第四章
因式分解章节考点梳理卷
【考点1
因式分解的概念】
【方法点拨】掌握因式分解：
（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．
（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.
（3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.
【例1】（2020春?鄞州区期中）下列由左到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
B．x2﹣1＝x（x）
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
【变式1-1】（2020春?东台市期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的为（ ）
A．（2x﹣1）（x+3）＝2x2+5x﹣3
B．a4+4＝（a2+2a+2）（a2﹣2a+2）
C．﹣6a2b＝﹣2a2?3b
D．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x
【变式1-2】（2020秋?高新区校级月考）下列变形属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
B．x﹣1＝x（1）（x≠0）
C．x3+2x2+1＝x2（x+2）+1
D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
【变式1-3】（2020春?淮安区期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．2x+4y+1＝2（x+2y）+1
B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．x（x﹣10）＝x2﹣10x
D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
【考点2
因式分解—提公因式法】
【方法点拨】确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同
多项式因式）的指数的最低次幂．
提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确
定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，
可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的
每一项，求的剩下的另一个因式；
【例2】（2020春?碑林区校级月考）多项式：①16x2﹣8x；②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4；③（x+1）4﹣4x（x+1）2+4x2；④﹣4x2﹣1+4x分解因式后，结果中含有相同因式的是（ ）
A．①和②
B．③和④
C．①和④
D．②和③
【变式2-1】（2020秋?唐河县期末）如果多项式abcab2﹣a2bc的一个因式是ab，那么另一个因式是（ ）
A．c﹣b+5ac
B．c+b﹣5ac
C．c﹣bac
D．c+bac
【变式2-2】（﹣2）2021+（﹣2）2020的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣22020
C．﹣22019
D．﹣24039
【变式2-3】（2020秋?安居区期末）化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99＝
．
【考点3
因式分解—公式法】
【方法点拨】概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
【例3】（2020秋?乳山市期中）下列各式：①﹣x2﹣y2；②a2b2+1；
③a2+ab+b2；
④﹣x2+2xy﹣y2；⑤mn+m2n2，用公式法分解因式的有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【变式3-1】（2020秋?鱼台县期末）已知9x2﹣mxy+16y2能运用完全平方公式分解因式，则m的值为（ ）
A．12
B．±12
C．24
D．±24
【变式3-2】（2020秋?厦门期末）运用公式a2+2ab+b2＝（a+b）2直接对整式4x2+4x+1进行因式分解，公式中的a可以是（ ）
A．2x2
B．4x2
C．2x
D．4x
【变式3-3】（2020秋?北碚区期末）若4x2+kx+25＝（2x+a）2，则k+a的值可以是（ ）
A．﹣25
B．﹣15
C．15
D．20
【考点4
因式分解（提公因式与公式法综合）】
【方法点拨】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。而且一定要把各因式分解到不
能再分为止！不能分解的不要死搬硬套.
【例4】（2020春?邳州市期中）因式分解：
（1）x4﹣16；
（2）2ax2﹣4axy+2ay2．
【变式4-1】（2020春?锡山区期中）因式分解：
（1）3ab3﹣30a2b2+75a3b；
（2）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；
（3）（x2+y2）2﹣4x2y2．
【变式4-2】（2020春?玄武区期中）因式分解：
（1）a3﹣a；
（2）4ab2﹣4a2b﹣b3；
（3）a2（x﹣y）﹣9b2（x﹣y）；
（4）（y2﹣1）2+6
（1﹣y2）+9．
【变式4-3】（2020春?高新区校级月考）因式分解：
（1）4（a﹣b）2﹣16（a+b）2；
（2）（a﹣b）2+3（a﹣b）（a+b）﹣10（a+b）2．
【考点5
因式分解（十字相乘法）】
【方法点拨】借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解：这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1?a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）．
【例5】（2020春?绍兴期中）【阅读理解】如何将x2+（p+q）x+pq型式子分解因式呢？我们知道（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得；x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．例如：∵（x+1）（x+2）＝x2+3x+2，∴x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
上述过程还可以形象的用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图：
这样，我们可以得到：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
【迁移运用】利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：
（1）x2+7x+12．
（2）﹣2x2﹣2x+12．
【变式5-1】（2020春?北仑区期末）对于二次三项式a2+6a+9，可以用公式法将它分解成（a+3）2的形式，但对于二次三项式a2+6a+8，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：
a2+6a+8＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）
请仿照上面的做法，将下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣16；
（2）x2+2ax﹣3a2．
【变式5-2】（2020春?宁远县期中）提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）
运用结论：
（1）基础运用：把多项式x2﹣5x﹣24进行因式分解．
（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：
