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人教版
八年级数学下册
19.2.1
正比例函数
1.理解正比例函数的概念.
2.会求正比例函数的解析式,能利用正比例函数解决简单的实际问题.
3.理解正比例函数的图象的特点,会利用两点(法)画正比例函数的图象.
4.掌握正比例函数的性质,并能灵活运用性质解答有关问题.
学习目标
问题：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km,设列车的平均速度为300km/h,考虑以下问题：
(1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站上海虹桥站,约需要多少小时(结果保留小数点后一位)?
(2)京沪高铁的行程
(单位:km)与运行时间
(单位:h)之间有何数量关系？
(3)京沪高铁从北京南站出发2.5小时后,是否已经过了距离始发站1100km的南京南站?
1318÷300≈4.4h
大约要4.4小时
（
）
2.5×300=750km<1100km
所以还没有经过南京南站
创设情境
问题2：函数解析式有什么特点？
问题1：观察
,
是
的函数吗？说出常数和自变量.
（2）函数=常数×自变量
（1）是；常数：300，自变量t.
生活中有很多类似的函数，请同学们思考下面的问题.
创设情境
(1)圆的周长
随半径
的大小变化而变化.
思考：下列问题中的变量对应规律可用怎样的关系式表示？
(3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度
(单位:cm)随这些练习本的本数
的变化而变化.
(4)冷冻一个0℃的物体,使它每分下降2℃,物体的温度
(单位:℃)随冷冻时间
(单位:分)的变化而变化.
(2)市场上苹果每千克7.5元,买苹果所需的钱数
(单位:元)随购买的数量
(单位:千克)的变化而变化.
正比例函数的概念
(1)
(2)
(3)
(4)
探究新知1
（3）这些函数解析式有什么共同点？
函数值=常数×自变量
解析式
常数
变量
自变量
正比例函数的概念
问题（1）它们是函数吗？
（2）填表
探究新知1
正比例函数
正比例函数解析式
(
)的结构特征：
①
是常数
,
.
②
的次数是1.
③自变量与常数的乘积.
一般地,形如
(
是常数,
)的函数,叫做正比例函数,其中
叫做比例系数.
探究新知1
（1）圆周长C与半径r（
）
（2）圆面积S与半径r
（
）
（3）在匀速运动中的路程s与时间t
（
）
1.
判断下列各题中所指的两个量是否成正比例。
（是在括号内打“
”
，不是在括号内打“
”）
√
×
√
×
√
做一做
2.
若一个正比例函数的比例系数是4，
则它的解析式为__________.
3.正比例函数
中，当
时，
，则它的解析式为_________.
y
=
4x
y
=
5x
做一做
待定系数法
通过先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.
例
已知正比例函数的图象过点(-3,-9),求这个正比例函数的解析式.
解：设函数的解析式为
,将
,
代入,解得
所以这个正比例函数的解析式为
.
探究新知2
待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
二、
把已知的自变量的值和对应的函数值代入
所设的解析式，得到以比例系数
为未知数的
方程，解这个方程求出比例系数
.
三、
把
的值代入所设的解析式.
一、
设所求的正比例函数解析式为
.
探究新知2
练习
已知
与
成正比例,且当
时,
,则当
时,
____.
解：根据题意,设
将
,
代入解得
所以
将
代入上式,解得
7
探究新知2
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢?
画出下列正比例函数的图象
(1)
和
(2)
和
正比例函数的图象及性质
友情提示：
画函数图象的步骤为：列表、描点、连线
探究新知3
解：1.列表
2.描点
x
…
-2
-1
0
1
2
…
…
-2
-1
0
1
2
…
…
-4
-2
0
2
4
…
3.连线
(1)
和
探究新知3
解：1、列表
2、描点
x
…
-2
-1
0
1
2
…
…
2
1
0
-1
-2
…
…
4
2
0
-2
-4
…
3、连线
(2)
和
正比例函数的图象及性质
探究新知3
比较上面几个正比例函数图像，它们有什么相同点和不同点？
相同点：都是经过原点的直线
不同点：（1）位置不同。
（2）从左到右变化趋势不同。
当
时,它的图象经过第_____象限.
