1.7正切函数-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（46张PPT）

正切函数
授课教师：
温故知新
学习目标
1. 理解正切函数的定义. （重点）
2.掌握正切函数的诱导公式，并能够灵活运用其进行化简求值. （重点）
3. 会画y=tanx的图象.（重点）
4.推导并理解正切函数在区间?????????，????????内的性质.（难点）
5.能够利用正切函数的性质解决有关问题. （难点）
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课文精讲
正切函数的定义
根据函数的定义，比值????????????????????????????????是x的函数，称为x的正切函数，记作y=tanx，其中定义域为{x∈R|x≠?????????+kπ，k∈Z}.
当x∈ ?????，?????????时，上述定义与初中时所学正切函数的定义是一致的.
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典型例题
例1：求下列角α的正切函数值：
(1) α=- ?????????； (2) α= ?????????????.
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解： (1) 因为α=- ?????????，所以sin??????????=?????????? ，
cos??????????=?????????，由正切函数的定义，得
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tan??????????=-????????????????????????????????????????????=??????????????????? =?1；
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典型例题
例1：求下列角α的正切函数值：
(1) α=- ?????????； (2) α= ?????????????.
?
解： (2) 因为α=?????????????，所以sin ?????????????=????????? ，
cos?????????????=?????????? ，由正切的定义，得
?
tan?????????????=??????????????????????????????????????????????????=??????????????????? =-1.
?
典型例题
例2：如图，设角α的终边上任取一点Q(x，y)，
(x≠0)，求角α的正切函数值.
sinα=????????， cosα =???????? ，
由正切函数的定义，得
?
解：设|OQ|=r，因为x≠0，所以角α的终边不
在y轴上.
tanα=????????????????????????????????=???????????????? =???????? .
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典型例题
通过例2，我们得到一个结论:若角α的终边上任取一点Q(x，y)， (x≠0)， 则


这个结论可以用来计算正切函数值.
tanα=???????? .
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课文精讲
由正弦函数、余弦函数的诱导公式，对任意正数k，有
正切函数的诱导公式
tan(x+kπ) =????????????(????+????????)?????????????(????+????????)=
?
???????????????????????????????????=tanx，k为奇数，
?
?????????????????????????????????=tanx，k为偶数
?
即tan(x+kπ)?=tanx，其中x∈R，x≠??????????+kπ，k∈Z.
?
课文精讲
即tan(x+kπ)?=tanx，其中x∈R，x≠??????????+kπ，k∈Z.
?
所以kπ(k∈Z，k≠0)?是正切函数的周期，π是
它的最小正周期.
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同时还可以得到
所以正切函数是奇函数.
tan(- x)=????????????(?????)?????????????(?????)= ?????????????????????????????????=? tanx
?
正切函数的诱导公式
课文精讲
思考
当?????????＜ α ＜????????时，角α与角-α，π+α，π-α， ????????+ α ， ?????????α的正切函数值有什么关系？
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正切函数的诱导公式
课文精讲
正切函数的诱导公式可由正弦函数、余弦函数相应的诱导公式得到:
tan(kπ+α)?=tanα (k∈Z)
tan(-α)?=?tanα
tan(π+α)?=tanα
tan(π-α)?=?tanα
tan??????????+????=??????????????????????
tan???????????????=?????????????????????
?
其中角α可以为使等式两边都有意义的任意角.
利用诱导公式，可将任意角的正切函数问题转化为锐角正切函数的问题.
正切函数的诱导公式
典型例题
例3: (1) tan??????????????????； (2) tan??????????????????； (3) tan ??????????????????.
?
解: (1) tan??????????????????= tan ?????????+?????????= tan?????????= ??????????；
(2) tan ???????????????????=? tan?????????????????=??tan ??????????+????????
=? tan??????????= tan ?????????= ??????????；
?
典型例题
例3: (1) tan??????????????????； (2) tan??????????????????； (3) tan ??????????????????.
?
解: (3)tan ??????????????????= ?tan?????????????????= ?tan ?????????+????????
=? tan ?????????= ??????????.
?
课文精讲
类比画正弦函数图象的方法，首先画出函数y= tanx，x∈ ?????????，????????的图象，再利用周期性将其延拓到整个定义域上，为此只需在区间???????，????????上取一系列的x值，例如， ????????? ，?????????， ?????????， ????， ????????， ????????， ????????.
?
正切函数的图象与性质
课文精讲
列表(如表).
正切函数的图象与性质
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
y=tanx
-1
0

