(共22张PPT)
8.6.2
直线与平面垂直
1.竖立的旗杆与地面的位置关系给人又是什么感觉？
一、复习引入
2.将书本打开直立在桌面上，观察书脊AB和桌面的位置关系.
A
B
“书脊AB”和“每页书与桌面的交线”的位置关系如何？
那和桌面内的其它直线呢？
C
C′
B′
结论：书脊AB和桌面内
的每条直线都垂直.
一、复习引入
如果直线
l
和平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线
l
和平面α垂直，记作：
l
⊥α
α
P
1、直线与平面垂直的定义
l
注意：画图时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
平面α的垂线
垂足
直线l的垂面
二、新课讲解
练习1：辨析：
(1)如果直线l与平面α内的无数条直线都垂直，
那么l⊥α.
（
）
(2)如果l⊥α,那么直线l垂直与平面α内的无数
条直线.
（
）
线面垂直
线线垂直
如果直线
l
和平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线
l
和平面α垂直，记作：
l
⊥α
1、直线与平面垂直的定义
二、新课讲解
l
思考：能否利用在平面内找有限条直线与已知直线垂直，从而判定直线与平面垂直？
一条？
思考：怎么来判定直线与平面垂直？
由定义判定直线与平面垂直，简便吗？
二、新课讲解
l
l
两条？
二、新课讲解
猜想：由该直线与平面内两条相交直线垂直得到该直线与这个平面垂直.
如图，标准的跨栏，其支架必须竖直立于地面（即支架所在直线与地面所在平面垂直），如何进行检验？
二、新课讲解
探究：准备一块三角形纸片，设纸片的三个顶角分别为A,B,C，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上
(
使BD、DC与桌面都接触）.
思考：折痕AD与桌面垂直吗？
A
C
D
B
三、实践验证
A
C
D
B
探究：准备一块三角形纸片，设纸片的三个顶角分别为A,B,C，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上
(
使BD、DC与桌面都接触）.
思考：折痕AD与桌面垂直吗？
三、实践验证
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
2、直线和平面垂直的判定定理
符号语言
简述：线线垂直
线面垂直
关键：在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直
l
m
n
B
三、实践验证
例1、已知：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
A1
B1
D1
C1
A
B
C
D
求证：AC⊥平面B1DB
证明:
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中
BB1⊥平面AC，AC
面AC
∴
BB1⊥AC
又∵
AC⊥
BD
且BB1,BD是平面B1DB内的两条相交直线
∴AC⊥平面B1DB
练习、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证
BC1⊥平面A1B1CD
。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
解：
∴A1B1⊥BC1
∵BC1⊥B1C
B1C和A1B1平面A1B1CD内的两条相交直线
∴BC1⊥平面A1B1CD
∵在正方体A1B1C1D1-ABCD中
A1B1⊥平面B1BCC1
BC1
平面B1BCC1
A1
B1
D1
C1
A
B
C
D
证明：
连结BD
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中
BB1⊥平面AC，AC
平面AC
∴
BB1⊥AC
∵
AC⊥
BD
且BB1,BD是平面B1DB内的两条相交直线
∴AC⊥平面B1DB
∵B1D
平面B1DB
∴AC⊥
B1D
启发：先证明线面垂直，是证明两直线垂直的常用方法
例2、已知：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求证:
AC⊥B1D
例3：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点，AC与BD的交点为O.
求证：
（1）BD
⊥平面A1ACE
E
O
A1
B1
D1
C1
A
B
C
D
（2）当E恰为棱CC1的中点时，求证：A1O⊥平面EBD
证明:(1)
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中
AA1⊥平面AC，BD
面AC
∴
AA1⊥BD
又∵
AC⊥
BD
且AA1,AC是平面A1ACE内的两条相交直线
∴BD⊥平面A1ACE
练习：求证：(1)BD
⊥平面A1ACE
E
O
A1
B1
D1
C1
A
B
C
D
(2)当E恰为棱CC1的中点时，求证：A1O⊥平面EBD
证明:(2)
连结OE，设正方体棱长为1
A1O
平面A1ACE
∴
A1O⊥BD
则
A1O⊥
OE
且BD,OE是面EBD内的两相交直线
由(1)得BD⊥平面A1ACE
练习：求证：(1)BD
⊥平面A1ACE
E
O
A1
B1
D1
C1
A
B
C
D
(2)当E恰为棱CC1的中点时，求证：A1O⊥平面EBD
∴A1O⊥平面EBD
例2．如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，
O为BC的中点．求证：SO⊥平面ABC.
课堂小结
1.直线与平面垂直的定义：“任意”
2.直线和平面垂直的判定定理
定义的运用：线面垂直
线线垂直
关键：在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直
线线垂直
线面垂直
3.(共20张PPT)
直线与平面垂直（第二课时）
(1).一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直
称这条直线是这个平面的斜线.
(斜线l)
(2).斜线和平面的交点叫做斜足.
(斜足Q)
?
Q
l
P
P1
(3).
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足
和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；
新课讲授
1.基本概念
斜线l
斜线l的射影
垂线
新课讲授
2.斜线与平面所成的角
?
Q
l
P
P1
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.