当
时,它的图象经过第_____象限.
一、三
二、四
从左到右图象上升;
增大时,
的值也增大,
即
随
的增大而增大.
从左到右图象下降；
增大时,
的值反而减小,
即
随
的增大而减小.
探究新知3
正比例函数图象的性质
当
时,直线
经过第一、三象限,
随
的增大而增大;
当
时,直线
经过第二、四象限,
随
的增大而减小.
正比例函数
(
是常数且
)
的图象是经过原点的一条直线.我们称它为直线
.
探究新知3
思考：经过原点和(1,k)的直线是哪个函数的图象?
如何画正比例函数的图像最简单？
x
…
-2
-1
0
1
2
…
…
-2
-1
0
1
2
…
…
-4
-2
0
2
4
…
探究新知3
性质的运用
所以，画正比例函数图象时，只需描两个点，然后过这两个点画一条直线.
因为正比例函数的图像是一条直线，而两点确定一条直线，它一定经过点
和
.
(0,0)
(1,k)
两点法:
(0，0)
,
(1，k)
探究新知3
1.
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1）
；（2）
做一做
2.
关于函数
,下列判断正确的是(
)
A、图象必过点（-1，-2）
B、图象
经过一、三象限
C、
随
的增大而减小
D
、不论
为何值都有
C
做一做
3.
已知正比例函数
,若
随
的增大而增大,则
的取值范围是
(
)
A.
B.
C.
D.
4.
如果正比例函数
的图象经过点(3,-6),那么
等于______,
随
的增大而_________.
D
-2
减小
做一做
已知
与
成正比例,且
时,
.
求
与
之间的函数关系式;
(2)
如果
的取值范围是
,求
的取值范围.
解：(1)
根据题意,设
将
,
代入解得
所以
,即
(2)
因为
,所以
随
的增大而增大.
又当
时,
;当
时,
.
所以
的取值范围是
.
能力提升
正比例函数
正比例函数的概念和解析式.函数
（
是不等于零的常数）叫做正比例函数.
为比例系数.可用已知的比例系数求解析式或用待定系数法求解析式
正比例函数的图象.正比例函数的图象是经过原点的一条直线
正比例函数的性质.当
时
,直线
经过第一、三象限,
随
的增大而增大;
当
时,直
线
经过第二、四象限,
随
的增大而减小
课堂小结
必做题：教材87页练习
选做题：98页习题19.2第2题
课后作业
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19.2.1
正比例函数
同步练习
一、选择题
1．（2020秋?郑州期末）下列问题中，两个变量之间是正比例函数关系的是
A．汽车以的速度匀速行驶，行驶路程与行驶时间之间的关系
B．圆的面积与它的半径之间的关系
C．某水池有水，我打开进水管进水，进水速度，后水池有水
D．有一个边长为的正方体，则它的表面积与边长之间的函数关系
2．（2020秋?郫都区期末）下列函数，是正比例函数的是
A．
B．
C．
D．
3．（2021?陕西模拟）已知正比例函数的图象过第二、四象限，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2021?金台区一模）正比例函数经过的象限是
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、四象限
D．第二、三象限
二、填空题
5．（2020秋?芝罘区期末）当
时，函数是关于的正比例函数．
6．（2020春?卧龙区期中）若函数是关于的正比例函数，则
．
7．（2020春?高密市期中）正比例函数的图象平分第
象限．
8．（2020秋?长宁区期末）直线经过第
象限．
9．（2020秋?普陀区期末）如果正比例函数的图象经过第一、三象限，那么的值随着的值增大而
．（填“增大”或“减小”
10．（2021春?沙坪坝区校级月考）从，，0，1，2，3六个数中选择合适的数作为的值，若将的值分别代入函数和关于的的方程中，恰好使得函数的图象经过二、四象限，且方程有实数解的所有符合条件的的值的和是
