1.4.4诱导公式与旋转 课件（共33张PPT）——2020-2021学年高一下学期北师大版（2019）必修第二册第一章第四节

诱导公式与旋转
授课教师：
温故知新
学习目标
1. 根据角的终边的旋转关系，推导并掌握对应的诱导公式. （重点）
2. 对所有诱导公式进行综合应用. （难点）
课文精讲
观察图，设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转 得到点P′，即α+ 的终边与单位圆交于点P′.
?????????
?
?????????
?
课文精讲
由平面几何知识可知:
点P′的坐标为(-v ，u).所以点P的横坐标cosα与点P′的纵坐标sin????+????????相等，即
?
sin(α+ )=cosα；
?????????
?
点P的纵坐标sinα与点P′的横坐标cos????+????????的绝对值相等且符号相反，即
?
cos????+?????????=-sinα.
?
课文精讲
以上结论对任意角α都成立，即对任意角α，有
sin????+????????=cosα；
?
cos????+?????????=-sinα.
?
可以实现正余弦的相互转换
记忆口诀“函数名改变，符号看象限”
典型例题
例1：证明：
sin??????????????=-cosα，
?
cos??????????????=sinα.
?
证明：设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v).由图可知，点P的横坐标cosα与点P′的纵坐标sin?????????????的绝对值相等且符号相反，即sin?????????????=- cosα.
?
典型例题
例1：证明：
sin??????????????=-cosα，
?
cos??????????????=sinα.
?
证明：点P的纵坐标sin ????与点P′的横坐标
cos ?????????????相等，即cos??????????????=sinα.
以上结论对任意角????都成立，即对任意角?????，有
sin??????????????=-cosα，cos??????????????=sinα.
?
典型例题
例1：证明：
sin??????????????=-cosα，
?
cos??????????????=sinα.
?
可以实现正余弦的相互转换
记忆口诀“函数名改变，符号看象限”
课文精讲
抽象概括
sin(α+2kπ)=sinα cos(α+2kπ)=cosα
sin(-α)=-sinα cos(-α) =cosα
sin(α+π) = sin(π+α) =-sinα
cos(α+π) = cos (π+α) =-cosα
sin(α-π) = -sinα cos(α-π) = -cosα
sin(π-α) = sinα cos (π-α) = -cosα
课文精讲
抽象概括
sin????+????????= sin????????+????=?cosα
cos????+????????=cos????????+????=?????????????α
sin??????????????=cosα
cos??????????????=sinα
?
通常称上述公式为正弦函数、余弦 函数的诱导公式.
课文精讲
六组诱导公式
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
2kπ+a（k∈Z）
a-π
-a
π-a
????????-a
????????+a
正弦
sina
-sina
-sina
sina
cosa
cosa
余弦
cosa
-cosa
cosa
-cosa
sina
-sina
角
函数
课文精讲
六组诱导公式
①诱导公式都是α的三角函数与k·????????±α的三角
函数之间的转化.
记忆口诀:奇偶不变，符号看象限.
?
课文精讲
六组诱导公式
②“奇变偶不变”：α角前面的是k·????????±α ，如
果k是奇数，那么得到的三角函数名
称要发生变化，正弦变余弦，余弦变正弦；
如果k是偶数，那么三角函数名称不
发生变化.
?
课文精讲
六组诱导公式
③“符号看象限”:将α角看成一个锐角(只是为了判断符号将α角看成锐角，这个角并不一定是锐角)，此时判断k·????????±α(k∈Z)所在的象限，并观察三角函数对这个角运算得到的符号是正还是负.
?
课文精讲
六组诱导公式各有什么作用？
sin(α+2kπ)=sinα cos(α+2kπ)=cosα
sin(α+π) =-sinα
cos(α+π) =-cosα
sin(-α)=-sinα
cos(-α) =cosα
将角化为0~2π内的角求值
将0~2π内的角转化为0~π内的角求值
将负角转化为正角求值
课文精讲
六组诱导公式各有什么作用？
sin(π-α) = sinα
cos (π-α) = -cosα
sin????+????????=?cosα
cos????+????????=?????????????α
sin??????????????=cosα
cos??????????????=sinα
?
将????????~π内的角转化为0~????????内的角求值
?
实现正弦与余弦的相互转化
课文精讲
至此，我们在平面直角坐标系中，对角????的终边经过对称或旋转得到了诱导公式.我们
发现， 是这些诱导公式中旋转的最小角度，而π，2kπ(k∈Z)又都是 的整数倍；还有，中心对称也可以用旋转π表示.于是，我们试图用旋转 的整数倍来分析诱导公式.
?
????????
?
????????
?
????????
?
