1.3弧度制 课件（共28张ppt）——2020-2021学年高一下学期北师大版（2019）必筱 第二册第一章第三节

弧度制
授课教师：
温故知新
学习目标
1.了解弧度制，掌握角度与弧度的换算.（重点）
2.能够理解弧度的概念. （难点）
课文精讲
在几何的度量中，首先研究了线段长度的度量，其做法是:引入一个单位线段，以它为单位来度量其他线段或曲线(如圆周)的长度.
在单位线段的基础上，又引进了以单位线段为边长的单位正方形作为面积的度量单位，以单位线段为棱长的单位立方体作为体积的度量单位，并用这些度量单位度量图形的面积和体积.
弧度概念
课文精讲
对角的度量，选取一个周角，把它360等分而得到角的度量单位，用这个度量单位去度量其他角的大小.显然，此时角的度量单位的确定与单位线段无关.
由此可见，在几何图形的各种度量中.除了角度之外.其他的度量(长度、面积、体积等)都是以单位线段为基础的.
弧度概念
课文精讲
能否用线段的单位长度来建立角的度量单位，从而把几何度量都建立在一个共同的基础(长度的度量)上呢?
弧度概念
以角的顶点为圆心画单位圆(半径为单位长度1的圆)，用这个角在此圆上所对应的弧的长度来度量这个角.
课文精讲
在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示，读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写).在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制.
弧度概念
课文精讲
弧度概念
今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.例如，角α=2就表示a是2 rad的角；sin????????就表示????????rad的角的正弦，即sin????????=sin60°=????????.
?
课文精讲
角度制与弧度制的区别
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}角度制
用度作为单位来度量角的制度
角的大小与半径无关
单位“°”不能省略
弧度制
用弧度作为单位来度量角的制度
角的大小与半径无关
单位“rad”可以省略
弧度概念
课文精讲
如图①，在单位圆中，AB的长等于1，∠AOB就是1 rad的角；如图②，在单位圆中，CD的长等于2，∠COD就是-2 rad的角.角的正负由角的终边的旋转方向决定.
弧度概念
·
O
B
A
1
1 rad
O
C
D
2
2 rad
课文精讲
一般地，弧度与实数一一对应.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数.零角的弧度数是0.
弧度概念
课文精讲
弧度概念
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
正角
零角
负角
正实数
0
负实数
课文精讲
问题提出
角可以分别用角度和弧度度量，角度和弧度之间有什么关系呢?
弧度与角度的换算
弧度概念是由英国数学家科兹 (Roger Cotes一682-1716)在1714年提出的.作为一种对角的度量方法.弧度制使三角函数的研究大为简化.
课文精讲
弧度与角度的换算
分析理解
根据弧度的定义，可知
根据需要，可以用(1.1)式和(1.2)式进行弧度与角度的换算.
????°=2π?360? rad=π?180? rad≈0.01745 rad (1.1)
1 rad=360?°2π?=180?°π?≈57°18′. (1.2)
?
课文精讲
对于任意角，每一个角β都可以表示成
β =α+k·360°(0° ≤ α≤360°，k∈Z).
而360°角对应2π弧度角，因此只需把角α用弧度角α′表示，就可以得到角β的弧度角β′ ，即
β′ =α+2kα (0 ≤ α′ ＜2π , k∈ Z).
弧度与角度的换算
典型例题
例1:(1)把45°化成弧度；(2)把-600°化成弧度.
解：(1)45°=45×???????????????? rad= ???????? rad；
(2)-600°=-600×???????????????? rad= -???????????????? rad.
?
典型例题
例2:(1)把????????????化成度；(2)把?????????????化成度.
?
解：(1) ????????????? rad= ?????????????×????????????°???? = 108°；
(2)???????????????rad= ?????????????×????????????°????=?405°.
?
课文精讲
下面是一些特殊角的度数与弧度数的对应表（如表）：
弧度与角度的换算
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
弧度
0
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}度
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
????????
?
????????
?
????????
?
????????
?
????????????
?
????????????
?
????????????
?
????
?
????????
?
????????????
?
课文精讲
对于0°≤α＜360°之外的特殊角，不难得到它们的弧度数.
弧度与角度的换算
例如，420°=360°+60°=( ) rad= rad.
????????+?????????
?
?????????????
?
课文精讲
考虑如图的模型.
弧度与角度的换算
课文精讲
单位圆M与数轴相切于原点O，把数轴看成一个“皮尺”.对于任意一个正数α，它对应正半轴上的点A，把线段OA按逆时针方向缠绕到圆M上，点A对应单位圆上点A′，这样就得到一个以点M为顶点，以MO为始边，经过逆时针旋转以MA′，为终边的圆心角α，该角的弧度数为正数α.
弧度与角度的换算
课文精讲
思考交流
对于任意一个负数b，如何利用“皮尺”缠绕的方法，在上述的圆M中找到与弧度数
为b相对应的圆心角β?
弧度与角度的换算
课文精讲
弧度与角度的换算
在半径为r的圆中，若圆心角A为n°，则它对应的弧长 .又此时角A的弧度数 . 因此l=|α|r，即
即圆心角的弧度数的绝对值等于该角所对的弧长与半径之比.
α=????????????????·2π
?
l =|????|????????????·????????????
?
|α|=?????????
?
课文精讲
弧度与角度的换算
在半径为r的圆中，若圆心角A为n°，则它对应的弧长 .又此时角A的弧度数 . 因此l=|α|r，即
l =|????|????????????·????????????
?
|α|=?????????
?
公式的常见变形：
（1）l=|α|·r（弧长公式）
（2）r=????|α|
?
α=????????????????·2π
?
综合练习
已知扇形的圆心角为120°，面积为 ，则该扇形所在圆的半径为______.
????????????
?
解：∵120°= ，
????????????
?
????????????????????=????????× ????????????·r????= ????????????，
?
∴S扇形=
故r=2.
2
综合练习
在直径长为20cm的圆中，圆心角为165°时所对的弧长为______cm.
解：∵165°=
????????????????×165=????????????????????(rad)，
?
∴l=????????????????????×10=????????????????(cm)，
?
故答案为????????????????.
?
????????????????
?
本课小结
再 见