专题强化训练试卷八
概率
(基础篇）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.抛掷一枚硬币，连续出现9次正面向上，则第10次出现正面向上的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】第10次抛硬币结果不受前9次结果的影响，由于硬币正面向上或正面向下可能性相同，则概率为，
故选:D．
2.某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，下列说法正确的是（
）
A.
如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人一定能治愈
B.
2位病人中一定有1位能治愈
C.
每位病人治愈的可能性是50%
D.
所有病人中一定有一半的人能治愈
【答案】C
【解析】A错误，因为治愈率为50%是一种概率，只是一种可能性，针对某一具体的个体并不一定能治愈；
B错误，因为治愈率为50%是一种概率，只是一种可能性，并不是两次试验就一定能发生一次的；
C正确，因为治愈率为50%是一种概率，就是每位病人治愈的可能性是50%；
D错误，因为治愈率为50%是一种概率，只是一种可能性，并不一定有一半的人能治愈.
故选：C.
3.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为50%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成平局的概率为（
）
A．60%
B．50%
C．30%
D．10%
【答案】C
【解析】甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为50%，甲不输的概率为80%，
则甲、乙下成平局的概率为80%﹣50%＝30%．故选:C．
4.某人在打靶中连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是（
）
A.
至少有一次中靶
B.
只有一次中靶
C.
两次都中靶
D.
两次都不中靶
【答案】C
【解析】射击两次中靶的次数可能是0，1，2.至多1次中靶，即中靶次数为0或1，故它的对立事件为中靶两次.故选：C.
5.将甲、乙、丙三位医生随机分配去支援武汉的两所医院（两所医院必须都要分配到医生），则甲、乙两人分配到同一家医院的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】设两个医院分别为A，B，则共有A（甲，乙）B（丙），A（甲，丙）B（乙），A（乙，丙）B（甲），B（甲，乙）A（丙），B（甲，丙）A（乙），B（乙，丙）A（甲），共6个基本事件，其中甲乙在一个医院的事件有2个，
则甲、乙两人分配到同一家医院的概率为,故选：A
6.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为，所有比赛的情况:：
、、，齐王获胜三局；
、、，齐王获胜两局；
、、，齐王获胜两局；
、、，齐王获胜两局；
、、，田忌获胜两局；
、、，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为
故选：B
7.若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，
且，，，即，
解得，即．故选:D．
8.我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类．全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类．题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献．《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1634石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷25粒，则这批米内夹谷约为（
）
A．158石
B．159石
C．160石
D．161石
【答案】D
【解析】由题意可知这批米内夹谷约为(石)．故选:D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（ ）
A．“至少一个红球”和“都是红球”
B．“恰有一个红球”和“都是红球”
C．“恰有一个红球”和“都是黑球”
D．“至少一个红球”和“都是黑球”
【答案】BC
【解析】从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，
在A中，“至少一个红球”和“都是红球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
在B中，“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生，是互斥而不对立事件，故B正确；
在C中，“恰有一个红球”和“都是黑球”不能同时发生，是互斥而不对立事件，故C正确；
在D中，“至少一个红球”和“都是黑球”是对立事件，故D错误．
故选：BC．
10.一个袋子中装有2件正品和2件次品，按以下要求抽取2件，其中结论正确的是（
）
A.
任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率为
B.
每次抽取1件，有放回的抽取两次，基本事件数为16
C.
任取2件，“两件都是正品”与“两件都是次品”是互斥事件
D.
任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件
【答案】BCD
【解析】
对于选项A；从中任取两件恰有一件是次品的概率，故A错误；
对于选项B；每次抽取1件，有放回的抽取两次，则基本事件总数为，故B正确；
对于选项C；任取两件，其可能结果有2件次品、1件次品1件正品、2件正品，“两件都是正品”与“两件都是次品”其中一个发生另外一个一定不发生，当然也可以都不发生，故为互斥事件，故C正确；
对于选项D；“至少有1件是次品”包含两种情况2件次品、1件次品1件正品，故“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件，故D正确；故选：BCD
11.以下对各事件发生的概率判断正确的是（
）
A.
甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是
B.
从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中一男一女同学的概率为
C.
将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是
D.
从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
【答案】BCD
【解析】对于选项A，
甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，共有种情形，
结合树状图，可得玩一局甲不输的情况，共有种情形，
所以玩一局甲不输的概率是，故A错误；
对于选项B，设1名男生为，两名女生分别为，
则从这3人中选取2人包含：，共3种选法，
其中选中一男一女同学包含：，
所以选中一男一女同学的概率为，故B正确；
对于选项C，将一个质地均匀的正方体骰子，先后抛掷2次，共有36种不同的结果，
其中点数和为6的有：，共有5种，
所以点数之和是6的概率是，故C正确；
对于选项D，从三件正品、一件次品中随机取出两件，
则取出的产品全是正品的概率是，故D正确.故选：BCD。
12.在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（
）
A.
两件都是一等品的概率是
B.
两件中有1件是次品的概率是
C.
