安徽省2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试题 PDF版含答案

绝密食启用前
2
9函数只中卡3 -ax 在（－2,-1)上单调递减，则实数α的取值范围为
A. ( -oo ,
-1) B.(-oo,-1] 巳(1,+oo) D. [ -1, + oo)
2 ’
10.已知
安徽省2020-2021学 函数J(x)
年（下）高二年 = x+ cos x
级期中考试 f' { f) (f' （哺只峭导函数），则
f （ -f)
=
1T
A. -- B. －τ c.τ o
2 .f
阳叩
2 元
NU倒 文科数学 11. ’
已知函数J(x)
= x e ，则 J(x）的导函数
f （x）的图象可能是
y丰y
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上 A. B.
的指定位直．
x x
·即限制带 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦
。
干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
y y
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
C. D.
我？ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 x x
求的．
2 『 3 2
x -3x+ 1.x?l.
1.已知集合A= j x I log2 x ＜刻，B= lxlx ?1 ＼
日 ，则AnB=
「 12.已知函数J(x)= ?
2 ”若方程J(x) －α＝1有三个不同的实数解，则实数α的取值范围为
11 -x ,x < 1,
制 A.( 0, 1] B. [ 1 ,4) C. [ 1,2) D. [ -1,4)
哥哥、 A. ( -4 , -2] U （一1,0) B. ( -4, -2
“ ” ) U[ -1,0)
＿！＿＿
2.命题 Vx>0,x
＋ ?2 的否定是
x C. ( -3, -1] U ( 0, 1) D. ( -3，一l)U[0,1)
? A. :lx0 ::s;O ,x0 + _!__ < 2 B.3 X0 ::s;O ,x0 + ＿！＿＿?2
Xo 耳
。 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
C.3 _!__
x0 > 0 , x0 + ＿！＿＿二三2 D.3x0 >0,x0 + <2
Xo 13.若复数z
耳。 － ＝于三是纯虚数
.L I ，则实数α＝
+
々F
2
3.己知函数J(x)=ax (α并O）从x= 1至Ux =2的平均变化率为－6，则实数α的值等于
幸旦 14.执行下列程序框图：
A. 2 B. 1 c. -1 D. -2
＃憾 4 1 ) - x
已知 i( 伫.i )= 3 'JJlU f( x）在户1处的导数f'(l)=
H 若输出的SE(2,6］，则输入的z的取值范围为
A. -1 B.
1 C. -3 D. 3
5苦 15.雨数J(x)＝毛的极值点为x=
苦寻 5.在复平面内，复数z所对应的点在射线y= -2x(x?O
）上，且lzl＝厅，则 z=
A. 1 -2i B. -1 + 2i C. 2 -i D. -2 +i 16.设有下列四个命题：
斗－1 1
P1：右 x ＜丁，则lg(x-y+l)>0;
2 2
（凶 P2：若sinx > sin y , JJ!U x > y ;
主 三
，悟）峭 A.2n-1 B.A
3n-2 A?
C.4n-3 点
D.Sn-4 p3：若z汁，z>O，则 〈 ；
x y
。
7.已知函数J(x)=ln x ＋阳的图象在x= 1处的切线倾斜角为135 ，则实数α＝
2 2
p4：若x+y =2，则x 十y 的最小值为4.
