人教版九下：26.1.2反比例函数的图象和性质——比例系数k的几何意义 教案

《反比例函数中比例系数k的几何意义》教学设计
本微课通过研究反比例函数中k的几何意义，来解决反比例函数与面积类综合问题，能更好地考查学生灵活运用数学知识的能力及对数学思想方法掌握的情况，进一步让学生感悟数形结合分析数学问题的意识，培养学生把实际问题中的文字语言、符号语言、图形语言进行“互译”并 “转换”成有效的解题信息链，培养学生建立合理合适的数学模型去解决实际问题的能力和方法。
教学目标：
1、理解和掌握反比例函数中k的几何意义
2、能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题
学情分析：
学生已有对一次函数和反比例函数关系式和图象认识的基础，再通过研究反比例函数中k的几何意义，可以进一步唤醒学生数形结合分析数学问题的意识，培养学生把实际问题中的文字语言、符号语言、图形语言进行互译转换并形成有效的解题信息链，并通过建立合理合适的数学模型，顺利解决问题的能力和方法。
教学重点、难点：
1．重点：理解并掌握反比例函数 （k≠0）中k的几何意义；并能利用它们解决一些综合问题
2．难点：通过反比例函数与矩形面积的对应关系渗透数形结合思想，感受理解反比例函数的比例系数 k、函数解析式和函数图形之间的内在联系，并通过建立反比例函数模型解决实际几何问题。
教学过程：
一、反比例函数中k的几何意义
已知反比例函数，点是图像上的任意一点.
(1)过点P分别做x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A，B,则
结论：任意一点横纵坐标的乘积是一个定值.
（2）过点P分别做x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A，B,连接OP,则
结论：
通过构造学生熟悉的特殊多边形，并把k 值构造成特殊多边形的面积，从而可以发现过反比例函数的图象上任一点P（m,n）向x轴、y轴作垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积，△OAP 和△OBP 面积
让学生通过本题让学生感悟k值与反比例函数图象的一一对应关系，核心感悟：k值确定，图象确定，进而图形上从任意一点向坐标轴构造的特殊图象面积确定；图象确定或者图形上从任意一点向坐标轴构造的特殊图象面积确定， 那么k值也随之确定。进而把反比例函数的数、形、式之间内在联系建立图式。 引导学生建立模型，体会数形结合的思想，理解知识的本质联系。
二、典型例题
类型一:已知比例系数求三角形或四边形的面积.
例：如图，点A和点B分别是反比例函数 和图像上的点.
若AB⊥y轴于P点，点C是x轴上任意一点，连结AC、BC，则?ABC的面积为 .
进一步让学生通过图象的直观感受去体验反比例函数图象研究过程中在变化中抓住不变的量，如k确定则构造的矩形面积不变，抓住本质，紧扣基本图象，就能把问题中蕴含信息为我所用。
变式1：如图，点A和点B分别是反比例函数 和图像上的点.
若AB⊥y轴于点P，以AB为边作平行四边形ABCD,其中点C,D在轴x上，则平行四边形ABCD的面积为 .
本题在反比例函数图象上取一个点的基础上增加到两个点,旨在通过对复杂图象的研究培养学生读图审图的能力,并能把原有知识体系中的内容如同底等高的三角形面积相等与新知融合,在平行四边形中也是有类似的转换关系。不但能培养学生举一反三的能力,还能培养自主变式变通的能力。
变式2：如图，点A和点B分别是反比例函数和 图像上的点.若AB⊥y轴于点P，以AB为边作矩形ABCD , 其中点C，D在x轴上，当矩形ABCD的面积为5时，求k的值.

∴
∵k<0
∴k=-1
一题多变，通过一个问题条件的变化不断建构新问题，让学生利用已有知识实现“跳一 跳”摘到新果子的方式，尝试运用所学知识解决问题，感受成功体验，学生容易接受并能取得较好的效果。
变式3：如图，点A和点B分别是反比例函数和图像上的点. 连结OA,OB，若OA⊥OB,且 ,求k的值.
△AGO∽△OHB
∴
∵
∴
∵k<0
∴
通过变反比例函数图象上取两个点研究图象为同时出现两个反比例函数图象的数学问题，旨在通过更加复杂的图象培养学生读图审图的能力，培养学生类比分析、融会贯通的能力。
拓展提升
如图，点A为反比例函数图像上的一点，连结OA，交反比例函数的图像于点B，点C是x轴上的一点，且OA=AC，则?ABC的面积为 .
，∵△BGO∽△AHO
∴,
∴，∴
本设计中，通过一题多变的变式训练，纵向迁移学生对k值意义的理解和感悟。从一条反比例函数图象上一个点增加到两个点，再通过添加一条反比例图象再到自主设计开放性问题去不断加大问题的思维量和层次；结合函数、相似等相关知识点去拓展应用，充分留给学生动脑、动手、动口的机会，让每个学生都有进步的机会和展示自己的舞台.
本设计紧扣中考脉搏，及时了解近几年考试动态，用中考题作为载体并进行创新突破，把反比例函数k值与数形结合思想，又与四边形、相似等融合，培养学生应对综合性问题的拓展思维能力。