4) ………… 7分
? ? ? ?
(3)a+kc= (1+3k,2+3k),a?2b= (3,0)
1
由题意得 3(1+3k) =0?k=??
3
? ?
∴a+kc= (0,1)
? ? ?
? ? ? （ ????????a+kc） ?a 0×1+1×2 2
∴a+kc在 a方向上的投影的模为 ? =???????=? 5 ………… 12分
|a| 2 2
1 +2 5
20.【解答】
(1)
若选① ：
b ??????cosB+1
因为 ?= ，结合正弦定理可得 ： 3sinBsinA=sinAcosB+sinA，
a 3sinA
因为 A为三角形内角 ， sinA≠0，所以 3sinB=cosB+1， …………………………2 分
π π
化简 ，得 ： 2sin(B-? 1
) =1，即 sin(B-?) =?，
6 6 2
π π 5π π π
因为 B∈ (0， π)，可得 B-?∈ ( -?， ?)，可得 B-?=?，
6 6 6 6 6
π
所以可得 B=?． …………………………5 分
3
1 π
(若采用联立方程求出 cosB=?后结合 B∈ (0， π)求出 B=?亦可）
2 3
若选② ：
asinB sinB
2bsinA=atanB，即 2bsinA=????，结合正弦定理可得 2sinBsinA=sinA?????，
cosB cosB
∵sinA≠0， sinB≠0
1
∴cosB=?，
2
∵B∈ (0， π)，
π
∴B=?． …………………………5 分
3
若选③ ：
因为 (a-c)sinA+csin(A+B) =bsinB，所以 (a-c)sinA+csinC=bsinB，
结合正弦定理可得 ： 2 2 2 2 2
(a-c)a+c =b ，整理可得 ： a +c -b =ac，
2 2 2
???????a +c -b ac 1
由余弦定理可得 cosB= =???=?，
2ac 2ac 2
π
因为 B∈ (0， π)，所以 B=?． …………………………5 分
3
(2)在 2 2 2 2
△ABC中 ，由余弦定理 ，可得 b =a +c -2accosB= (a+c) -3ac=16-3ac，
即 2
3ac=16-b ， ……………………7 分
2 a+c 2
∴16-b ≤3(????) =12，解得 b≥2，
2
当且仅当 a=c=2时 ，取等号 ， …………………10 分
1
∴bmin=2， △ABC周长的最小值为 6，此时 ， △ABC的面积 S=?acsinB= 3． ………12 分
2
高一数学--参考答案--第 2页
21.【 解答】
(1) ??? ???
∵AD=2BC．
??? 1 ???
∴BC=?AD，
2
则 ??? ??? ??? ???
DC=DA+AB+BC
??? ??? 1 ???
=-AD+AB+?AD
2
??? 1 ???
=AB-?AD． …………………………4 分
2
(2)
方法一 ： ??? ??? ???
AC=AB+BC
??? 1 ???
=AB+?AD，， …………………………6 分
2
??? ??? ??? ???
∵AN =2NB， DM =λDN，
??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???
∴AM =AD+DM =AD+λDN =AD+λ(AN -AD) = (1-λ)AD+λAN
?2 ??? ???
= λAB+ (1-λ)AD， …………………………8 分
3 ??? ???
若 A， M， C三点共线时 ，有 AM//AC
从而 ??? ???
存在唯一的实数 t，使得 AM =tAC
?2 ??? ??? ??? D
1 ???
即 λAB+ (1-λ)AD=tAB+?tAD
3 2
??? ???
又由 AB、 AD不共线 ， C
由平面向量基本定理 ，可得 M
??2
?? λ=t
3 A N B
?? 1
??1-λ=?t
2
1 2λ
消去 t可得 1-λ=?×?， …………………………1 1分
2 3
3
解得 λ=?． …………………………1 2分
4
方法二 ： ??? ??? 1 ???
由 (1)知 AB=DC-?DA．
2
??? ??? ??? ???
∵AN =2NB， DM =λDN，
??? ??? ??? ??? ??? 2 ??? ??? 2 ??? ??? 2 ??? 1 ???
∴DM =λDN =λ(DA+AN) =λ(DA+?AB) =λ(DA+?AB) =λ[DA+?(DC-?DA)]
3 3 3 2
?2 ??? 2 ???
= λDA+?λDC …………………………8 分
3 3
2 2
由 A， M， C三点共线可得 ?λ+?λ=1 …………………………1 1分
3 3
3
解得 λ=?． …………………………1 2分
4
高一数学--参考答案--第 3页
22.【解答】
(1)由已知可得 AB=AD=2，且有 ∠AMB+ ∠AMD=π …………………………1分
由 M 为 BD上靠近 D的三等分点可设 DM =x(x>0),则 BM =2x
在 ΔAMD和 ΔAMB中 ，由余弦定理可得
2 7
2 2 2 ??? 2 2 2
???????????AM +DM ?AD ( ) +x ?2
cos∠AMD= =??????????3
2AM ?DM 2 7
2?????x
3
2 7
2 2 2 ??? 2 2 2
AM +BM ?AB ( ) + (2x) ?2
cos∠AMB=???????????=???????????3
2AM ?BM 2 7
2?????2x
3
由 ∠AMB+ ∠AMD=π可知 cos∠AMD+cos∠AMB=0，
2 7 2 2 2 2 7 2 2 2
(???) + (2x) ?2 (???) +x ?2
即 ???????????3 +??????????3 =0
2 7
2???? 2 7
?2x 2?????x
3 3
2
解得 x=? …………………………5分
3
从而 BD=2,所以 ΔABD是正三角形
π
故 ∠DAB=? …………………………6分
3
（2）如图 ，以 A为原点,AB 所在直线为 x轴建立直角坐标系 A-xyz
则 A(0,0), D(1, 3),C(3, 3) …………………………7分
由点 P为对角线 BD上的任意一点可设 P(2-t, 3t) (0≤t≤1)
则 ??? y
PA= (t-2, - 3t) D
??? C
PC= (t+1, 3- 3t)
???
PD= (t-1, 3- 3t) P
??? ??? ???
∴PA? (PC+PD) = (t-2, - 3t) ? (2t,2 3(1-t)) A x
=2t(t-2) -6t(1-t) B
2
=8t -10t
5 2 25
=8(t-?) -? …………………………11分
8 8
由于 0≤t≤1，
故
5 ??? ??? ??? 25
当 t=?时 ， PA? (PC+PD)取得最小值 -? …………………………12分
8 8
（如用其他方法请酌情给分）
高一数学--参考答案--第 4页