人教版九下：27.2.2《相似三角形的性质》 教案
文档属性
| 名称 | 人教版九下：27.2.2《相似三角形的性质》 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 62.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-08 11:18:15 | ||
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文档简介
27.2.2 相似三角形的性质
教学目标：
知识与技能
1.掌握相似三角形的性质,了解相似三角形性质的证明.
2.能应用相似三角形的性质进行有关角、线段、周长、面积等有关计算.
过程与方法
1.通过探究、讨论、猜想、证明,让学生经历探索相似三角形性质的过程,体会如何探索研究问题.
2.利用相似三角形的性质解决问题,培养学生的创新意识.
情感态度与价值观
1.在探索相似三角形性质的过程中,培养学生合作交流能力.
2.经历观察、引导、实践、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推理能力.
【重点】
相似三角形的各条性质定理的探索及应用.
【难点】
相似三角形性质的归纳推理.
教学准备
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P37~38.
教学过程
1 、新课导入
【复习提问】
(1)相似三角形的判定方法有哪些?
(2)由相似三角形的定义我们得到相似三角形具备哪些性质？
2、新知构建
[过渡语] 三角形中有各种各样的几何量,例如三条边的长度,三个内角的度数,高、中线、角平分线的长度,以及周长、面积等,如果两个三角形相似,那么它们的这些量之间有什么关系呢?通过今天的学习,我们将得到结论.
一、相似三角形的对应线段的比与相似比之间的关系
思路一
如图所示,△ABC和△A'B'C'是两个相似三角形,其相似比为===k,其中AD,A'D'分别是边BC和B'C'上的高,那么AD,A'D'之间有什么关系呢?
(1)图中的△ABD和△A'B'D'相似吗?如何证明?
(2)由相似三角形的对应边成比例,你能得到的值吗?
(3)写出你的解答过程.
(4)你能叙述你得到的结论吗?
【师生活动】 学生独立思考后,完成书写过程,小组合作交流解答过程及结论,小组代表板书,教师及时帮助有困难的学生,并补充完成证明过程.
【课件展示】 相似三角形对应高的比等于相似比.
如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,其中AD,A'D'分别是BC和B'C'上的高.求证AD:A’D’=AB:A’B’=k.
证明:∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠B=∠B',
又△ABD和△A'B'D'都是直角三角形,
∴△ABD∽△A'B'D',
∴AD:A’D’=AB:A’B’=k.
【追加提问】
(1)能去掉性质中的对应两个字吗?
(2)你能用同样的方法证明相似三角形的对应中线、对应角平分线的性质吗?
【师生活动】 学生思考后小组合作交流,然后小组代表口述证明过程,师生共同补充完整,然后共同归纳相似三角形的性质.
【课件展示】 相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.
即相似三角形对应线段的比等于相似比.
二、相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系
[过渡语] 全等三角形的周长相等,面积也相等,那么相似三角形的周长和面积有什么关系呢?我们一起去探究!
活动一
如图所示,Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,AC=3,BC=4,AB=5,A'C'=6,B'C'=8,A'B'=10.
【思考】
(1)两个直角三角形相似吗?
(2)计算这两个三角形的周长,它们的周长比与相似比有什么关系?
(3)再计算两个三角形的面积,它们的面积比与相似比有什么关系?
【师生活动】 学生独立完成后回答教师提出的问题.
活动二
(1)任意相似三角形的周长比与相似比有什么关系?
(2)证明你的结论.
(3)任意相似三角形的面积比与相似比有什么关系?
(4)证明你的结论.
【师生活动】 学生思考后,小组合作交流,共同探究证明方法,板书证明过程,教师及时帮助有困难的学生,并点评学生的解答.
【课件展示】 相似三角形的周长比等于相似比.相似三角形的面积比等于相似比的平方.
如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,其中AD,A'D'分别是BC和B'C'上的高.求证三角形ABC的周长：三角形A’B’C’的周长=k,三角形ABC的面积：三角形A’B’C’的面积=k2.
证明:∵△ABC∽△A'B'C',相似比为k,
∴AB:A’B’=AC:A’C’=BC:B’C’=k,AD:A’D’=k,
∴AB=kA'B',AC=kA'C',BC=kB'C'.
∴（AB+AC+BC):(A’B’+A’C’+B’C’)=(KA’B’+KA’C’+KB’C’):(A’B’+A’C’+B’C’)=K(A’B’+A’C’+B’C’):(A’B’+A’C’+B’C’)=k,
面积的证明略。
活动三
你能归纳总结相似三角形的性质吗?你能应用这些性质解决哪些问题?
【课件展示】 相似三角形的性质:
(1)相似三角形的对应边成比例;
(2)相似三角形的对应角相等;
(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比;
(4)相似三角形的周长比等于相似比;
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
[设计意图] 通过小组合作交流,探究三角形的性质,培养学生的合作意识和严谨的学习态度,同时培养学生的归纳总结能力,证明的过程中利用相似三角形对应高的比等于相似比,既巩固了刚学的知识,又学会了直接使用性质解决问题.
