2.1.2向量的基本关系-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（27张PPT）

向量的基本关系
授课教师：
温故知新
学习目标
1.理解平行向量、共线向量、相等向量的概念；（重点）
2. 能够能够掌握它们之间的联系与区别.（难点）
课文精讲
导入
思考
上体育课时，当某一排同学整理好队形，并
执行完老师的口令“向前三步走，向右看齐”之后，同学们位移的方向是否相同?位移的大小是否相等?能否认为同学们的位移是相同的?
可以认为，情境中同学们位移的方向和大小都相等，即位移相同.
课文精讲
在物理学中，两个物体运动速度相等是指它们的方向相同、大小相等；两个力相等不仅
包括方向相同、大小相等，还包括作用点相同.
相等向量
课文精讲
相等向量
在数学中，相等向量是指它们的长度相等且方向相同.向量????与????相等.记作????=????.
?
符号语言
图形语言
????=????
?
????
?
????
?
课文精讲
若两条有向线段方向相同、长度相等，则它们表示的向量是相等的.代表相等向量的有向线段与起点位置无关.直观地说，一条有向线段在平移过程中，虽然位置不同，但表示的是相等向量.
相等向量
课文精讲
例如，在图中， ????????????????=????????????????=????????????????.
?
相等向量
????????
?
????????
?
????????
?
????????
?
????????
?
????????
?
课文精讲
相等向量
(1)相等向量有无数多个，它们可以通过平移重合
在一起，当两个相等向量起点重合时，终点一
定重合；
(2)模相等是向量相等的必要条件，模相等且方向
相同是向量相等的充分条件；
(3)相等向量，满足传递性，即若????=????且????=????，则
????=????.
?
思考：如何理解相等向量？
课文精讲
共线向量
若两个非零向量????，????的方向相同或相反(如图)，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作?????// ????.
?
两个向量共线或平行，是指表示这两个向量的有向线段所在的直线重合或平行.
课文精讲
共线向量
若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量.相反向量是共线向量.若其中一个向量为?????，则它的相反向量记作- ????.
?
规定零向量与任一向量共线，即对于任意的向量?????，都有?????∥ ????.零向量的相反向量仍是零向量.
?
课文精讲
共线向量
（1）共线向量只考虑方向（相同或相反），而相等向量既考虑方向又考虑模（方向相同，模相等）；
（2）相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量.
思考：共线向量与相等向量之间的关系是什么？
典型例题
例1：如图，点D，E，F分别是等边三角形ABC
的边AB，BC，AC的中点.在以点A，B，C，D，
E，F为起点或终点的向量中:
(1)找出与向量 ????????相等的向量;
(2)找出与向量 ????????共线的向量.
?
解：根据三角形的中位线定理，得
(1)在以点A，B，C，D，E，F为起点或终点的
向量中，与向量 ????????相等的向量有: ????????和????????.
?
A
B
C
E
D
F
典型例题
例1：如图，点D，E，F分别是等边三角形ABC
的边AB，BC，AC的中点.在以点A，B，C，D，
E，F为起点或终点的向量中:
(1)找出与向量 ????????相等的向量;
(2)找出与向量 ????????共线的向量.
?
解： (2)在以点A，B，C，D，E，F为起点或终
点的向量中，与向量????????共线的向量有
????????， ????????， ????????， ????????， ????????， ????????， ???????? .
?
A
B
C
E
D
F
课文精讲
己知两个零向量????和????.如图，在平面内选一
点O，作?????????= ?????， ????????=???? ，则θ=∠AOB(0°≤ θ
≤180°)称为向量????与????的夹角.
?
共线向量
????
?
?????
?
????
?
?????
?
????
?
????
?
A
θ
课文精讲
当θ =0°时， ????与????同向，当θ =180°时，
????与????反向，当θ =90°时，????与????垂直，记作????⊥????.
规定零向量可与任一向量垂直，即对于任
意的向量????，都有????⊥????.
?
共线向量
????
?
?????
?
????
?
?????
?
????
?
????
?
A
θ
典型例题
例3：如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分
别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角.
(1) ????????与????????；(2) ) ????????与????????；(3) ) ????????与????????.
?
解： (1) ????????与????????的夹角是∠EDF=60°；
?
A
B
C
E
D
F
(1)
典型例题
解： (2) 因为????????= ???????? ，所以????????与???????? 的夹角等于
????????与???????? 的夹角，
即∠EDA=120°；
?
A
B
C
E
D
F
(1)
例3：如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分
别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角.
(1) ????????与????????；(2) ) ????????与????????；(3) ) ????????与????????.
?
典型例题
解： (3) 如图(2) ，延长FD至B′，使DB′=FD，
则????????′ = ???????? ，则????????与????????的夹角等于
????????与 ????????′的夹角，
即∠EDB′=120°.
?
A
B
C
E
D
F
(2)
B′
例3：如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分
别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角.
(1) ????????与????????；(2) ) ????????与????????；(3) ) ????????与????????.
?
综合练习
已知向量????，????，???? 满足????∥????， ????∥????，则????∥????
一定平行吗？
?
忽视零向量致误
解：分两种情况说明：
①当向量????= ????，向量????与向量????均为非零向量时，不能保证????∥????.
?
综合练习
已知向量????，????，???? 满足????∥????， ????∥????，则????∥????
一定平行吗？
?
解：②当向量????≠????时，因为????∥?????，所以向量????与
向量????具有相同或相反方向.又因为????∥????，所
以向量????与向量????具有相同或相反方向，所
以向量????与向量???? 满足具有相同或相反方向，
故????∥????.
?
忽视零向量致误
综合练习
已知向量????，????，???? 满足????∥????， ????∥????，则????∥????
一定平行吗？
?
忽视零向量致误
解：②综上所述，当向量????≠ ????时，向量????与向量???? 平行；当向量????= ????时，向量????与向量????不一定平行.
?
综合练习
忽视零向量致误
注意：求解向量问题时，要注意题目中的向量能否为零向量.零向量是特殊的向量，方向是任意的. 所有的零向量都相等.零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向线段表示出来.
综合练习
对共线向量理解错误
若向量????????与????????是共线向量，则四点A,B,C,D必在同一条直线上.这种说法是否正确？为什么？
?
解：不正确.因为向量可以自由平移，所以点
A,B,C,D不一定在同一条直线上.
综合练习
对共线向量理解错误
注意：因为向量可以自由平移，因此，共线向量所在的直线可以平行，也可以重合，不能与平行直线混淆.
本课小结
再 见