1.8三角函数的简单应用-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（29张PPT）

三角函数的简单应用
授课教师：
温故知新
学习目标
1. 能够用三角函数解决一些简单的实际问题. （重点、难点）
2. 体会可以利用三角函数构建刻画事物的周期变化的数学模型.（难点）
课文精讲
周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型这一节将利用三角函数研究关于周期现象的简单的实际问题.
课文精讲
三角函数模型的应用主要体现在几个方面?
三角函数模里的应用体现在两个方面:
1.已知函数模型求解数学问题；
2.把实际问题转化成数学问题，抽象出有关
的数学模型，再利用三角函数的有关知识
解决问题.
典型例题
例：水车问题.
水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图.设水车(即圆周)的直径为3 m，其中心(即圆心)O到水面的距离b=1.2 m，逆时针匀速旋转一圈的时间是???????? min，水车边缘上一点P距水面的高度为h(单位:m).
(1)求h与旋转时间t(单位:s)的函数
解析式，并画出这个函数的图象；
?
典型例题
(2)当雨季河水上涨或旱季河流水量减少时.所求
得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化?
若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参
数又会受到怎样的影响?
典型例题
例：设水车(即圆周)的直径为3 m，其中心(即圆心)O到水面的距离b=1.2 m，逆时针匀速旋转一圈的时间是???????? min，水车边缘上一点P距水面的高度为h(单位:m).
(1)求h与旋转时间t(单位:s)的函数解析式，并画
出这个函数的图象;
?
解：设点P在水面上时高度h为0，当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度为负值.
典型例题
例：设水车(即圆周)的直径为3 m，其中心(即圆心)O到水面的距离b=1.2 m，逆时针匀速旋转一圈的时间是???????? min，水车边缘上一点P距水面的高度为h(单位:m).
(1)求h与旋转时间t(单位:s)的函数解析式，并画
出这个函数的图象;
?
解： (1)过点P向水面作垂线，交水面于点M，PM的长度为点P的高度h.过水车中心O作PM的垂线，交PM于点N，设Q为水车与水面交点，∠QON=φ.
典型例题
解： (1) 由已知，水车的半径R=1.5 m；水车中心到水面的距离b=1.2 m；水车旋转一圈所需的时间为T=????????min=80 s，转速为????=????????????=???????????? rad/s.
?
例：设水车(即圆周)的直径为3 m，其中心(即圆心)O到水面的距离b=1.2 m，逆时针匀速旋转一圈的时间是???????? min，水车边缘上一点P距水面的高度为h(单位:m).
(1)求h与旋转时间t(单位:s)的函数
解析式，并画出这个函数的图象;
?
典型例题
解： (1) 不妨从水车与水面交点Q时开始计时(t=0)，旋转t s水车转动的角的大小为α，即∠QOP= α=????????=???????????? rad.
?
例：设水车(即圆周)的直径为3 m，其中心(即圆心)O到水面的距离b=1.2 m，逆时针匀速旋转一圈的时间是???????? min，水车边缘上一点P距水面的高度为h(单位:m).
(1)求h与旋转时间t(单位:s)的函数
解析式，并画出这个函数的图象;
?
典型例题
解： (1) 从图中不难看出：h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b.①
因为sinφ=????.?????????.????，
所以φ≈53.1°=0.295 ???? rad.
?
例：设水车(即圆周)的直径为3 m，其中心(即圆心)O到水面的距离b=1.2 m，逆时针匀速旋转一圈的时间是???????? min，水车边缘上一点P距水面的高度为h(单位:m).
(1)求h与旋转时间t(单位:s)的函数
解析式，并画出这个函数的图象;
?
典型例题
解： (1) 因此h≈1.5sin????????????????+????.????????????????+1.2，②
这就是点P距水面的高度h关于时间
t的函数解析式.
?
例：设水车(即圆周)的直径为3 m，其中心(即圆心)O到水面的距离b=1.2 m，逆时针匀速旋转一圈的时间是???????? min，水车边缘上一点P距水面的高度为h(单位:m).
(1)求h与旋转时间t(单位:s)的函数
解析式，并画出这个函数的图象;
?
典型例题
解： (1) 当点P旋转到与中心O等高时，点P到水面的距离恰好是1.2 m，此时?????????????????????.????????????????=0，t=40×0.295=11.8(s).
?
例：设水车(即圆周)的直径为3 m，其中心(即圆心)O到水面的距离b=1.2 m，逆时针匀速旋转一圈的时间是???????? min，水车边缘上一点P距水面的高度为h(单位:m).