将二次项4x2分解成图2中的两个2x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：3x2﹣19x﹣14．
【变式5-3】（2019秋?斗门区期末）阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【考点6
因式分解（分组分解法）】
【方法点拨】分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能
出现公因式，二是分组后能应用公式．对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②
三一分法．
【例6】（2019秋?梁子湖区期末）观察下面分解因式的过程，并完成后面的习题
分解因式：am+an+bm+bn
解法一：原式＝（am+an）+（bm+bn）
＝a（m+n）+b（m+n）
＝（m+n）（a+b）
解法二：原式＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）
根据你发现的方法，分解因式：
（1）mx﹣my+nx﹣ny
（2）2a+4b﹣3ma﹣6mb．
【变式6-1】（2019秋?德州期末）先阅读下列两段材料，再解答下列问题：
（一）例题：分解因式：（a+b）2﹣2（a+b）+1
解：将“a+b”看成整体，设M＝a+b，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，再将“M”还原，得原式＝（a+b﹣1）2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法；
（二）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了．
过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．
利用上述数学思想方法解决下列问题：
（1）分解因式（3a+2b）2﹣（2a+3b）2；
（2）分解因式．xy2﹣2xy+2y﹣4；
（3）分解因式：（a+b）（a+b﹣4）﹣c2+4．
【变式6-2】（2019春?沙坪坝区校级月考）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16．通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x2﹣2xy+y2）﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4），这种分解因式的方法叫分组分解法．利用分组分解法分解因式：
（1）4x2+12xy+9y2﹣9；
（2）25a2+10ab﹣m2+b2+6mn﹣9n2．
【变式6-3】（2019春?邵东县期中）观察下列因式分解的过程：
（1）x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
（2）a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
①ad﹣ac﹣bd+bc
②x2﹣y2﹣6x+9
（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．
【考点7
利用因式分解求值】
【例7】（2020?眉山）已知a2b2＝2a﹣b﹣2，则3ab的值为（ ）
A．4
B．2
C．﹣2
D．﹣4
【变式7-1】（2020春?碑林区校级月考）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）
A．﹣1
B．﹣1或﹣11
C．1
D．1或11
【变式7-2】（2019秋?嘉祥县期末）已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式7-3】（2020秋?鹿城区校级月考）阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．
解：∵a2＝3﹣a
∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12
∵a2+a＝3
∴﹣（a2+a）+12＝﹣3+12＝9
∴a2（a﹣4）＝9
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）已知a2﹣a﹣10＝0，求2（a+4）（a﹣5）的值．
（2）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．
【考点8
因式分解的应用】
【例8】（2020春?新昌县期中）实验材料：现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片．
实验目的：
用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径．例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
探索问题：
（1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要两种正方形纸片
张，长方形纸片
张；
（2）选取正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；
（3）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在方框内．
【变式8-1】（2020春?鼓楼区期中）装饰公司为小明家设计电视背景墙时需要A、B型板材若干块，A型板材规格是a×b，B型板材规格是b×b．现只能购得规格是150×b的标准板材．（单位：cm）
（1）若设a＝60cm，b＝30cm．一张标准板材尽可能多的裁出A型、B型板材，共有如表三种裁法，如图1是裁法一的裁剪示意图．
裁法一
裁法二
裁法三
A型板材块数
1
2
0
B型板材块数
3
m
n
则表中，m＝
，n＝
；
（2）为了装修的需要，小明家又购买了若干C型板材，其规格是a×a，并做成如图2的背景墙．请写出图中所表示的等式：
；
（3）若给定一个二次三项式2a2+5ab+3b2，试用拼图的方式将其因式分解．（请仿照（2）在几何图形中标上有关数量）
【变式8-2】（2020春?高明区期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．
（1）对于等式（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为
，宽为
，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和．
（2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？
方法1：
；
方法2：
；
数学等式：
；
（3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，求ab+bc+ac的值．
【变式8-3】（2020春?常德期末）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；
根据课堂学习的经验，解决下列问题：
在一个边长为a的正方体中挖出一个边长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为b2（a﹣b），ab（a﹣b），a2（a﹣b）．
（1）分解因式：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝
；
（2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有a，b的代数式表示）
①
；②
；
思考：类比平方差公式，你能得到的等式为
．
（3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：x3﹣125；
（4）拓展：已知a﹣2b＝6，ab＝﹣2，你能求出代数式a4b﹣8ab4的值为
．第四章
因式分解章节考点梳理卷
【考点1
因式分解的概念】
【方法点拨】掌握因式分解：
（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．
（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.