．
三、解答题
11．（2020春?鱼台县期末）已知是关于的正比例函数，求当时，的值．
12．函数是正比例函数，且随增大而减小，求的值．
13．已知正比例函数．
（1）若函数图象经过第二、四象限，则的范围是什么？
（2）点在它的图象上，求它的表达式．
19.2.1
正比例函数
同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020秋?郑州期末）下列问题中，两个变量之间是正比例函数关系的是
A．汽车以的速度匀速行驶，行驶路程与行驶时间之间的关系
B．圆的面积与它的半径之间的关系
C．某水池有水，我打开进水管进水，进水速度，后水池有水
D．有一个边长为的正方体，则它的表面积与边长之间的函数关系
【解析】解：选项，属于正比例函数，两个变量之间成正比例函数关系，符合题意；
选项，属于二次函数，两个变量之间不是成正比例函数关系，不合题意；
选项，属于一次函数，两个变量之间不是成正比例函数关系，不合题意；
选项，属于二次函数，两个变量之间不是成正比例函数关系，不合题意；
故选：．
2．（2020秋?郫都区期末）下列函数，是正比例函数的是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：、该函数为反比例函数，故不选．
、该函数为一次函数，故不选．
、该函数为反比例函数，故选．
、该函数为二次函数，故不选．
故选：．
3．（2021?陕西模拟）已知正比例函数的图象过第二、四象限，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：正比例函数的图象过第二、四象限，
，
解得：．
故选：．
4．（2021?金台区一模）正比例函数经过的象限是
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、四象限
D．第二、三象限
【解析】解：，
，
而正比例函数当时图象经过一、三象限，
正比例函数经过一、三象限，
故选：．
二、填空题
5．（2020秋?芝罘区期末）当 时，函数是关于的正比例函数．
【解析】解：是关于的正比例函数，
且，
解得：，
当时，函数是关于的正比例函数．
故答案为：．
6．（2020春?卧龙区期中）若函数是关于的正比例函数，则 1 ．
【解析】解：函数是关于的正比例函数，
，
解得：．
故答案为：1．
7．（2020春?高密市期中）正比例函数的图象平分第 二、四 象限．
【解析】解：，
一次函数的图象经过第二、四象限，且平分第二、四象限．
故答案是：二、四．
8．（2020秋?长宁区期末）直线经过第 一、三 象限．
【解析】解：由正比例函数中的知函数的图象经过第一、三象限．
故答案是：一、三．
9．（2020秋?普陀区期末）如果正比例函数的图象经过第一、三象限，那么的值随着的值增大而 增大 ．（填“增大”或“减小”
【解析】解：函数的图象经过第一、三象限，那么的值随的值增大而增大，
故答案为：增大．
10．（2021春?沙坪坝区校级月考）从，，0，1，2，3六个数中选择合适的数作为的值，若将的值分别代入函数和关于的的方程中，恰好使得函数的图象经过二、四象限，且方程有实数解的所有符合条件的的值的和是 ．
【解析】解：当的图象经过二、四象限，
，
；
方程有实数解，
，即，
，
，
，，且，
，，
，
，0，
的所有值的和，
故答案为：．
三、解答题
11．（2020春?鱼台县期末）已知是关于的正比例函数，求当时，的值．
【解析】解：当，且时，是的正比例函数，
故时，是的正比例函数，
，
当时，．
12．函数是正比例函数，且随增大而减小，求的值．
【解析】解：是正比例函数，
，解得或，
随的增大而减小，
，即，
，
．
13．已知正比例函数．
（1）若函数图象经过第二、四象限，则的范围是什么？
（2）点在它的图象上，求它的表达式．
【解析】解：（1）函数图象经过第二、四象限，
；
（2）当，时，则，
即：．
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