第十章
概率
10.3频率与概率(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（
）
A．频率就是概率
B．频率是随机的，与试验次数无关
C．概率是稳定的，与试验次数无关
D．概率是随机的，与试验次数有关
2．某天将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次．若用表示正面朝上这一事件，则的（
）
A．概率为
B．频率为
C．频率为6
D．概率接近0.6
3．将，两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：
投篮次数
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
投中次数
7
15
23
30
38
45
53
60
68
75
投中频率
投中次数
8
14
23
32
35
43
52
61
70
80
投中频率
下面有三个推断：
①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是；
②随着投篮次数的增加，运动员投中频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计运动员投中的概率是；
③当投篮达到200次时，运动员投中次数一定为160次.
其中合理的是（
）.
A．①
B．②
C．①③
D．②③
4．在检测一批相同规格共500
kg航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为（
）
A．2.8
kg
B．8.9
kg
C．10
kg
D．28
kg
5.某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：
本科
研究生
合计
35岁以下
40
30
70
35-50岁
27
13
40
50岁以上
8
2
10
现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是（
）
A．该教职工具有本科学历的概率低于60％
B．该教职工具有研究生学历的概率超过50％
C．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％
D．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列说法正确的是（
）
A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀
C．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水
7．下列说法中，正确的是（
）
A．频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小；
B．频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
C．做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件的概率；
D．频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值.
8．关于频率和概率，下列说法正确的是（
）
A.某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为；
B.数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；
C.某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；
D.将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．下列说法：
①频率就是概率
②任何事件的概率都是在(0，1)之间
③概率是客观存在的，与试验次数无关
④概率是随机的，与试验次数有关
其中不正确的是
；（写出所有不正确说法的序号）
10．某班学生在一次数学考试中的成绩分布如表
分数段
人数
2
5
6
8
12
6
4
2
那么分数在中的频率约是________（精确到0.01）
11．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，
8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了
20组随机数：
7527
0293
7140
9857
0347
4373
8636
6947
1417
4698
0371
6233
2616
8045
6011
3661
9597
7424
7610
4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．某地为了整顿电动车道路交通秩序，考虑对电动车闯红灯等违章行为进行处罚，为了更好地了解情况，在某路口骑车人中随机选取了100人进行调查，得到如下数据，其中．
处罚金额x（单位：元）
0
10
20
处罚人数y
50
a
b
（1）用表中数据所得频率代替概率，求对骑车人处罚10元与20元的概率的差；
（2）用分层抽样的方法在处罚金额为10元和20元的抽样人群中抽取5人，再从这5人中选取2人参与路口执勤，求这两种受处罚的人中各有一人参与执勤的概率．
13．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期
3月1日
3月2日
3月3日
3月4日
3月5日
温差
10
11
13
12
8
发芽数（颗
23
25
30
26
16
（1）求这5天的平均发芽率；
（2）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，，用的形式列出所有的基本事件，并求满足“，，”的事件的概率．
14．有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.第十章
概率
10.3频率与概率(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是(
)
A．频率就是概率
B．频率是随机的，与试验次数无关
C．概率是稳定的，与试验次数无关
D．概率是随机的，与试验次数有关
【答案】C
【解析】频率指的是：在相同条件下重复试验下，
事件A出现的次数除以总数，是变化的
概率指的是：
在大量重复进行同一个实验时，
事件A发生的频率总接近于某个常数，
这个常数就是事件A的概率，是不变的,
故选：C
2．某天将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次．若用表示正面朝上这一事件，则的（
）
A．概率为
B．频率为
C．频率为6
D．概率接近0.6
【答案】B
【解析】掷硬币10次，正面朝上出现了6次，
记事件
“正面朝上”，
所以的频率为：．故选：B．
3．将，两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：
投篮次数
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
投中次数
7
15
23
30
38
45
53
60
68
75
投中频率
投中次数
8
14
23
32
35
43
52
61
70
80
投中频率
下面有三个推断：
①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是；
②随着投篮次数的增加，运动员投中频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计运动员投中的概率是；
③当投篮达到200次时，运动员投中次数一定为160次.
其中合理的是（
）
A．①
B．②
C．①③
D．②③
【答案】B
【解析】①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理；
②随着投篮次数增加，A运动员投中的频率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理；
③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮200次时，只能估计投中160次，而不能确定一定是160次，故③不合理；故选：B.
4．在检测一批相同规格共500
kg航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为（
）
A．2.8
kg
B．8.9
kg
C．10
kg
D．28
kg
【答案】B
【解析】解析：根据频率估计概率，由题意可得，这批垫片中非优质品约为：×500≈8.9(kg)．故选：B.
