1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课件（共21张PPT）——2020-2021学年高一下学期北师大版（2019）必修第二册第一章第四节

单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
授课教师：
温故知新
学习目标
1. 能根据单位圆中正、余弦函数的定义结合单位圆说出它们的基本性质. （重点）
2. 能利用正、余弦函数的基本性质解决相关问题.（难点）
课文精讲
在初中，我们借助直角三角形学习了锐角α的正弦函数、余弦函数.下面我们在平面直
角坐标系中，利用单位圆(以后常设单位圆的圆心在原点)进一步研究锐角α的正弦函数和
余弦函数.
锐角的正弦函数与余弦函数
课文精讲
如图，对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，故u是由锐角α唯一确定的，v也是由锐角α唯一确定的.
过点P向x轴作垂线，垂足为M.在Rt△OMP中，OP=1，OM=u，MP=v，有
锐角的正弦函数与余弦函数
sin????=????????????????=????????= v， cos????=????????????????=????????= u.
?
课文精讲
由此可知，对于锐角α来说，点P的纵坐标v是该角的正弦函数值，记作v= sinα；点P
的横坐标u是该角的余弦函数值，记作u=cosα.
锐角的正弦函数与余弦函数
课文精讲
如图，给定任意角α ，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v) ，点P的纵坐标v 、横坐标u都是唯一确定的.仿照上述锐角三角函数的定义，把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值，仍记作v =sinα；
把点P的横坐标u定义为角α
的余弦值，仍记作u=cosα.
任意角的正弦函数与余弦函数
课文精讲
如果角α的大小用弧度表示，那么，正弦v=sinα 、余弦u=cosα分别是以角α的大小为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数，其定义域为全体实数，其值域为实数的子集合.这样定义的正弦函数和余弦函数就与高中引入的函数概念一致了.
任意角的正弦函数与余弦函数
典型例题
例1：已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x， y).求角α的正弦函数值和余弦函数数值.
解：先考虑角α的终边不在坐标轴上的情形.
如图.设角α的终边与单位圆交于点P，
则点P的坐标为(cosα ，sinα)，且OP=1.
典型例题
例1：已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x， y).求角α的正弦函数值和余弦函数数值.
解：点Q(x，y)在角α的终边上，则OQ=????????+????????.
分别过点P，Q作x轴的垂线PM，QN，垂足为M，N，易知△POM∽△QON.
?
所以，即|????????||????????|= |????????||????????|，
即|?????????????????|?????= |????||????????+????????|.
?
典型例题
例1：已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x， y).求角α的正弦函数值和余弦函数数值.
解：因为点P和点Q在同一象限，所以sinα和y的符号相同，于是得到sinα=
同理，cosα=
????|?????????+??????????| ，
?
|????||?????????+??????????| ，
?
当角α的终边在坐标轴上时，容易验证上述等式仍然成立.
设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则
课文精讲
sinα=????????， cosα =????????.
?
其中
r=?????????+?????????.
?
例2：在单位圆中，
(1)画出角α；
(2)求角α的正弦函数值和余弦函数值.
典型例题
α=-???????? .
?
解：(1)如图，以原点为角的顶点，以x轴的非
负半轴为始边，顺时针旋转 ，与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线交x轴于
点M.于是α=∠MOP=? 即为所作
的角.
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????????
?
????????
?
例2：在单位圆中，
(1)画出角α；
(2)求角α的正弦函数值和余弦函数值.
典型例题
α=-???????? .
?
解：(2)设点P(u，v)，则
u=???????? ，
?
v =?????????，
?
sin ?????????= v =?????????
?
，cos ?????????=u=????????.
?
思考交流
在单位圆中，画出下列各特珠角，求各角终边与单位圆的交点坐标(u，v)，并将各特
殊角的正弦函数值、余弦函数值填入表中:
课文精讲
课文精讲
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}α
0
v=sinα
u=cosα
????????
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????????
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????????????
?
????????
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}α
π
2π
v=sinα
u=cosα
????????????
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????????????
?
????????????
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????????????????
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????????????
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????????????
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????????
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?????????
?
????????
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?????????
?
0
1
1
0
0
-1
-1
0
1
0
课文精讲
观察此表格中的数据，你能发现函数v=sinα和u=cosα的变化有什么特点吗？
在区间[0，????????]和[?????????????，2π]上， v=sinα的值逐渐增加，u=cosα的值逐渐减小，在区间[????????，π]和[π，????????????] 上，v=sinα的值逐渐减小，u=cosα的值逐渐增加.
?
综合练习
若角α的终边经过点P（5α，-12α）（α＜0），则sinα=_____.
解：∵角α的终边经过点P（5α，-12α）（α
＜0），则
sinα=?????????????????????????????+(?????????????)?????? =????????????????，
?
故答案为：???????????????? .
?
????????????????
?
综合练习
已知角α的终边经过点P（8，m），且sinα=????????，则m=_____.
?
解：角α的终边经过点P（ 8，m ），
且sinα=????????= ????????????+???????????， m=6，
故答案为6.
?
6
本课小结
再 见