（3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.
【例1】（2020春?鄞州区期中）下列由左到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
B．x2﹣1＝x（x）
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
【分析】直接利用因式分解的意义分别判断得出答案．
【解答】解：A、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，是多项式乘法，故此选项错误；
B、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误；
C、x2﹣4+3x＝（x+4）（x﹣1），故此选项错误；
D、x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义．正确把握因式分解的定义是解题的关键．
【变式1-1】（2020春?东台市期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的为（ ）
A．（2x﹣1）（x+3）＝2x2+5x﹣3
B．a4+4＝（a2+2a+2）（a2﹣2a+2）
C．﹣6a2b＝﹣2a2?3b
D．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、从左到右的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、从左到右的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；
C、从左到右的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、从左到右的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
【变式1-2】（2020秋?高新区校级月考）下列变形属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
B．x﹣1＝x（1）（x≠0）
C．x3+2x2+1＝x2（x+2）+1
D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
【变式1-3】（2020春?淮安区期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．2x+4y+1＝2（x+2y）+1
B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．x（x﹣10）＝x2﹣10x
D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A不合题意；
B、是整式的乘法，故B不合题意；
C、是整式的乘法，故C不合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义．
【考点2
因式分解—提公因式法】
【方法点拨】确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同
多项式因式）的指数的最低次幂．
提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确
定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，
可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的
每一项，求的剩下的另一个因式；
【例2】（2020春?碑林区校级月考）多项式：①16x2﹣8x；②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4；③（x+1）4﹣4x（x+1）2+4x2；④﹣4x2﹣1+4x分解因式后，结果中含有相同因式的是（ ）
A．①和②
B．③和④
C．①和④
D．②和③
【分析】首先把各个多项式分解因式，即可得出答案．
【解答】解：①16x2﹣8x＝8x（2x﹣1）；
②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4＝（x﹣1﹣2）2＝（x﹣3）2；
③（x+1）4﹣4x（x+1）2+4x2＝[（x+1）2﹣2x]2＝（x2+1）2；
④﹣4x2﹣1+4x＝﹣（2x﹣1）2；
∴结果中含有相同因式的是①和④；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的方法以及公因式；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【变式2-1】（2020秋?唐河县期末）如果多项式abcab2﹣a2bc的一个因式是ab，那么另一个因式是（ ）
A．c﹣b+5ac
B．c+b﹣5ac
C．c﹣bac
D．c+bac
【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解，本题提取公因式ab．
【解答】解：abcab2﹣a2bcab（c﹣b+5ac），
故另一个因式为（c﹣b+5ac），
故选：A．
【点评】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，提取公因式后剩下的因式是用原多项式除以公因式所得的商得到的．
【变式2-2】（﹣2）2021+（﹣2）2020的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣22020
C．﹣22019
D．﹣24039
【分析】直接找出公因式进而提取分解因式即可．
【解答】解：（﹣2）2021+（﹣2）2020
＝（﹣2）2020×（﹣2+1）
＝﹣22020．
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【变式2-3】（2020秋?安居区期末）化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99＝
．
【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）98]
＝（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）97]
