北师大版数学五年级下册第5单元 分数除法 单元整体备课教案
文档属性
| 名称 | 北师大版数学五年级下册第5单元 分数除法 单元整体备课教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-26 09:13:30 | ||
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文档简介
第5单元 分数除法
本单元学习的主要内容有:分数除以整数,一个数除以分数,解决有关的简单实际问题。教材主要分3个活动呈现:在操作活动中理解分数除法的意义和分数除以整数的计算方法;借助图形语言,在操作中理解一个数除以分数的意义和计算方法;在现实情景中利用方程解决一些简单的实际问题。
《分数除法》是学生在已经掌握了分数乘法的意义和计算方法以及倒数的认识的基础上学习的。要求学生探索并理解分数除法意义的过程,掌握分数除法的计算方法。
在第一学段,学生借助直观模型,学习了同分母分数加减法,在本册第一单元,学生学习了异分母分数加减法,在第三单元学习了分数乘法和倒数的相关知识,本单元的学习内容为分数除法,为六年级分数混合运算奠定基础。这样的安排有利于分散教学难点,突出了借助操作活动,探究并理解分数除法的意义的过程,掌握分数除法的计算方法,能利用方程解决有关分数除法的实际问题,积累解决问题的经验。
1.在具体情景中,借助操作活动,探索并理解分数除法的意义。
2.探索分数除法的计算方法,并能正确计算。
经历分数除法探究过程,提高运算能力。
能利用方程解决有关分数除法的实际问题,体会数学与生活的密切联系。
体验成功解决问题的乐趣,养成认真勤奋、独立思考、勇于质疑与合作交流的学习习惯。
【重点】
1.理解分数除法的意义。
2.掌握一个数除以分数的计算方法。
3.会用方程解答已知一个数的几分之几是多少,求这个数的实际问题。
【难点】
1.掌握分数除以整数的计算方法。
2.理解一个数除以分数的算理。
3.用方程解决简单的有关分数的实际问题。
这部分学习内容,是在学生学习了分数乘法和认识了倒数的基础上进行的,学生之前掌握了分数乘分数的计算方法,为本单元的学习起到了良好的铺垫作用。本单元教学建议如下:
1.结合操作活动和面积模型,探索并理解分数除法的意义和计算方法。分数除法的意义和计算方法的呈现方式和编写思路与分数乘法类似,突出操作活动,充分利用面积模型,促进学生理解除法的意义和相应的计算方法。
在学习一个分数除以整数的意义和计算方法时,教师可以先提出把一张纸的47平均分成2份、3份,求每份是这张纸的几分之几的问题,利用分数的面积模型帮助学生体会一个分数除以整数的意义。通过“算一算、说一说”的问题,呈现一组算式,在运算的过程中,得出一个数除以整数的计算方法,体会除以“一个不为零的整数”相当于乘这个整数的倒数的方法的合理性。
在学习除数是分数的除法的意义和计算方法这个难点时,教材借助整数除法的意义,让学生在“填一填、说一说”的活动中,体会一个数除以分数的意义,并帮助学生理解除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数,根据设计的面积模型的活动,利用长方形的面积模型等直观图形,理解一个数除以分数的意义和计算方法,最后总结上面活动中产生的算式,观察并思考每组算式之间的关系,得出分数除法的计算方法。
教材呈现了一个发现的过程,让学生经历操作、观察、归纳等活动,借助图形语言和符号语言等多种方法,帮助学生理解并掌握知识。
2.鼓励学生用方程解决分数除法的简单实际问题。分数除法的应用问题历来是学生学习中的难点,需要学生灵活应用数量之间的关系。由于理解困难,学生往往依靠记忆题型来解决问题,这就失去了在解决问题中培养学生解决实际问题能力的作用,而利用方程解决分数除法的问题,通过设字母表示未知量,寻找等量关系列方程,就可以化解分数除法应用题的难点,学生理解起来会容易一些,因此,根据《标准2011年版》的要求,教材提倡学生用方程解决简单的分数除法问题。
1 分数除法(一)
分数除法(一)是第五单元中的第一节,本节知识的主要内容是分数除以整数的意义、计算方法与应用,是分数除法单元的基础。教材呈现了3个问题。其中前两个问题是借助面积模型解决有关分数除法的问题,理解分数除法的意义;第三个问题是引导学生总结分数除法的计算方法。
教材从解决实际问题入手,演示分数除以整数的计算方法,意在通过探索该问题的解法初步感受分数除法的意义。通过沟通分数除法与分数乘法的本质联系,为本课的学习奠定了基础,在“算一算、说一说”中,问题脱离了直观背景,从算式出发进行运算,引导学生归纳总结分数除以整数的计算方法。
1.在具体的操作活动中,探索并理解分数除法的意义。
2.探索并掌握分数除以整数的计算方法,并能正确计算。
3.能够运用分数除法解决简单的实际问题。
【重点】 分数除法的意义。
【难点】 分数除以整数的计算方法。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 练习本。
计算下面各题。
16×78= 9×56=
【参考答案】 748 152
方法一:创设情景、引入新课
师:炎炎夏日,笑笑带了一瓶4升的清凉果汁到姐姐家做客,姐姐家有两个小孩,如果把这些果汁分给这两个孩子喝,你们认为怎样分才合适呢?
PPT课件出示:
师:这道题怎样列式?为什么?
预设 生:平均分成两份,求每份多少升,4÷2=2(升),用除法。
师:如果果汁是47升呢?你还能帮笑笑平均分给这两个孩子吗?
[设计意图] 创设学生熟悉的生活情景,激发了学生浓厚的学习兴趣。在分果汁时,利用学生掌握整数除法的经验基础,使学生再次感受整数除法的意义;通过改4升为47升,迁移到本课的问题,沟通了整数除法与分数除以整数意义上的联系,理解分数除法的运算意义,达到水到渠成的效果。
师:把47升果汁平均分给两个小朋友喝,每人可以喝多少升?可以怎样列式?为什么?
(学生摇头表示不知道)
师:我们知道,把一个整数平均分成几份,求每份是多少,用除法计算,而把47升平均分成两份,求每份是多少升,也可以用除法计算。
揭示课题:把一个分数平均分成若干份,求其中的一份,用除法计算。今天我们就来研究分数除以整数。
板书课题:分数除法(一)。
[设计意图] 通过具体的情景,既激发了学生的学习兴趣,又唤起学生原有的认知与新知有机联系,与此同时又为新知做好铺垫。
方法二:谈话引入新知
师:同学们,服装厂要给小猴做衣服。请同学们看大屏幕……
PPT课件出示:
服装厂要用47米的花布给小猴做衣服。如果做裤子可以做2条。
师:说说你找到了哪些数学信息,你能提出什么数学问题?
预设 生:做一条裤子需要多少米花布?
师:要解决“做一条裤子需要多少米花布”,应该怎样列算式?
(学生思考,根据整数除法的知识列出算式)
预设 生:47÷2。
师:为什么用除法?
预设 生:求每份是多少,用除法计算。
师:观察这个除法算式,与以前的除法算式有什么区别?
预设 生:这道除法算式与我们以前学习的除法有所不同,以前学习的是整数除以整数,这道算式的被除数是分数。
揭示课题:这就是我们今天要探究的问题——分数除以整数。
板书课题:分数除法(一)。
[设计意图] 通过谈话,使学生初步感知分数除法与整数除法有内在的联系,体会知识的联系性。
方法三:回顾旧知、导入新知
师:同学们,这学期我们学过哪些与分数有关的知识,你能用这些知识解决下列问题吗?
PPT课件出示问题:
比一比谁算得快。
311×2= 47×14=
59×13= 25×13=
师:孩子们,你们计算得可真快呀!你们会计算这两道题吗?
PPT课件继续出示:
38÷5= 49÷2=
(学生摇头,表示不会,没有学习过)
师:你们遇到什么问题了吗?
揭示课题:我们怎么解决这些困难呢!这就是我们今天学习的内容——除数是整数的分数除法。
板书课题:分数除法(一)。
[设计意图] 通过已有的知识,引出问题,自然过渡到新的教学环节。
一、体会分数除法的意义
师:同学们,请看大屏幕……
1.理解题意,列出算式。
PPT课件出示教材问题:
把一张纸的47平均分成2份,每份是这张纸的几分之几?
师:你们知道了哪些信息?
预设 生:把一张纸的47平均分成2份,求一份是这张纸的几分之几。
师:“把一张纸的47平均分成2份,求一份是这张纸的几分之几”,可以怎样列式?为什么?
预设 生:我们知道,把一个整数平均分成几份,求每份是多少,用除法计算,而把一张纸的47平均分成2份,求一份是这张纸的几分之几,也可以用除法计算。
师:把一个分数平均分成若干份,求其中的一份,用除法计算。你们可以列出算式吗?
预设 生:47÷2。
教师板书:47÷2。
[设计意图] 通过分析题目,引导学生列出算式,使学生体会求一个数的几分之几是多少用除法计算,初步感受分数除法与整数除法的意义相同。
2.探索分数除以整数的计算方法。
师:那么47÷2可以怎样计算呢?你们有办法解决这个问题吗?请同学们四人一组,共同讨论。尝试解决吧!
(学生尝试探究解决问题,教师巡视指导,对于有困难的学生,教师要进行引导)
师:通过刚才的讨论,老师看到有的同学心里已经有了想法,有的同学还在思考,可能是遇到了什么困难?是吗?
预设 生:(学生点头表示同意老师的说法)不知道怎样计算?
师:你们能告诉老师47表示什么意思吗?
预设 生:表示把单位“1”平均分成了7份,取其中的4份。
师:说得非常好,请看大屏幕。
PPT课件演示:
把单位“1”平均分成7份 表示其中的4份
师:把47平均分成2份,就是把图中的哪部分平均分成2份?