A. -2 B.一1 C. 0 D. 1
z 则下列命题中所有真命题的序号是
8.已知条件p：点(1,2）在函数y ＝矿＋α x的图象上；条件q：α＝l.则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ①P1 Apz ②P1 V （「 P2) ③IJ)3 八（「 p4) ④（「p3)
v p4
c. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
文科数学（A卷）试题 第1页（共4页） 文科数学（A卷）试题 第2页（共4页）
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. ( 12 分）
17. (10分） 某地从今年3月份正式启动新冠肺炎疫苗的接种工作，前4周的累计接种人数统计如下表：
为研究英语学习者的性别与英语阅读理解水平间的关系，随机调查了某大学英语专业的100 名大学生， 前z周 2 3 4
得出如下的2×2列联表： 累计接种人数y（千人） I 2.s 3 4 4.5
男 女 ，总计 ( I ）画出上表数据的散点图；
阅读理解水平好 65
y
··－ ·· ··EE ·· ··－ ··－ ·－ ， ··EE ·· ·－ ··EE·E ·－ ··EE·E
．．．．． ·· ，E·e· ．． －．－．” － － － ．． ．－ －’’E ． ．．．． ．．．． ．．．． ．． ．． ．． ．．． －电 ． ． ’－ ． ． ． － ．．．．．． 『···咱···4···4···4···ds·a·
阅读理解水平差 15 35
A斗2JqL
．．． ζJA斗，、J ．．．．． ．． ．．．．． AT． － 4咱
··E·E·－ E． ．．． － － － －．
总计 ，
50 100
－－－－ －－－－ －－－－ ．．．．．．．．．．．．
－－－－ －－－－ －－· －－－－ －－． ．．．． A’．．
E ．． － －－－－ －－． a啕
．．．． ．． ．．．． ．．．． ．．．． ．．
－－－ －－－ －－－ －·····－
罔”． ” ． A ．． ． ．． A．
’ 幽－
( I ）将列联表补充完整； E
··E·E· ’目．’． 4 ．．．
－－ ，，，－ －－ ．． － － －圄 －－ ．．．． － － ．
( II ）判断是否有90% 句3 E
的把握认为英语阅读理解水平与性别有关．
ζJ ··E·E · －， － ．aEa ． － － ．．． ， ．
2 2 ．． ’’
附：K= n（αd-bc) ’
，其中
n ＝α ＋
（α ＋ α ＋ b+c +d. － x
b)(c+d）（ c)(b+d) 2 3 4
2
P(K ?仇） I 0. 10 I 0. 05 [ 0. 010 ( II ）求y关于z的线性回归方程；
k。 I 2. 106 I 3. s41 I 6. 635 < m）政府部门要求在2 个月内（按 8周算）完成 8 千人的疫苗接种工作，根据（II ）中所求的回归方程，
预计接下来4周是否需要加快接种工作的速度．
－
A 《 ?＞川 nxy
附：线性回归方程y
= bx+ a中，b ＝勺 ,a
= :r -
2 bx
Lt x: n量
-
18. (12分）
lo噬主（4 -x)
2
已知函数／（X)= -o?
r.c-一？的定义域为集合A，关于耳的不等式（x -m ) ( x -2m + 1) ?o 的解集为B.
v'2x + 1
( I ）当 m=2 时，求（CaA) UB;
( II ）若XEA 是XEB的充分条件，求实数m的取值范围． 21. ( 12 分）
3 2
已知函数J(x)=ax +bx +2x +3.
( I ）若f(x）在点(1,J(l））处的切线方程为如－y-1=0，求实数α，b的值；
’ ’
( II ）若 α ＞士，j(x）在［ -1,0）内存在极小值，且f（ -2) ＝町 （x）为州的导函数），求实数 b 的取值
范围．
19. ( 12分）
2
已知函数贝克）＝矿＋ax+bx+ 1 的单调递减区间为［ -1 ,3].
( I ）求实数α，b的值；
22. ( 12
( II ）求函数f(x）在［ -3 分）
,4］上的最值． 已知函数／（x)= ln x -ax.
( I ）讨论函数！（川的单调区间；
( II ）若α ＞0 2
，证明：关于
Z 的不等式f(x) > -a －%－有解
文科数学（A卷）试题 第3页（共4页） 文科数学（A卷）试题 第4页（共4页）
安徽省2020-2021学年（下）高二年级期中考试
文科数学（A卷）答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1.答案 B
命题意图 本题考查集合的表示与运算．
解析
A= l x I log
2 x < 2 f = ( 0 , 4 ) ,
B = ( -oo , -1 ] U [ 1 , + oo ) , : .
A n
B = [ 1 , 4 ) .
2.答案 D
命题意图 本题考查全称命题的否定．
解析 将全称命题改写为特称命题，并对结论进行否定．
3.答案 D
命题意图 本题考查与导数有关的基本概念．
2 2
·二监 α 2 -a 1
解析 ＝ · · ＝切，：. 3a = -6，解得α＝-2.