5.某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：
本科
研究生
合计
35岁以下
40
30
70
35-50岁
27
13
40
50岁以上
8
2
10
现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是（
）
A．该教职工具有本科学历的概率低于60％
B．该教职工具有研究生学历的概率超过50％
C．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％
D．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％
【答案】D
【解析】对于选项A，该教职工具有本科学历的概率
，故A错误；
对于选项B，该教职工具有研究生学历的概率，故B错误；
对于选项C，该教职工的年龄在50岁以上的概率，故C错误；
对于选项D，该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率，故D正确．
故选：D
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列说法正确的是（
）
A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀
C．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水
【答案】AB
【解析】对于选项A，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故A正确
对于选项B，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均匀，故B正确．
对于选项C，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故C错误．
对于选项D，“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为，故D错误．故选：AB．
7．下列说法中，正确的是（
）
A．频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小；
B．频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
C．做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件的概率；
D．频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值.
【答案】ABD
【解析】频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值，
随某事件出现的次数而变化
概率指的是某一事件发生的可能程度，是个确定的理论值，
故选：ABD
8．关于频率和概率，下列说法正确的是（
）
A.某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为；
B.数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；
C.某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；
D.将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.
【答案】BD
【解析】对于选项A，某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这次投篮中命中的频率为，不能说概率，故A错误；
对于选项B，进行大量的实验，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5,故B正确；
对于选项C，只能说明可能有1806粒种子发芽，具有随机性，并不是一定有1806粒种子发芽，故C错误；
对于选项D，出现点数大于2的次数大约为4000次，故D正确.
故选：BD
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．下列说法：
①频率就是概率
②任何事件的概率都是在(0，1)之间
③概率是客观存在的，与试验次数无关
④概率是随机的，与试验次数有关
其中不正确的是
；（写出所有不正确说法的序号）
【答案】①②④
【解析】解：事件A的频率是指事件A发生的频数与n次事件中事件A出现的次数比，
一般来说，随机事件A在每次实验中是否发生时不能预料的，但在大量重复的实验后，随着实验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间的某个常数上，这个常数就是事件A的概率，故可得：概率是客观存在的，与试验次数无关，
故答案为：①②④.
10．某班学生在一次数学考试中的成绩分布如表
分数段
人数
2
5
6
8
12
6
4
2
那么分数在中的频率约是________（精确到0.01）
【答案】0.18
【解析】某班总人数,
成绩在中的有8人,其频率为.
故答案为:0.18
11．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，
8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了
20组随机数：
7527
0293
7140
9857
0347
4373
8636
6947
1417
4698
0371
6233
2616
8045
6011
3661
9597
7424
7610
4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．
【答案】
【解析】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15，
所以射击4次至少击中3次的概率为.
故答案为：
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．某地为了整顿电动车道路交通秩序，考虑对电动车闯红灯等违章行为进行处罚，为了更好地了解情况，在某路口骑车人中随机选取了100人进行调查，得到如下数据，其中．
处罚金额x（单位：元）
0
10
20
处罚人数y
50
a
b
（1）用表中数据所得频率代替概率，求对骑车人处罚10元与20元的概率的差；
（2）用分层抽样的方法在处罚金额为10元和20元的抽样人群中抽取5人，再从这5人中选取2人参与路口执勤，求这两种受处罚的人中各有一人参与执勤的概率．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由条件可得，解得，所以处罚10元的有30人，处罚20元的有20人．
所以对骑车人处罚10元与20元的概率的差为．
（2）用分层抽样的方法在受处罚的人中抽取5人，则受处罚10元的人中应抽取3人，分别记为a，b，c，
受处罚20元的人中应抽取2人，分别记为A，B，若再从这5人中选2人参与路口执勤，共有10种情况：
，，，，，，，，，，
其中两种受处罚的人中各有一人的情况有6种：，，，，，，
所以两种受处罚的人中各有一人参与执勤的概率为．
13．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期
3月1日
3月2日
3月3日
3月4日
3月5日
温差
10
11
13
12
8
发芽数（颗
23
25
30
26
16
（1）求这5天的平均发芽率；
（2）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，，用的形式列出所有的基本事件，并求满足“，，”的事件的概率．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）这5天的平均发芽率为：
．
（2）从3月1日至3月5日任中选2天，
记发芽的种子数分别为，，
用的形式列出所有的基本事件有10个，分别为：
，，，，，，，，，．
满足“，，”的事件包含的基本事件有：
，，，共3个．
满足“，，”的事件的概率（A）．
14．有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
【答案】(1)
应选方案B
,猜“不是4的整数倍数”;(2)
应当选择方案A;
(3)
可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”
【解析】
(1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为=0.5;方案B中“不是4的整数倍数”的概率为=0.8,“是4的整数倍数”的概率为=0.2;方案C中“是大于4的数”的概率为=0.6,“不是大于4的数”的概率为=0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.
(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.
(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.