预设 生1:把47平均分成2份,也就是把涂上颜色的部分平均分成2份。
生2:把47平均分成2份,也就是把7份中的4份平均分成2份,也就是把涂上颜色的部分平均分成2份。
生3:老师,我可以到展台前指出吗?
师:当然可以。
(学生指出平均分成2份的部分)
[设计意图] 通过分析,使学生明白把47平均分成了2份,实际上分的是哪部分,为下面画图,理解分数除法的计算方法打好基础。
师:把47平均分成2份,得多少呢?(教师指着课件展示的图例说)你能把这个图形继续画下去吗?
(学生拿出草稿纸,先表示出47,再平均分成2份)
师:谁来说一说你是怎样想的?
学生成果展示:
预设 生1:(学生手拿图例分析,到展台前叙述过程)把7份中的4份平均分成2份,每份是2份,也就是占这张纸的7份中的2份,就是27。
生2:老师我的方法和他的不同,但结果是一样的,都是27。
师:你能具体说一说吗?
生2:我把47平均分成2份。(如图)
生3:47里面有4个17,平均分成2份,每份就是4个114,4个114就是27。
师:这个过程怎样用算式来体现呢?
预设 生:47÷2=27。
教师板书:47÷2=27。
师:想一想,如果不看图了,你能计算出47÷2=27吗?能提出你的大胆猜想吗?
(学生讨论交流,然后汇报,学生可能会得到“分数除以整数,分母不变,被除数的分子除以整数的商作为分子”)
师:谁愿意将你们的计算过程板书出来。
学生板书:47÷2=4÷27=27。
师:你们同意他的解法吗?
预设 生:同意。
师:照这样,47÷4该怎样计算呢?
预设 生:47÷4=17。
师:同学们真棒!大胆的猜想是一种非常好的数学思想方法,但还要经过科学的验证。科学的验证,不仅仅是一两道题就能得出的结论。同学们,你们能不能自己设计一道分数除以整数的计算题来验证刚才的想法是否可行?
(学生独立在练习本上完成,小组同学间互相编写计算题,并计算,学生会发现疑问)
[设计意图] 通过学生的猜想,使学生知道猜想是一种非常好的数学思考方法,但要经过科学验证,培养学生的良好学习习惯。
二、分数除以整数的计算方法
师:同学们,通过刚才的验证,你们有什么发现?
预设 生:通过验证,有部分题不能顺利计算。
师:为什么?
预设 生:分数的分子不是除数的倍数(整数倍)。
师:那你们能用刚才的方法计算这道题吗?
PPT课件出示教材问题:
把一张纸的47平均分成3份,每份是这张纸的几分之几?分一分,涂一涂,与同伴交流。
师:怎样列式呢?
预设 生:47÷3。
教师板书:47÷3。
师:计算47÷3,刚才的方法还能用吗?
预设 生:(齐答)不能。
师:看来我们要换一种思维方式,探索一种能普遍运用的方法,把这4份平均分成3份,每份是这张纸的几分之几呢?请同学们动手在纸上分一分、涂一涂,涂好后在小组内交流一下你是怎样分的?
[设计意图] 通过观察和验证,使学生感知上面计算分数除法的方法的局限性,需要探究一种普遍运用的方法,从而使学生体会到验证是学习数学的科学依据,培养学生的自学能力和探究能力。
师:你是怎样分的?
预设 生:把47平均分成3份,每份就是这张纸的421。
师:把47平均分成3份,一份是多少?实际上是求什么?
预设 生:实际上是求3份中的一份是多少。也就是求47的13是多少?
师:求47的13是多少?你们有什么样的想法?
预设 生:求一个数的几分之几是多少用乘法计算,47的13是多少,可以列式为47×13。
教师板书:47×13。
师:把47平均分成3份,求一份是多少,就相当于求47的13,它们的结果都是421。因此,中间我们可以用等号连接起来。
教师板书:=421。
师:同学们,你们看原来的除法算式转化成了什么算式?
预设 生:转化成乘法算式了。
师:什么变了,什么没有变?
预设 生:被除数没有变,除号变为乘号,除以3变为乘3的倒数13。
师:通过分析,同学们明白了什么?
预设 生:分数除以整数,等于分数乘这个整数的倒数。
教师板书:分数除以整数,等于分数乘整数的倒数。
师:同样地,把47平均分成5份,每份等于几分之几呢?把47平均分成6份呢?
(学生回答,教师板书)
教师板书:47÷5=47×15=435;47÷6=47×16=221。
师:同学们真聪明,会把新知识转化成旧知识来解决问题了,以旧学新是我们学习数学的一个重要方法,这就是分数除以整数的常用方法,谁来说一说这种方法是怎样的?
预设 生:分数除以整数,等于分数乘这个数的倒数。
师:在今后的分数除法计算中,我们常用这种方法,因为无论分数的分子能否被除数整除都可以进行计算,不受什么条件的制约,它的应用更普遍,当然,分数的分子如果正好能被除数整除,我们也可以应用第一种方法计算,具体问题具体分析,做题时要合理灵活地选择计算方法。
[设计意图] 计算教学,把计算方法直接告诉学生,然后进行大量的训练。这样尽管也能让学生熟练掌握算法,但学生只知其然,不知其所以然。所以通过计算使学生体会到第一种方法是有限制条件的,必须分子能被除数整除。而第二种方法在一般情况下都可以进行计算,可普遍使用,学生在尝试中经历失败,体会各种方法的优劣,从而进行对比、优化,为达成共识奠定了充分的基础,同时也可提高学生学习效率,促进了学生的发展。
1.完成教材第56页“练一练”第1题。
本题意在借助直观模型进一步理解分数除以整数的意义,巩固分数除以整数的基本方法。
2.完成教材第56页“练一练”第2题。
进一步理解和掌握分数除以整数的意义和算理,练习时,鼓励学生独立完成,交流自己是怎样想的。
3.完成教材第56页“练一练”第3题。
进一步巩固分数除以整数的计算方法,学生独立完成。
4.完成教材第56页“练一练”第4题。
本题是在沟通分数除法与乘法联系中做的变式,主要目的是渗透分数除法与分数乘法的联系,也为后面列方程解决问题做铺垫.
【参考答案】 1.(画一画略)45÷2=45×12=25 45÷5=45×15=425 2.14 2 73 14 2 73 = = = 3.120 239 116 445 4.110 25 116
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了分数除以整数(0除外)的计算方法,分数除以整数(0除外)等于分数乘这个数的倒数。
生2:我知道了分数除以整数的意义与整数除法意义相同,都是已知两个乘数的积和其中一个乘数求另一个乘数的运算。
……
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加深学生的记忆。
作业1
教材第56页“练一练”第5,6题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)710×5=72( )÷( )=( )。
(2)29÷2写成乘法算式是( )。
(3)把1516平均分成3份,求每份是多少,就是求1516的( )是多少。
(4)把45千克的牛奶糖平均分装成2袋,每袋牛奶糖是( )千克。
2.(基础题)找朋友,连一连。
512÷2 411÷6 18÷15
18×115 512×12 411×16
3.(重点题)算一算。
1217÷16 1320÷26 913÷6
【提升培优】
4.(易错题)在○里填上“>”“<”或“=”。
8÷3○8×13 4×512○4
47×34○37 23÷6○49÷6
5.(重点题)一段绳子长1219米,把它平均分成4段,每段长多少米?
6.(重点题)一个三角形的面积是56平方分米,高是5分米,则它的底边长是多少分米?
7.(变式题)甲、乙两个工程队合修一条路,甲工程队单独修了3天完成整条路的25后由乙工程队单独修,乙工程队修了4天完成整条路的35,那么哪个工程队平均每天修得多?
【思维创新】
8.(探究题)在一段长910千米的路上,等距离栽35棵树(两端都栽树),则相邻两棵树之间的距离是多少千米?
【参考答案】
作业1:5.12÷3=16 6.910÷15=350(dm)
作业2:1.(1)72 5 710(答案不唯一) (2)29×12 (3)13 (4)25 2. 3.368 140 326 4.= <= > 5.1219÷4=319(米) 6.13分米 7.25÷3=215 35÷4=320 215<320 乙队平均每天修得多 8.910÷(35-1)=910÷34=910×134=9340(千米)
分数除法(一)
分数除法(一)是北师大版五年级下册第五单元的第一节,这节课的重点是掌握分数除以整数的计算方法及算理。
本节课的着眼点不仅是学生会算,更是通过对意义的理解,让学生深刻认识这样算的道理,突出目标,教学中,我关注学生经历发现数学知识的过程,给予学生提供动手的机会,让学生经历涂一涂、画一画、算一算、说一说的过程,充分借助图形语言,将抽象变为直观,帮助学生体会一个分数除以整数的意义,以及“除以一个整数(0除外),等于乘这个数的倒数”方法的合理性。为学习的可持续发展打下基础。
看到以上这些值得高兴之处的同时,也有一点点遗憾:在学生思考的过程中,没有大胆放开,教学存在一定的局限性。
设计时,注意让学生多思考、多发言、多表态,多讲解,让学生成为课堂学习的主人。
【练一练·56页】
1.(画一画略)45÷2=45×12=25 45÷5=45×15=425 2.14 2 73 14 2 73 = = = 3.120 239 116 445 4.110 25 116 5.12÷3=16 6.910÷15=350(dm) 7.12÷5=110(kg) 110 kg=100 g
工人叔叔5小时加工34个零件,1小时加工多少个零件?