＝（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）96]
＝…
＝（a+1）100．
故答案为：（a+1）100．
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
【考点3
因式分解—公式法】
【方法点拨】概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
【例3】（2020秋?乳山市期中）下列各式：①﹣x2﹣y2；②a2b2+1；
③a2+ab+b2；
④﹣x2+2xy﹣y2；⑤mn+m2n2，用公式法分解因式的有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可．
【解答】解：①﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），因此①不能用公式法分解因式；
②a2b2+1＝1﹣（ab）2＝（1ab）（1ab），因此②能用公式法分解因式；
③a2+ab+b2不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；
④﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣（x﹣y）2，因此④能用公式法分解因式；
⑤mn+m2n2＝（mn）2，因此⑤能用公式法分解因式；
综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，
故选：B．
【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握公式的结果特征是应用的前提．
【变式3-1】（2020秋?鱼台县期末）已知9x2﹣mxy+16y2能运用完全平方公式分解因式，则m的值为（ ）
A．12
B．±12
C．24
D．±24
【分析】这里首末两项是3和4y个数的平方，那么中间一项为加上或减去3x和4y乘积的2倍，故：m＝±24．
【解答】解：∵（3x±4y）2＝9x2±24xy+16y2，
∴在9x2+mxy+16y2中，m＝±24．
故选：D．
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
【变式3-2】（2020秋?厦门期末）运用公式a2+2ab+b2＝（a+b）2直接对整式4x2+4x+1进行因式分解，公式中的a可以是（ ）
A．2x2
B．4x2
C．2x
D．4x
【分析】直接利用完全平方公式得出答案．
【解答】解：∵4x2+4x+1
＝（2x）2+2×2x+1
＝（2x+1）2，
∴对上式进行因式分解，公式中的a可以是：2x．
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解题关键．
【变式3-3】（2020秋?北碚区期末）若4x2+kx+25＝（2x+a）2，则k+a的值可以是（ ）
A．﹣25
B．﹣15
C．15
D．20
【分析】直接利用完全平方公式分解因式求出答案．
【解答】解：4x2+kx+25＝（2x+a）2，
当a＝5时，k＝20，
当a＝﹣5时，k＝﹣20，
故k+a的值可以是：﹣25．
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
【考点4
因式分解（提公因式与公式法综合）】
【方法点拨】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。而且一定要把各因式分解到不
能再分为止！不能分解的不要死搬硬套.
【例4】（2020春?邳州市期中）因式分解：
（1）x4﹣16；
（2）2ax2﹣4axy+2ay2．
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（x2+4）（x2﹣4）
＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）；
（2）原式＝2a（x2﹣2xy+y2）
＝2a（x﹣y）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【变式4-1】（2020春?锡山区期中）因式分解：
（1）3ab3﹣30a2b2+75a3b；
（2）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；
（3）（x2+y2）2﹣4x2y2．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（3）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）3ab3﹣30a2b2+75a3b
＝3ab（b2﹣10ab+25a2）
＝3ab（b﹣5a）2；
（2）a2（x﹣y）+16（y﹣x）
＝（x﹣y）（a2﹣16）
＝（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；
（3）（x2+y2）2﹣4x2y2
＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）
＝（x+y）2（x﹣y）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【变式4-2】（2020春?玄武区期中）因式分解：
（1）a3﹣a；
（2）4ab2﹣4a2b﹣b3；
（3）a2（x﹣y）﹣9b2（x﹣y）；
（4）（y2﹣1）2+6
（1﹣y2）+9．
【分析】（1）直接提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式﹣b，进而利用完全平方公式分解因式即可；
（3）直接提取公因式（x﹣y），进而利用平方差公式分解因式得出答案；
（4）直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）a3﹣a
＝a（a2﹣1）
＝a（a+1）（a﹣1）；
（2）4ab2﹣4a2b﹣b3
＝﹣b（﹣4ab+4a2+b2）
＝﹣b（2a﹣b）2；
（3）a2（x﹣y）﹣9b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣9b2）
＝（x﹣y）（a+3b）（a﹣3b）；
（4）（y2﹣1）2+6