三、例题讲解
[过渡语] 我们探究了相似三角形的性质,应用这些性质可以直接解决一些有关问题,我们一起尝试解决下列问题.
(教材例3)如图所示,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6,面积为12,求△DEF的边EF上的高和面积.
【思考】
(1)由已知AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,你能得到△ABC和△DEF的关系吗?说明理由.
(2)已知一个三角形一边上的高和面积,如何求解另一个三角形对应边上的高和面积?
【提示】 由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABC和△DEF相似;相似三角形对应高的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.
【师生活动】 学生在教师的引导分析下回答问题,然后独立完成解答,小组成员交流答案,小组代表板书过程,教师点评,规范学生书写过程.
解:在△ABC和△DEF中,
∵AB=2DE,AC=2DF,
∴AB:DE=AC:DF=2.
又∠A=∠D,
∴△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为2.
∵△ABC的边BC上的高为6,面积为12,
∴△DEF的边EF上的高为3,面积为3.
[设计意图] 通过经历对例题的探究过程,加深学生对相似三角形的性质的理解和掌握,达到巩固知识的目的,提高学生应用意识,增强学习数学的自信心,培养学生分析问题、解决问题的能力.
[知识拓展] 相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算以及三角形的周长和面积的计算等,还可以用于证明两角相等、两条线段相等.
3、反馈
1.如果两个相似三角形对应边之比是1∶4,那么它们的对应中线之比是 ( )
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
解析:因为相似三角形的对应中线之比等于相似比,而相似比为相似三角形对应边的比,所以对应中线之比等于1∶4.故选B.
2.若△ABC∽△A'B'C',相似比为1∶2,则△ABC与△A'B'C'的面积比为 ( )
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶4 D.4∶1
解析:根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,得△ABC与△A'B'C'的面积的比为1∶4.故选C.
3.若两个相似三角形的面积比为1∶2,则它们的相似比为 ;若两个相似三角形的周长比为3∶2,则这两个相似三角形的相似比为 .?
解析:由相似三角形的面积比等于相似比的平方,得它们的相似比为1∶,即∶2;由相似三角形的周长比等于相似比,得它们的相似比为3∶2.
答案:∶2 3∶2
4、课堂小结
相似三角形的性质:
(1)相似三角形的对应边成比例;
(2)相似三角形的对应角相等;
(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比;
(4)相似三角形的周长比等于相似比;
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
5、板书设计
27.2.2 相似三角形的性质
1.相似三角形的对应线段的比与相似比之间的关系
2.相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系
3.例题讲解
例题
6、作业
一、教材作业
【必做题】
教材第42页习题27.2第6题.
【选做题】 教材第43页习题27.2第12题.
教学目标：
知识与技能
1.掌握相似三角形的性质,了解相似三角形性质的证明.
2.能应用相似三角形的性质进行有关角、线段、周长、面积等有关计算.
过程与方法
1.通过探究、讨论、猜想、证明,让学生经历探索相似三角形性质的过程,体会如何探索研究问题.
2.利用相似三角形的性质解决问题,培养学生的创新意识.
情感态度与价值观
1.在探索相似三角形性质的过程中,培养学生合作交流能力.
2.经历观察、引导、实践、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推理能力.
【重点】
相似三角形的各条性质定理的探索及应用.
【难点】
相似三角形性质的归纳推理.
教学准备
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P37~38.
教学过程
1 、新课导入
【复习提问】
(1)相似三角形的判定方法有哪些?
(2)由相似三角形的定义我们得到相似三角形具备哪些性质？
2、新知构建
[过渡语] 三角形中有各种各样的几何量,例如三条边的长度,三个内角的度数,高、中线、角平分线的长度,以及周长、面积等,如果两个三角形相似,那么它们的这些量之间有什么关系呢?通过今天的学习,我们将得到结论.
一、相似三角形的对应线段的比与相似比之间的关系
思路一
如图所示,△ABC和△A'B'C'是两个相似三角形,其相似比为===k,其中AD,A'D'分别是边BC和B'C'上的高,那么AD,A'D'之间有什么关系呢?
(1)图中的△ABD和△A'B'D'相似吗?如何证明?
(2)由相似三角形的对应边成比例,你能得到的值吗?
(3)写出你的解答过程.
(4)你能叙述你得到的结论吗?
【师生活动】 学生独立思考后,完成书写过程,小组合作交流解答过程及结论,小组代表板书,教师及时帮助有困难的学生,并补充完成证明过程.
【课件展示】 相似三角形对应高的比等于相似比.
如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,其中AD,A'D'分别是BC和B'C'上的高.求证AD:A’D’=AB:A’B’=k.
证明:∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠B=∠B',
又△ABD和△A'B'D'都是直角三角形,
∴△ABD∽△A'B'D',
∴AD:A’D’=AB:A’B’=k.
【追加提问】
(1)能去掉性质中的对应两个字吗?
(2)你能用同样的方法证明相似三角形的对应中线、对应角平分线的性质吗?
【师生活动】 学生思考后小组合作交流,然后小组代表口述证明过程,师生共同补充完整,然后共同归纳相似三角形的性质.