[名师点拨] 由已知条件可知5小时加工零件的总数为34个,要求1小时加工多少个零件,用总数除以5即可。
[解答] 34÷5=34×15=320(个)。
答:1小时加工320个零件。
【知识拓展】 世界上系统叙述分数的最早著作,人们一直认为是公元前1世纪我国的《九章算术》。它给出了相当完整的分数运算法则,基本上和现在的算法一致。但该书介绍分数除法(称之为“经分”)却采用了先将两个分数通分,使分子相除的方法,即:
ab÷cd=adbd÷bcbd=adbc(a,b,c,d均不为0)。
李白诗中的数学故事
李白是我国伟大的诗人,在他的诗中也有与数学有关的问题,一天,李白无事街上走,提着酒壶去买酒,便作诗一首:“遇店加一倍,见花喝一斗。三遇店和花,喝光壶中酒,借问此壶中,原有多少酒?”李白壶中原有多少酒呢?看似比较难,但倒着思考就容易多了:第三次遇见花之前,壶中有酒:0+1=1(斗),第三次遇见店之前,壶中有酒:1÷2=12(斗);第二次遇到花之前,壶中有酒1+12=112(斗),第二次遇见店之前,壶中有酒:112÷2=34(斗);第一次遇到花之前,壶中有酒:1+34=134(斗),第一次遇见店之前,壶中有酒:134÷2=78(斗)。
小恐龙奇奇历险记
小恐龙奇奇在寻找妈妈的途中,经历千辛万苦,一日它在赤角龙的地域内被抓了,它哭着请求赤脚龙放了它,赤角龙冷笑着说:“放了你,没那么容易,如果你能过了‘做难题’这关,就放了你,如果你过不了这关,那么我就吃了你。”聪明勇敢的小恐龙奇奇没有被难关吓倒,它顺利地过了关,又去找妈妈了,那么你能过“做难题”这关吗?这道题是:赤角龙在做一道除法题时,把被除数扩大到原来的5倍后,除以3的结果是160,把除法算式中的被除数求出来,小朋友千万不能输呀!
【参考答案】 1100
2 分数除法(二)
分数除法(二)是第五单元中的第二节,进一步理解分数除法的意义,探索一般的分数除法的计算方法是本节课的主要内容。同时,它也是分数除法中的重点和难点。为此,教材在编写中依然利用直观模型帮助学生学习这部分知识,设计了三个问题和“试一试”。其中,第一个问题是结合分饼的活动,探索一个数除以一个不为零的数(除数是非零整数和分数两种形式)的计算方法;第二个问题是借助长方形的面积模型,强化学生对一般的分数除法算理的理解;第三个问题是反思分数除法计算需要关注的方面。
“试一试”中第一个问题是探索除数大于、小于或等于1时,商与被除数的关系,第二个问题是进一步领悟上一个问题中所发现的规律及其应用。
1.借助实际操作和模型,进一步理解分数除法的意义和除法的基本算理。
2.掌握一般的分数除法的计算方法,并能正确计算。
【重点】 掌握一个数除以分数的计算方法。
【难点】 理解一个数除以分数的算理。
第课时 除数是分数的除法
1.掌握一个数除以分数的计算方法,并能正确计算。
2.借助实际操作和图形语言,理解一个数除以分数的意义和基本算理。
3.培养学生归纳推理的能力。
【重点】 进一步理解分数除法的意义,掌握一个数除以分数的计算方法,并能正确计算。
【难点】 用分数除法的计算方法解决实际问题。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 圆形纸片,练习本。
计算下面各题。
79÷8= 710×107=
【参考答案】 772 1
方法一:创设情景、引入新课
师:“六一”儿童节那天,淘气的班级举行了联欢活动,淘气从家带来了4张同样大的饼,打算和同学们一起分享。
PPT课件出示:
师:淘气想“如果每2张1份,可以分给几个同学呢?”同学们,你们能帮助他吗?
预设 生:我们可以用4÷2=2(个),可以分给两个同学。
师:“如果每1张1份,可以分给几个同学呢?”
预设 生:4÷1=4(个),可以分给4个同学,每人一张。
师:一人2张,只能分给2个同学,一人1张,也只能分给4个同学,一人12张呢?
板书课题:除数是分数的除法。
[设计意图] 让学生对除法有更深入的认识,总量相同,每份数越少,份数就越多。
方法二:复习导入、引入新知
师:同学们,我们已经学习了分数除以整数的计算方法,下面这几道题你们能正确计算吗?请看大屏幕。
PPT课件出示:
37÷3= 56÷4=
49÷6= 611÷2=
师:说一说,你们是如何计算分数除以整数的?
预设 生:分数除以整数,等于分数乘这个整数的倒数。
师:同学们,我们已经学习了分数除法中的分数除以整数,今天我们继续学习分数除法,学习一个数除以分数。
板书课题:除数是分数的除法。
[设计意图] 通过复习导入新知,开门见山地提出学习内容和学习方法,简洁明了,直奔主题。
方法三:谈话导入新知
师:同学们,你们喜欢布艺手工吗?你们会做什么呀?
(学生畅所欲言,然后教师出示有关布艺图片)
PPT课件出示:
师:这是兴趣小组用2米布做的简易背包,一个小的需要13米布,一个大的需要23米布。
师:通过信息,你们可以提出什么问题?
预设 生1:2米布可以做多少个小的简易背包?
生2:2米布可以做多少个大的简易背包?
师:你能列出算式吗?
预设 生:求小的简易背包个数:2÷13;求大的简易背包个数:2÷23。
师:观察这两个算式,与我们前面学习的分数除法有什么不同?
预设 生:我们前面学习的分数除法除数是整数,而这两道除法算式,除数是分数。
师:今天我们就来学习这样的知识,除数是分数的分数除法。
板书课题:除数是分数的除法。
[设计意图] 通过谈话引出问题,从中发现问题,可以激发学生尝试解决问题、探究真理的欲望。
一、分一分
师:(针对方法一)同学们,你们是怎样帮助淘气分饼的,让更多的同学尝到淘气妈妈做的饼了吗?
(汇报探究结果)
师:你们是怎样分的?是平均分吗?
(学生展示分法,分法很多,自由发挥)
师:同学们真聪明,想到了这么多的方法,现在老师给你们提出一个定向要求,我们试着将每12张为一份,可以分成多少份?应该怎样解释?
预设生:4÷12。
教师板书:4÷12。
师:4÷12等于多少呢?
预设 生:老师,4÷12=8。
师:你们同意这个观点吗?通过前面的学习我们已经知道了,一个理论的成立需要科学的论证,下面请同学们先借助圆形纸片来分一分,验证一下4÷12=8这个结论正确吗?
(学生动手操作,用事实验证结论)
学生成果展示:
预设 生1:我把每一张饼都平均分成2份,1份1份地数,正好是8份。
2+2+2+2 =8
生2:每12张为一份,每一张都可以平均分成2份,那么就可以分成4×2=8(份)。
师:现在你们同意刚才同学提出来的观点吗?
预设 生:(齐答)同意。
师:(要求前面提出等于8的同学回答)你为什么这么快就回答出4÷12=8呢?你的根据是什么?
预设 生:根据上节课学习的分数除以整数的计算方法,除以一个数等于乘这个数的倒数,4÷12中的12的倒数是2,所以4÷12=4×2=8。
教师板书:4÷12=4×2=8。
[设计意图] 通过整数除法的铺垫,有效地把整数除法中的数量关系迁移到分数除法中,让学生正确列出分数除法算式,再通过多媒体演示,建立4÷12和4×2之间的联系,从而获得一定的猜想。
师:(老师自做糊涂)哦,老师有些明白了!如果还想分的份数更多呢?比如每13张为一份,每14张为一份呢?
师:请同学们用圆形纸片再分一分,算一算,每13张为一份,可以分成多少份呢?每14张为一份,可以分成多少份呢?
(学生动手实践,并列式计算)
预设 生1:如果把每张饼的13张为一份,4张饼就可以分成4÷13份,所以列式是4÷13。
师:你们同意吗?
预设 生:(齐答)同意。
师:你继续说。
预设 生1:我用4个圆形纸片,代替4张饼,把每张平均分成3份,4张饼一共分成了4×3=12(份),所以4÷13=12。
教师板书:4÷13=4×3=12。
生2:把每张饼的14张为一份,4张饼就可以分成4÷14份,所以列式是4÷14。通过摆一摆,算一算(如图),得到4÷14=4×4=16。
教师板书:4÷14=4×4=16。
师:同学们,你们能利用长方形的面积解释一下吗?
PPT课件出示教材问题:
淘气利用长方形的面积解释“除以一个不为零的数,等于乘这个数的倒数”,你能看懂吗?想一想,接着填下去。
图形
面积
宽
长
算式
13
1
13
3
1÷13=3
13
2
13
2×3
2÷13=2×3
13
3
13
13
4
13
师:同学们,观察屏幕表格中的数据,这些数据有什么特点?你能把它填完整吗?你们一定行,试试吧!
(学生思考,讨论)
学生成果展示:
图形
面
积
宽
长
算式
13
1
13
3
1÷13=3
13
2
13
2×3
2÷13=2×3
13
3
13
(3×3)
3÷13=3×3
13
4
13
(4×3)
4÷13=4×3
师:结合你们刚才探索的过程,你们发现了什么?
预设 生1:除以一个不为零的数,等于乘这个数的倒数。
生2:一个数除以分数,等于这个数乘这个分数的倒数。
教师板书:一个数除以分数,等于这个数乘这个分数的倒数。
[设计意图] 通过长方形的面积,使学生进一步体会分数除法的计算方法,加深学生对计算方法“除以一个不为零的数,等于乘这个数的倒数”的认识。
二、算一算、说一说
师:同学们,你们听懂了吗?老师想考考你们,请看大屏幕,你们试着独立完成这次任务吧!