（1﹣y2）+9
＝（y2﹣1）2﹣6
（y2﹣1）+9
＝（y2﹣1﹣3）2
＝（y+2）2（y﹣2）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
【变式4-3】（2020春?高新区校级月考）因式分解：
（1）4（a﹣b）2﹣16（a+b）2；
（2）（a﹣b）2+3（a﹣b）（a+b）﹣10（a+b）2．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：（1）原式＝4[（a﹣b）2﹣4（a+b）2]
＝4[（a﹣b）+2（a+b）][（a﹣b）﹣2（a+b）]
＝4（3a+b）（﹣a﹣3b）
＝﹣4（3a+b）（a+3b）；
（2）原式＝[（a﹣b）﹣2（a+b）][（a﹣b）+5（a+b）]
＝（﹣a﹣3b）（6a+4b）
＝﹣2（a+3b）（3a+2b）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【考点5
因式分解（十字相乘法）】
【方法点拨】借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解：这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1?a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）．
【例5】（2020春?绍兴期中）【阅读理解】如何将x2+（p+q）x+pq型式子分解因式呢？我们知道（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得；x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．例如：∵（x+1）（x+2）＝x2+3x+2，∴x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
上述过程还可以形象的用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图：
这样，我们可以得到：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
【迁移运用】利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：
（1）x2+7x+12．
（2）﹣2x2﹣2x+12．
【分析】（1）直接利用题目提供的方法进行因式分解即可；
（2）先提公因式，再利用十字相乘法进行因式分解．
【解答】解：（1）x2+7x+12＝（x+3）（x+4）．
（2）﹣2x2﹣2x+12＝﹣2（x2+x﹣6）＝﹣2（x+3）（x﹣2）．
【点评】本题考查提公因式法、十字相乘法分解因式，理解和掌握十字相乘法是正确进行因式分解的关键．
【变式5-1】（2020春?北仑区期末）对于二次三项式a2+6a+9，可以用公式法将它分解成（a+3）2的形式，但对于二次三项式a2+6a+8，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：
a2+6a+8＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）
请仿照上面的做法，将下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣16；
（2）x2+2ax﹣3a2．
【分析】根据完全平方公式的结构特征是两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，因此对一些不完全符合完全平方公式的代数式，可在保证代数式不变的情况下通过加项或减项的方法配成完全平方公式，据此解答即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣16
＝x2﹣6x+9﹣9﹣16
＝（x﹣3）2﹣25
＝（x﹣3+5）（x﹣3﹣5）
＝（x+2）（x﹣8）；
（2）x2+2ax﹣3a2
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+a+2a）（x+a﹣2a）
＝（x+3a）（x﹣a）．
【点评】本题考查了公式法因式分解，熟记完全平方公式和平方差公式，并能灵活运用是解题的关键．因此要牢记完全平方公式和平方差公式的结构特征．
【变式5-2】（2020春?宁远县期中）提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）
运用结论：
（1）基础运用：把多项式x2﹣5x﹣24进行因式分解．
（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：
将二次项4x2分解成图2中的两个2x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：3x2﹣19x﹣14．
【分析】（1）基础运用：把多项式x2﹣5x﹣24进行因式分解．
（2）用十字相乘法进行因式分解：3x2﹣19x﹣14．
【解答】解：（1）多项式x2﹣5x﹣24因式分解为：
x2﹣5x﹣24＝（x+3）（x﹣8）；
（2）用十字相乘法进行因式分解：
3x2﹣19x﹣14＝（x﹣7）（3x+2）．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，解决本题的关键是掌握十字相乘法因式分解．
【变式5-3】（2019秋?斗门区期末）阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【分析】（1）利用十字相乘法变形即可得；
（2）①根据材料2的整体思想可以对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3分解因式；
②根据材料1和材料2可以对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3分解因式．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝m2+2m，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解．
【考点6
因式分解（分组分解法）】
【方法点拨】分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能
