1.2任意角 课件（共33张ppt）——2020-2021学年高一下学期北师大版（2019）必筱 第二册第一章第二节

任意角
授课教师：
温故知新
学习目标
1.将0°~360°的角的概念推广到任意角.（重点）
2.认识象限角及其表示. （难点）
课文精讲
导入
在初中，我们研究了0 °~360°的角，特别学习了锐角、直角、钝角、平角和周角等.
课文精讲
导入
圆周运动是一种常见的周期性变化现象.如图，圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转.如何刻画点P的位置变化呢?
我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.在图中，射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置
OP，形成一个角α，射线OA，OP分别是角α的始边和终边.当角α确定时，终边OP的位置就确定了.
·
P
A
a
课文精讲
导入
圆周运动是一种常见的周期性变化现象.如图，圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转.如何刻画点P的位置变化呢?
这时，射线OP与圆O的交点P也就确定了.由此想到，可以借助角a的大小变化刻画点P的位置变化.
·
P
A
a
课文精讲
在生活中，拧紧螺丝时，需要将扳手顺时针方向旋转；拧松螺丝时，需要将扳手逆时针方向旋转.可以旋转一圈，也可以旋转多圈.为了描述这种现象，需要对角的概念进行推广.
角的概念推广
课文精讲
如图，平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边，射线OB是角α的终边.
角的概念推广
O
A
B
α
课文精讲
在数学上规定，按逆时针方向旋转形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转形成的角叫作负角.如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.这样，零角的始边与终边重合，如果α是零角，那么α =0°.
角的概念推广
“角α”或“∠α”可以简记成“α”.
O
A
B
α
课文精讲
角的概念推广
这样，我们就把角的概念推广到了任意角.
任意角
正角
负角
零角
O
A
B
α
课文精讲
如果一个角的终边沿逆时针或顺时针方向旋转360°的整数倍，那么所得新角的终边与原角的终边重合.
角的概念推广
O
A
B
α
课文精讲
图①中的角是750°的正角；图②中，正角α= 210°，负角β=-150°，负角γ=-660°在跳水运动中，“转体2周”即“转7200 ”， “翻腾3周”即“翻腾1 080°”，这些都是跳
水动作的名称.
图①
图②
角的概念推广
课文精讲
对于一个钟表，分针按顺时针方向旋转，在旋转过程中与起始位置所形成的角总是负角.
角的概念推广
课文精讲
角的概念推广
设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α = β.
设α，β是任意两个角.我们规定，把角α的终边旋转角β ，这时终边所对应的角是α + β.
课文精讲
角的概念推广
于是，像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有
a-β=a+（-β）
这样，角的减法就转化为角的加法.
课文精讲
为了方便研究问题，本节及以后经常将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴.
象限角及其表示
课文精讲
以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类：
角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；
如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限.
象限角及其表示
象限角
课文精讲
例如，图①中，30°，390°和-690°角都是第一象限角；图②中，300°和-60°角都是第四象限角；图③中，585°角是第三象限角.
象限角及其表示
图①
图②
图③
课文精讲
从图①中可以看出，390°和-690 °角的终边都与30 °角的终边相同，并且这两个角都可以表示成0°~360°的角与k个周角的和，其中k为整数，即
390° = 30 ° + 360° (k=1)，
-690°=30°+(-2)×360° (k=-2).
象限角及其表示
图①
课文精讲
设集合S= {β| β =30°+k·360°，k∈Z}，则390°，-690°角都是S的元素，30°角也是S的元素(k=0).容易看出：所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，都是集合S的元素；反之，集合S的任一元素的终边显然与30°角终边相同.
象限角及其表示
课文精讲
一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
S= {β| β = α +k·360°，k∈Z}，
即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
象限角及其表示
终边相同的角
课文精讲
象限角及其表示
各象限角的集合表示
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}象限角
象限角α的集合表示
第一象限角
{α|k·360°＜α＜ k·360°+90°，k∈Z}
第二象限角
{α|k·360°+90°＜α＜ k·360°+180°，k∈Z}
第三象限角
{α|k·360°+180°＜α＜ k·360°+270°，k∈Z}
第四象限角
{α|k·360°+270°＜α＜ k·360°+360°，k∈Z}
课文精讲
象限角及其表示
轴线角的集合表示
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}角α终边的位置
象限角α的集合表示
在x轴的非负半轴上
{α|α=k·360°，k∈Z}
在x轴的非正半轴上
{α|α=k·360°+180°，k∈Z}
在y轴的非负半轴上
{α|α=k·360°+90°，k∈Z}
在y轴的非正半轴上
{α|α=k·360°+270°，k∈Z}
课文精讲
象限角及其表示
轴线角的集合表示
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}角α终边的位置
象限角α的集合表示
在x轴上
{α|α=k·180°，k∈Z}
在y轴上
{α|α=k·180°+90°，k∈Z}
在坐标轴上
{α|α=k·90°，k∈Z}
典型例题
例1：判定下列各角是第几象限角：
(1)- 60°； (2) 945°； (3)-950°12'.
解：(1)因为-60°角的终边在第四象限，所
以它是第四象限角；
(2)因为945 ° =225 ° +2×360 °，所
以945 °与225 °角的终边相同，而
225 °角的终边在第三象限，所以
945 °角是第三象限角；
典型例题
例1：判定下列各角是第几象限角：
(1)- 60°； (2) 945°； (3)-950°12'.
解： (3)因为-950°12'=129°48' +(-3) ×
360°，而129°48' 角的终边在第二
象限，所以-950°12'角是第二象限
角.
典型例题
例2：写出终边在平面直角坐标系y轴上的角的集合.
解：在0°~360°范围内，终边在y轴上的角
有两个，即90°和270°角(如图).因此，
所有与90°角终边相同的角构成集合
S1={β| β =90°+k·360°，k∈Z}；
典型例题
例2：写出终边在平面直角坐标系y轴上的角的集合.
解：而所有与270°角终边相同的角构成集合
S2={β| β =270°+k·360°，k∈Z}.
典型例题
例2：写出终边在平面直角坐标系y轴上的角的集合.
解： 于是，终边在y轴上的角的集合
S= S1 ∪ S2={β| β =90°+k·360°，k∈Z} ∪
{β| β =270°+k·360°，k∈Z}
={β| β =90°+k·180°，k∈Z}.
典型例题
例3：写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合-360°≤β≤720°的元素β写出来.
解：S={β | β =60°+k·360°，k∈Z}.
S中适合-360° ≤β ＜ 720°的元素应满足
-360° ≤ 60°+k·360° ＜ 720°.
解得?????????≤????＜????????????.
又k∈Z，所以k=-1，0，1.
?
典型例题
例3：写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合-360°≤β≤720°的元素β写出来.
解：所求元素分别是：
60°+(-1)×360°=-300°，
60°+0×360°=60°，
60°+1×360°=420°.
本课小结
再 见