PPT课件出示:
算一算,说一说进行分数除法计算时要注意些什么。
5÷16 34÷58 512÷3
学生计算,然后全班交流。
师:在计算时,我们应该注意什么?(学生的关注方面比较零碎,如果学生的回答没有呈现出教材中的注意事项,教师要引导学生阅读教材)
预设 生1:不要抄错数,不要写错运算符号。
生2:……
师:打开教材,阅读教材第57页下面的内容,你有什么感受?
预设 生1:计算时要根据计算方法计算,结果能约分的要化成最简分数。
生2:在做题的过程中,能约分的也可以先约分。
[设计意图] 通过刚才的“分一分”和“画一画”,学生已经认识到,可以用乘法计算分数除法,而通过这些提示学生更加确定“除以一个不为零的数,等于乘这个数的倒数”。
1.完成教材第58页“练一练”第1题。
目的是引导学生利用图示分析数量关系,进一步体会分数除法的意义和算法,体现数形结合的思想,练习时,教师一定要给出充分的时间让学生去画图和观察图,分析图中反映的数量关系。
2.完成教材第58页“练一练”第3题。
巩固一个数除以分数(整数)的计算方法。
【参考答案】 1.(1)4 (2)6 (3)3 2.103 23 23 2549
这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了整数除以分数,可以转化为整数乘分数的倒数来计算。
生2:我知道了一个数除以分数,等于这个数乘分数的倒数,用公式表示:一个数÷分子分母=一个数×分母分子。
生3:老师,我还知道除以一个不为零的数,等于乘这个数的倒数,结果能约分的要约分。
……
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加强学生对一个数除以分数的计算方法的记忆,从而更加灵活地运用计算方法计算分数除法。
作业1
教材第63页“练习五”第3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)23÷815=23×( )=( )。
(2)18×( )=15,( )千克的310是30千克。
(3)有一根长5米的绳子,每段截成15米,可以截成( )段;如果把它平均截成10段,每段长( )米。
2.(易错题)在○里填上“>”“<”或“=”。
56÷5○56 34÷23○34
12÷45○12×45 512÷1○512×1
3.(重点题)算一算。
23÷34 56÷16 920÷23
【提升培优】
4.(情景题)一条水渠长45千米,每天修110千米,多少天可以修完?
5.(重点题)糖果厂要把2000千克糖用袋装起来,每袋装45千克,能装多少袋?
6.(难点题)小明看一本书,每天看这本书的524,多少天可以看完?
【思维创新】
7.(探究题)有一批蔬菜重6吨,王师傅用汽车把它们运往某市场,56小时运了这批蔬菜的23,平均每小时运蔬菜多少吨?
【参考答案】
作业1:3.6÷23=9(份)
作业2:1.(1)158 54 (2)120 100 (3)25 12 2.< > > = 3.89 5 2740 4.45÷110=8(天) 5.2000÷45=2500(袋) 6.1÷524=245(天)7.23÷56=45 6×45=245(吨)
除数是分数的除法
4÷12=4×2=8 4÷13=4×3=12 4÷14=4×4=16
一个数除以分数,等于这个数乘这个分数的倒数。
探索计算的算理是教学的根本,学生能根据计算法则进行计算,但是问他们为什么可以这样算时,很多同学都答不上来,这就产生了探究算理的内因。在探讨的过程中,学生必然要用到已有的知识来分析新知,或是根据教师的演示来进行推理,这时教师就可以及时地培养学生分析推理能力,特别是理解除法非常必要。
看到以上这些值得高兴之处的同时,也有一点点遗憾:时间仓促,学生练习得较少。
设计时要注意给予学生多一点的时间,巩固所学新知,通过练习加深学生对知识的理解和掌握,使学生做到学有所用。
工人叔叔34小时加工5个零件,1小时加工多少个零件?
[名师点拨] 由已知条件可知34小时加工零件的总数为5个,要求1小时加工多少个零件,用总数除以34即可。
[解答] 5÷34=5×43=203(个)。
答:1小时加工203个零件。
【知识拓展】 列式解决分数除法的实际问题,需要逆向思考,即从“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的角度去理解数量关系和算理。
古算趣题
“远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增。共灯三百八十一,请问尖头几盏灯。”(提示:把底层的灯数看作1,那么从第二层起,各层的灯数依次为底层灯数的12,14,18,116,132,164,共有381盏灯就应该相当于底层灯数的1+12+14+18+116+132+164=12764,所以底层灯数为381÷12764=192(盏),所以塔尖应该有192×164=3盏灯。)
华罗庚
华罗庚(1910~1985),国际数学大师、中国科学院院士,是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自安函数论等多方面研究的创始人和开拓者,“中国解析数论学派”创始人。他为中国数学的发展作出了无与伦比的贡献。被誉为“中国现代数学之父”,被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一。美国著名数学家史贝特曼著文称:“华罗庚是中国的爱因斯坦,足够成为全世界所有著名科学院的院士”。
1910年11月12日,华罗庚出生于江苏省金坛县一个小商人家庭,父亲华瑞栋,开一间小杂货铺,母亲是一位贤惠的家庭妇女。华罗庚出生时,父亲已经40岁。40岁得子,夫妻俩把儿子看成掌上明珠,为了给儿子祝福,一生下来就用两个箩筐扣住了他,华罗庚因此得名。
他12岁进入金坛县立初级中学学习,初一之后,便深深爱上了数学。一天,老师出了道“物不知其数”的算题。老师说,这是《孙子算经》中一道有名的算题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”“23!”老师的话音刚落,华罗庚的答案就脱口而出。当时的华罗庚并未学过《孙子算经》,他是用如下妙法思考的:“三三数之剩二,七七数之剩二,余数都是二,此数可能是3×7+2=23,用5除之恰余3,所以23就是所求之数。”
第课时 分数除法中商与被除数的大小关系
1.进一步理解一个数除以分数的意义和基本算理。
2.理解分数除法中商与被除数的关系。
3.培养学生归纳推理的能力。
【重点】 进一步理解分数除法的意义,掌握一个数除以分数的计算方法,并能正确计算。
【难点】 分数除法中商与被除数关系的理解。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 练习本。
计算下面各题。
79÷8= 710×7=
【参考答案】 772 4910
方法一:铺垫引入,旧知衔接,巧设疑问
(出示PPT课件)在下面的中填入“>”“<”或“=”。
(1)2.4×1.22.4。
(2)1.38×11.38。
(3)1.89×0.91.89。
(4)0×2.60。
师:请同学们按要求填写。
预设 生1:2.4×1.2>2.4。
生2:1.38×1=1.38。
生3:1.89×0.9<1.89。
生4:0×2.6=0。
师:刚才同学们填写的是因数与积的大小规律,那么除法中是否也有类似的规律呢?今天我们就来学习分数除法中商与被除数的大小关系。
板书课题:分数除法中商与被除数的大小关系。
[设计意图] 通过旧知衔接,巧妙地设置疑问,导入新课。
方法二:问题引入
师:在a÷b=c(b≠0)中,你认为是a比c大,还是c比a大呢?
师:今天我们就来研究分数除法中这样的问题。
板书课题:分数除法中商与被除数的大小关系。
[设计意图] 利用学过的被除数、除数、商之间的关系设置问题,引入新课。
方法三:设置情景,导入新课
师:同学们,我们已经学习了分数除法,那么你们知道分数除法中商与被除数的大小关系吗?
预设 生:不知道。
师:下面我们就来研究分数除法中商与被除数的大小关系。
板书课题:分数除法中商与被除数的大小关系。
[设计意图] 根据学过的分数除法引入课题。
师:下面请同学们计算下列各题,把得数大于6的算式圈起来,你发现了什么?
(教师出示PPT课件)
计算下列各题,把得数大于6的算式圈起来,你发现了什么?与同伴交流。
6÷35 6÷34 6÷1
6÷32 6÷53
(学生独立计算后回答问题)
预设 生1:6÷35=10。
生2:6÷34=8。
生3:6÷1=6。
生4:6÷32=4。
生5:6÷53=185。
师:你从中发现了什么?
预设 生1:6÷35=10。除数<1,商>被除数。(教师板书)
生2:6÷34=8。除数<1,商>被除数。(教师板书)
生3:6÷1=6。除数=1,商=被除数。(教师板书)
生4:6÷32=4。除数>1,商<被除数。(教师板书)
生5:6÷53=185。除数>1,商<被除数。(教师板书)
师:说得非常好,下面请同学们按要求填空。
(出示PPT课件)
在○里填上“>”“<”或“=”,说一说你是怎么想的。
811÷2○811 811÷1○811
811÷12○811 14÷3○14×3
25÷2○25×12 712÷17○712×17
预设 生1:811÷2<811。
生2:811÷1=811。
生3:811÷12>811。
生4:14÷3<14×3。
生5:25÷2=25×12。
生6:712÷17>712×17。
师:通过计算,你发现了什么?