出现公因式，二是分组后能应用公式．对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②
三一分法．
【例6】（2019秋?梁子湖区期末）观察下面分解因式的过程，并完成后面的习题
分解因式：am+an+bm+bn
解法一：原式＝（am+an）+（bm+bn）
＝a（m+n）+b（m+n）
＝（m+n）（a+b）
解法二：原式＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）
根据你发现的方法，分解因式：
（1）mx﹣my+nx﹣ny
（2）2a+4b﹣3ma﹣6mb．
【分析】（1）直接利用分组分解法以及结合提取公因式法分解因式得出答案；
（2）直接利用分组分解法以及结合提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】（1）解法一：原式＝（mx﹣my）+（nx﹣ny）
＝m（x﹣y）+n（x﹣y）
＝（m+n）（x﹣y）；
解法二：原式＝（mx+nx）﹣（my+ny）
＝x（m+n）﹣y（m+n）
＝（m+n）（x﹣y）；
（2）解法一：原式＝（2a+4b）﹣（3ma+6mb）
＝2（a+2b）﹣3m（a+2b）
＝（2﹣3m）（a+2b）；
解法二：原式＝（2a﹣3ma）+（4b﹣6mb）
＝a（2﹣3m）+2b（2﹣3m）
＝（2﹣3m）（a+2b）．
【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．
【变式6-1】（2019秋?德州期末）先阅读下列两段材料，再解答下列问题：
（一）例题：分解因式：（a+b）2﹣2（a+b）+1
解：将“a+b”看成整体，设M＝a+b，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，再将“M”还原，得原式＝（a+b﹣1）2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法；
（二）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了．
过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．
利用上述数学思想方法解决下列问题：
（1）分解因式（3a+2b）2﹣（2a+3b）2；
（2）分解因式．xy2﹣2xy+2y﹣4；
（3）分解因式：（a+b）（a+b﹣4）﹣c2+4．
【分析】（1）利用平方差公式和提公因式法可求解；
（2）利用分组分解法和提公因式法可求解；
（3）利用分组分解法和平方差公式可求解．
【解答】解：（1）（3a+2b）2﹣（2a+3b）2＝（3a+2b﹣2a﹣3b）（3a+2b+2a+3b）＝5（a﹣b）（a+b）；
（2）xy2﹣2xy+2y﹣4＝xy（y﹣2）+2（y﹣2）＝（xy+2）（y﹣2）；
（3）（a+b）（a+b﹣4）﹣c2+4＝（a+b）2﹣4（a+b）+4﹣c2＝（a+b﹣2）2﹣c2＝（a+b﹣2﹣c）（a+b﹣2+c）．
【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
【变式6-2】（2019春?沙坪坝区校级月考）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16．通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x2﹣2xy+y2）﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4），这种分解因式的方法叫分组分解法．利用分组分解法分解因式：
（1）4x2+12xy+9y2﹣9；
（2）25a2+10ab﹣m2+b2+6mn﹣9n2．
【分析】仿照样例进行适当分组，再运用常用的因式分解方法进行因式分解．
【解答】解：（1）4x2+12xy+9y2﹣9＝（4x2+12xy+9y2）﹣9＝（2x+3y）2﹣32＝（2x+3y+3）（2x+3y﹣3）；
（2）25a2+10ab﹣m2+b2+6mn﹣9n2＝（25a2+10ab+b2）﹣（m2﹣6mn+9n2）＝（5a+b）2﹣（m﹣3n）2＝（5a+b+m﹣3n）（5a+b﹣m+3n）．
【点评】本题主要考查了因式分解，关键是读懂题意仿照样例进行解答．
【变式6-3】（2019春?邵东县期中）观察下列因式分解的过程：
（1）x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
（2）a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
①ad﹣ac﹣bd+bc
②x2﹣y2﹣6x+9
（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．
【分析】（1）①利用分组后直接提公因式分解；
②利用分组后直接运用公式分解；
（2）把1+x添加括号，利用分组后直接提取公因式（1+x），反复运算得结论．
【解答】（1）①原式＝（ad﹣ac）﹣（bd﹣bc）
＝a（d﹣c）﹣b（d﹣c）
＝（d﹣c）（a﹣b）
②原式＝（x2﹣6x+9）﹣y2
＝（x﹣3）2﹣y2
＝（x﹣3+y）（x﹣3﹣y）
（2）原式＝1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n﹣1]
＝（1+x）（1+x）n
＝（1+x）n+1
【点评】本题主要考查了多项式因式分解的分组分解法．掌握分组后直接提起公因式和分组后直接运用公式，是解决本题的关键．
【考点7
利用因式分解求值】
【例7】（2020?眉山）已知a2b2＝2a﹣b﹣2，则3ab的值为（ ）
A．4
B．2
C．﹣2
D．﹣4
【分析】先将原方程化成非负数和为0的形式，再根据非负数的性质求得a、b，进而代入代数式求得结果．
【解答】解：∵a2b2＝2a﹣b﹣2，
∴a2﹣2a+1b2+b+1＝0，
∴，
∴a﹣1＝0，b+1＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴3ab＝3+1＝4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了因式分解，关键是通过因式分解，把原方程化为非负数和等于0的形式．
