(共24张PPT)
如图:若想在两条公路围成的A区域内建一个化工厂，为了减少环境污染,要求化工厂到桥头的距离是500米，同时为了交通方便,要求化工厂到两条公路的距离相等，假如你是工程师，你能在图上找到化工厂的位置吗
桥头
焦寺
旁堤刘
（比例尺为１：５００００）
A区域
24.8角平分线的性质定理及其逆定理
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
条件：一个点在一个角的平分线上
结论：这个点到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
A
O
B
P
E
D
Ｃ
1
2
3
4
一.角平分线的性质
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
O
B
P
E
D
1
2
∵∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
交换定理的条件和结论得到的命题为：
合作探究
′
思考分析
逆命题 到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗
如果是.请你证明它.
已知:如图, ∠AOB,
PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明∠AOC=∠BOC.
O
C
B
A
P
D
E
逆定理: 到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
用符号语言表示为:
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足
分别是D,E,且PD=PE
∴点P在∠AOB的平分线上
温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
O
C
B
A
P
D
E
二.角平分线性质定理的逆定理
1.角平分线的性质定理：
在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
3.性质定理和逆定理的关系
点在角平分线上 点到角两边的距离相等
总结归纳
基本应用
填空：
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
∴___________
(___________________________________________)
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴__________
(_ ______________________________________________)
A
C
D
E
B
1
2
∠1＝∠2
DC=DE
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
在角平分线上的点到角的两边的距离相等
应用
1
例1.已知:如图,∠C=900,∠B=300,
AD是Rt△ABC的角平分线.
求证:BD＝2CD.
A
B
C
D
E
例:已知：如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ .
求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要求不用三角形全等的判定）
B
C
A
C′
三.尺规作图
角平分线的作法
已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC
作法:
用尺规作角的平分线.
A
B
O
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为
半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C
3.作射线OC.
请你说明OC为什么
是∠AOB的平分线,
并与同桌进行交流.
则射线OC就是∠AOB的平分线.
A
B
O
C
D
E
１:如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P。
小区C
P
实际应用
2：若已知超市P到道路OA 的距离为600米， 求P到道路OB的距离。
驶向胜利的彼岸
三角形内角的角平分线
剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.
结论:三角形三个角的平分线相交于一点.
老师期望:
你能写出规范的证明过程.
你能证明这个命题吗
观察这三条角平分线,你发现了什么
做一做
1
回味无穷
一.定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
二.逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
小结 拓展
三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理
思考题：2、若要在△MON内部全部覆盖绿化，已知△MON的周长为2000米，∠OMN、∠MON的平分线交于点O，OD⊥MN，垂足为D，且OD=2米
求： △MON的面积
独立作业
3
3.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点，
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线.
B
A
P
D
C
O
证明两角相等的方法：
１．同角（或等角）的余角（补角）相等．
２．平行线的性质
３．对顶角相等．
４．全等三角形的对应角相等
５．等边对等角
６．角平分线的性质定理及其逆定理
证明线段相等的方法：
１．全等三角形的对应边相等．
２．角平分线的性质定理
３．等角对等边
４．等腰三角形的三线合一
５.垂直平分线的性质定理
（练习）已知：△MON中，MP平分∠OMN，OP平分∠MON，且PD⊥MN，PE⊥ON，垂足分别为点D、E
求证：点P在∠MNO的平分线上
F
挑战自我
如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD
是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD＝4cm，AC的长
(2)求证:AB＝AC＋CD.
E
D
A
B
C
独立作业
2
2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的
角平分线相交于点F.
求证:点F在∠DAE的平分线上.
A
B
C
F
D
E24.8角平分线的性质定理及其逆定理 教学设计
教学设计思想
通过前面的学习已经探究出角平分线上的点所具有的性质，本节学习对这个性质进行证明.让学生完成对三角形全等的判定公理的推论的证明，进而应用这个公理完成对角平分线性质定理的证明，对于平分线的性质定理的逆定理仿照上节课处理线段垂直平分线逆命题的思路，引导学生解决与定理和逆定理的有关问题.对于尺规作角平分线，要让学生明白每步做法的依据.最后通过例题的学习来巩固这些知识点.
教学目标
知识与技能
总结角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明；
说出用尺规作角平分线的依据；
能够熟练地按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明.
过程与方法
经历用尺规作角平分线的过程；
经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力；
情感态度价值观
通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略；
愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见.
教学重点和难点
重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用；
难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用.
解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出做题的方法.
教学方法
启发引导、小组讨论
课时安排
１课时
教具学具准备
投影仪或电脑、三角板
教学过程设计
（一）角平分线的性质定理
我们已经探究出角平分线上的点所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？
角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
证明角平分线的性质定理时，我们将用到三角形全等判定公理的推论：
推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.
做一做
证明三角形全等判定公理的推论.