预设 生:一个数除以小于1的数(0除外),商比被除数大。一个数除以1,商与被除数相等。一个数除以大于1的数,商比被除数小。(教师板书)
[设计意图] 通过计算,引导学生发现规律。
1.完成教材第59页“练一练”第4题。
2.完成教材第59页“练一练”第5题。
【参考答案】 1.得数小于5的算式:5÷54 5÷10099 2.< < > >
这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生:通过这节课的学习,我们发现了分数除法中商与被除数的大小关系。
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加强学生对分数除法中商与被除数的大小关系的理解。
作业1
教材第58页“练一练”第9题。
作业2
【基础巩固】
1.(重点题)除以一个数(0除外)等于乘这个数的( )。
【提升培优】
2.(难点题)下列各式中,结果大于78的是( )。
A.78×12 B.78÷12 C.78÷2
【思维创新】
3.(易错题)在( )里填上“>”“<”或“=”。
4÷12( )4 23÷65( )23
37×12( )37
【参考答案】
作业1:9.3÷14=12(杯)
作业2:1.倒数 2.B 3.> < <
分数除法中商与被除数的大小关系
6÷35=10。除数<1,商>被除数。6÷34=8。除数<1,商>被除数。
6÷1=6。除数=1,商=被除数。6÷32=4。除数>1,商<被除数。
6÷53=185。除数>1,商<被除数。
一个数除以小于1的数(0除外),商比被除数大。一个数除以1,商与被除数相等。一个数除以大于1的数,商比被除数小。
分数除法中商与被除数的大小关系是分数知识的一个重要、基础的知识点,所以在计算中重点引导学生通过计算发现问题、解决问题,从而总结出发现的规律。
多给学生出示一些练习题。
设计时分析学生的不同情况,多涉及一些有关的练习题。
【练一练·58页】
1.(1)4 (2)6 (3)3 3.103 23 23 2549 4.得数小于5的算式:5÷54 5÷10099 5.< < > > 6.(1)20÷25=50(天) (2)12÷67=14(天) 7.22 103 13 36 136 4 8.x=25 x=20 x=30 x=58 9.3÷14=12(杯) 10.2 4 8
比较大小,在( )里填“>”“<”或“=”。
13÷35( )13 54÷2( )54
[名师点拨] 根据除数大于1、等于1或小于1判断。
[解答] > <
除法的秘诀
(1)若一个数的各位上的数字之和是3(或9)的倍数,那么这个数就能被3(或9)整除;
(2)若一个数的末尾两位数是4(或25)的倍数,那么这个数就能被4(或25)整除;
(3)若一个数的末尾三位数是8的倍数,那么这个数就能被8整除;
(4)把一个数的偶数位上的数字相加,奇数位上的数字相加,再求这两个和数的差。如果这个差是11的倍数或是0,那么原数能被11整除;否则不能。
(5)把一个数舍去其末位数字,再从留下来的数中减去所舍数字的2倍,这样一次一次地减下去。如果最后得到的数是7的倍数或0,那么原数能被7整除;否则不能。
例如:判断1344能否被7整除;
舍去末位数字“4”:1344→134,
减去所舍数的2倍:134-2×4=126,
再舍去末位数字“6”:126→12,
再减去所舍数的2倍:12-6×2=0,
所以1344能被7整除。
有关小数除法的童话故事
从前,有一座美丽的大森林,森林里住着许多动物。一天,小猴和好朋友们到城里的动物园走亲戚,打算住一晚上。谁知动物们刚走,森林里就来了一大群人,把树全部砍光了。第二天,动物们回来了,看到一棵树也没有了,到处光秃秃的,都非常惊讶。小猴说:“天呀!是谁毁坏了我们的大家园?”小动物们没有了家:小鸟没了树就不能垒巢,不能休息;小猴没了树,就不能玩耍;长颈鹿没了树,就不能吃饭……树是它们生存的梁柱,没有了树,小动物们就不能生存。“肯定都是那可恶的人类!”小猴气愤地说。长颈鹿含着痛苦的泪水说:“知道又有什么用呢?我们又斗不过人类。”动物们号啕大哭。它们无家可归了!过了一段日子,这座森林里的动物渐渐地灭绝了。一个阳光灿烂的下午,四周一片寂静,小草和大树聊起了天,它们的话题是环保。小草先说了起来:“现在人们不重视环保,我们周围都是垃圾,真臭!”大树说:“是的,还有工厂里排出来的污水流到哪里,哪里就遭殃,流到小河里,小河里的鱼全都死了。”小草又说:“现在亡羊补牢还来得及,可人们就是不重视。”大树说:“你可别说所有的人,有些小学生挺注重环保的,有空的时候抓紧时间捡垃圾,倒是有些大人,乱扔垃圾。”小草说:“那我们得感谢那些小学生了!”大树说:“破坏森林是不折不扣的自杀行为,这个道理连小学生都知道,为什么大人却不知道呢?他们这样做是不对的。树木砍太多会下暴雨,会引发泥石流。”“还有呀,泥沙会随心所欲地流入河流,使它决口、改道,都是人们不保护环境,乱砍树木造成的。人类贪小便宜,却忘了这样会引发自然灾害。”“我们虽然不能告诉人们这样做不对,但是我相信,那些小学生长大了一定会把环境治理得井井有条,让草木自由地生长,让河流顺畅地奔腾。”小草说:“我期待着这一天。”
关于除法的趣味儿歌
一、数的整除的意义。
数的整除要记住,除式各项都要是整数。
但是除数不等于0,商是整数无余。
a÷b时可以说,数b能够整除a,数a能被b整除。
a是数b的倍数,b是数a的约数。
如果要是求约数,就去除以自然数,
如果要是求倍数,就去乘自然数。
二、能被2,5,3整除的数。
个位是0和5,一定能被5整除。
个位是2,4,6,8,0,一定能被2整除。
各个数位数字和,如果要是3的倍数,一定能被3整除。
3 分数除法(三)
分数除法(三)是第五单元中的第三节,分数除法应用问题历来是教学中的难点,尤其是分数乘法与分数除法混编时,学生难以判断是用乘法还是用除法解答,为了突破这个难点,教材鼓励学生用方程解决简单的分数除法问题。为此,教材借助操场上的活动,为学生创设问题情景,设计了三个问题和“试一试”。其中,第一个问题借助模型分析数量关系;第二个问题是找等量关系;第三个问题是列方程解决问题。“试一试”中第一个问题是根据信息写出等量关系;第二个问题是用方程解决问题。
1.能用方程解决简单的有关分数的实际问题,初步体会方程是解决实际问题的模型。
2.会分析简单实际问题中的数量关系,能找出题目中的等量关系。
3.在解方程过程中,巩固分数除法的计算方法。
【重点】 会用方程解答“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的实际问题。
【难点】 分数乘、除法之间的关系。
第课时 用方程解决简单的有关分数的实际问题
1.能用方程解决简单的有关分数的实际问题。
2.在解方程中,巩固分数除法的计算方法。
3.感受数学思考过程的条理性,体会数学知识的逻辑之美,激发学生的学习兴趣。
【重点】 运用分数除法知识解决简单的实际问题。
【难点】 运用分数除法的计算方法解决实际问题。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 练习本。
计算下面各题。
17÷25= 9÷78= 67÷45=
【参考答案】 514 727 1514
方法一:创设情景、引入新课
师:同学们,课间10分钟操场上十分热闹,同学们在做着各种各样的体育活动,他们玩得多开心呀!你们看……
PPT课件出示教材情景图:
师:同学们,你从图片中发现了哪些数学信息?
预设 生:老师,有6名同学在跳绳,是操场上参加活动的总人数的29。
师:同学们观察得真仔细,这些数量关系之间又有怎样的关系呢!今天我们的学习之旅就从这里开始。
板书课题:用方程解决简单的有关分数的实际问题。
[设计意图] 通过让学生根据情景图提取数学信息,将复杂的分数问题生活化、简单化,可以激发学生的学习兴趣和探究欲望。
方法二:复习导入、引入新知
师:同学们请看大屏幕,仔细阅读,你能用所学知识完成这次任务吗?
PPT课件出示:
1.说出下面的等量关系。
(1)书的价钱是钢笔价钱的25。
(2)一种书包打九折出售。
(3)跳绳人数是操场上人数的29。
2.解方程。
8x=14。 58x=23。
【参考答案】 1.钢笔价钱×25=书的价钱;原价×910=现价;操场上人数×29=跳绳人数。2.132 1615
PPT课件继续出示:
师:同学们获得了什么信息,你有什么想法?
(学生发表意见)
[设计意图] 学生的回答正好验证了学生在预习时已经解决了分数除法的应用问题,为后面进一步学习埋下了伏笔。
一、观察图片信息,提出问题
师:同学们,通过刚才的观察,你能提出什么问题?
(如果学生不能准确提出问题,可以做以下引导)
师:你们知道跳绳的同学有多少人吗?
预设 生:(齐答)跳绳的同学共有6人。
师:那你们知道操场上一共有多少人吗?
预设 生1:老师,我数了一下,操场上一共有19人。
生2:我认为不够准确,操场上不一定是19人,这只是操场的一角,不能够确定整个操场上的人数。
……
师:说得真好,是啊!我们怎样才能知道操场上一共有多少人呢?操场上有多少人与我们知道的哪个数量有关系呢?
预设 生:与跳绳的人数有关系。
师:那你能具体说一说操场上有多少人与跳绳的人数有怎样的数量关系吗?
预设 生:跳绳的有6人,是总人数的29。
[设计意图] 充分利用情景图,鼓励学生根据信息大胆提出数学问题,使学生思维活跃,热情高涨。
二、自主探究,找出等量关系
师:“有6名同学在跳绳,是操场上参加活动总人数的29”,怎样理解这句话?
(学生独立思考,然后小组讨论)
预设 生:把操场上参加活动的总人数看作单位“1”,平均分成9份,跳绳的同学占2份,也就是6名同学占9份中的2份。
师:你想怎样解决这个问题?和同桌讨论一下,老师相信你们一定能解决这个问题。
(学生讨论解决的方法)
师:同学们,谁能说一说你是怎样解决这道题的?
成果展示:
预设 生1:我用画图的方法解决问题。操场上同学总共是9份,而2份为6人,8份就应该有6×4=24(人),1份就应该有6÷2=3(人)。操场上一共有24+3=27(人)。
生2:老师,我用的是算术方法,用6÷29=27(人),可是我说不出道理来。
师:你的方法真有创意,还有谁的方法跟他一样?