【变式7-1】（2020春?碑林区校级月考）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）
A．﹣1
B．﹣1或﹣11
C．1
D．1或11
【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解．
【解答】解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11
（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11
a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11
（a﹣b）（a﹣c）＝11
∵a＞b，
∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，
∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式．
【变式7-2】（2019秋?嘉祥县期末）已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【分析】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc化为2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2，再应用完全平方公式，可得：2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]÷2，然后把a、b、c的值代入，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]÷2
＝[（﹣1）2+（﹣1）2+22]÷2
＝6÷2
＝3
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，注意完全平方公式的应用．
【变式7-3】（2020秋?鹿城区校级月考）阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．
解：∵a2＝3﹣a
∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12
∵a2+a＝3
∴﹣（a2+a）+12＝﹣3+12＝9
∴a2（a﹣4）＝9
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）已知a2﹣a﹣10＝0，求2（a+4）（a﹣5）的值．
（2）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．
【分析】（1）直接将原式变形进而把已知代入得出答案；
（2）直接将原式变形进而把已知代入得出答案．
【解答】解：（1）∵a2﹣a﹣10＝0，
∴a2﹣a＝10，
2（a+4）（a﹣5）
＝2（a2﹣a﹣20）
＝2×（10﹣20）
＝﹣20；
（2）∵x2+4x﹣1＝0，
∴x2+4x＝1，
2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1
＝2x2（x2+4x）﹣4x2﹣8x+1
＝2x2﹣4x2﹣8x+1
＝﹣2x2﹣8x+1
＝﹣2（x2+4x）+1
＝﹣2+1
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，正确将原式变形是解题关键．
【考点8
因式分解的应用】
【例8】（2020春?新昌县期中）实验材料：现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片．
实验目的：
用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径．例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
探索问题：
（1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要两种正方形纸片
张，长方形纸片
张；
（2）选取正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；
（3）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在方框内．
【分析】（1）根据（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，可知需要两种正方形纸片3张，长方形纸片3张；
（2）正方形、长方形硬纸片共8块的面积等于长为a+3b，宽为a+b的矩形面积，所以a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）；
（3）正方形、长方形硬纸片共9块的面积等于长为a+2b，宽为2a+b的矩形面积，则2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）
【解答】解：（1）由（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，可知需要两种正方形纸片3张，长方形纸片3张；
故答案为：3；3；
（2）a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）或（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；
（3）如图④，2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．
【变式8-1】（2020春?鼓楼区期中）装饰公司为小明家设计电视背景墙时需要A、B型板材若干块，A型板材规格是a×b，B型板材规格是b×b．现只能购得规格是150×b的标准板材．（单位：cm）
（1）若设a＝60cm，b＝30cm．一张标准板材尽可能多的裁出A型、B型板材，共有如表三种裁法，如图1是裁法一的裁剪示意图．
裁法一
裁法二
裁法三
A型板材块数
1
2
0
B型板材块数
3
m
n
则表中，m＝
，n＝
；
（2）为了装修的需要，小明家又购买了若干C型板材，其规格是a×a，并做成如图2的背景墙．请写出图中所表示的等式：
；
（3）若给定一个二次三项式2a2+5ab+3b2，试用拼图的方式将其因式分解．（请仿照（2）在几何图形中标上有关数量）
【分析】（1）根据矩形的面积列出m或n的方程，再解答便可；
