六年级下册数学教案-2.1 比的意义 北京版

《比的意义》教学设计
【教学目标】
1.联系具体实例理解比的意义，了解比与分数、除法的关系，能根据要求写出两个数量的比；知道比各部分的名称，掌握比的读、写方法，会求出比值。
2.经历比的产生过程，体会知识之间的内在联系，培养应用比的知识解决实际问题的能力。
3.在学习活动中感受比的价值，获得成功的乐趣，增强学好数学的自信心。
【教学重点】理解比的意义，感受比的价值。
【教学难点】经历比的产生过程，感受比的价值。
【教学准备】教师：PPT课件；学生：课前完成《自主学习单》。
【教学过程】
一、创设情境、唤醒经验。
1.哪个房间拥挤？
解决问题1：两个空房间（一间进去10人，一间进去6人），哪一间人多？
出示问题2：哪一间拥挤？
在交流和辨析中明确：先将“两量结合”，再把“两数相除”，才能解决问题。
（相机板书：两量结合 两数相除）
设疑：人数”和“面积”是两个不同的量，那如果是两个“同类量”间的结合会是怎样的呢？我们来看这个问题。
2.哪杯糖水甜？
课件出示情境与问题：两杯糖水，哪一杯糖放的多？哪一杯甜？
学生思考后，引导学生举例说清道理。
师：实际上，生活中还有很多这样的例子。渐渐地人们开始觉得，两个数相除又可以赋予新的意义，那就是两个数的比。（板书：两数的比）
3. 揭示课题：认识比
今天我们就要来认识“比”。 （板书：认识比）
【本环节设计理念】物体间除可以度量直接比较的属性外，还有不可直接度量的属性，比如房间的拥挤程度、糖水的甜度等，这些属性无法直接用某种度量单位测量，只有将相关数量相除才能进行比较。“比”赋予了物体不可度量属性的可比性，正是这样的价值彰显了“比”这一概念存在的合理性和必要性。学习一个新知识，我们往往只关注这个知识是什么，怎么运用，不去问“为什么”要创造这个概念。而“为什么”，恰恰揭示数学知识体系中这个知识存在的合理性和必要性——在事物本源的地方去深思，才能把握所学知识的本质，才能看到思维的最美风景。
二、巡视指导、组织交流。
（一）结合课前自学，小组交流，全班分享。
自主学习单：
1. 例7中，2杯和3杯有相差关系，也有倍数（相除）关系，哪种关系才可以表示成两个数的比？
2. 3∶2的各部分名称是什么？
3. 完成54页的“3:5=( )÷( )= － ”,想一想：比的前项、后项和比值分别相当于除法算式或分数中的什么？
4. 算一算：例7中3:2的比值是多少？说一说：表示什么意思？
算一算：例8中，900：15的比值是多少？说一说：表示什么意思？
5. 关于比，你还有什么疑问？
（二）检验自学成果，相机渗透，补充知识。
1.果汁与牛奶杯数的比是（ ） ∶ （ ）。
牛奶与果汁杯数的比是（ ） ∶ （ ）。
(指名交流，体会对应。)
2.结合例7和例8体会：同类量的比和不同类量的比所表达的具体含义。
出示学生问题，引导思考，答疑解惑。
预设解决学生课前自主学习单中的若干问题，如：
（1）比的后项可以为0吗？
在交流辨析中明确生活中的比分和数学上的比是有区别。
（2）比号为什么要这样写？
小知识：数学家莱布尼茨发明比号。
从比号、分数线和除号三者的书写上进一步形象感知比与分数除法间的关系。（顺利过渡到第三个问题）
（3）既然有了分数和除法，为什么还要有比，比有什么用？（自然过渡到环节三）
【本环节设计理念】学生是学习的主体，学生自己能学懂的，或者在同伴合作中能学懂的，鼓励他们自学。教师是课堂的组织者和引领者，学生学习遇到困难时，适时引导，并鼓励学生大胆提问，让思维向更深处漫。
三、深度追问、探索本质。
追问一：为什么要选择比来表示这里的关系？
　 过渡：既然比与除法、分数有那么多的联系，那么为什么还要学习比呢？不着急回答，让我们带着疑问来看这个问题！
　　工地需配制一种混凝土，王师傅用2吨水泥、3吨黄沙、5吨石子很快就配制好了。怎样更简洁地表示这种混凝土中三种量之间的关系呢？
水泥的质量∶黄沙的质量∶石子的质量 = 2∶3∶5。
　　问：为什么不用除法、分数来表示数量间的关系，反而会选择比呢？
　　明确：用比表示数量间的关系可以更简洁。　
追问二：这里的两种说法矛盾吗？