预设 生1:我也是这样做的,是昨天在预习的时候爸爸教我的。
生2:我也是这样做的,已知这两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算是除法,这是除法的定义。
师:这种方法非常正确,可是解释起来却很难,现在我们用线段图把它表示出来。
PPT课件出示:
师:观察线段图,已知一个数的几分之几是多少,求这个数,用除法。在解决这类问题时,我们提倡用方程来解。
[设计意图] 从学生的不同提问中,启发学生从不同角度去阐述自己解题的策略,最后把分数乘法的应用与分数除法的应用对比,这样不仅使学生沟通了新旧知识之间的联系,也体验了解决问题策略的多样性。
师:有6名同学在跳绳,是操场上参加活动总人数的29,同学们,你们可以表示题中的等量关系吗?
预设 生1:参加活动总人数×29=6。
生2:参加活动总人数×29=跳绳的人数。
教师板书:参加活动总人数×29=跳绳的人数。
[设计意图] 学生根据分数乘法中,“求一个数的几分之几是多少,用乘法计算”的思路写出等量关系,为下面的学习理清思路。
三、列方程解决问题
(学生先自己解决,再小组讨论汇报)
师:在“参加活动总人数×29=跳绳的人数”关系式中,参加活动的总人数知道吗?
预设 生:(齐答)不知道。
师:我们可以用一个什么字母来表示这个量?
预设 生:用未知数x表示。
师:你们可以列出方程,并且解方程吗?
预设 生:通过已知条件“有6名同学在跳绳,是操场上参加活动总人数的29”,再根据“参加活动总人数×29=跳绳的人数”这个等式,列出方程,并解方程。
教师根据学生的回答板书:
解:设操场上有x人参加活动。
29x=6
29x÷29=6÷29
x=27
答:操场上有27人参加活动。
师:谁能说一说用方程解决问题的一般步骤?
预设 生:首先找出等量关系,设未知数x,然后根据等量关系列出方程,最后解方程。
教师板书:找出等量关系,设出未知数x,列出方程,解方程。
师:为了帮助学生记忆用方程解决实际问题的方法,老师教大家一首儿歌。
分数应用不算难,掌握方法是关键;
是占比与相当于,后面数量看作“1”;
知一求几用乘法,知几求一用方程。
[设计意图] 通过利用方程解决问题,使学生发现用方程解决问题要弄清楚等量关系,从而知道解决分数应用题的窍门,就是弄清哪个数量是哪个数量的几分之几。
师:同学们,今天我们用方程解答了有关分数的实际问题,你们能根据下面的方程编出相应的应用题吗?
29x=30
[设计意图] 让学生根据方程编应用题,提高学生运用知识的能力,培养学生的想象力和创造力。
1.完成教材第61页“练一练”第1题。
解决问题的关键是找等量关系,练习时,引导学生弄清“八折”的意思,然后找出等量关系,最后列出方程解决问题。
2.完成教材第61页“练一练”第2题。
目的是培养学生解决实际问题的能力,在解决问题时,鼓励学生列方程解决问题,对有兴趣的同学,尝试让他们用算术方法解决,但不做统一要求。
3.完成教材第61页“练一练”第3题。
进一步巩固解方程的方法,练习时,学生独立完成后全班交流。交流时,注意步骤和方法,同时要注意对有困难的学生的指导。
【参考答案】 1.(1)(2)原价×810=现价 (3)解:设原价是x元。 810x=56 x=70 2.(1)解:设妈妈的身高为x cm。1516x=150 x=160 (2)解:设爸爸的身高为y cm。 89y=160 y=180 3.x=35 x=163 x=215 x=114 x=9 x=83
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了对于这类问题的解题方法,首先要找出单位“1”的量,设为x,然后找出题中的等量关系,再根据等量关系列出方程并正确解方程。
生2:通过列方程解决实际问题,根据等量关系,解题思路更加清晰。
……
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加强学生对列方程解决问题的方法的掌握。
作业1
教材第63页“练习五”第8题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)根据条件填写数量关系式。
(1)桃树棵数的27是梨树的棵数。
( )×27=( )。
(2)女生人数的45与男生人数的56相等。
( )×45=( )×56。
(3)纯牛奶的箱数是酸奶的箱数的310。
( )=( )×310。
(4)一本书小红看了34,正好看了57页,这本书有多少页?
( )×34=( )。
2.(基础题)列方程并解答。
3.(重点题)一辆汽车从甲地到乙地行驶了全程的37,共行驶240千米,全程共多少千米?
【提升培优】
4.(情景题)长百大楼举行国庆大酬宾,所有商品一律八折销售。请填入下列商品的原价。
商品
现价
8元
24元
6.4元
原价
5.(难点题)同学们为灾区小朋友献爱心,一共献了120本漫画书,占全部图书的25。
(1)同学们一共献了多少本图书?
(2)科普书占全部图书的310,科普书有多少本?
6.(重点题)吉祥家电城现有液晶电视260台,是现有笔记本电脑台数的1317。现有笔记本电脑多少台?
【思维创新】
7.(探究题)有一个两位数,十位上的数是个位上的数的23。十位上的数加2,就与个位上的数相等。这个两位数是多少?
【参考答案】
作业1:8.x=6 x=81 x=20 x=32 x=19 x=214
作业2:1.(1)桃树的棵数 梨树的棵数 (2)女生人数 男生人数 (3)纯牛奶的箱数 酸奶的箱数 (4)这本书的总页数 57 2.x×67=30 x=35 3.解:设全程共x千米。37x=240 x=5604.
原价
10元
30元
8元
5.(1)解:设同学们一共献了x本图书。25x=120 x=300 (2)300×310=90(本) 6.解:设现有笔记本电脑x台。x×1317=260 x=340 7.46
用方程解决简单的有关分数的实际问题
参加活动总人数×29=跳绳的人数
解:设操场上有x人参加活动。
29x=629x÷29=6÷29x=27
答:操场上有27人参加活动。
找出等量关系,设出未知数x,列出方程,解方程。
分数除法应用问题是小学数学教学的一个难点,在本节课的设计中,通过“先学后教,当堂训练”的课堂教学模式,把预习前移,使学生带着明确的目的与任务进行预习,学生在预习中基本掌握了新课内容,为高效率的学习奠定了基础。
在教学设计过程中,注重用“自主、合作、探究”的教学模式,有意识地把所有信息设计成开放式,让学生根据信息大胆找到关系,提出问题,把分数除法应用题及分数乘法应用题结合起来,让学生通过讨论、交流等活动,亲自感受它们之间的不同,挖掘它们之间的内在联系与区别,增强学生分析问题、解决问题的能力。在教学过程中,鼓励学生独立解决问题,这样使学生思之有法,学之有据,养成良好的学习习惯。
看到以上这些值得高兴之处的同时,也有一点点遗憾:时间紧,任务重。
设计时要注意给予学生多一点的时间,巩固所学新知,通过练习加深学生对知识的理解和掌握,使学生做到学有所用。
杨树有30棵,杨树的棵数相当于松树的34,松树有多少棵?
[名师点拨] 本题可根据等量关系:松树的棵数×34=杨树的棵数,列方程求解。
[解答] 设松树有x棵。
34x=30x=30÷34x=30×43x=40
答:松树有40棵。
【知识拓展】 列式解决分数除法的实际问题,需要逆向思考,即从“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的角度去理解数量关系和算理。列方程解决分数除法的实际问题只要依据分数乘法的意义思考,就能找到等量关系列出方程,用方程解决问题易于理解。
数字“0”
大约1500年前,欧洲的数学家们是不知道用“0”的。他们使用罗马数字。罗马数字是用几个表示数的符号,按照一定规则,把它们组合起来表示不同的数目。在这种数字的运用里,不需要“0”这个数字。
而在当时,罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号。他发现,有了“0”,进行数学运算方便极了,他非常高兴,还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍。过了一段时间,这件事被当时的罗马教皇知道了。当时是欧洲的中世纪,教会的势力非常大,罗马教皇的权利更是远远超过皇帝。教皇非常恼怒,他斥责说,神圣的数是上帝创造的,在上帝创造的数里没有“0”这个怪物,如今谁要把它给引进来,谁就是亵渎上帝!于是,教皇就下令,把这位学者抓了起来,并对他施加了酷刑,用夹子把他的十个手指头紧紧夹住,使他两手残废,让他再也不能握笔写字。就这样,“0”被那个愚昧、残忍的罗马教皇明令禁止了。
但是,虽然“0”被禁止使用,然而罗马的数学家们还是不管禁令,在数学的研究中仍然秘密地使用“0”,仍然用“0”做出了很多数学上的贡献。后来“0”终于在欧洲被广泛使用,而罗马数字却逐渐被淘汰了。
数学天才高斯小时候的故事
高斯念小学的时候,有一次在老师教完加法后,因为老师想要休息,所以便出了一道题目要同学们算算看,题目是:1+2+3+…+97+98+99+100=?老师心里正想,这下子小朋友们一定要算到下课了吧!正要借口出去时,却被高斯叫住了!原来,高斯已经算出来了,小朋友,你知道他是如何算的吗?
高斯告诉大家他是如何算出的:把1加至100与100加至1排成两排相加,也就是:
1+2+3+4+…+96+97+98+99+100
+100+99+98+97+96+…+4+3+2+1
=101+101+101+…+101+101+101+101
共有一百个101相加,但算式重复了两次,所以把10100除以2便得到答案:5050,从此以后,高斯小学的学习过程早已经超越了其他同学,也因此奠定了他以后的数学基础。
更让他成为数学天才!
第课时 分数除法的实际应用
1.能用方程解决简单的有关分数的实际问题,初步体会方程是解决实际问题的模型。
2.进一步体会解决简单实际问题的关键是找出数量关系。
3.在解方程过程中,巩固分数除法的计算方法,掌握用方程解决实际问题的步骤。
【重点】 进一步理解用方程解决实际问题的方法,并能正确计算。
【难点】 找出等量关系,列出方程并正确计算。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 练习本。
甲数是乙数的57,甲数是25,求乙数是多少。(用方程解答)
【参考答案】 解:设乙数是x。57x=25 x=35
方法一:创设情景,导入新知
师:(教师手拿两瓶果汁)现在老师准备了两瓶果汁,大家先估计一下,大瓶和小瓶的果汁有什么关系?