注：让学生独立按照证明的格式完成对“AAS”定理的证明，作为证明本节定理的依据.
证明略.
利用上面你已经证明的推论，可以对角平分线的性质定理给出如下的证明.
已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)，
∴∠1=∠2(角平分线的定义).
∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，
∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义).
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=∠PEO (已证)，
∠1＝∠2(已证)，
OP＝OP(公共边)，
∴△PDO≌△PEO (AAS).
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).
（二）角平分线性质定理的逆定理
做一做
1.请写出角平分线性质定理的逆命题.
2.请根据逆命题的内容，画出图形，并结合图形，写出已知和求证.
3.写出证明过程.
注：类比“线段垂直平分线的性质定理及其逆定理”的学习过程，让学生独立完成“做一做”中提出的问题.
这样，我们就得到：
角平分线性质定理的逆定理 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
（三）尺规作角的平分线
观察与思考
观察下面用尺规作角的平分线的步骤(如下图)，思考这种作法的依据.
步骤一：以点O为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于A，B两点.
步骤二：分别以点A，B为圆心，以固定长(大于AB长的一半)为半径画弧，两弧交于点C
步骤三：作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线.
注：独立完成用尺规作角平分线的过程，进一步培养学生的操作能力，并能说出作图过程中每步的依据.
依据是“SSS”公理和全等三角形的对应角相等.
（四）练习
1.已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证，点P到三条边AB，BC，CA的距离相等.
2.在△ABC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：点D在∠A的平分线上.
1.提示：过点P分别向△ABC三边作垂线，由角平分线的性质定理及其逆定理即可证明结论.
2.提示：先证△BDE≌△CDF(AAS). 再由角平分线的性质定理及其逆定理即可得到结论.
（五）小结
引导学生总结本节的主要知识点.
（六）板书设计
角平分线的性质定理及其逆定理角平分线的性质定理及其证明角平分线的性质定理的逆定理及其证明角平分线的画法练习24.8 角平分线的性质及其逆定理
第1题. 如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，在以下结论中：①△ADE≌△ADF；②△BDE≌△CDF；③△ABD≌△ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；⑥BD=CD．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B．
第2题. 如图，Rt△ABC中，∠C=90 ，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，BC=6，CD=3，AE=4，则DE=_______，AD=_______，△ABC的周长是_______．
答案：3，5，24
第3题. 用三角尺画角平分线：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，再分别过M、N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则这条射线即为角平分线．请解释这种做法的道理．你还能举出哪些作角平分线的方法，并说明这种做法的道理．
答案：提示：OM=ON，OP=OP，∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)，∴∠MOP=∠NOP，∴射线OP是∠AOB的平分线．
第4题. 求证：三角形的三条角平分线相交于一点．
答案：提示：画出图形，写出已知、求证，证明两条角平分线的交点到第三个角的两边的距离相等．
第5题. 如图，三条公路围成的一个三角形区域，要在这个区域中建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在什么位置？请用尺规作图，找出建造加油站的位置．
答案：提示：作两个角的平分线，交点即为建加油站的位置．
第6题. 如图，△ABC中，∠C=90 ，BD平分∠ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，DE=BD，且DE=1.5cm，则AC等于（ ）
A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm
答案：D．
第7题. 如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．
求证：点P在∠C的平分线上．
答案：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q．∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM=PQ．P在∠ABC的平分线BE上，∴PM=PN。∴PQ=PN，∴点P在∠C的平分线．
第8题. 如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．
求证：（1）AD=CD；（2）∠ADB=∠CDB．
答案：△ABP≌△CBP，∴AB=CB，又∠ABP=∠CBP，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD，∠ADB=∠CDB．
第9题. 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．
求证：点C在∠AOB的平分线上．
答案：提示：作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，OM=ON，OE=OD，∠MOE=∠NOD，∴△MOE≌△NOD(SAS)，∴S△M O E =S△N O D，同时去掉S四边形ODCE，得S△M D C=S△N E C，易证，MD=NE，∴CE=CF，∴点C在∠AOB的平分线上．
第10题. 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足．
求证：AD垂直平分EF．
答案：提示：由角平分线的性质定理，可得DE=DF，进而求得∠DEF=∠DFE，∠AEF=∠AFE，所以AE=AF，所以AD垂直平分EF．
第11题. 如图，已知△ABC中，∠C=90 ，∠BAC=2∠B，D是BC上一点，DE⊥AB于E，DE=DC．
求证：AD=BD．
答案：提示：DE=DC，AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADC，∴∠EAD=∠DAC=∠BAC，又∠B=∠BAC，∴∠EAD=∠B，∴AD=BD．
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
B
C
D
E
A
A
B
C
D
E
P
A
B
C
D
P
A
B
D
C
E
O
M
N
A
B
C
D
E
F
A
B
D
C
E
