鲁教版（五四制）八年级下册数学 8.5一元二次方程的根与系数的关系 教案
文档属性
| 名称 | 鲁教版（五四制）八年级下册数学 8.5一元二次方程的根与系数的关系 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 65.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-09 11:15:46 | ||
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文档简介
一元二次方程的根与系数的关系教学设计
一、教学目标
1．知识与技能目标：
（1）掌握一元二次方程根与系数的关系；
（2）会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些相关的问题．
2．过程与方法目标：
（1）经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力；
（2）在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想．
3．情感、态度与价值观目标：
通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神．
二、教学重点、难点
1．重点：
根与系数关系及应用．
2．难点：
定理的发现及应用．
3．关键：
根与系数关系的应用．
4．突破方法：
在归纳出根与系数的关系后，对学生进行反馈训练，反复练习，通过练习，加深学生对根与系数关系的本质理解，掌握其应用．
三、教法与学法导航
1．教学方法：
观察、归纳、证明是研究事物的科学方法.此节课在研究方程的根与系数关系时，先引导学生观察、归纳其规律，然后再让学生通过证明，印证自己的发现，让学生从探究发现中，寻找快乐．最后再运用发现的规律，让学生不断强化应用，获得解决问题的能力．
2．学习方法：
观察、归纳，在此基础上，证明观察归纳的结果，最后通过反复应用，掌握知识点，形成能力与技巧．
四、教学准备
1．教师准备：
制作课件，布置预习，精选习题．
2．学生准备：
复习公式法解一元二次方程的方法，预习新课．
五、教学过程
第一环节：复习回顾
内容：
1、一元二次方程的一般形式？ ax2+bx+c=0 (a≠0)（板书）??? ?
?2、如何判断一元二次方程根的情况？
4、一元二次方程的求根公式是什么？ (△=b2-4ac≥0)
目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。
效果：学生互提互背，提高了学生自信心。
第二环节：探究新知
内容：1、 计算填表、观察、猜想
方程 ?x1 ?x2 x1+x2? x1x2?
x2+5x+6=0 ? ? ? ?
x2-4x+3=0 ? ? ? ?
2x2-x?-1=0 ? ? ? ?
3x2-4x+1=0
问题：
①用语言叙述发现的规律；
② 若ax2+bx+c=0的两根分别为x1, x2，请用式子表示你发现的规律：
（分小组讨论以上的问题。）
证明规律，掌握新知
课件出示思考题：
你能证明自己的发现么？
证明过程：
由公式法知，一元二次方程，在判别式时，方程的一个根，另一个根．于是，
两根之和；
两根之积．
目的：本环节采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手、动脑，又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
效果：在复习旧知的基础上，学生很快口完成了表格，为解决后面的问题做好了准备。问题串让学生合作解决，在探究的过程中体现了特殊到一般，从实践到理论的认知规律。
第三环节：运用新知，体验成功
1示例：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积
（方程两根为x1，x2、k是常数）
（1）x2 - 2x - 1=0 ??x1+x2= ________????? x1x2= ________???????????
（2） 2x2 - x + =0??????? x1+x2= __?___??? x1x2= ____?____??
（3）2x（x-3) =1???? x1+x2= _________???x1x2= _________??