1
课文精讲
利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点.然后用光滑曲线顺次连接，就可以得到函数y=tanx在区间?????????，????????上
的图象（如图）.
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正切函数的图象与性质
课文精讲
因为正切函数y=tanx是以π为周期的函数，所以它在区间??????????????????，?????????+????????上与在区间?????????，????????上的函数图象
形状完全相同.
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正切函数的图象与性质
课文精讲
函数y=tanx，x∈?????????，????????的图象向左、右平移(每次平移π个单位长度)，就可以得到正切函数y=tanx在
{x∈R|x≠?????????+????????，k∈Z}上
的图象(如图).正切函数的
图象称作正切曲线.
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正切函数的图象与性质
课文精讲
从图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x=????????+????????，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的.这些直线称作正切曲线各支的渐近线.

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正切函数的图象与性质
课文精讲
观察图，不难得出正切函数y=tanx的如下主要性质.
正切函数的图象与性质
1.定义域
正切函数的定义域是{x∈R|x≠?????????+????????，k∈Z}.
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课文精讲
观察图，不难得出正切函数y=tanx的如下主要性质.
正切函数的图象与性质
2.值域
当x从左侧趋近????????+????????，k∈Z时，tanx趋近正无穷大；
当x从右侧趋近?????????+????????，k∈Z时，tanx趋近负无穷大.即y=tanx的值域是实数集R.
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课文精讲
观察图，不难得出正切函数y=tanx的如下主要性质.
正切函数的图象与性质
3.周期性
正切函数是周期函数，周期是????????，k∈Z，k≠0，最小正周期是π.
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课文精讲
观察图，不难得出正切函数y=tanx的如下主要性质.
正切函数的图象与性质
4.奇偶性
由tan(-x)=-tanx可知，正切函数是奇函数.正切曲线关于原点对称，(kπ，0)都是它的对称中心.
课文精讲
观察图，不难得出正切函数y=tanx的如下主要性质.
正切函数的图象与性质
5.单调性
正切函数在每一个区间?????????+?????????，?????????+????????，k∈Z上单调递增.
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注：只能是开区间，因为x≠?????????+????????，k∈Z
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课文精讲
“正切函数在其定义域内是增函数”这种说法是否正确?
正切函数的图象与性质
不正确.正切函数在定义域内不具备单调性，但在每一个开区间?????????+?????????，?????????+???????? k∈Z内是增函数.
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课文精讲
由正切函数是奇函数，知它的图象关于原点对称.结合图象，你还能发现它的其他对称中心吗?有对称轴吗?
正切函数的图象与性质
正切函数的图象有无数个对称中心包括图象与x轴的交点和渐近线与x轴的交点.没有对称轴.
课文精讲
正切函数的图象与性质
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}函数
y=tanx
定义域
值域
R
周期性
周期函数，最小正周期为π
课文精讲
正切函数的图象与性质
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}函数
y=tanx
奇偶性
奇函数，图象关于原点对称
单调性
对称性
典型例题
例4：画出下列函数的图象，并求出定义域、周期和单调区间:
(1) tan2x； (2) tan??????????????.
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解： (1)画出y= tan2x的图象如图(画法略).由y= tanx的定义域可知，函数y= tan2x的自变量x应满足2x≠????????+????????，k∈Z，
即x≠ ????????+????????????，k∈Z.
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典型例题
例4：画出下列函数的图象，并求出定义域、周期和单调区间:
(1) tan2x； (2) tan??????????????.
?
解： (1) 所以函数y=tan2x的定义域是
{x∈R|x≠????????+????????????，k∈Z}.
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典型例题
例4：画出下列函数的图象，并求出定义域、周期和单调区间:
(1) tan2x； (2) tan?????????????.
?
解： (1)由于y=tanx的周期是π，
tan2x=tan(2x+π )=tan2????+????????，因此，函
数y=tan2x的最
小正周期是????????.
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典型例题
例4：画出下列函数的图象，并求出定义域、周期和单调区间:
(1) tan2x； (2) tan?????????????.
?
解： (1)因为y=tanx的单调递增区间是
?????????+?????????，?????????+????????，k∈Z.
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所以由?????????+?????????＜2x＜ ????????+
????????，k∈Z，解得??????????????????????＜x＜ ????????????+????????，k∈Z.
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典型例题
例4：画出下列函数的图象，并求出定义域、周期和单调区间:
(1) tan2x； (2) tan?????????????.
?
解： (1)因此，函数tan2x的单调递增区间是
?????????????????????，????????????+????????， k∈Z.
?
典型例题
例4：画出下列函数的图象，并求出定义域、周期和单调区间:
(1) tan2x； (2) tan?????????????.
?
解： (2)画出y=tan?????????????的图象如图(画法略).由y=tanx的定义域可知，函数y=tan?????????????的自变量x应满足?????????????≠ ????????+kπ，
k∈Z，即????≠????????????+kπ，
k∈Z.
?
典型例题
例4：画出下列函数的图象，并求出定义域、周期和单调区间:
(1) tan2x； (2) tan?????????????.
?
解： (2)因此，函数y=tan?????????????的定义域是
{x∈R|x≠????????????+????????，k∈Z}.
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典型例题
例4：画出下列函数的图象，并求出定义域、周期和单调区间:
(1) tan2x； (2) tan?????????????.
?
解： (2)由于tan?????????????=tan?????????????+????
=tan(????+????)?????????，因此函数tan?????????????的
最小正周期是π.
?
典型例题
例4：画出下列函数的图象，并求出定义域、周期和单调区间:
(1) tan2x； (2) tan?????????????.
?
解： (2)由?????????????????＜?????????????＜ ????????+????????，k∈Z，
解得??????????????????＜x＜ ????????????+????????????，k∈Z.
?
因此，函数y=tan?????????????的单调递增区间是?????????????????，????????+????????????， k∈Z.

