第7章 复数 单元检测-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含答案解析）

高一数学必修二第七单元复数单元检测
-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（含解析）
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为??
A.
2
B.
C.
D.
若复数z满足，其中i为虚数单位，则?
???
A.
B.
C.
D.
设，其中x，y是实数，则
A.
1
B.
C.
D.
2
设复数，则在复平面内满足的复数z有?
?
A.
9个
B.
8个
C.
4个
D.
5个
已知复数与复数在复平面内对应的点分别是A，B，若O为坐标原点，则等于?
???
A.
B.
C.
D.
已知i是虚数单位，则化简的结果为
A.
i
B.
C.
D.
1
复数的虚部为??
A.
B.
C.
D.
已知，，，则“”是“”的
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分又不必要条件
已知i为虚数单位，下列说法正确的是
A.
若x，，且，则
B.
任意两个虚数都不能比较大小
C.
若复数，满足，则
D.
的平方等于1
在复平面内，复数，对应的点分别为A，若C为线段AB上的点，且，则点C对应的复数是
A.
4i
B.
C.
D.
若是关于x的方程的一个根，则
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
已知i是虚数单位，，，定义：，，则下列命题正确的是?
?
A.
对任意，都有
B.
若是z的共轭复数，则恒成立
C.
若，则
D.
对任意，，，恒成立
若复数，则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角若一个复数z的模为2，辐角为，则?
A.
B.
C.
D.
多选若m为实数，则复数在复平面内所对应的点可能在
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
多选复数z满足，则下列四个判断中，正确的是
或
B.
z是虚数
C.
D.
z的模等于1
二．填空题
已知复数x满足，则??????????．
定义运算，则符合条件的复数??????????，复数z的共轭复数在复平面内对应的点在第??????????象限．
若复数，，则??????????．
已知，则??????????．
三．解答题
已知复数是虚数单位是关于x的实系数方程在复数范围内的一个根．
求的值
复数w满足是实数，且，求复数w．
已知复数，若存在实数t使成立．
求证：为定值
若，求的取值范围．
已知复数在复平面内对应的点在第四象限．
求实数m的取值集合
若集合，求．
已知复数z满足，的虚部是2．
求复数
设z，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，求的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，属容易题．
复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值．
【解答】
解：复数，它是纯虚数，
所以，
故选A．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了复数相等的充要条件和共轭复数，属基础题．
由已知可得，根据复数相等的条件即可得结果．
【解答】
解：设R，则，
所以，
所以，，即，，
故选B．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查复数相等的条件及复数模的求法，属于基础题．
先由复数相等的条件求出x，y，再由复数的模长公式即可求解
【解答】
解：因为，
所以，，
故选B．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查复数的概念和几何意义以及复数的模，属于基础题．
根据题意可得，而，即可得到，0，1，分类讨论a和b的取值即可得解．
【解答】
解：，
，
，
，0，1．
当时，，0，1；
当时，，0，1；
当时，，0，1；
所以共有9个，
故选A．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查复数的几何意义，复数与复平面内的点一一对应．解答的关键是利用正切的和角公式．利用复数的几何意义，写出A，B的坐标；利用正切坐标公式求出角，，写最后利用和角公式求出．
【解得】
解：点A、B对应的复数分别是与复数，
则，
，，
，，
，
则等于．
故选B．
6.【答案】D
【解析】解：，
．
故选：D．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的运算性质得答案．
本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的运算性质，是基础题．
7.【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算、复数的概念，属于基础题．
利用运算法则化简复数z，即可求出结果．
【解答】
解：
，
所以复数的虚部为．
故选B．
8.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查复数相等的充要条件以及充分条件、必要条件的判断，属于基础题．
根据，得或，再结合充分条件、必要条件的定义即可得到答案，
【解答】解：由，得，
解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选A．