（4） 3x2 = 4????? x1+x2= _________???x1x2= _________
（学生迅速演算或口算）
2典型例题1：利用根与系数的关系，求一元二次方程3x2+2x-9=0的两个根的
（1） （2）x12+x22
变式训练
设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
（1） (x1+1)+(x2+1) （2） （3）
目的：“示例1”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，其中第（2）小题是培养学生思维严谨性和批判性；第（3）小题是起过渡作用设计。
“典型例题1” 将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式。
效果：1、两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生的易错点
2、将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式时，部分学生不能熟练的掌握。
3、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验。
3典型例题2：
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
“典型例题2” 展示学生的不同作法，通过比较，学生可以体会到用根与系数的关系来解决此类问题比较简便。
第四环节：归纳小结，巩固新知
1、让学生谈谈本节课的收获与体会，本节课的内容掌握了吗？
2、实战练兵（见课件）
3、后测题：
姓名： 组号： 等级：
1、已知x1、x2是方程x2-x=3x+5的两根，则两根之和x1 +x2=________，
两根之积x1 x2=________
已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
3、设x1,x2是方程2x2－4x－3=0的两个根，求 x12x2+x1x22的值。
?目的：鼓励学生回顾本节课知识方面以及与之相联系的知识有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过基础检测进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。
效果：学生通过回顾本节课的学习，并通过练习检验自己的学习情况，发展了逻辑思维能力，进一步巩固新知。
一、教学目标
1．知识与技能目标：
（1）掌握一元二次方程根与系数的关系；
（2）会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些相关的问题．
2．过程与方法目标：
（1）经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力；
（2）在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想．
3．情感、态度与价值观目标：
通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神．
二、教学重点、难点
1．重点：
根与系数关系及应用．
2．难点：
定理的发现及应用．
3．关键：
根与系数关系的应用．
4．突破方法：
在归纳出根与系数的关系后，对学生进行反馈训练，反复练习，通过练习，加深学生对根与系数关系的本质理解，掌握其应用．
三、教法与学法导航
1．教学方法：
观察、归纳、证明是研究事物的科学方法.此节课在研究方程的根与系数关系时，先引导学生观察、归纳其规律，然后再让学生通过证明，印证自己的发现，让学生从探究发现中，寻找快乐．最后再运用发现的规律，让学生不断强化应用，获得解决问题的能力．
2．学习方法：
观察、归纳，在此基础上，证明观察归纳的结果，最后通过反复应用，掌握知识点，形成能力与技巧．
四、教学准备
1．教师准备：
制作课件，布置预习，精选习题．
2．学生准备：
复习公式法解一元二次方程的方法，预习新课．
五、教学过程
第一环节：复习回顾
内容：
1、一元二次方程的一般形式？ ax2+bx+c=0 (a≠0)（板书）??? ?
?2、如何判断一元二次方程根的情况？
4、一元二次方程的求根公式是什么？ (△=b2-4ac≥0)
目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。
效果：学生互提互背，提高了学生自信心。
第二环节：探究新知
内容：1、 计算填表、观察、猜想
方程 ?x1 ?x2 x1+x2? x1x2?
x2+5x+6=0 ? ? ? ?
x2-4x+3=0 ? ? ? ?
2x2-x?-1=0 ? ? ? ?
3x2-4x+1=0
问题：
①用语言叙述发现的规律；
② 若ax2+bx+c=0的两根分别为x1, x2，请用式子表示你发现的规律：
（分小组讨论以上的问题。）
证明规律，掌握新知
课件出示思考题：
你能证明自己的发现么？
证明过程：
由公式法知，一元二次方程，在判别式时，方程的一个根，另一个根．于是，
两根之和；
两根之积．
目的：本环节采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手、动脑，又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
效果：在复习旧知的基础上，学生很快口完成了表格，为解决后面的问题做好了准备。问题串让学生合作解决，在探究的过程中体现了特殊到一般，从实践到理论的认知规律。
第三环节：运用新知，体验成功
1示例：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积
（方程两根为x1，x2、k是常数）
（1）x2 - 2x - 1=0 ??x1+x2= ________????? x1x2= ________???????????
（2） 2x2 - x + =0??????? x1+x2= __?___??? x1x2= ____?____??
（3）2x（x-3) =1???? x1+x2= _________???x1x2= _________??
（4） 3x2 = 4????? x1+x2= _________???x1x2= _________
（学生迅速演算或口算）
2典型例题1：利用根与系数的关系，求一元二次方程3x2+2x-9=0的两个根的
（1） （2）x12+x22
变式训练
设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
（1） (x1+1)+(x2+1) （2） （3）
目的：“示例1”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，其中第（2）小题是培养学生思维严谨性和批判性；第（3）小题是起过渡作用设计。
“典型例题1” 将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式。
效果：1、两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生的易错点
2、将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式时，部分学生不能熟练的掌握。
3、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验。
3典型例题2：
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
“典型例题2” 展示学生的不同作法，通过比较，学生可以体会到用根与系数的关系来解决此类问题比较简便。
第四环节：归纳小结，巩固新知
1、让学生谈谈本节课的收获与体会，本节课的内容掌握了吗？
2、实战练兵（见课件）
3、后测题：
姓名： 组号： 等级：
1、已知x1、x2是方程x2-x=3x+5的两根，则两根之和x1 +x2=________，
两根之积x1 x2=________
已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
3、设x1,x2是方程2x2－4x－3=0的两个根，求 x12x2+x1x22的值。
?目的：鼓励学生回顾本节课知识方面以及与之相联系的知识有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过基础检测进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。
效果：学生通过回顾本节课的学习，并通过练习检验自己的学习情况，发展了逻辑思维能力，进一步巩固新知。