注:(1)斜线与平面所成的角的取值范围:
(2)
一条直线和平面平行，或在平面内，它们
所成的角是0
?的角。
(3)
一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；
(0°，90°)
(4)直线与平面所成的
角的取值范围:
[0°，90°]
新课讲授
新课讲授
例、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与
平面A1B1CD所成角。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
解：连结BC1交B1C于点O,连结A1O
∴A1B1⊥BC1
∵BC1⊥B1C
B1C和A1B1内的两条相交直线
∴BC1⊥平面A1B1CD
∴A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影
∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角
∵在正方体A1B1C1D1-ABCD中
A1B1⊥平面B1BCC1
BC1
平面B1BCC1
例题分析
例题剖析
例题分析
解：设正方体的棱长为a
在RtΔA1BO中
∴直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
例、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与
平面A1B1CD所成角。
例题剖析
例：在正方体中，求A1B与平面A1B1CD所成角。
解题步骤:
例题分析
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
1、寻找过直线上一点与平面垂直的直线
2、连接垂足与斜足得出射影，确定所求角
3、把角放入三角形中计算
4、下结论
大桥的桥柱与水面垂直
【思考1】生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？
一、情景引入
【思考2】这两条垂直于同一个平面的直线具有怎样的位置关系？
a
b
平面a
已知：a⊥a，b⊥a。求证：a∥b。
a
b
a
O
证明：假设a，b不平行，
过b与平面a的交点O作直线b’∥a
∵b∩b’＝O，
反
证
法
∴b与b’
唯一确定一平面β，
不妨设a∩β＝c，
O
a
b
a
证明：假设a，b不平行，
过b与平面a的交点O作直线b’∥a
反
证
法
不妨设a∩β＝c，
定理：
垂直于同一平面的两条直线平行
c
这与“b∩b’＝O”矛盾，
∴假设不成立，即
a∥b
∵b∩b’＝O，
∴b与b’
唯一确定一平面β，
已知：a⊥a，b⊥a。求证：a∥b。
二、基础知识讲解
1、直线与平面垂直的性质定理：
垂直于同一平面的两条直线平行
a
b
α
符号语言：
作用：
（两组）线面垂直
线线平行
8、线面垂直的性质：
证明直线与直线平行的方法有：
4、平行公理：若a∥b，b∥c，则a∥c。
6、线面平行的性质
：
7、面面平行的性质
：
2、
平行四边形的性质；
3、三角形中位线性质；
1、空间几何体的结构特征；
5、平行线的判定定理；
方法小结
例：如图，设平面α与平面β相交于直线l，AC⊥α
BD
⊥
β，垂足分别为C、D，直线AB
⊥AC,AB
⊥BD
证明：AB∥l
∵
AC⊥α，
BD
⊥
β，
α∩
β＝l
∴
AC⊥l，
BD
⊥l，又AE∥BD
过A作AE
⊥
β垂足为E，
则AE∥BD
∵
AB
⊥BD∴
AB
⊥AE，又AB
⊥AC,
∴AB
⊥平面ACE
∴l
⊥平面ACE
证明：
∴AB∥l
α
β
B
C
A
l
E
D
∴
AC⊥l，
AE
⊥l
又AC∩AE=A,AC
面ACE,AE
面ACE
∪
∪
【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别在直线
A1D
、AC上，且EF⊥AC，EF⊥A1D。
求证：(1)BD1
⊥面AB1C；
(2)EF∥BD1
。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
∴
BD1
⊥面AB1C
∴AC⊥BD1，
同理可证，B1C⊥BD1
证明：(1)连接BD，
连接BC1，
【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别在直线
A1D
、AC上，且EF⊥AC，EF⊥A1D。
求证：(1)BD1
⊥面AB1C；
(2)EF∥BD1
。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
证明：(2)
∴
EF⊥面AB1C
由(1)得，BD1
⊥平面AB1C
∴EF
//
BD1
∵EF⊥A1D
，
又EF⊥AC，
∴EF⊥B1C
，
【随练】如图，已知a∩β＝l，EA⊥a
，垂足为A，EB⊥β
，垂足为B，a?a
，且a⊥AB。
求证：a∥l
a
β
a
A
B
E
l
证明：
∵
EA⊥a，
EB⊥β，a∩β＝l，
∴
EA⊥l，
EB⊥l，
又EA,EB是平面ABE内的两条相交直线
∴a⊥面ABE，
∴
EA⊥a，
又∵
a⊥AB，
EA，AB是平面ABE内的两条相交直线
∴l⊥面ABE
∴a∥l
∵
EA⊥a，a
a
∩
练习巩固：
1、如果直线l与α不垂直，那么在平面α内(
)
A.不存在与l垂直的直线。
B.存在一条与l垂直的直线。
C.存在无数条与l垂直的直线。
D.任意一条都与l垂直。
C
A
B
C
练习巩固：
2、若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面(
)
A.有且只有一个。
B.至多有一个。
C.有无数个。
D.一定不存在。
B
α
a
b
3、下列判断正确的是：(
)
A.垂直于同一平面的两个平面平行。
B.直线a∥b，直线b
平面α，则直线a∥平面α
∪
C.直线a∥平面α，直线b
平面α，则直线a∥b
∪
D.直线a⊥平面α，直线b
平面α，则直线a⊥b
∪
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
D
针对性练习
B
D
小结：
1、定义：若a⊥α，b
α，则a⊥b。
∪
2、性质：若
a⊥α，b⊥α，则a∥b
3、唯一性：
(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。
(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
4、例题结论：若a⊥α，a∥b，则b⊥α
a
b
α
o
有关线面垂直的重要结论：