(学生随意说,教师聆听)
师:如果老师告诉你:“小瓶果汁是大瓶的12。”谁来说一说,这句话怎么理解?把谁看作单位“1”?
预设 生:小瓶果汁是大瓶的12,是把大瓶果汁看作单位“1”,大瓶果汁的12是小瓶果汁的量。
师:根据这句话,谁来说一说数量间的等量关系是怎样的?
预设 生:大瓶果汁×12=小瓶的果汁。
师:如果告诉你大瓶果汁有900毫升,小瓶果汁有多少毫升?
PPT课件出示:
一大瓶果汁有900毫升,小瓶果汁是大瓶的12。一小瓶果汁有多少毫升?
(学生列式解答)
PPT课件出示:
900×12=450(毫升)
答:小瓶果汁有450毫升。
师:列这个算式的依据是什么?
预设 生1:求小瓶果汁有多少毫升,就是求大瓶果汁的12是多少,那就是求900毫升的12是多少,算式是900×12。
生2:根据“大瓶果汁的12是小瓶果汁”这句话可以看出把大瓶果汁的量看作单位“1”,用大瓶的果汁量×12=小瓶的果汁,大瓶果汁量已经告诉我们是900毫升,用900×12就得到了小瓶果汁量。
师:同学们都能够很熟练地解答这类题目,用什么方法解决?
预设 生:“求一个数的几分之几是多少”,用乘法计算。
师:今天我们就利用这样的知识,来解决生活中的实际问题。
板书课题:分数除法的实际应用。
[设计意图] 用方程解决分数除法的简单实际应用题的学习难度并不高,但很重要,起到了一个承上启下的作用。它是在以前学习“求一个数的几分之几是多少”的基础上的发展与应用,因此通过复习不仅有利于学生进一步体会分数乘、除法的内在联系,而且有利于学生进一步感受方程的思想方法。起到加深学生掌握数量关系,熟练解答“求一个数的几分之几是多少”的习题,为下面的学习做铺垫。
方法二:设疑激趣,导入新知
师:同学们,通过上节课的学习,淘气掌握了“用方程解决与分数除法有关的实际问题”的方法。于是课下他又做了充分的预习,有了很多收获,现在淘气想考考大家,你们愿意接受吗?
预设 生:(齐答)我们愿意。
PPT课件出示:
根据信息写出等量关系。
(1)操场上打篮球的人数是踢足球人数的49。
(2)汽油的现价是原价的1920。
(3)果园今年的苹果产量比去年增加了1200 kg。
师:淘气要求我们完成什么?
预设 生:根据上面的语言描述,找出它们的等量关系。
师:我相信你们一定能够完成任务。
板书课题:分数除法的实际应用。
[设计意图] 通过“淘气”想考考大家的情景导入,激发学生的学习兴趣和学习热情,调动学生的学习欲望。
一、教学等量关系
师:淘气考察我的题目,你们想怎样解决?把你的想法与小组同学交流一下。
PPT再次出示:
根据信息写出等量关系。
(1)操场上打篮球的人数是踢足球人数的49。
(2)汽油的现价是原价的1920。
(3)果园今年的苹果产量比去年增加了1200 kg。
师:根据课件中的信息,你们写出等量关系了吗?
预设 生:我们完成了。
师:谁愿意说说你是如何找到等量关系的?
(学生汇报)
预设 生:打篮球的人数是踢足球人数的49,就是把踢足球的人数平均分成9份,打篮球的人数是其中的4份,可以用线段图表示。
师:你可以到展台前具体说一说。
预设 生1:
所以等量关系是:踢足球的人数×49=打篮球的人数。
生2:老师,我没有画图,我根据“求一个数的几分之几是多少,用乘法计算”可以列出等量关系。通过题意可知“打篮球的人数是踢足球人数的49”,就是踢足球的人数乘以49等于打篮球的人数。所以踢足球的人数×49=打篮球的人数。
……
师:同学们,你们听懂了吗?
预设 生:听懂了。
教师板书:踢足球的人数×49=打篮球的人数。
[设计意图] 通过教师对问题的简单引导,唤起学生原有的认知“求一个数的几分之几是多少,用乘法计算”,使学生体会分数除法与乘法的联系。
师:第(1)题中我们根据题目,可以找到它们的等量关系,下面请同学们仿照第(1)题找出第(2)题和第(3)题中的等量关系。
(学生独立思考,解决问题,也可以小组讨论,然后指名汇报)
预设 生1:老师,我完成的是(2)题,通过“汽油的现价是原价的1920”,把原价平均分成20份,现价占其中的19份,把原价看作单位“1”,用线段图表示如下:
所以等量关系是:汽油的原价×1920=汽油的现价。
教师板书:汽油的原价×1920=汽油的现价。
生2:(3)题是今年的苹果产量比去年增加了1200 kg,就是以去年产量为标准,今年在和去年同样多的情况下再多产1200 kg。(如图)
可以知道等量关系为:去年苹果产量+1200 kg=今年苹果产量。
教师板书:去年苹果产量+1200 kg=今年苹果产量。
生3:根据今年的苹果产量比去年增加了1200 kg,还可以写出另外两种等量关系。
去年苹果产量=今年苹果产量-1200 kg。
今年苹果产量-去年苹果产量=1200 kg。
师:同学们,你们可真聪明!你们都是爱思考的好孩子。列方程解答这类应用题的关键就是:找到题目中的等量关系,才可以正确列出方程。
[设计意图] 通过学生分析,独立解决问题,既锻炼了学生的思维能力,又培养了学生独立解决问题的能力。使学生更好地掌握如何找到准确的等量关系。
二、用方程解决实际问题
师:同学们,我们学习知识,掌握更多技能,就是为我们的生活服务,解决生活中的实际问题,做到学有所用。请同学们看大屏幕。
PPT课件出示:
某月有9天休息日,休息日占这个月总天数的310。这个月共有多少天?(列方程解决问题)
师:智慧老人想通过这道题考考大家,智慧老人要求我们怎样完成这道题目?
预设 生:智慧老人要求我们用方程解决问题。
师:列方程解决问题的关键是什么?你能根据题意列出方程并解答问题吗?
预设 生:能。
师:下面你们独立完成吧!完成后与小组同学交流、讨论一下。
(学生完成问题)
预设 生:根据题意“休息日占这个月总天数的310”,可以找到等量关系是:这个月的总天数×310=休息日。而这个月总天数是单位“1”,是未知量。我们可以设这个未知量为x,列出方程。
学生板书:
解:设这个月共有x天。
310x=9
310x÷310=9÷310
x=30
答:这个月共有30天。
师:同学们完成得真好,可是智慧老人又向我们提出了一个新的要求,请同学们看大屏幕……
PPT课件出示:
师:智慧老人要求我们说一说,用方程解决问题的步骤是什么?
预设 生:在分析题的基础上找到等量关系,根据等量关系列出方程,解方程。(只要学生描述得合理,教师就应给予肯定)
师:为了方便同学们记忆,老师编了一首儿歌。
除法问题并不难,对应关系要细辨。
乘法意义来搭桥,方程解法更方便。
等量关系要看全,设列求值检答案。
[设计意图] 通过解决问题,再次体验应用分数知识解决问题的策略,充分体现了数学来源于生活,最后应用于生活的教育,增强了学生应用数学的意识。
1.完成教材第61页“练一练”第4题。
进一步理解找等量关系的基本思路和方法,可以由学生独立完成。
2.完成教材第61页“练一练”第5题。
结合鸡、鸭、鹅孵卵期的长短,为学生创设运用分数乘法、除法解决问题的机会,引导学生学会寻找有用的数学信息,找出等量关系。
3.完成教材第61页“练一练”第6题。
在理解题的基础上,让学生独立完成题目,然后进行交流,交流时,要关注学生解决问题的思路。
4.完成教材第61页“练一练”第7题。
综合运用所学知识解决问题,培养学生解决问题的能力。
【参考答案】 1.(1)妈妈的年龄×13=小明的年龄 (2)7月电话费×67=8月电话费 (3)原价×215=降低的价格 2.鸭的孵卵期×34=鸡的孵卵期 解:设鸭的孵卵期为x天。 34x=21 x=28 鹅的孵卵期×1415=鸭的孵卵期 解:设鹅的孵卵期为y天。 1415y=28 y=30 3.2÷25=5(升) 4.(1)35÷712=60(公顷) (2)12÷60=15
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了对于这类问题的解题方法,首先要找出单位“1”的量,设为x,然后找出题中的等量关系,再根据等量关系列出方程并正确解方程。
生2:判断单位“1”的方法,占谁、是谁、相当于谁,谁就是单位“1”。用方程解决问题时,一定要找到等量关系。
生3:列方程解应用题的一般步骤:弄清题意,找出未知数用x表示,分析并找出数量之间的关系列出方程,解方程,检验。
……
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加强学生对列方程解决问题的步骤的掌握。
作业1
教材第63页“练习五”第9,10题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
(1)已知一个数的35是15,求这个数是多少。可以设( )为x,则x的( )是( ),列出方程是( )。
(2)一个数除以35是78,求这个数。可以设( )为x,列出方程是( )。也可以用乘法计算,列式为( )。
2.(重点题)解方程。
58x=40 25x=49×38
【提升培优】
3.(难点题)解决问题。
(1)下列商品是打五折后的价格,原价格分别是多少元?
(2)面积是45平方米。
【思维创新】
4.(情景题)甲、乙两袋苹果,甲袋苹果重10千克,如果从乙袋中倒出它的14给甲袋,则两袋苹果一样重,乙袋苹果原来重多少千克?
