鲁教版（五四制）七年级下册数学 10.4线段的垂直平分线 教案

《线段的垂直平分线》教 学 设 计
【教学目标】
1.会证明线段垂直平分线的性质定理并应用；
2.会证明线段垂直平分线的判定定理并应用；
3.能利用定理解决相关问题；
4.进一步体会数学的抽象、猜想、类比等数学思想和方法。
【教学重点】
会证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理并应用。
【教学难点】
会证明线段垂直平分线的判定定理并应用。
【评价设计】
通过“活动一、二”，检测教学目标（1）的达成
通过“活动三”，检测教学目标（2）的达成
通过“典例剖析”“想一想”“综合练习”，完检测目标（3）的达成
【教学环节】
本节课设计了六个教学环节：第一环节：“忆”所学,知识衔接；第二环节：“证”命题，得性质定理，并进行应用；第三环节：“思”逆命题，并证明，得判定定理；第四环节：“用”定理，专项练习，知识提升；第五环节：“用”定理，变式训练，发展问题；第六环节：“查”目标，总结提升；
【教具的准备】ppt，微视频

【教学过程】
第一环节：“忆”所学,知识衔接
同学们，第十章三角形的有关证明一共包括五小节，之前我们已经学习了全等三角形，等腰三角形和直角三角形这三小节，还剩下两线，一个是线段的垂直平分线，一线是角的平分线，这节课让我们一起走进故宫来进一步探究线段的垂直平分线。
（引出本节课题）
【设计意图】：回顾本章知识体系，一是回顾旧知、承上启下。二是让学生感悟知识架构，掌握知识脉络。故宫小视频中展示着故宫中的与本节相关的数学知识，从而激发学生探究的欲望。
第二环节：“证”命题，得性质定理。
活动一：
我们来看故宫的平面图，同学们观察一下，保和殿和两个角楼的距离有什么关系？太和殿和角楼的距离呢？太和门呢？你知道为什么吗？
【设计意图】：有趣的、神奇的几何图形的构建过程能够使学生积极主动地投入到数学活动中去，同时为学习本节知识提供实际背景和生活素材。根据问题，学生从实际问题中抽象出数学问题，从而回想之前学过的命题：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
活动二：
我们在上学期通过折纸的方法得到了线段垂直平分线是经过线段中点的垂线，也叫中垂线，并得到了这个命题，那么它是一个真命题吗？需要我们去？你还记得证明需要几个步骤吗？
师追问：你能说出这个命题的条件和结论分别是什么吗？
【设计意图】：师的连续追问，能激发学生的探究兴趣。通过提问复习命题证明的思路，为下面命题的证明做好铺垫。
下面请同学们在导学案上先画出图形，然后结合图形用符号语言写出已知，求证，并完成这个命题的证明，如有困难可以师友合作。
（学生先独立完成，然后小组合作。）
（学生台前展示思路，共同完善证明的步骤。）
问题一：如果P是直线MN外的任意一点，在这里行吗？所以已知中必须强调点P是直线MN上任意一点，这里的任意一点包括AB下方和线段AB上。
通过刚才的证明我们知道，这个命题是真命题，那么我们就可以把它叫做？（线段垂直平分线的性质定理）
问题二：你能将这个定理用几何语言描述一下吗？
问题三：同学们我们还学过哪些证明线段相等的方法？
以后这个定理也会为证明线段相等提供了有力依据。
【设计意图】：师在学生完成命题证明后，提出本命题需强化的重点，即点P必须的是是直线MN上任意一点。结合之前学习的例如平行线的性质定理，学生总结这就是线段垂直平分线的性质定理，前后知识融汇贯通，进而加深学生对该性质定理的理解。
这个就是本节课第一个学习目标，同学们对这个目标掌握的怎样呢？
【设计意图】：学完性质定理的证明，总结提升，并提炼出本节课的第一个学习目标。学有目标，用有依托，这样才能达到学以致用的目的。
〖基础练习〗
1.如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED= cm;如∠ECD=600,那么∠EDC= °.
