第十章
概率
10.2事件的相互独立性(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件
“第一枚硬币正面朝上”，事件
“第二枚硬币反面朝上”，则与的关系为（
）
A．互斥
B．相互对立
C．相互独立
D．相等
2．一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是（
）
A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球
B．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球
C．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球
D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球
3．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
4．某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是．同样也假定受，和感染的概率都是．在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
5.根据天气预报，某一天A城市和B城市降雨的概率均为0.6，假定这一天两城市是否降雨相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（
）
A．0.16
B．0.48
C．0.52
D．0.84
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列各对事件中,不是相互独立事件的有（
）
A．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B．甲?乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲?乙两运动员各射击一次,“甲?乙都射中目标”与“甲?乙都没有射中目标”
D．甲?乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
7．下列各对事件中,为相互独立事件的是（
）
A．掷一枚骰子一次,事件M“出现偶数点”;事件N“出现3点或6点”
B．袋中有3白?2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白?2黑共5个大小相同的小球,依次不放同地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲?乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M“从甲组中选出1名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生”
8．下面结论正确的是（
）
A．若，则事件A与B是互为对立事件
B．若，则事件A与B是相互独立事件
C．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件
D．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知7件产品中有5件合格品，2件次品．为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品的概率为___________．
10．已知某药店只有，，三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为_________
11．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.
（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；
（2）求恰有一人破译密码的概率.
13.小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率；
（3）这三列火车恰有一列火车正点到达的概率.
14．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶.第十章
概率
10.2事件的相互独立性(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件
“第一枚硬币正面朝上”，事件
“第二枚硬币反面朝上”，则与的关系为（
）
A．互斥
B．相互对立
C．相互独立
D．相等
【答案】C
【解析】根据题意，事件
“第一枚硬币正面朝上”，事件
“第二枚硬币反面朝上”，
两个事件可以同时发生，也可以都不发生，
事件发生与否对事件没有影响，是相互独立事件，故选：．
2．一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是（
）
A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球
B．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球
C．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球
D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球
【答案】C
【解析】一个口袋中装有3个白球和3个黑球，
对于：第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，是随机事件，
对于：摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不是独立事件，
对于：摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，两者不受影响，是独立事件，
对于：一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，有影响，不是独立事件，故选：．
3．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设“甲球落入盒子”为事件，“乙球落入盒子”为事件，
由题意可知事件与事件相互独立，且（A），（B），
则甲、乙两球都落入盒子的概率为（A）（B），
故选：A
4．某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是．同样也假定受，和感染的概率都是．在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意得出：因为直接受A感染的人至少是B，
而C、D二人也有可能是由A感染的，设直接受A感染为事件B、C、D，
则事件B、C、D是相互独立的，，，，
表明除了外，二人中恰有一人是由A感染的，
所以，
所以B、C、D中直接受A传染的人数为2的概率为，故选:C．
5.根据天气预报，某一天A城市和B城市降雨的概率均为0.6，假定这一天两城市是否降雨相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（
）
A．0.16
B．0.48
C．0.52
D．0.84
【答案】D
【解析】记A城市和B城市降雨分别为事件和事件，故，，
可得，，两城市均未降雨的概率为，
故至少有一个城市降雨的概率为，故选:D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列各对事件中,不是相互独立事件的有（
）
A．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B．甲?乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲?乙两运动员各射击一次,“甲?乙都射中目标”与“甲?乙都没有射中目标”
D．甲?乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
【答案】ACD
【解析】在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B中,甲?乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲,乙各射击一次,“甲?乙都射中目标”与“甲?乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则,因此当时,,故A?B不独立,
故选：ACD
7．下列各对事件中,为相互独立事件的是（
）
A．掷一枚骰子一次,事件M“出现偶数点”;事件N“出现3点或6点”
B．袋中有3白?2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白?2黑共5个大小相同的小球,依次不放同地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲?乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M“从甲组中选出1名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生”
【答案】ABD
【解析】在A中，样本空间，事件，事件，事件，
∴，，，
即，故事件M与N相互独立，A正确.
在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，B正确；
在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C错误；
在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D正确.
故选：ABD.
8．下面结论正确的是（
）
A．若，则事件A与B是互为对立事件
B．若，则事件A与B是相互独立事件
C．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件
D．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件
【答案】BD
【解析】对于A选项，要使为对立事件，除还需满足，也即不能同时发生，所以A选项错误.
对于C选项，包含于，所以与不是互斥事件，所以C选项错误.
对于B选项，根据相互独立事件的知识可知，B选项正确.
对于D选项，根据相互独立事件的知识可知，D选项正确.
故选：BD
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知7件产品中有5件合格品，2件次品．为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品的概率为___________．
【答案】
【解析】因为7件产品中有5件合格品，2件次品，所以恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品包含两种情况：正次正次，正正次次，
所以所求概率为，
故答案为:．
10．已知某药店只有，，三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为_________
【答案】0.35
【解析】由题意，得甲、乙两人买品牌口罩的概率都是0.3，所以甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为．故答案为:0.35．
11．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ．
【答案】，．
【解析】设“甲球落入盒子”为事件，“乙球落入盒子”为事件，
由题意可知事件与事件相互独立，且（A），（B），
则甲、乙两球都落入盒子的概率为（A）（B），
事件“甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件为“甲、乙两球都没有落入盒子”
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
（A）（B），
故答案为：，．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.
（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；
（2）求恰有一人破译密码的概率.
【答案】（1）0.42；（2）0.46.
【解析】（1）事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，事件A，B相互独立，
由题意可知，
所以；
（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且,互斥
所以
.
13.小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率；
（3）这三列火车恰有一列火车正点到达的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】用A，B，C分别表示这三列火车正点到达，则，，，所以，，.且A，B，C相互独立.
（1）由题意得，恰好有两列火车正点到达的概率为
.
（2）由题意得，三列火车至少有一列正点到达的概率为.
（3）由题意得，恰有一列火车正点到达的概率为
.
14．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶.
【答案】（1）0.72
（2）0.26
（3）0.02
（4）0.98
【解析】设“甲中靶”,
“乙中靶”,则“甲脱靶”,“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,A与,与B,与都相互独立
由已知可得,.
（1）
“两人都中靶”,由事件独立性的定义
得
（2）“恰好有一人中靶”
,且与互斥
根据概率的加法公式和事件独立性定义,得
（3）事件“两人都脱靶”,
所以
（4）方法1：事件“至少有一人中靶”,且AB,与两两互斥,
所以
方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”
根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为