两件都是正品的概率是
D.
两件中至少有1件是一等品的概率是
【答案】BD
【解析】由题意设一等品编号为、，二等品编号为，次品编号为，
从中任取2件的基本情况有：、、、、、，共6种；
对于选项A，两件都是一等品的基本情况有，共1种，故两件都是一等品的概率，故A错误；
对于选项B，两件中有1件是次品的基本情况有、、，共3种，故两件中有1件是次品的概率，故B正确；
对于选项C，两件都是正品的基本情况有、、，共3种，故两件都是正品的概率，故C错误；
对于选项D，两件中至少有1件是一等品的基本情况有、、、、，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率，故D正确.故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.某大型工程遇到一个技术难题，工程总部将这个问题分别让甲研究所和乙研究所进行独立研究，已知甲研究所独立研究并解决这个问题的概率为0.6，乙研究所独立研究并解决这个问题的概率为0.7，这个技术难题最终能被解决的概率为___________．
【答案】0.88
【解析】设事件为“这个技术难题最终能被解决”，
所以，
所以，
故答案为:0.88．
14.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球概率为，得到黑球或黄球概率是，得到黄球或绿球概率是，则任取一球得到黄球的概率为__________.
【答案】；
【解析】设红球、黑球、黄球、绿球的个数分别为
由题得，所以，
由题得，所以，
由题得，所以.
由古典概型的概率公式得任取一球得到黄球的概率为.
故答案为：
15.如图，把一个表面涂有蓝漆的正方体木块锯成64个完全相同的小正方体，若从中任取一块，则这一块至多有一面涂有蓝漆的概率为_______．
【答案】
【解析】有两面涂有蓝漆的小木块有24个，有三面涂有蓝漆的小木块有8个，
则至多有一面涂有蓝漆的小木块有32个，故．
故答案为:
.
16.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为___________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为___________．
【答案】
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．
故答案为:；．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.为了解学生“课外阅读日”的活动情况，某校以的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样调查，测得阅读时间（单位：分钟）的频数统计图如下：
（1）分别估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数；
（2）估计该校高二年级学生阅读时间在60分钟以上的概率；
（3）从样本中阅读时间在分钟的选修物理的学生中任选2人，求至少有1人阅读时间在之间的概率．
【答案】（1）300；200；（2）；（3）．
【解析】（1）因为以的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样，所以该校高二年级选修物理的人数约为：，于是该校高二年级选修历史的人数约为：．
（2）样本中，阅读时间在60分钟以上的人数为：，而样本总数为：，于是样本中阅读时间在60分钟以上的频率为．
利用样本的频率估计总体的概率，得该校高二年级学生阅读时间在60分钟以上的概率约为．
（3）样本中阅读时间在分钟的选修物理的学生分两类：一类是阅读时间在分钟的共有3人，记为，，，另一类是阅读时间在分钟的共有2人，记为，．
从这5人中任选2人，共有10种等可能基本事件：，，，，，，，，，．
分记事件为：“至少有1人阅读时间在之间”，则事件的对立事件：“2人阅读时间都在之间”，且包括3种基本事件：，，．
根据古典概型概率公式，得．
由对立事件概率公式，得．
答：至少有1人阅读时间在之间的概率约为．
18.
某机器人兴趣小组有男生3名，记为，，，有女生2名，记为，，从中任意选取2名学生参加机器人大赛．
（1）求参赛学生中恰好有1名女生的概率；
（2）求参赛学生中至少有1名女生的概率．
【答案】（1）；（2）.
【解析】从5名学生中选两名学生有以下基本事件
，
且这10个基本事件发生是等可能的；
（1）记参赛学生中恰好有1名女生为事件A，则事件A发生包含基本事件有
共6个基本事件，
所以所求概率；
（2）记参赛学生中至少有1名女生为事件B，则事件B包含基本事件有
，共7个基本事件，
所以所求概率.
19.A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.
（1）求一个试验组为甲类组的概率；
（2）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设表示事件:一个试验组中，服用有效的小鼠有只，，1，2，
表示事件“一个试验组中，服用有效的小鼠有只“，，1，2，
依题意有：，．，
，所求概率为：
（2）依题意这3个试验组中至少有一个甲类组的对立事件为这3个试验组中没有一个甲类组的.所以概率；
20.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量，.
（1）求使得事件“”发生的概率；
（2）求使得事件“”发生的概率.
【答案】（1）
；（2）.
【解析】（1）由题意知，、，故(m，n)所有可能的取法共36种.
当时，得m-3n=0，即m=3n，满足条件共有2种：(3，1)，(6，2)，
所以事件的概率.
（2）当时，可得m2+n2≤10，共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)6种情况，
其概率.
21.在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间.某地区一研究团队从该地区500名A病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如下表格：
潜伏期（单位：天）
人
数
60岁及以上
2
5
8
7
5
2
1
60岁以下
0
2
2
4
9
2
1
（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；
（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）；
（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率.
