2.2.1向量的加法-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（42张PPT）

向量的加法
授课教师：
温故知新
学习目标
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的
几何意义及其运算律；（重点）
2.掌握向量加法运算法则，能熟练进行加法运算；（难点）
3.掌握数的加法与向量的加法的联系与区别.
课文精讲
向量加法的定义
天车是大型生产车间或工地进行起重作业
的重要设备.如图，物体在天车的作用下，同时
进行竖直方向的位移和水平方向的位移.实际位
移 ????????可以看作竖直方向的位移????????与水平方向的
位移 ????????的合成.
?
课文精讲
向量加法的定义
求两个向量和的运算，称为向量????的加法.
?
课文精讲
向量加法的定义
已知两个不共线的向量????，?????，如图，在平
面内任取一点A，作有向线段 ?????????= ???? ， ?????????= ????，
以有向线段 ????????和????????为邻边作 ABCD，则有
向线段能表示的向量即为向量????与????的和，记作
?????+ ????.这种求两个向量和的作图方法称为向量加
法的平行四边形法则.
?
????
?
????
?
????+????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
课文精讲
向量加法的定义
????
?
????
?
????+????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
口诀：共起点，共点对角线为和.
????
?
????
?
课文精讲
显然，如图，作有向线段?????????= ???? ， 以有向线段????????的终点为起点，作有向线段 ?????????= ????.
连接A，C得到有向线段????????，也可以表示向量????与????的和.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则.
?
向量加法的定义
????
?
????
?
????+?????
?
C
B
A
课文精讲
这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则.
向量加法的定义
????
?
????
?
????+?????
?
C
B
A
口诀：首位相接，首指向尾为和.
课文精讲
向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗?为什么?
向量加法的定义
(1) 两个法则的使用条件不同.
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和.
课文精讲
向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗?为什么?
向量加法的定义
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的.
如图所示， 在 ABCD中， ?????????= ?????????+ ?????????，
(平行四边形法则).
又因为????????= ????????，所以????????=
????????+ ????????(三角形法则).
?
????
?
????
?
????
?
????
?
课文精讲
向量加法的定义
思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
不是.因为向量既有大小，又有方向，
所以两个向量相加不是模相加，两个向量
相加应满足向量加法的三角形法则或平行
四边形法则.
课文精讲
若????，????共线，如图表示了两个共线向量求和的情形.
?
向量加法的定义
????
?
????
?
????
?
????
?
????+????
?
????
?
????
?
????+????
?
????
?
????
?
(1) (2)
课文精讲
若两个共线向量方向相同，则它们的和向量方向与原方向一致，大小为两个向量大小之和(如图(1))；
向量加法的定义
????
?
????
?
????
?
????
?
????+????
?
(1)
课文精讲
若两个共线向量方向相反且大小不相等，则它们的和向量方向与较大向量的方向一致，大小是两个向量大小差的绝对值(如图(2)).
向量加法的定义
????
?
????
?
????+????
?
????
?
????
?
(2)
课文精讲
由向量加法的定义可知，互为相反向量的两个向量的和为零向量，即
?????+(- ????)=(- ????)+ ?????= ????.
?
向量加法的定义
典型例题
例1：如图，已知向量????，????，求作向量????+????.
?
解：作法1(平行四边形法则):如图在平面内任
取一点O，作????????= ????， ????????= ????，以OA，OB
为邻边作 OBCA，则????????=????+????.
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
典型例题
例1：如图，已知向量????，????，求作向量????+????.
?
解：作法2(三角形法则):如图在平面内任取一点O，作????????= ????， ????????= ????， ，则????????= ????+????.
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
课文精讲
思考
对任意的两个向量????，????，| ????+????|，|????|+|????|，
|????|-|????|之间具有怎样的大小关系?通过作图进行
解释.
?
向量加法的定义
||????|-|????||≤|????+????|≤|????|+|????|
?
????
?
????
?
????+?????
?
C
B
A
课文精讲
思考
对任意的两个向量????，????，| ????+????|，|????|+|????|，
|????|-|????|之间具有怎样的大小关系?通过作图进行
解释.
?
向量加法的定义
由上可看出，向量????，????的模与????+????的模之
间满足不等式
||????|-|????||≤|????+????|≤|????|+|????|
?
(向量形式的三角不等式)
课文精讲
点拨:利用向量形式的三角不等式可以解决有关向量的大小(模)的取值范围或最值问题，但需注意验证等号成立的条件，即当????与????同向时， |????+????|=|????|+|????| .
?
向量加法的定义
||????|-|????||≤|????+????|≤|????|+|????|
?
????
?
????
?
????+?????
?
C
B
A
典型例题
例2：轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40
n mile到达B处，再由B处沿正北方向行驶40
n mile到达C处.求此时轮船与A港的相对位置.
解：如图， ????????， ????????分别表示轮船的两次位移，
则 ????????表示轮船的合位移， ?????????= ?????????+ ????????.
设正东方向所在直线为AE，
过点B作AE的垂线，垂足为
点D.
?
典型例题
解：在Rt△ADB中，∠ADB=90°，
∠DAB=30°，|????????|=40 n mile，
所以 |????????|=|????????|·sin ∠DAB
=40·sin30°
=20(n mile).
?
