2.2.2向量的减法-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（19张PPT）

向量的减法
授课教师：
温故知新
学习目标
1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量
相减的意义；（重点）
2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地
进行向量的加减运算；（难点）
3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.（难点）
课文精讲
我们知道，实数α减去实数β，等于实数α
加上实数β的相反数，即
α- β= α+(- β).
类似地，向量的减法定义为：向量????减向量????等
于向最????加上向量????的相反向量，即
?????- ?????= ?????+(- ????).
?
????
?
????
?
????
?
????-?????
?
????+(-????)
?
课文精讲
不难看出，任何一个向量与它的相反向量
的和等于零向量，即
????+(- ????)= ???? ，????????+(- ????????)= ????.
?
思考：怎样正确理解相反向量？
相反向量与相等向量一样，要从长度和
方向两方面去理解，相反向量必为平行向量.
课文精讲
相反向量的性质：
（1）-（- ????）= ????；
（2） ????+（- ????）=- ????+ ????= ????；
（3）若????与????互为相反向量，则
① ????=- ????， ????=- ????；
② ????+ ????= ????；
③|????|=|????|.
?
课文精讲
口诀：共起点，连终点，向被减.
????
?
????
?
????
?
????
?
????-?????
?
求两向量差的作图方法也常称为
向量减法的三角形法则.
课文精讲
????
?
????
?
????
?
????
?
????-?????
?
向量????-????可以表示为从向量????的终点指
向向量????的终点的向量，这是向量减法的几
何意义.
?
课文精讲
如图，给定向量????减向量????，作有向线段????????= ????， ????????= ????，故-????=????????，则
?????- ?????= ?????+(- ????)=????????+ ????????= ????????+ ????????= ????????.
?
????
?
????
?
????
?
????
?
-????
?
????
?
课文精讲
思考：向量的减法满足交换律和结合律吗？
不满足交换律，但满足结合律，即
① ?????- ?????≠ ????-????；
②(?????- ?????)- ????= ????-(?????+ ?????).
?
典型例题
例1：如图①，已知向量????，????，????，求作向量
????-????+ ????.
?
解：如图②，在平面上任取一点O，作????????= ????，????????= ????， 则????????= ????- ????.
再作????????= ????，连接BD，
则????????= ????????+ ????????=????-????+ ????.
?
????
?
????
?
????
?
①
????
?
????
?
????
?
????-????
?
②
B
D
A
O
典型例题
例2：已知|????|=6，| ????|=8，且????⊥????.
(1)探索|????+????|与|????-????|的关系；
(2)求|????- ????|.
?
解：如图，设????????= ????，????????= ????，以AB，AD为邻边作 ABCD，则????????= ????+????，????????= ????-????.
?
(1)因为????⊥????，即????????⊥????????，
所以 ABCD为矩形，
所以|????????|=|????????|，
即|????+????|=|????-????|.
?
????
?
D
A
B
C
????
?
典型例题
例2：已知|????|=6，| ????|=8，且????⊥????.
(1)探索|????+????|与|????-????|的关系；
(2)求|????- ????|.
?
解：
(2)在Rt△DAB中，|????????|=6，|????????|=8，
由勾股定理，得
|????????|2= |????????|2+|????????|2=62+82=100.
所以|????- ????|=|????????|=10.
?
????
?
D
A
B
C
????
?
典型例题
例3：如图，点O是 ABCD外一点，试用
????????， ????????， ????????表示????????.
?
解：由于????????= ????????+ ????????，
因此只需将????????用????????， ????????表示.
而????????=???????? = ?????????-?????????，
故????????= ????????+ ????????=????????+(?????????-?????????)
= ?????????-?????????+????????.
?
D
A
B
C
O
错误使用向量的减法法则
如图，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的向量分别为????????，???????? ，????????，求????????.
?
解：因为????????=????????+????????，
????????=????????=????????-????????，
所以????????=????????+????????-????????= ????????+ ????????- ????????.
?
A
B
C
D
O
????????
?
????????
?
????????
?
综合练习
综合练习
错误使用向量的减法法则
注意：
可以表示为从向量????的终点指向????
的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
连终点，向被减.
?
????-????
?
综合练习
已知平行四边形ABCD中， ????????=?????， ????????=?????，用????，????分别表示向量????????， ????????.
?
解：如图所示，由向量加法的平行四边形法则
可知????????=????????+ ????????= ????+????.
按照减法的定义可知
????????=????????- ????????= ????-????.
?
????
?
????
?
A
B
C
D
本课小结
再 见