广东省广州市三校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题 Word版含答案

广州市2020-2021学年下学期期中三校联考
高一数学
本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分).
1．已知false为虚数单位，集合false，false.若false，则复数false等于（ ）
A．false B．false C．1 D．?1
2. 设false为三个不同的平面，若false，则“false”是“false”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3. 已知向量false，若false，则false（ ）
A．0 B．false C．6 D．false
24047451223645106045012700004. 中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为false，扇形OAB的面积为false，当false与false的比值为false时，扇面的形状较为美观，则此时弧CD与弧AB的长度之比为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5. 已知函数false是定义在false上的偶函数，且在false上单调递增，则（ ）
A．false B．false
C．false D．false
6. 在中国共产党建党100周年之际，某外国语学校组织了“党史知识竞赛”活动，已知该外国语学校共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人，则该校高一年级学生人数为（ ）
A．1680 B．1020 C．960 D．720
7.祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为false，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面false上.以平行于平面false的平面于距平面false任意高d处可横截得到false及false两截面，可以证明false总成立.据此，短轴长为false，长轴为false的椭球体的体积是（ ）false
A．false B．false C．false D．false
8.已知函数false，函数false，若false，false，使得不等式false成立，则实数false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，漏选得2分，多选不得分）.
9. 已知复数false，则下列说法正确的是（ ）
A．若false，则共轭复数false B． 若复数z为纯虚数，则false
C．若复数false，则false D．若false，则false
10.已知false，false，false，下列结论正确的是（ ）
A．false的最小值为false B．false的最大值为false
C．false的最小值为false D．false的最小值为false
11．如图所示，点false是函数false(false，false)图象的最高点，false?false是图象与false轴的交点，若false，且false，则（ ）
A．false B．false C．false D．false
12. 定义域和值域均为false的函数false和false的图象如图所示，其中false，下列四个结论中正确有（ ）
A．方程false有且仅有三个解 B．方程false有且仅有三个解
C．方程false有且仅有八个解 D．方程false有且仅有一个解
三、填空题( 本大题共4小题，每小题5分，共20分).
13.函数false的定义域是____________．
14.函数的最大值为_____________.
15. 2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产，设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x1，x2，x3，x4，x5(单位：十万只)，若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x12，x22，x32，x42，x52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩___________(单位：十万只).
16. 在三棱锥false中，false是边长为false的等边三角形，false是以false为斜边的等腰直角三角形，二面角false的大小为false，则该三棱锥外接球的表面积为________．
四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18—22题每小题12分，共70分）.
17．false中，角false的对的边分别为false，且false
（1）求角false的大小；
（2）若false，求false面积的最大值.
18.如图，已知false平面false，false平面false，false为等边三角形，false，F为false的中点．
（1）求证：false平面false；
（2）求直线false和平面false所成角的正弦值．
19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
频数
6
26
38
22
8
（1）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
20. 如图，false是圆false的直径，点false是圆false上异于false，false的点，直线false平面false.
（1）证明：平面false平面false；
（2）设false，false，求二面角false的余弦值.
21. 已知函数falsefalse的图像如下图所示，点false，false，false为false与false轴的交点，点false，false分别为false的最高点和最低点，若将其图像向右平移false个单位后得到函数false的图像，而函数false的最小正周期为false，且在false处取得最小值．
（1）求参数false和false的值；
（2）若false，求向量false与向量false之间夹角的余弦值；
（3）若点false为false函数图像上的动点，当点false在false，false之间运动时，false恒成立，求false的取值范围．
22. 已知函数false，false，false.
（1）若函数false在false上有零点，求false的取值范围；
（2）若对任意的false，总存在false，使得false，求false的取值范围.
（3）设false，记false为函数false在false上的最大值，求false的最小值.
2020-2021学年下学期期中三校联考
高一数学参考答案
命题学校：广州外国语学校 命题人： 审题人：
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题.
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
D
B
C
C
A
D
二、多项选择题.
9
10
11
12
CD
BD
BC
ABD
三、填空题.
13. 14. 1 ; 15. 1.6 ; 16.
四、解答题.
17.解：（1）由，
由正弦定理可得：，…………2分
可得，
在中，，，……………………4分
可得：，故. ………………………………5分
（2）由（1）知，且，根据余弦定理，…………6分
代入可得：，
所以，
所以，……………………8分
当且仅当时取等号， …………………………9分
所以面积的最大值为. …………………………10分
18.（Ⅰ）取CE中点G，连接BG，FG，如图所示：
因为F、G分别为CD、CE的中点，所以false且false，
又因为false平面false，false平面false，所以false，false,
所以false，false，所以四边形ABGF为平行四边形，
所以false，
又因为false平面false，false平面false，
所以false平面false；…………………………………………6分
（Ⅱ）因为false平面false，false平面ACD，
所以false，所以false，
又false为等边三角形，F为CD的中点，
所以false，
又false平面CDE，
所以false平面CDE，即false平面CDE，
又false平面CDE，则false，
连接DG，BD，如图所示，
则false即为直线false和平面false所成角，………………………………9分
设false，在false中，false，
在直角梯形ABED中，false，
在false中，false，
所以false，
所以直线false和平面false所成角的正弦值为false.…………………………12分
19. （1）直方图如图，
……………………3分
（2）质量指标值的样本平均数为
false.………………5分
质量指标值的样本方差为
false.…………8分
（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为
false，
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.………………………………………………………………12分
20. 解:
（1）4467225117475证明：∵false是圆false的直径，∴false，
又∵false平面false，
∴false，………………3分
∵false，false平面false，false平面false，
∴false平面false.又false平面false，
∴平面false平面false.………………6分
（2）∵false平面false，false平面false，所以false
过false作false于false，连接false，
false,false平面false，所以false平面false
则false，
∴false即为二面角false的平面角，………………9分
false，false，
∴false.
∴false. ………………12分
21.【解】（1）false
false
false
又false时，false取最小值
则false，false
false，false
又false则 false………………………………3分
（2）false，则false，false，false
则false
false
则false……………………7分
（3）false是false上动点，false
false，false
又false恒成立
设false
false，false
falsefalse
false
false或false时，上式有最小值
即当false在false活false时，false有最小值false或false
false为false时，false，false
false，得false
又false，则false
false为false时，false，falsefalse
同时，false综上，false …………………………12分
22.解：（1）因为函数false的图象的对称轴是直线false，
所以false在false上为减函数.
又false在false上存在零点，所以false，解得false
故false的取值范围为false………………………………3分
（2）若对任意的false，总存在false，使得false，则函数false在false上的函数值的取值集合是函数false在false上的函数值的取值集合的子集.
函数false图象的对称轴是直线false，
所以false在false上的函数值的取值集合为false
①当false时，false，不符合题意，舍去.
②当false时，false在false上的值域false，只需false，解得false
③当false时，false在false上的值域为false，只需false，无解.
综上，false的取值范围为false………………………………7分
（3）false
当false或false时，false在false上单调递增，
则false；………………………………9分
当false时，false，
解false，得false，
故当false，false………………………………11分
综上， false
于是false的最小值为false…………………………12分