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典型例题
例5：比较下列各组中三角函数值的大小：
tan ?????????????与tan ???????????? ；
tan?????????????????与tan?????????????????.
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解： (1) tan ?????????????=? tan????????????=?tan ?????????+????
=? ?????????????????????=????????????????????.
?
tan????????????=tan ????????????+????=tan????????????.
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典型例题
例5：比较下列各组中三角函数值的大小：
tan ?????????????与tan ???????????? ；
tan?????????????????与tan?????????????????.
?
解： (1)由于y= tanx在区间????，????????上单调递增，
且0＜????????＜????????????＜????????，
因此tan ????????＜tan ????????????，
即tan ?????????????＜ tan ???????????? .
?
典型例题
例5：比较下列各组中三角函数值的大小：
tan ?????????????与tan ???????????? ；
tan?????????????????与tan?????????????????.
?
解： (2) tan?????????????????=? tan????????????????=?tan????????+????????
=? tan????????，
tan?????????????????=? tan????????????????=?tan?????????????+????????
=??tan????????????.
?
典型例题
例5：比较下列各组中三角函数值的大小：
tan ?????????????与tan ???????????? ；
tan?????????????????与tan?????????????????.
?
解： (2)由于y= tanx在区间????，????????上单调递增，
且0＜????????＜????????????＜????????，
因此tan ????????＜tan ????????????，- tan ????????＞- tan ????????????，
即tan??????????????????＞ tan????????????????? .

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综合练习
已知2sin(α?????????)＝sin(π+α)，则tan(π-α)的值是______.
?
解： ∵2sin(α? ????????)=sin(π+α)，
∴-2cosα =-sinα，可得tanα=2，
∴tan(π-α) =-tanα=-2．
故答案为：-2
?
-2
综合练习
已知角α的终边上一点A(????，?1)，则tan（π+α）=______.
?
解：因为角α的终边上一点A(????，?1)，
根据三角函数的定义，得tanα=? ，
所以tan（π+α）=tanα= .
?
?????????=??????????
?
??????????
?
??????????
?
本课小结
再 见