【答案】（1）（2）（天）（3）
【解析】（1）调查的50名A病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，
因此该地区A病毒患者中，60岁以下的人数估计有人.
（2）（天）
（3）样本潜伏期超过10天的患者共六人，其中潜伏期在10~12天的四人编号为：1，2，3，4，潜伏期超过12天的两人编号为：5，6，
从六人中抽取两人包括15个基本事件：1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6.
记事件“恰好一人潜伏期超过12天”事件A，则事件A包括8个，
所以.
22.一个口袋内装有形状?大小相同，编号为1，2，3的3个白球和编号为a的1个黑球.
（1）从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率；
（2）从中连续取两次，每次取一球后放回，甲?乙约定：若取出的两个球中至少有1个黑球，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.
【答案】（1）；（2）不公平，理由见详解.
【解析】（1）从袋中一次性摸出2个球，所包含的基本事件有：，，，，，，共个基本事件；
摸出的2个球都是白球，所包含的基本事件有：，，，共个基本事件；
则从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率为；
（2）从袋中连续取两次，每次取一球后放回，则所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；
则取出的两个球中至少有1个黑球，所包含的基本事件有：，，，，，，，共个基本事件；
因此取出的两个球中至少有1个黑球的概率为，即甲胜的概率为，则乙胜的概率为，所以此游戏不公平.专题强化训练试卷八
概率
(基础篇）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.抛掷一枚硬币，连续出现9次正面向上，则第10次出现正面向上的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
2.某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，下列说法正确的是（
）
A.
如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人一定能治愈
B.
2位病人中一定有1位能治愈
C.
每位病人治愈的可能性是50%
D.
所有病人中一定有一半的人能治愈
3.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为50%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成平局的概率为（
）
A．60%
B．50%
C．30%
D．10%
4.某人在打靶中连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是（
）
A.
至少有一次中靶
B.
只有一次中靶
C.
两次都中靶
D.
两次都不中靶
5.将甲、乙、丙三位医生随机分配去支援武汉的两所医院（两所医院必须都要分配到医生），则甲、乙两人分配到同一家医院的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
6.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（
）
A．
B．
C．
D．
7.若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8.我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类．全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类．题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献．《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1634石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷25粒，则这批米内夹谷约为（
）
A．158石
B．159石
C．160石
D．161石
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（ ）
A．“至少一个红球”和“都是红球”
B．“恰有一个红球”和“都是红球”
C．“恰有一个红球”和“都是黑球”
D．“至少一个红球”和“都是黑球”
10.一个袋子中装有2件正品和2件次品，按以下要求抽取2件，其中结论正确的是（
）
A.
任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率为
B.
每次抽取1件，有放回的抽取两次，基本事件数为16
C.
任取2件，“两件都是正品”与“两件都是次品”是互斥事件
D.
任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件
11.以下对各事件发生的概率判断正确的是（
）
A.
甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是
B.
从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中一男一女同学的概率为
C.
将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是
D.
从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
12.在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（
）
A.
两件都是一等品的概率是
B.
两件中有1件是次品的概率是
C.
两件都是正品的概率是
D.
两件中至少有1件是一等品的概率是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.某大型工程遇到一个技术难题，工程总部将这个问题分别让甲研究所和乙研究所进行独立研究，已知甲研究所独立研究并解决这个问题的概率为0.6，乙研究所独立研究并解决这个问题的概率为0.7，这个技术难题最终能被解决的概率为___________．
14.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球概率为，得到黑球或黄球概率是，得到黄球或绿球概率是，则任取一球得到黄球的概率为__________.
15.如图，把一个表面涂有蓝漆的正方体木块锯成64个完全相同的小正方体，若从中任取一块，则这一块至多有一面涂有蓝漆的概率为_______．
16.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为___________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.为了解学生“课外阅读日”的活动情况，某校以的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样调查，测得阅读时间（单位：分钟）的频数统计图如下：
（1）分别估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数；
（2）估计该校高二年级学生阅读时间在60分钟以上的概率；
（3）从样本中阅读时间在分钟的选修物理的学生中任选2人，求至少有1人阅读时间在之间的概率．
18.
某机器人兴趣小组有男生3名，记为，，，有女生2名，记为，，从中任意选取2名学生参加机器人大赛．
（1）求参赛学生中恰好有1名女生的概率；
（2）求参赛学生中至少有1名女生的概率．
19.A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.
（1）求一个试验组为甲类组的概率；
（2）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
20.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量，.
（1）求使得事件“”发生的概率；
（2）求使得事件“”发生的概率.
21.在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间.某地区一研究团队从该地区500名A病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如下表格：
潜伏期（单位：天）
人
数
60岁及以上
2
5
8
7
5
2
1
60岁以下
0
2
2
4
9
2
1
（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；
（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）；
（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率.
22.一个口袋内装有形状?大小相同，编号为1，2，3的3个白球和编号为a的1个黑球.
（1）从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率；
（2）从中连续取两次，每次取一球后放回，甲?乙约定：若取出的两个球中至少有1个黑球，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.