Llx 2 -1
4.答案 c
命题意图 本题考查导数的定义
(1 ) -f (1 +
解析 lim/ Lix) = -lim[(l + Lix) －月1)= l 1)
-0 3 ,f' (1 ) = limi( + Lix) －只 = -
,i. 3.
?→ Lix ，→0
5.答案 A
命题意图 本题考查复数的概念和运算
2
解析 设z＝α －2αi（α；；：，： 2
O），γlzl＝厅，：.a +(-2α） = 5，解得α
＝l,:.z=l-2i.
6.答案 c
命题意图 本题考查归纳推理的应用．
解析 各图中所含正三角形的个数分别为1,5,9，…，则第n个图中正三角形的个数为1 +4（π － 1) = 4n -3,
nεN*.
7.答案 A
命题意图 本题考查导数的几何意义．
。
解析 土
·:j'(x）＝ ＋α，：.f'(l)=l＋α＝tan 135 ＝-1，解得α＝
x -2.
8.答案 B
命题意图 本题考查充分条件与必要条件的判断．
2
解析 若p成立，则1 ＋α =2，解得α＝士l,:. p是q的必要不充分条件－
9.答案 B
命题意图 本题考查利用导数研究函数性质．
’ 2
解析 f（x) = x -2创＝ － －
x(x-2α），γf(x）在（ 2,-1）上单调递减，：.!' ( x）豆。在（ 2,-1）上恒成立，
:. 2α运 －2，即α运 －1.
一 1 一
10.答案 A
命题意图 本题考查导数的计算．
解析 ·: ＇
f' ( x) = 2x - 旦
f' （王）sinx ,. . J （王）＝
\ ，易知 J(x －旦
）是偶函数，.J'( －王）= .
飞 2I 2 I 2 \ 2 I 2
11.答案
c
命题意图 本题考查利用导数研究函数的性质．
’ 2 x x 元 ’ ＇
解析 f （x) =x e +2xe =x(x +2)e ，γ由／ （x) =0得x =0或x= -2，因此排除A,D.令 g(x) =J （吟，则
2 ’ 2 ’
g'(x) = (x +4x +2）矿，令g （x)<0，得x +4x +2 <0，解得zε（-2 -/f, -2 +/f），可知g （x)> 0时，XE
( -00 ' -2 -/f）或XE(-2+/f, +oo),:.f'(x）在（-2 -/f, -2 +/f）上单调递减，在（-00 ' -2 -/f）和
( -2 ＋，.／言，＋∞）上单调递增，所以排除B.
12.答案 A
命题意图 本题考查利用导数研究函数性质．
2
’
解析 当x?l 时，f'( x) = 3x -6x = 3x( x -2），可知在(I,2）上，j'(x) <0，在（2,+oo）上，f （x)> 0, :. J( x)
在(I,2）上单调递减，在（2,+oo）上单调递增，J(l) = I ,f ( x）极小值 ＝J(2)= 3.画出 J（川的大致图象如图，
方程 J(x)－α
二 l即方程J(x) ＝α＋1有三个不同的实数解，即函数J(x） 的图象与直线
y＝α＋I有三个交点，
-3
＜α＋l运 －1或0
＜α＋1 < 1，解得－4
＜α运 －2或－1
＜α
＜0 α的取值范围为（－4,-2]U
，：. 实数
( -1,0).
x
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.答案 1
命题意图 本题考查复数的基本概念和运算．
α一一－
z 2i （α－2i)(2-i) 一一一2α－
·: ＝ ＝ ＝ 2 －一一a牛4
解析 i,’ :.2α－2=0
：.α＝ l.
2+i (2+i)(2-i) 5 5
I 1 5 l
4.答案 I ’
飞 3 3 II
命题意图 本题考查程序框图的基本逻辑结构．
解析 依题知 2< 1 + 3x：：：：三6，解得上＜x＝＝：二三
3 3·
15.答案 3
命题意图 本题考查利用导数研究函数极值．
2 x 3 x
’ x e -x e － ’
解析 f （x) = 3 豆豆二主i，令 －
( e' )2 - e' f （x)= 0，得x=O或必 ＝3， 当zε（ oo,3）时，f'( x） 注0，当zε
’
(3,+oo）时J （x) <0，.二 J(x）在（-00 ,3）上单调递增，在（3,+oo）上单调递减，
：.J(x）只有一个极值点 x =3.