（2）用正方形的面积公式表示出图形的面积，用各部分面积和表示出图形的面积，进而用等式表示出相等关系便可；
（3）仿样例画出长方形，其长为2a+3b，宽为a+b，结合图形便可得出结果．
【解答】解：（1）根据题意得，2×60×30+302m＝150×30，302n＝150×30
解得，m＝1，n＝5，
故答案为：1；5；
（2）∵正方形的边长为（a+2b），
∴正方形的面积为（a+2b）2；
∵正方形的面积等于各部分面积和＝a2+4ab+4b2；
∴（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，
故答案为：（a+2b）2＝a2+4ab+4b2；
（3）画出矩形，其长为2a+3b，宽为a+b，如图，
由图形可知，2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b）．
【点评】本题考查了因式分解的应用：利用图形验证乘法公式，关键是读懂题意，正确画出图形和列出方程．
【变式8-2】（2020春?高明区期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．
（1）对于等式（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为
，宽为
，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和．
（2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？
方法1：
；
方法2：
；
数学等式：
；
（3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，求ab+bc+ac的值．
【分析】（1）根据图形直接得出长为（a+2b），宽为（a+b）；
（2）整体上是一个边长为（a+b+c）的正方形，各个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，可得等式；
（3）将（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，变形为（a+b+c）2﹣a2﹣b2﹣c2＝2ab+2bc+2ac，再整体代入求值即可．
【解答】解：（1）由图形直观得出，长为：（a+2b），宽为（a+b），
故答案为：（a+2b），（a+b）；
（2）从总体看是边长为（a+b+c）的正方形，其面积为（a+b+c）2，
各个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
因此有：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
（3）由（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac得，2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2），
∵a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，
∴2ab+2bc+2ac＝64﹣26＝38，
∴ab+bc+ac＝19．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，因式分解以及多项式乘以多项式的计算法则，掌握公式特征和适当变形是正确应用的前提．
【变式8-3】（2020春?常德期末）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；
根据课堂学习的经验，解决下列问题：
在一个边长为a的正方体中挖出一个边长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为b2（a﹣b），ab（a﹣b），a2（a﹣b）．
（1）分解因式：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝
；
（2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有a，b的代数式表示）
①
；②
；
思考：类比平方差公式，你能得到的等式为
．
（3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：x3﹣125；
（4）拓展：已知a﹣2b＝6，ab＝﹣2，你能求出代数式a4b﹣8ab4的值为
．
【分析】（1）根据提取公因式的方法分解因式便可；
（2）根据“图1的立体图形的体积＝图3的三个立体图形的体积之和”和“图1的立体图形的体积＝图3的三个立体图形的体积之和；
（3）利用总结的公式进行因式分解便可；
（4）先提公因式，再按新公式分解因式，再用完全平方公式将原式化成已知代数式的形式，最后代值计算便可．
【解答】解：（1）a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2），
故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）；
（2）①根据题意得，图1的立体图形的体积＝边长为a的正方体的体积﹣边长为b的正方体的体积，
即a3﹣b3；
②根据题意得，图1的立体图形的体积＝图3的三个立体图形的体积之和，
即b2（a﹣b）+ab（a﹣b）+a2（a﹣b）．
故答案为：①a3﹣b3；②b2（a﹣b）+ab（a﹣b）+a2（a﹣b）；
思考：∵b2（a﹣b）+ab（a﹣b）+a2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），
故答案为：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）；
（3）x3﹣125＝x3﹣53＝（x﹣5）（x2+5x+25）；
（4）a4b﹣8ab4＝ab（a3﹣8b3）＝ab（a﹣2b）（a2+2ab+4b2）＝ab（a﹣2b）[（a﹣2b）2+6ab]，
当a﹣2b＝6，ab＝﹣2时，原式＝﹣2×6×（36﹣12）＝﹣288．
故答案为：﹣288．
【点评】本题考查了数形结合的数学思想，利用数形结合思想建立了代数（速算、方程与不等式等）与几何图形之间的内在联系，体现了数学的魅力，是一道好题．试题立意新颖，构思巧妙，对于学生的学习大有裨益；不足之处在于题干篇幅过长，学生读题并理解题意需要花费不少的时间，影响答题的信心．