课文精讲
1.先分析????+????????，α+π，α-π，α+2kπ(k∈Z)
?
(1)????+????????可以看作角α的终边旋转了????????；
(2)????+????可以看作角α的终边旋转了????????的2倍；
(3)?????????与 α+π的终边重合，其三角函数值均相
等；
(4)????+????????????可以看作角α的终边旋转了????????的4k倍
(k∈Z).
?
课文精讲
2.再先分析?????????????和π-α
?
(1)显然， ?????????????也就是- ?????????????，?????????????与????+????????????的终边重合，其三角函数值均相等，即求?????????????的三角函数时，可以将?????????????看作角????的终边旋转了????????的3倍；

?
(2) π-α也就是-(α-π).
课文精讲
2.再先分析?????????????和π-α
?
综上所述，除了关于-????的诱导公式sin(-????)= -sin????和cos(- ????)=cos????，对于其他诱导公式中的角，都可以看作?????+????????????，其中n =1，2 ， 3 ，4k(k∈Z).
只需注意，关于?????????????和????- ????的诱导公式，在做了?????+????????????和α-π的公式变化之后，还要借助于- ??的诱导公式·
?
课文精讲
用这样的观点看诱导公式，得到如下结论:当n取奇数1或3时，公式的等号两边一个
是正弦函数，另一个是余弦函数；当n取偶数2或4k(k∈Z)时，公式的等号两边都是正弦函数或都是余弦函数，其符号由角所在的象限决定.
课文精讲
由于我们比较熟悉锐角三角函数，诱导公式的一个重要作用是将不是锐角的正弦函数、余弦函数问题转化为锐角的正弦函数、余弦函数问题.
典型例题
例1：求下列函数值：
(2) sin?????????????????
(3)
?
sin?????????????????
?
解： (1) sin?????????????????= sin????????????+????????
= sin????????????=????????????????????+????????
= cos ????????=????????.
?
sin????????????? cos?????????+ sin????????????????? cos????????????
?
典型例题
例1：求下列函数值：
(2) sin?????????????????
(3)
?
sin?????????????????
?
解： (2) sin????????????????? = - sin????????????????
= -????????????????????+????????
=?（?????????????????????） = ????????????????????=????????.
?
sin????????????? cos?????????+ sin????????????????? cos????????????
?
典型例题
例1：求下列函数值：
(2) sin?????????????????
(3)
?
sin?????????????????
?
解： (3) sin????????????? cos?????????+ sin????????????????? cos????????????
?
sin????????????? cos?????????+ sin????????????????? cos????????????
?
=sin ?????????+????cos????????+ sin?????????+?????????cos ????????+????
?
=sin???????? cos????????+ ???????????????????????????????????????????
?
=2×????????×????????=????????.
?
典型例题
例2：化简：
????????????(?????????????)????????????(????????+????)????????????(????????????+????)????????????(?????????)????????????(?????????????)????????????(??????????)
?
解：原式=
?(?????????????????)????????????(????+????)????????????(?????????????)?????????????(?????????)????????????(?????????)????????????(????+????)
?
?????????????????(?????????????????)??????????????????????????????????????????????????(?????????????????)
?
=
=1.
综合练习
已知????????????(????????+????)=????????，则????????????(????????????+????)=______.
?
解：∵????????????+????= (????????+????)+π，
?
∴????????????(????????????+????)=sin[(????????+????)+π]
=?sin (????????+????)=??????????.
?
- ????????
?
综合练习
已知f(????)=
?
????????????(?????????????)?????????????????(?????????????)+????????????(????????????+????)????????????(????????????+????)+????????????(????????????+????).
?
(1)若????=?????????，求f(????)的值；
(2)若????为第三象限角，且cos (????????+????)=????????，求f(????)
的值.
?
综合练习
已知f(????)=
?
解： (1) 由于f(????)=
?
????????????(?????????????)?????????????????(?????????????)+????????????(????????????+????)????????????(????????????+????)+????????????(????????????+????).
?
(1)若????=?????????，求f(????)的值；
?
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?
????????????????????????????????
?
=
又????=?????????，所以f(????)=
?
????????????????????????????????=??????????????????=?????.
?
综合练习
已知f(????)=
?
解： (2) ∵cos (????????+????)=?sin ?????=????????，
∴sin?????=?????????，
?
????????????(?????????????)?????????????????(?????????????)+????????????(????????????+????)????????????(????????????+????)+????????????(????????????+????).
?
(2)若????为第三象限角，且cos (????????+????)=????????，求f(????)
的值.
?
又∵????为第三象限角，
∴ cos?????=?????????，f(????)=????????.
?
本课小结
再 见