　　师：同学们说的很有道理！大家看，前面我们在学习比的时候，知道了两个数的比表示两个数相除，这里提及的是两个数之间量的关系，但这里（水泥∶黄沙∶石子的质量比是2∶3∶5）却出现了三个数量之间的关系，这里的两种说法矛盾吗？大家不妨讨论讨论。（小组讨论）
　　师（启发）：难道这里面也藏有两个数量的比？
　　预设1：这里面也有两个数量的比，如水泥和黄沙的质量比就是2∶3。
　　预设2：水泥和石子的质量比是2∶5，黄沙和石子的质量比是3∶5。
　　预设3：水泥和混凝土的质量比是2∶10。
　　……
小结：这里不但有两个数量的比，而且还有很多，所以这里的说法与前面并不矛盾。原来这么难表述，这么复杂的关系，现在只用三个数的连比就可以表达出来了，对连比感兴趣的同学课后可以去查阅资料进一步研究。看来，在这儿用比表示它们之间的关系确实更简洁、更明确、更方便！
【本环节设计理念】在比较两个数量的关系时，比与其他表示方式相比，其优点不够突显。为此，引入了三个数量，并在“怎样更简洁地表示这种混凝土中三种量之间的关系呢？”的追问中，让学生在比较、选择、优化的过程中，体验到了比的价值——表示数量间的关系更简洁、明了。而在比的意义的描述中，提及的仅仅只是两个数量的比。这两种说法中，数量的个数不一样，会不会影响到学生对比的意义的理解呢？顺势追问——“这里的两种说法矛盾吗？”，在教师的引领下，学生通过讨论交流，一方面更加深刻地明晰了比的意义和价值，另一方面也进一步认识了数学上的“连比”。
四、纵横联系、渗透思想。
1. 纵横联系，体会数学思想。
说到简洁和方便，让老师想起了，有时候我们数学中一些巧妙的变，也能使问题化繁为简。比如复杂的计算可以变得简单。又比如推导平行四边形的面积，变成长方形长方形的面积。但与此同时，变化中一定保持着某方面的不变。
问：运算顺序变了，什么不变？图形变了，什么不变？
（随学生回答板书：结果不变 面积不变 ）
那这些和我们今天学习的“比”，有什么关系呢？我们来看：小明通过尝试发现，柠檬蜜和水按1:10的比调成的饮料最好喝。星期天，家里来了六个同学，他也想调出同样好喝的菓珍饮料给同学们喝。
猜一猜：小明加了多少毫升柠檬蜜和多少毫升水？
多指名几位学生猜测后追问：菓珍和水的量都在变，但什么不变？
预设生：菓珍和水的份数比的比值不变。（随学生回答板书：比值不变）
追问：想想看，比值不变，对于饮料来说意味着什么？（口味不变）
想一想：徐老师如果喜欢酸一点、浓一点儿的口味该怎么配？淡一点儿呢？
过渡：刚才咱们体会了数学中的“变与不变”，看，数学知识之间的内在规律有时是想通的。
2. 解决问题，应用数学思想。
（1）据科学家研究发现：一般情况下，人的脚长与身高的比是1 : 7。
爱丽丝身高大约是 161厘米，她可能穿几码的鞋子？（提供鞋码图）
（2）变小以后的爱丽丝身高大约21厘米，那么脚长大约是多少厘米？
（3）变大以后的爱丽脚长大约是40厘米，那么身高大约是多少厘米？
解决三个问题后，提问：我们解决以上问题，都是抓住了什么？（比值不变）
3. 全课总结，引发新的思考。
数学家开普勒说：“数学就是研究千变万化中不变的关系。”今天的学习，我们明白了：原来在数学的变化中，可以保持——“结果不变”、“面积不变”、“比值不变”，在数学中，善于抓住不变的量，就会有助于我们解决问题。
当然，关于比的知识、比的价值还不止这些，随着学习的不断深入，以后我们还会感受到更多。（在两数的比下面板书“？”，并用箭头连接）
【本环节设计理念】著名数学教育家波利亚说，解决数学问题，“我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直至终于成功地找到某些有用的东西为止。”因而，基于“比”的意义，跳出“比”的知识范畴，将表面不搭的显性知识统摄在数学“变与不变”的思想方法下，让学生的认识从无意识走向有目的，也便自然促进了学生数学素养的提升。

【课后作业】
1.选择一个你感兴趣的关于“比”的知识，自主查阅资料研究，并与同学分享你的研究成果（如：“连比”、“黄金比”等）。
2.找一找藏在我们“身体上的比”还有哪些，记录下来，与同学交流。