【课件展示】 相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.
即相似三角形对应线段的比等于相似比.
二、相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系
[过渡语] 全等三角形的周长相等,面积也相等,那么相似三角形的周长和面积有什么关系呢?我们一起去探究!
活动一
如图所示,Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,AC=3,BC=4,AB=5,A'C'=6,B'C'=8,A'B'=10.
【思考】
(1)两个直角三角形相似吗?
(2)计算这两个三角形的周长,它们的周长比与相似比有什么关系?
(3)再计算两个三角形的面积,它们的面积比与相似比有什么关系?
【师生活动】 学生独立完成后回答教师提出的问题.
活动二
(1)任意相似三角形的周长比与相似比有什么关系?
(2)证明你的结论.
(3)任意相似三角形的面积比与相似比有什么关系?
(4)证明你的结论.
【师生活动】 学生思考后,小组合作交流,共同探究证明方法,板书证明过程,教师及时帮助有困难的学生,并点评学生的解答.
【课件展示】 相似三角形的周长比等于相似比.相似三角形的面积比等于相似比的平方.
如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,其中AD,A'D'分别是BC和B'C'上的高.求证三角形ABC的周长：三角形A’B’C’的周长=k,三角形ABC的面积：三角形A’B’C’的面积=k2.
证明:∵△ABC∽△A'B'C',相似比为k,
∴AB:A’B’=AC:A’C’=BC:B’C’=k,AD:A’D’=k,
∴AB=kA'B',AC=kA'C',BC=kB'C'.
∴（AB+AC+BC):(A’B’+A’C’+B’C’)=(KA’B’+KA’C’+KB’C’):(A’B’+A’C’+B’C’)=K(A’B’+A’C’+B’C’):(A’B’+A’C’+B’C’)=k,
面积的证明略。
活动三
你能归纳总结相似三角形的性质吗?你能应用这些性质解决哪些问题?
【课件展示】 相似三角形的性质:
(1)相似三角形的对应边成比例;
(2)相似三角形的对应角相等;
(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比;
(4)相似三角形的周长比等于相似比;
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
[设计意图] 通过小组合作交流,探究三角形的性质,培养学生的合作意识和严谨的学习态度,同时培养学生的归纳总结能力,证明的过程中利用相似三角形对应高的比等于相似比,既巩固了刚学的知识,又学会了直接使用性质解决问题.
三、例题讲解
[过渡语] 我们探究了相似三角形的性质,应用这些性质可以直接解决一些有关问题,我们一起尝试解决下列问题.
(教材例3)如图所示,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6,面积为12,求△DEF的边EF上的高和面积.
【思考】
(1)由已知AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,你能得到△ABC和△DEF的关系吗?说明理由.
(2)已知一个三角形一边上的高和面积,如何求解另一个三角形对应边上的高和面积?
【提示】 由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABC和△DEF相似;相似三角形对应高的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.
【师生活动】 学生在教师的引导分析下回答问题,然后独立完成解答,小组成员交流答案,小组代表板书过程,教师点评,规范学生书写过程.
解:在△ABC和△DEF中,
∵AB=2DE,AC=2DF,
∴AB:DE=AC:DF=2.
又∠A=∠D,
∴△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为2.
∵△ABC的边BC上的高为6,面积为12,
∴△DEF的边EF上的高为3,面积为3.
[设计意图] 通过经历对例题的探究过程,加深学生对相似三角形的性质的理解和掌握,达到巩固知识的目的,提高学生应用意识,增强学习数学的自信心,培养学生分析问题、解决问题的能力.
[知识拓展] 相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算以及三角形的周长和面积的计算等,还可以用于证明两角相等、两条线段相等.
3、反馈
1.如果两个相似三角形对应边之比是1∶4,那么它们的对应中线之比是 ( )
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
解析:因为相似三角形的对应中线之比等于相似比,而相似比为相似三角形对应边的比,所以对应中线之比等于1∶4.故选B.
2.若△ABC∽△A'B'C',相似比为1∶2,则△ABC与△A'B'C'的面积比为 ( )
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶4 D.4∶1
解析:根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,得△ABC与△A'B'C'的面积的比为1∶4.故选C.
3.若两个相似三角形的面积比为1∶2,则它们的相似比为 ;若两个相似三角形的周长比为3∶2,则这两个相似三角形的相似比为 .?
解析:由相似三角形的面积比等于相似比的平方,得它们的相似比为1∶,即∶2;由相似三角形的周长比等于相似比,得它们的相似比为3∶2.
答案:∶2 3∶2
4、课堂小结
相似三角形的性质:
(1)相似三角形的对应边成比例;
(2)相似三角形的对应角相等;
(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比;
(4)相似三角形的周长比等于相似比;
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
5、板书设计
27.2.2 相似三角形的性质
1.相似三角形的对应线段的比与相似比之间的关系
2.相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系
3.例题讲解
例题
6、作业
一、教材作业
【必做题】
教材第42页习题27.2第6题.
【选做题】 教材第43页习题27.2第12题.