2.如图,在△ABC中，已知AC=27,BC=23,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则
C△BCE=
【设计意图】：学生刚刚学习了定理这时候很容易在做题时还用旧知解决，设计此环节目的让学生对定理的运用进行辨析，辨析中可以借助数与形之间的内在联系，从而加深对定理的掌握。
备用题：
如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD,则点D在 的垂直平分线上。
【设计意图】：该环节设计了两组题目，一是基础部分，二是备用题组。其中备用题组提供给学有余力的学生来解决，也可以作为教师上课处理课堂生成问题的备选题。
第三环节：“思”逆命题，并证明，得判定定理。
活动三：我们回到故宫的平面图，同学们再看，你能找到到两个角楼距离相等的宫殿吗？
问题一：它们的位置有什么共同特点？你能用语言来概括一下刚才的发现吗？
问题二：你能说出它的条件和结论吗？
问题三：它跟性质定理有什么关系呢?它们之间存在一个什么样的关系？
问题四：那么这个逆命题是真命题吗？你能来证明它吗？
请同学们类比性质定理的证明过程，在导学案上独立完成。
【设计意图】：这一部分是教学的难点，无论是命题的得出，还是条件与结论的寻找，相较于之前的性质定理都是难点，为了突破这一难点，继续用故宫中的数学进行引入，让学生初步发现这两个命题之间的不同，并在老师的引导下找到已知和结论。然后教师追问它和性质定理有什么关系，学生在思维的碰撞中总结出“互逆”，进而为该定理的证明与理解做好初步的铺垫。
通过刚才的证明我们知道，这个命题是真命题，那么这个定理就是线段垂直平分线的判定定理，它跟性质定理是互逆定理，之前我们还学过哪些互逆定理？（复习巩固之前学过的互逆定理，让学生知道互逆定理在数学学习中经常遇到，要掌握和会应用）
你能将这个定理用几何语言概括一下该定理吗？
强调：该定理一般用来证明点在直线上，或者直线经过某一点。
【设计意图】：学生先独立完成，然后小组合作，老师进行点拨，在引导学生交流中，不断引发思维碰撞，形成正确的证明思路，从而得证该命题的正确性，进而得到如何确定一个点在某条线段的垂直平分线上，即线段垂直平分线的判定定理。
同学们请看，如果NA=NB会有什么结论？GA=GB呢？那么要证明直线MN是线段AB的中垂线，我们需要说几个点？一个点行吗？因为过一点有无数条直线。
结论：要证某条直线是一条线段的垂直平分线必须确定这条直线上有两点到这条线段的端点距离相等。
这就是本节课我们的第二个学习目标，也是本节课的学习重点与难点。
(学完判定定理的证明，总结提升，并提炼出本节课的第二个学习目标。)
【设计意图】：设计这个问题主要的目的是让学生辨析证明一条直线是某条线段的垂直平分线的基本思路，解决今后证明上的误区。
第四环节：“用”定理，专项练习，知识提升
同学们掌握的怎么样呢？我们做一个小练习检测一下。
典 例 剖 析
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,O是△ABC内一点， 且OB=OC
求证：直线AO垂直平分线段BC.
想 一 想
同学们还记得如何用尺规做出一条线段的垂直平分线吗？
回到故宫的平面图，你能找到到慈宁宫，和乾清宫距离相等的宫殿吗？
请同学们在导学案上完成，并思考第二个问题。
哪位同学可以说一下为什么这么做得到的就是线段的垂直平分线？
【设计意图】：该环节设计了两组题目，一是典例剖析，二是想一想。其中典例剖析是针对目标三常见误区设计的，进一步让学生体会判定定理的应用思路。想一想是再次回到故宫问题，结合之前学过的尺规作图来
找出目标点，并结合判定定理对作图原理进行了证明。该环节旨在训练学生规范写出推理过程。
活动四：
下面我们通过一组动图进一步感受一下这两个定理的联系和区别。
性质定理是已知点在线段的垂直平分线上，这些点的特点是到线段两端距离相等，判定定理是一些到线段两端点距离相等的点，集合成了线段的垂直平分线。
【设计意图】：利用动图演示，进而更加深刻的理解两个定理本质的区别和内在的互逆关系。
第五环节：“用”定理，变式训练，发展问题
下面我们通过一组变式练习巩固一下这两个定理。
综 合 练 习
已知:如图，点E在线段AF的垂直平分线上，AC//EG,
求证：EG平分∠BED.
变式1：
已知：如图，△EBD中，EG⊥BD，BG=GD,EG//AC,
求证：点E在线段AF的垂直平分线上.
变式2：
如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D是BC延长线上一点， 点E是AB上一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F.
求证：点E在AF的垂直平分线上.
我们的第三个学习目标同学们也顺利完成。
【设计意图】：该题组的练习目的让学生能在综合性题目中灵活的运用性质定理和判定定理解决相关问题，旨在突破本节课的难点的理解。也是本节课的第三个教学目标。变式中强调学生认真读题、审题的习惯，并培养学生的逻辑思维能力。
第六环节：“查”目标，总结提升
同学们本节课的表现都非常精彩，请同学们对照黑板上的思维导图和学习目标，谈谈本节课你都学到了什么？
【设计意图】：学生交流，教师引导学生明确除了知识，我们更应该关注方法，例如类比、猜想和抽象的数学思想方法的运用，在几何的学习过程中，还应关注数学模型的建立，掌握数学学习的经验。
【板书设计】