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【北师大版九年级数学（下）单元测试卷】
第三章：圆
一、选择题：（每小题3分共30分）
1．下列说法错误的是（
）
A．等弧所对的圆心角相等
B．弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数
C．长度相等的两段弧是等弧
D．半径相等的两个半圆是等弧
2．如图，为的弦，过点作的垂线，交于点，交于点D，已知，，则的半径为（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在半径为5的中，半径弦于点C，连接并延长交于点E，连接．若，则的长为（
）
A．
B．8
C．
D．
4．如图，在中，，以AC为直径作交AB于点D，连接，若，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
5．下列命题中，正确的是（
）
A．三点能确定圆
B．平分弦的直径一定垂直于弦
C．相等的圆周角所对的弧相等
D．相等的弧所对的圆周角相等
6．如图，是的直径，点C是延长线上一点，与相切于点P，连接，若，，则的长是（
）
A．
B．
C．
D．
7．正六边形的边心距为，则该正六边形的外接圆半径为（
）
A．
B．2
C．3
D．
8．如图，是的直径，且，是上一点，将沿直线翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（
）．
A．
B．
C．
D．
9．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是的中点，P是直径AB上的一动点，则PM+PN的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
10．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．如图，点、、在上，，连接并延长，交于点，连接，．若，则的大小为______°．
12．如图，在中，已知，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，则的长为_____．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是5，BD＝8，则cos∠ACD的值是_____．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O作OD∥BC，交AC于点D，则CD的长为___________．
15．如图，的半径为1，是的直径，点C是半圆外一点，分别交于点D，E．若的面积与四边形的面积相等，则的长为______．
三.解答题：
16．（8分）如图，在中，，于点，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
17．（8分）如图，在RtABO中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点．（1）若，则弧的度数为 ．
（2）若，，求的长．
18．如图（8分），在中，分别平分和．延长交的外接圆于点C，连接．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
19．（6分）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），求的余角的度数．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，
AB于点E，
F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝，AB＝12，求阴影部分的面积（结果保留π）．
21．（8分）如图，已知是的直径，，连接交于点，切于点，交的延长线于点，交于点．
（1）求证：；
（2）连结，如果，，求的半径．
22．（9分）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为M，交的延长线于点N，过点B作，垂足为G，连接．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若，的半径为1，求的值．
试卷第1页，总3页
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【北师大版九年级数学（下）单元测试卷】
第三章：圆
一、选择题：（每小题3分共30分）
1．下列说法错误的是（
）
A．等弧所对的圆心角相等
B．弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数
C．长度相等的两段弧是等弧
D．半径相等的两个半圆是等弧
解：A等弧所对的圆心角相等，故正确；
B、弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数，故正确；
C.等弧的概念是在只能完全重合的两段弧，错误；
D、半径相等的两个半圆是等弧，正确，
故选：C．
2．如图，为的弦，过点作的垂线，交于点，交于点D，已知，，则的半径为（
）
A．
B．
C．
D．
解：连接，
，
，
设的半径为，
，
，
，
，
故选：．
3．如图，在半径为5的中，半径弦于点C，连接并延长交于点E，连接．若，则的长为（
）
A．
B．8
C．
D．
解：∵⊙O的半径为5，∴OA＝OD＝5，
∵CD＝2，∴，
∵OD⊥AB，∴，
∵OA＝OE，∴OC是△ABE的中位线，∴BE＝2OC＝6，
∴，
故选：D．
4．如图，在中，，以AC为直径作交AB于点D，连接，若，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
解：∵CD=OD，DO=OC
∴△OCD为等边三角形
∴∠DOC=60°
∴由周角定理可得∠A＝∠DOC＝30°
又∵ACB=90°
∴∠B=∠ACB-∠A
=60°
故选C．
5．下列命题中，正确的是（
）
A．三点能确定圆
B．平分弦的直径一定垂直于弦
C．相等的圆周角所对的弧相等
D．相等的弧所对的圆周角相等
解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误；
B、平分弦的直径垂直于弦，此弦不能是直径，故本选项说法错误；
C、在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等，故本选项说法错误；
D、等弧所对的圆周角相等，故本选项说法正确．
故选：D．
6．如图，是的直径，点C是延长线上一点，与相切于点P，连接，若，，则的长是（
）
A．
B．
C．
D．
解：连接OP，
∵与相切于点P，
∴∠CPO=90°．
∵，
∴∠BPO=22.5°．
∵OP=OB，
∴∠BPO=∠PBO=22.5°，∴∠COP=45°．
∵，∴，
∵，∴OC=．
故选B．
7．正六边形的边心距为，则该正六边形的外接圆半径为（
）
A．
B．2
C．3
D．
解：如图，
在中，，，
；
故选：．
8．如图，是的直径，且，是上一点，将沿直线翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（
）．
A．
B．
C．
D．
解：作于E，交于点D、于点F，如图所示：
由翻折可知DE=EO，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵直径，
∴弧AD=弧CD
∴，
∴，
由对称性可知阴影部分面积等于扇形COB的面积，
∴．
9．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是的中点，P是直径AB上的一动点，则PM+PN的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
解：作N点关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P′，
如图，则P′N＝P′N′，∴P′M+P′N＝P′M+P′N′＝MN′，∴此时P′M+P′N的值最小，
∵∠MAB＝20°，∴∠MOB=2∠MAB
=40°，
∵N是弧MB的中点，∴∠NOB＝20°，
∵N点关于AB的对称点N′，∴∠N′OB＝20°，
∴∠MON′=∠MOB+∠N′OB＝40°+20°=60°，
∵OM=ON′,∴△OMN′为等边三角形，
∵AB=8，∴OM=OB=∴MN′＝OM＝4，