例2：轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40
n mile到达B处，再由B处沿正北方向行驶40
n mile到达C处.求此时轮船与A港的相对位置.
典型例题
解：|????????|=|????????|·cos ∠DAB
=40·cos30°
=20????(n mile).
?
例2：轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40
n mile到达B处，再由B处沿正北方向行驶40
n mile到达C处.求此时轮船与A港的相对位置.
典型例题
解：在Rt△ADB中，∠ADC=90°， |????????|=|????????|+ |????????|=60 (n mile)，由勾股定理得|????????|=|????????|????+|????????|????
= (????????????)????+????????????
= 40 ???? (n mile).
?
例2：轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40
n mile到达B处，再由B处沿正北方向行驶40
n mile到达C处.求此时轮船与A港的相对位置.
典型例题
解：由|????????|=2 |????????|，得∠CAD=60°.
因此，此时轮船位于A港北偏东30°，且
距A港40 ????的C处.
?
例2：轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40
n mile到达B处，再由B处沿正北方向行驶40
n mile到达C处.求此时轮船与A港的相对位置.
课文精讲
问题提出
我们熟知，数的加法满足结合律和交换
律，即对任意α，β，γ∈R，有
(α+β)+ γ= α+(β+γ)
α+β=β+α
那么向最的加法运算满足哪些运算律呢?
向量加法的运算律
课文精讲
分析理解
向量的加法也满足结合律和交换律，即
(????+????)+????=????+(????+????)
????+????=????+????
?
向量加法的运算律
结合律
交换律
课文精讲
分析理解
先证明向量????，????，????的加法满足结合律.
由图可知
(????+????)+????= (????????+????????)+????????= ????????+????????=????????，
????+ (????+????)= ????????+(????????+????????)= ????????+?????????= ????????.
所以 (????+????)+????=????+(????+????)
?
向量加法的运算律
结合律
????
?
????+????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????+????
?
????+????+????
?
????
?
课文精讲
分析理解
再证明向量????，????的加法满足交换律.由图
可知
????+????= ????????+????????= ????????，
????+????= ????????+????????=????????.
所以 ????+????=????+????
?
向量加法的运算律
交换律
????
?
????
?
????+????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
课文精讲
多个向量的加法运算可按照任意的次序
与任意的组合进行，如
(????+????)+(????+????)=(????+????)+(????+????);
????+????+????+????+????=[????+(????+????)]+(????+????).
?
向量加法的运算律
典型例题
例3：如图，已知向量????，????，?????， ????，作出????+
????+?????+?????，并说明多个向量求和的方法及依据.
?
解：可以按照不同的次序与组合
进行这四个向量的加法.
????
?
????
?
????
?
????
?
典型例题
例3：如图，已知向量????，????，?????， ????，作出????+
????+?????+?????，并说明多个向量求和的方法及依据.
?
解：方法1
如图，在平面上任取一点A，
作????????=????，????????=????， ????????= ?????，
????????=????，
????+????+?????+?????=[(????+????)+ ????]+ ?????
=(????????+????)+ ?????= ????????+ ?????= ????????.
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????+????+?????+????
?
????
?
????
?
????
?
A
C
B
D
E
典型例题
例3：如图，已知向量????，????，?????， ????，作出????+
????+?????+?????，并说明多个向量求和的方法及依据.
?
解：方法2
如图，在平面上任取一点A′，
作????′????′=????，????′????′=????， ????′????′= ?????， ????′????′=????，则
????+????+?????+?????=(????+????)+( ????+ ????)
=????′????′+????′????′= ????′????′.
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????+????+?????+?????
?
A′
C′
B′
D′
E′
课文精讲
由于向量的加法满足结合律与交换律，
因此求n个向量????????， ????????， ···， ????????，的和可
以按以下步骤进行：
任取一点O，依次作有向线段?????????????=????????，
?????????????????=????????， ···， ??????????????????????= ????????， ????????????即为
这n个向量之和.
?
当然，也可以把n个向量分为若干组，
先求每组向量之和，再求出这些组向量和的
和.
课文精讲
另外，为了得到有限个向量的和，只需将
这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的
始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向
量，就是这些向量的和，如图所示.
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????+????+????+????+????
?
课文精讲
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????+????+????+????+????
?
图中的和，与向量相加的顺序有关吗？为
什么？
无关，因为向量相加满足交换律
综合练习
化简下列各式：
(1)????????+????????+????????; (2)????????+????????+????????+????????+????????.
?
解：(1)????????+????????+????????
=(????????+????????)+????????
=????????+????????
=????????.
?
综合练习
化简下列各式：
(1)????????+????????+????????; (2)????????+????????+????????+????????+????????.
?
解： (2)????????+????????+????????+????????+????????
=????????+????????+(????????+????????+????????)
=????????+????????+????????
=(????????+????????)+????????
=????????+????????
=????????=????.
?
综合练习
已知|????|=3， |????|=4，求|????+????|的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时 ????与????的关系.
?
解：由|????+????|≤|????|+|????|
可知， |????+????|的最大值为|????|+|????| =3+4=7.
当且仅当????与????方向相同时取得最大值.
由|????+????| ≥||????|-|????||，可知|????+????|的最小值为||????|-|????||=|3-4|=1.
当且仅当与方向相反时取得最小值.
?
本课小结
再 见