(共23张PPT)
3.2.2
双曲线的简单几何性质
人教A版（2019）
选择性必修第一册
课前回顾
1.
双曲线的定义?
2.双曲线的标准方程
焦点所在轴
焦点在x轴
焦点在y轴
图形
标准方程
焦点坐标
a,b,c的关系
(±c,
0)
(0,
±c)
c2=b2+a2
|
|MF1|-|MF2|
|
=2a（０
<
2a<|F1F2|）
问题导入
问题2：
前面，我们研究了椭圆的哪些几何性质？
范围、对称性、顶点、离心率
问题3：
类比椭圆的几何性质，想想应研究双曲线的哪些几何性质？
问题1：
前面已经学习了双曲线的概念与双曲线的标准方程，按照解析几何研究几何图形的内在逻辑，接下去我们应该研究什么？
几何性质
x
≤
-a，a
≤
x
思考：如何用方程（代数方法）研究曲线
的范围，就是利用方程确定曲线上点的横、纵坐标的取值范围？
范围
双曲线位于直线
x=-a及其左侧和直线
x=a及其右侧的区域.
1、范围
x
y
o
-a
a
问题4：观察平面直角坐标系中的双曲线，它有怎样的范围？
新知讲解
双曲线既是轴对称图形，
又是中心对称图形.
2、对称性
x
y
o
-a
a
(-x,-y)
(-x,y)
(x,y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和坐标原点都对称..
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，
又叫做双曲线的中心.
新知讲解
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.
-b
b
-a
a
（2）如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长.
（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
-c
c
x
y
新知讲解
4、渐近线
双曲线的两支向外延伸时，与矩形的两条对角线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.
如图，直线x=?a和直线y=?b
围成了一个矩形，矩形的两条对角线的方程是什么？
x
O
A1
y
A2
B1
B2
F2
F1
等轴双曲线的渐近线：
y=?x
合作探究
5、离心率
∵c>a>0
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大.
双曲线的焦距与实轴长的比
，叫做双曲线的离心率.
等轴双曲线的离心率e=
问题6：椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，那双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特征呢？
问题5：双曲线的离心率和椭圆的离心率有什么不同？
新知讲解
归纳总结
方程
焦点
顶点
范围
对称性
中心：原点；对称轴：x轴、y轴
虚实轴
实轴长：2a；虚轴长：2b
离心率
渐近线
F1(-c，0)，F2(c，0)
A1(-a，0)，A2(a，0)
x≤-a或x≥a
F1(0，-c)，F2(0，c)
A1(0，-a)，A2(0，a)
y≤-a或y≥a
新知讲解
典型例题
例3：求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解：双曲线标准方程为：
∴实半轴长a=4，虚半轴长b=3；
焦点坐标为F1(0，-5)，F2(0，5)
离心率
渐近线方程：
新知讲解
典型例题
例4：双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.
新知讲解
解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系Oxy，使小圆的直径
在x轴上，圆心与原点重合.这时，上、下口的直径都平行于x轴，且
设双曲线的方程为
点C的坐标为（13，y)，则点B的坐标为（25，y-25).
因为直径
实轴，所以a=12.又B，C两点都在双曲线上，所以
由方程化简得
因此所求双曲线方程为：
新知讲解
典型例题
解：如图，设d是点M到直线
的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合
由此可得;
将上式两边平方，并化简，得
即
所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为
的双曲线.
新知讲解
典型例题
例6：
过双曲线
的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|.
新知讲解
解：由双曲线的方程得，两焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).因为直线AB的倾斜角是30°，且直线经过右焦点F2，所以，直线AB的方程为
课堂练习
课堂练习
2.求符合下列条件的双曲线的标准方程.
(2)过点P(3，4)，渐近线为
.
(1)与双曲线
有共同渐近线，且过点P(-3，
)；
解：（1）设所求双曲线为：
则有：
∴双曲线方程为：
（2）设所求双曲线为：
∴双曲线方程为：
则有：
课堂练习
3.已知双曲线顶点间距离是16，离心率
焦点在x轴上，中心在原点
写出双曲线的方程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：依题意可设双曲线方程为：
课堂总结
板书设计
1.范围
2.对称性
例3，4,5,6,7
四、作业布置
三、典型例题
二、双曲线的简单几何性质
一、知识回顾
3.2.2
双曲线的简单几何性质
3.顶点
4.渐近线
5.离心率
作业布置
数学选择性必修第一册教科书
第124页,126页练习
128页
习题3.2
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