(1)求h与旋转时间t(单位:s)的函数
解析式，并画出这个函数的图象;
?
典型例题
解： (1) 找出使?????????????????????.????????????????=0取0， ????????，π， ?????????????，2π的五个关键点，列表(如表)、描点，画出函数在区间[0，91.8]上的图象(如图).
?
例：设水车(即圆周)的直径为3 m，其中心(即圆心)O到水面的距离b=1.2 m，逆时针匀速旋转一圈的时间是???????? min，水车边缘上一点P距水面的高度为h(单位:m).
(1)求h与旋转时间t(单位:s)的函数
解析式，并画出这个函数的图象;
?
典型例题
解： (1)
例：设水车(即圆周)的直径为3 m，其中心(即圆心)O到水面的距离b=1.2 m，逆时针匀速旋转一圈的时间是???????? min，水车边缘上一点P距水面的高度为h(单位:m).
(1)求h与旋转时间t(单位:s)的函数
解析式，并画出这个函数的图象;
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}t
11.8
31.8
51.8
71.8
91.8
h≈1.5sin?????????????????????.????????????????+1.2
1.2
2.7
1.2
-0.3
1.2
典型例题
解： (1)
例：设水车(即圆周)的直径为3 m，其中心(即圆心)O到水面的距离b=1.2 m，逆时针匀速旋转一圈的时间是???????? min，水车边缘上一点P距水面的高度为h(单位:m).
(1)求h与旋转时间t(单位:s)的函数
解析式，并画出这个函数的图象;
?
典型例题
例：设水车(即圆周)的直径为3 m，其中心(即圆心)O到水面的距离b=1.2 m，逆时针匀速旋转一圈的时间是???????? min，水车边缘上一点P距水面的高度为h(单位:m).
(2)当雨季河水上涨或旱季河流水量减少时.所求
得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化?
若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参
数又会受到怎样的影响?
?
解：(2)雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心O与水面距离的改变，导致函数解析式中的参数b发生变化.
典型例题
例：设水车(即圆周)的直径为3 m，其中心(即圆心)O到水面的距离b=1.2 m，逆时针匀速旋转一圈的时间是???????? min，水车边缘上一点P距水面的高度为h(单位:m).
(2)当雨季河水上涨或旱季河流水量减少时.所求
得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化?
若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参
数又会受到怎样的影响?
?
解：(2) 水面上涨时参数b减小；水面回落时参数b增大.如果水车转速加快，将使周期T减小，转速减慢则使周期T增大.
典型例题
面对实际问题建立数学模型，是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘，就像这个例题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”是很自然的.
综合练习
如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动．据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A300 km的海面点P处，并以20 km/h的速度向西偏北30°方向移动．如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为100 km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响．如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由.
????
?
综合练习
如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动．据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A300 km的海面点P处，并以20 km/h的速度向西偏北30°方向移动．如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为100 km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响．如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由.
????
?
解：如图所示，设台风移动的时间为t h，则|PM|=20t，依题意可得∠APM=60°-30°=30°.
综合练习
如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动．据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A300 km的海面点P处，并以20 km/h的速度向西偏北30°方向移动．如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为100 km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响．如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由.
????
?
解：在△APM中，由余弦定理可得AM2=PA2+PM2-2PA·PM·cos30°
????????
?
=3002+(20t)2-2×300×20t× .
综合练习
如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动．据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A300 km的海面点P处，并以20 km/h的速度向西偏北30°方向移动．如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为100 km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响．如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由.
????
?
解：依题意该城市受台风侵袭等价于AM≤100 ，即AM2≤30000，
∴90000+400t2-6000 t ≤30000，
化简得：t2-15 t+150≤0，
????
?
????
?
????
?
综合练习
如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动．据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A300 km的海面点P处，并以20 km/h的速度向西偏北30°方向移动．如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为100 km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响．如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由.
????
?
解：解得5 ≤t≤10 .
所以该城市受台风侵袭的时间为
10 -5 =5 (h).
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
综合练习
在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式为__________.
解：设位移x关于时间t的函数为x=f(t)=Asin(ωt+φ)(ω＞0)，
????????????
?
则A=3，周期T= =3，
故ω = ，
????????????
?
综合练习
在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式为__________.
解：由题意可知当x=0时，f(t)取得最大值3，故3sinφ=3，故3sinφ=3，
故φ = +2kπ.
????????
?
???????? +2kπ
?
本课小结
再 见