9.【答案】AB
【解析】
【分析】
本题考查复数的概念，复数相等的充要条件，复数的四则运算，属基础题．
由复数的概念，复数相等的充要条件，复数的四则运算逐一判定各选项即可．
【解答】
解：对于选项A，，，且，由复数相等的概念可得，，故A正确
对于选项B，虚数不能比较大小，故B正确
对于选项C，当复数，时满足，，故C不正确
对于选项D，?，故D不正确．
故选：AB．
10.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查复数的代数表示，为基础题．
写出复数所对应点的坐标，由，求出点C的坐标，即可求解．
【解答】解：两个复数对应的点分别为，，
设点C的坐标为，
则由，得，
即，
得，
故点C对应的复数为
故选C．
11.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查复数方程的求解，属于中档题．
是关于x的方程的一个根，则，化简，根据复数相等的充要条件列方程组求解即可．
【解答】解：因为是关于x的方程的一个根，
所以，
整理得，
则，
解得，
故选B．
12.【答案】BD
【解析】【解析】对于A，当时，，A错误对于B，设，则，则，B正确对于C，当，时，满足，但，C错误对于D，设，，b，c，d，e，，则，?，，，由，，得恒成立，D正确故选BD．
本题主要考查复数的应用，熟悉共轭复数的定义是解答本题的关键，属于中档题．
根据新定义和共轭复数的概念即可逐项分析求解。
13.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查复数的三角形式，复数的运算，属于基础题．
由复数的三角形式得，由复数的运算求解．
【解答】解：由复数z的模为2，辐角为，
可得
所以．
故选D．
14.【答案】ABD
【解析】
【分析】本题考查复数的代数表示及几何意义，若m为实数，则复数的实部为，虚部为由实部与虚部相加为，可得该复数在复平面内对应的点的横、纵坐标不可能都为负，即该复数在复平面内对应的点不可能位于第三象限，排除C；取，则，可得该复数在复平面内对应的点在第二象限；取，则；取，则，从而可求解．
【解答】解：若m为实数，
则复数的实部为，虚部为．
因为实部与虚部相加为，
所以该复数在复平面内对应的点的横、纵坐标不可能都为负，
即该复数在复平面内对应的点不可能位于第三象限，排除
取，则，
所以该复数在复平面内对应的点在第二象限，可选B
取，则，
所以该复数在复平面内对应的点在第一象限，可选A
取，则，
所以该复数在复平面内对应的点在第四象限，可选D．
故选ABD．
15.【答案】ABCD
【解析】
【分析】本题考查复数相等的基本概念；
先设复数，则因为复数z满足，从而可以解得答案，选项都符合。
【解答】解：设复数，
则．
因为复数z满足，
所以，
解得或，
即或，
结合题中的四个选项可知ABCD均正确，
故选ABCD．
16.【答案】
【解析】
【分析】本题考查复数范围内一元二次方程的解法，属于基础题．
将等号的左边的式子配方，等号右边变形为，将等式两边同时进行开方运算即可求解．
【解答】解：，
，
又，
，
17.【答案】
，一
【解析】
【分析】
本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数的四则运算，复数相等的充要条件，共轭复数，属中档题．
设复数，由定义运算可得，再由复数相等的充要条件可解得x，y的值，再由共轭复数的概念及复数的几何意义即可解答．
【解答】
解：设复数，
由定义运算，
可得，
将代入整理可得，
所以，解得，，所以；
所以，所以复数z的共轭复数在复平面内对应的点在第一象限．
故答案为：，一．
18.【答案】
【解析】
【分析】本题考查复数的运算，根据复数的运算解答即可，属于基础题．
【解答】解：因为复数，，
所以
19.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，分段函数的给值求值问题，属基础题．
根据分段函数的解析式，先求，再求即可．
【解答】
解：，．
故答案为：3．
20.【答案】解：在复数范围内，实系数方程的两个根是互为共轭复数的，
实系数方程在复数范围内的另一个根是，
故，
解得，
．
设复数，
，
是实数，
，即．
又，，
联立，解得或，
因此复数或．
【解析】本题考查复数的计算，求复数的模，难度一般．
由题意判断出实系数方程的两个根是互为共轭复数的，
得出方程的另一个根是，
进而求得
设复数，
计算，
得出，即，结合已知求出a，b即可求出复数w．
因此复数或．
21.【答案】证明：存在实数t使成立，
，且，
，
，即，
化简可得，即为定值．
解：若，则，
，且，
化简可得，解得．
，，
当时，，
的取值范围为
【解析】本题考查复数相等的概念以及复数模的问题，属于中档题．
将条件整理成，由复数相等的定义得到，消去t，即可得证结果．
根据中得到的a，b关系，可将化为，解出因而有，即可求出结果．
22.【答案】解：，
因为z在复平面内对应的点在第四象限，
所以，
解得，
即．
因为，
所以，
所以，
所以，
化简得，解得，
即，
所以或，，
故．
【解析】本题考查复数的几何意义，集合的运算，不等式的解法，难度适中．
，由题设得
由，得，所以，所以，得，进行集合的补集和并集运算即可．
23.【答案】解：设，
则，
由题意得且，
解得或，
所以或．
当时，，，
所以，，，
所以
当时，，，
所以，，，
所以．
综上，的面积为1．
【解析】本题考查数复数的四则运算、模的计算、复数相等以及复数的几何意义，属于基础题．
，通过复数的四则运算以及复数相等，建立方程组，解得a，b的值，即可得到复数
先得到A，B，C三点的坐标，进而求出的面积．