16.答案 ②④
命题意图 本题考查逻辑联结词及命题真假的判定等相关知识．
2
解析对于
P
， ：由l_!_I x-y+l>l
J 飞 J ，故lg(x-y+l)>0，故
P
i
2 为真命题；对于
P
2，正弦
\ 2
土 土
函数不是单调递增函数，显然P
2为假命题；对于民，若
x>0
>y，显然
x 〈
y 不成立，故且是假命题；对于且，
2 2 2 2 2 ．
2 (
x + y ) ? (
x + y) = 4，所以
x + y 的最小值为2，故且为假命题 所以②
'P1 V (-,
P
2）和④（「p
3)
v p
4为真
．
命题
．
三、解答题：共70分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
．
17.命题意图 本题考查独立性检验的应用
解析( I )
男 女 总it
阅读理解水平好 30 35 65
阅读理解水平差 20 15 35
总i十 50 50 100 .. ( 4分）
2
2
·: K 100
×（30
×15 -35
×20)
( II ) =
× × × = 1. 099 < 2. 706 , .. (8分）
50 50 65 35
．．
· 没有90%的把握认为英语阅读理
．
解水平与性别有关 …..........................………….........…. ( 10分）
18.命题意图 本题考查集合的运算及充要条件．
r4-x>0 ,
I
1 、
解析(
x
I ）由题意知｛ 二
A＝↓
xl－÷＜ < 4 ?＇……………·…...............….................
马 (2分）
[2x+l>0, l I J
－
C
RA={xlx:e::;; ÷或自4} (3分）
当m=2时，B=!xl3运x：：：三4f，………………………………………………………………………………
M分）
:. (C
R ．
K A)UB＝?xl间－土或z到?＝
I－∞’－土｜
υ口，＋∞） ….......................…….......... (6分）
I I 2 I ＼ 2 I
2 2
( II ) ·： 旷－（2m 1) = (m 1) ?0,:. B= lx12m 1白运m I. …….......…............................. (8分）
若zεA是XEB的充分条件，则A豆B， ……………………………………………………………………阳分）
斗 ........…·
4解得m运－2, …….......…. ( 11分）
2
（工m 注4.
故m的取值范围是（－oo,-2]. ………………………………………………………………………… （12分）
19.命题意图 本题考查利用导数研究函数性质．
2
解析(
I )!' (
x) =
3x + 2创刊， …………………………………………………………………………(1分）
依题知斗，3是方程3乒
＋2ax ． ． ． ．． ． ． ． ．． ．
叫＝0的两个根，．．． ．． ．．．．．． ．． ．． ．． ．． ．．．．．．．． ．．
． ．． ． ．
．．．．．． ．． ．． ．．
．
．． ．．．．．．ρ分）
- + 3, α＝ -3
.. (5分）
, : 解得
· { :: ｛
b
一一
× = -9.
＝ -1 33 ,
}
2
( II )J' (
x) = 3x -
6x -9 = 3 (
x -3) (
x + 1) ,
’
f （ x) ,( xf
）随z变化的情况如下：
一
-3
x -3 (-3,-1)
( - 1 ,3) 3 (3,4) 4
’
f （x) ＋ 0 ＋
。
f(x) -26
增 极大值6 减 极小值 26
增 一19
.. (9分）
由表知,J(X)
min = -26，贝克）
max = f( -1 ) = 6. ……......…………………………………………………（12分）
20.命题意图 本题考查散点图及线性回归．
解析 ( I ）散点图如下：
y －－－··· －－－··· －－－··· －－－··· －－－··四 －－－··· －－－···
EE －－－···
EE－－－··· －－－··· －－－··· －－－··· －－－··· －－－···
EE－－－···
EE EE －－－··· －－－··· －－－··· －－－··· －－－··· －－， －－－··· －－－··· －－－···
EEE FIll「tl「ll「ll
EE ’
BE EEE EE ’’ 『，
EVE EE E、
54535
E E
A叶 ’ ’唔 ，．
．．．
－··
AVE－－－E EE E 咱···4···4···d···d····
－－·· －－·· －－·· －－·· －－·· －－·· －－ －－·· ，，
E 4E －－··
－－－ ， －－－ ’’ ’’
飞dq』 eEBt dsttd－－－
．．．EBB ．．．
』
llIFIll －T －T
EE Et ，，
aEdtEt
－－
tt －－
BEEE
’自
－
2 3 4 x .. ( 4分）
: 1 + 2 + 3 + 4 : 2. 5 + 3 + 4 + 4. 5
(Il)_x 2.5,y: :3.5，????????????????????????????????????????????????????????????“分）
4
A
38. 5 -4
×2.5
×3.5
b＝空 ＝0.7，δ＝3. 5 -0. 7
×2. 5 = 1. 75，……………........…................................ (8分）
30 -4
×2.5'
因此回归方程为y=O. 7x+l. 75.……………………………………………………………………………阳分）
( III ）令x=8，得y=O.7
×8 + 1. 75 = 7. 35,
因为7.35 < 8，所以接下来4周需要加快接种工作的速度． …........….........…………................... ( 12分）
21.命题意图 本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究三次函数的性质．
2
解析 ( I )/(1) =9
×1 -1 = 8 ,f' ( x) = 3αx +2bx +2,
『3α
＋2b+2 =9.