∴P′M+P′N＝MN′=4，即PM+PN的最小值为4．
故选：A．
10．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：∵F为的中点，
∴，故①正确，
∴∠FCM＝∠FAC，
∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，
∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，
∴FC＞FM，故③错误，
∵AB⊥CD，FH⊥AC，
∴∠AEM＝∠CGF＝90°，
∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，
∴∠CFH＝∠BAF，
∴，
∴HC＝BF，故②正确，
∵∠AGF＝90°，
∴∠CAF+∠AFH＝90°，
∴＝180°，
∴＝180°，
∴，故④正确，
故选：C．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．如图，点、、在上，，连接并延长，交于点，连接，．若，则的大小为______°．
解：∵BC∥OA，
∴∠ACB＝∠A＝25°，∠B＝∠AOB＝2∠ACB＝50°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
12．如图，在中，已知，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，则的长为_____．
解：如图，作CE⊥AB于E．
∵∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-20°-130°=30°，
在Rt△BCE中，∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=1，
∴CE=BC=，BE=
CE=，
∵CE⊥BD，
∴DE=EB，
∴BD=2EB=，
故答案为：．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是5，BD＝8，则cos∠ACD的值是_____．
解∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝∠B，∴，
故答案为：．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O作OD∥BC，交AC于点D，则CD的长为___________．
解：如图所示，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OH⊥AB于H，连接AO，BO
∵点O为Rt△ABC的内心，OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB
∴OE=OH=OF
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4
∴
∵
∴
∴OE=OF=OH=1
∵OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB
∴四边形OFBH是矩形
∴BF=OH=1
∴CF=3
又∵点O为Rt△ABC的内心
∴∠OCF=∠OCE
又∵OC=OC，∠CEO=∠CFO=90°
∴△COE≌△COF
∴CE=CF=3
∵OD∥BC
∴∠DOC=∠OCF=∠OCE
∴OD=DC
∵
∴
∴
故答案为：．
15．如图，的半径为1，是的直径，点C是半圆外一点，分别交于点D，E．若的面积与四边形的面积相等，则的长为______．
解：∵点A、B、E、D在圆O上，
∴圆O为四边形ABED的外接圆，
∴∠ABC+∠ADE=180°，
又∠ADE+∠CDE=180°，
∴∠ABC=∠CDE，
又∠ACB=∠ECD，
∴△CDE∽△CBA，
∴为△CDE和△CBA的相似比，
∴，
设S△CDE=S，则S四边形ABED=S，
∴S△ABC=S△CDE+S四边形ABED=2S，
∴，即，
又AB为圆O的直径，圆O的半径为1，
∴AB=2，即2DE2=4，
∴DE=，
故答案为：．
三.解答题：
16．（8分）如图，在中，，于点，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
解（1）证明：如图，连接
（2）
，
17．（8分）如图，在RtABO中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点．（1）若，则弧的度数为 ．
（2）若，，求的长．
解：（1）连接，
，，
，
，
，
，
弧的度数为，
故答案为：；
（2）如图，作于，
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
．
18．如图（8分），在中，分别平分和．延长交的外接圆于点C，连接．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
解：（1）∵AE平分∠BAD，∴∠BAD=2∠CAD，
∵∠CAD=∠CBD=40°，∴∠BAD=80°；
（2）∵AE、BE分别平分∠BAD和∠ABD，∴∠BAC=∠DAC，∠ABE=∠DBE，∴弧BC=弧CD，∴BC=CD，
∵∠CBD=∠CAD，∴∠CBE=∠CBD+∠DBE，∠BEC=∠BAC+∠ABE，∴∠CBE=∠BEC，
∴BC=EC，∴BC=EC=DC．
19．（6分）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），求的余角的度数．
解：如图，连接．
∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∴90°-36°=54°，
∴的余角的度数为54°．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，
AB于点E，
F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝，AB＝12，求阴影部分的面积（结果保留π）．
解（1）证明：连接OD，如图：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴ACOD，
∴∠ODB＝∠C＝90°，即BC⊥OD，
又∵OD为⊙O的半径，
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）解：设OA＝OD＝r，则OB＝12－r，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2＋BD2＝OB2，
∴r2＋（4）2＝（12－r）2，
解得：r＝4，
∴OD＝4，OB＝8，
∴OD＝OB，
∴∠B＝30°，
∴∠DOB＝180°－∠B－∠ODB＝60°，
∴阴影部分的面积S＝S△ODB－S扇形DOF＝．
21．（8分）如图，已知是的直径，，连接交于点，切于点，交的延长线于点，交于点．
（1）求证：；
（2）连结，如果，，求的半径．
解：（1）证明：连接OD，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵切于点，
∴，
∴，
即．
（2）∵，即
∴设，，
∴由勾股定理得，，
∵，∴，∴，
在中，，∴
解得，∴OD=5∴圆的半径等于5．
22．（9分）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为M，交的延长线于点N，过点B作，垂足为G，连接．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若，的半径为1，求的值．
解：（1）证明：连接．
∵是直径，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴是的中位线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线．
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）在中，
∵，的半径为1，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴．
连接，
∵，
∴，
∴．
在中，．
在中，，
∴．
试卷第1页，总3页
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