『α＝1.
’
依题得｛ 得J ．．．．…………………………………………………………………….. (5分）
lα ＋ b + s = 8 , Lb = 2.
2
( II )!' ( x) = 3αx +2bx +2,
’
f（ -2) =0,. 12α
－4b +2叫nb = 3α＋÷
2
:. f'(x) =3ax + (6α＋ 1) x + 2 = ( 3ax + 1) ( x + 2），……·······…............................................…（7分）
上 土
·．·α ’
＞ ， －
：.f（x) =0有两个不同的实数解
，目nx ＝ 或x= -2，且＿_!_> -2,
3α 3α
土
在（ － 上
oo,-2）
’ ’
上J（x)>0 ,f( x）单调递增，在 I -2 ’ － i上J（x) < 0 ,f( x －
）单调递减，在 I ，＋oo
飞 3αJ \ 3α f I上，
’
f（ x) > 0 ,f( x）单调递增，
x=--J-
3α 是J(x）的极小值点 (IO分）
-1运 －-l-3α .｝ L, L,
．·实数b的取值范围为 l...
00 ） ……………………………………………………………………… 分）
I I ’ + . (12
2 ！
-4 一
22.命题意图 本题考查利用导数研究函数性质，证明不等式．
解析 ( I ）函数
f(x）的定义域为（0 , + 00 ) ,/' ( 土
x) ＝ －α，
x
①若α运0，当
x>0时，
f'(x) >0，所以J(x） 在（O,+oo）上单调递增． ………………........……………. (2分）
②若α＞
0 ，令川）
=0 ，则x ＝ 士，
＇ ＇
在（
o ，士）上
，！ (x) > 0，在（士，＋∞ ）上
，！(
x) < 0,
所以只明（
o ，士）上单调递增，在（士， ＋∞ ）上单调递减
综上，若α运0
,J(x）的单调递增区间为（O,+oo).
若α＞0点峭单调递增区间为（
o ，士），单调递减区间为（士，＋∞ ） (5分）
( II ）若α＞0，由（ I ）知只x)max =fl_!__) =ln 上－以上＝ -(ln α＋ 1
飞α1 ）
α ，…… …… …… …........ ( 6分
α ）
即证明－(lnα＋ 1) > －ι÷
2
2 3 , 1 2x -1
令g(
x) = -(ln
x + 1) +
x + -’g (
x) = －一＋2x ＝一一一
4 z ，................…................................ (7分）
x
令
x 手 手 ∞
g'( ） 川导户 ，在（
o ， ）上，向）<0，在（子，＋ ）上，白）>0,
所以
g(x） 在（
o ，字）上单调递减，在（字，＋∞）上单调递增 (9分）
立 土
g(x)
m;n =
g（句＝ -ln ? -1 + { ＋ ＝上 ln ＋ ） ….......…………………... 1 分
\2} 2 \2} ?f ｛ 2 >0
4 ， ( 1 ）
2飞 2 J
因此，g(x) >0恒成立，即原不等式有解. ........……....................................……................... ( 12分）
-5 一