【参考答案】
作业1:9.解:设宇宙飞船每秒运行x km。23x=5.1 x=7.65 10.解:设光在空气中的传播速度是x万千米/秒。 23x=20 x=30
作业2:1.(1)这个数 35 15 35x=15 (2)这个数 x÷35=78 78×35 2.x=64 x=5123.(1)108元 48元 (2)245 4.20千克
分数除法的实际应用
踢足球的人数×49=打篮球的人数。
汽油的原价×1920=汽油的现价。
去年苹果产量+1200 kg=今年苹果产量。
解:设这个月共有x天。
310x=9310x÷310=9÷310x=30
答:这个月共有30天。
用方程解决分数除法应用问题是小学数学教学的重点,在本节课的设计中,通过新颖的导入,把学生带入教学,充分调动学生的兴趣。
在教学设计过程中,注重对学生原有认知的调动,挖掘学生思维的潜能。有意识地把所有信息设计成开放式,让学生根据信息大胆找到关系,提出问题,独立解答,增强学生分析问题、解决问题的能力。这样可使学生思之有法,学之有据,使学生养成良好的学习习惯。
看到以上这些值得高兴之处的同时,也有一点点遗憾:由于时间关系,教师在引导学生学习知识时,有些仓促。
设计时要注意给予学生多一点的时间,教师不要为了课堂的完整性而忽视学生认知上的冲突。
【练一练·61页】
1.(1) (2)原价×810=现价 (3)解:设原价是x元。 810x=56 x=70 2.(1)解:设妈妈的身高为x cm。 1516x=150 x=160 (2)解:设爸爸的身高为y cm。 89y=160 y=180 3.x=35 x=163 x=215 x=114 x=9 x=83 4.(1)妈妈的年龄×13=小明的年龄 (2)7月电话费×67=8月电话费 (3)原价×215=降低的价格 5.鸭的孵卵期×34=鸡的孵卵期 解:设鸭的孵卵期为x天。 34x=21 x=28 鹅的孵卵期×1415=鸭的孵卵期 解:设鹅的孵卵期为y天。 1415y=28 y=30 6.2÷25=5(升) 7.(1)35÷712=60(公顷) (2)12÷60=15
【练习五·63页】
1.34÷2=38 2.910÷3=310(m) 3.6÷23=9(份) 4.14 12 34 1 54 除数小于(0除外)1时,商大于被除数;除数大于1时,商小于被除数;除数等于1时,商等于被除数 5.< > > = > < 6.2 316 32 310 1415 1649 920 16037.8 16 32 165 163 485 8.x=6 x=81 x=20 x=32 x=19 x=214 9.5.1÷23=7.65(km) 10.20÷23=30(万千米/秒) 11.原价×610=72元 解:设这件衣服的原价是x元。 610x=72 x=120 12.10÷511=22(时) 13.解:设九月份用水x吨。 58x=240 x=384
动物园里有多少只猴子?
[名师点拨] 根据大熊猫的只数是猴子的25,可以知道把猴子的只数看作单位“1”,等量关系是:猴子的只数×25=大熊猫的只数。根据这个关系式,可以列出方程。
[解答] 设动物园里有x只猴子。
25x=6
25x÷25=6÷25
x=15
答:动物园里有15只猴子。
【知识拓展】 用算术方法解决分数应用题:先找单位“1”,如果单位“1”已知,求部分量用乘法,求单位“1”用除法。
如:33的23是多少?
33×23=22。
如:一个数的23是32,求这个数。
32÷23=32×32=48。
方程式的由来
十六世纪,随着各种数学符号的相继出现,特别是法国数学家韦达创立了较系统的表示未知量和已知量的符号以后,“含有未知数的等式”这一专门概念出现了。
十七世纪前后,欧洲代数首次传进中国,当时译为相等式。由于那时我国古代文化的势力还较强,西方近代科学文化未能及时在我国广泛传播和产生较大的影响,因此“代数学”连同“相等式”等这些学科或概念都只是被极少数人学习和研究。
十九世纪中叶,近代西方数学再次传入我国。1859年,李善兰和英国传教士伟烈亚力,将英国数学家德·摩尔根的《代数初步》译出。李、伟两人很注重数学名词的正确翻译,他们借用或创设了近四百个数学的汉译名词,许多至今一直沿用。其中,“equation”的译名就是借用了我国古代的“方程”一词,这样,“方程”一词首次意为“含有未知数的等式”。
1873年,我国近代早期的又一个西方科学的传播者华蘅芳,与英国传教士傅兰雅合译英国渥里斯的《代数学》,他们则把“equation”译为“方程式”,他们的意思是,“方程”与“方程式”应该区别开来,方程仍指《九章算术》中的意思,而方程式是指“含有未知数的等式”。华、傅的主张在很长时间里被广泛采纳。直到1934年,中国数学学会对名词进行审查,确定“方程”与“方程式”两者意义相通。在广义上,它们是指一元n次方程以及由几个方程联立起来的方程组。狭义则专指一元n次方程。既然“方程”与“方程式”同义,那么“方程”就显得更为简洁明了了。
科学家和方程的故事
有一次德国著名物理学家爱因斯坦病了,他的一位朋友给他出了一道题消遣:“如果时钟上的针指向12点钟,在这个位置如果把长针和短针对调一下,它们所指示的位置还是合理的。但是在有的时候,比如6点钟,时针和分针就不能对调。否则会出现时针指12,而分针指6,这种情况是不可能的。问针在什么位置时,时针和分针可以对调,使得新位置仍能指示某一实际上可能的时刻?”
爱因斯坦说:“这对于病人确实是一个很有意思的问题,有趣味而不太容易。只是消磨不了多少时间,我已经快解出来了。”说着他在纸上就解起来了。爱因斯坦画了个草图。钟盘上共有60个刻度,分针运转的速度是时针的12倍。设所求的时刻针是x点y分,此时分针在离12点有y个刻度的位置,时针在离12点有z个刻度的地方。时针走一点时,分针要转一圈,也就是要转60个刻度。如果时针指向x,那么分针要转x圈,即转过60x个刻度。现在时针指向x点y分,分针从12点起已转过了(60x+y)个刻度。由于时针运转的速度是分针的十二分之一,所以时针转过的刻度是z=60x+y12个。把时针、分针对调以后,设所指时刻为x1点z分,这时时针离12点有y个刻度,则y=60x1+z12。这样就得到了一个不定方程组z=60x+y12,y=60x1+z12。其中x1和x是不大于11的正整数或0。让x1和x取0到11的各个数值时,可以搭配出144组解。但是当x=0,x1=0时,时针、分针同时指向12;当x=11,x1=11时,y=60,z=60,是11点60分,即12点。这样x=0,x1=0与x=11,x1=1是同一组解。因此,这个不定方程有143组解。比如,当x=1,x1=1时,y=5511,z=5511,说明1点5511分时,两针重合,可以对调;当x=2,x1=3时,y=15135143,z=1147143,说明2点15135143分与3点1147143分时两针可以对调。
爱因斯坦的朋友十分钦佩爱因斯坦的解题能力。
第5单元阶段测评
(时间:60分钟 满分:100分)
一、想一想,填一填(9分)
1.56÷23=56×( ),47÷4=47×( )。
2.在○里填“>”“<”或“=”。
4÷12○4 23÷65○23
37×12○37 25÷1○25
3.把89平均分成4份,每份是( )。
4.两个乘数的积是715,其中一个乘数是14,求另一个乘数的算式是( )。
5.有一批货物,每天运走它的27,( )天可以运完全部货物。
二、判断(10分)
1.415÷3=415÷3=45。 ( )
2.1除以一个数(0除外)所得的商就是这个数的倒数。 ( )
3.57÷7-7÷57=0。 ( )
4.一个非零数除以15就是把这个数扩大为原来的5倍。 ( )
5.一个数除以真分数,商大于被除数。 ( )
三、选择(15分)
1.如果a>0,那么a÷15( )a×45。
A.大于 B.等于 C.小于
2.一种钢材45米重125吨,这种钢材每米重( )吨。
A.4125 B.120 C.20
3.下列各式中,结果大于47的是( )。
A.47×78 B.47÷78
C47÷87
4.一袋大米的15是500 g,这袋大米是( )kg。
A.2500 B.2.5 C.100
5.一个长方形的面积是2 dm2,宽是45 dm,它的长是( )。
A.85 dm B.25 dm C.2.5 dm
四、我会算(24分)
1.计算。
(1)38÷34 (2)1325÷13
(3)8÷38 (4)6÷310
(5)23÷89 (6)74÷714
2.解方程。
(1)34x=8 (2)65y=12
(3)4x=47 (4)18+m=16
五、解决问题(42分)
1.小蚂蚁每分钟爬行25米,爬行4米长的一段路,需要多少分钟?(5分)
2.23小时做24个零件,1小时做多少个?(5分)
3.一条公路已修好240米,是全长的17,这条公路全长是多少米?(5分)
4.小红看一本书,已经看了35页,正好相当于全书的57,这本书有多少页?(5分)
5.一块长方形玻璃的面积是58 m2,它的长是56 m,这块玻璃的宽是多少米?(5分)
6.妈妈和奶奶今年分别多少岁?(5分)
7.学校舞蹈队有20人,是合唱团人数的25,合唱团有多少人?(6分)
8.学校图书馆有多少本书?(6分)
★附加题
一辆汽车从甲地驶往乙地,第一天行了全程的14,第二天行了全程的13,这时离乙地还有140千米,则甲、乙两地相距多少千米?
【参考答案】
一、1.32 14 2.> < < = 3.29 4.715÷14 5.72
二、1.? 2.√ 3.? 4.√ 5.?
三、1.A 2.B 3.B 4.B 5.C
四、1.(1)12 (2)125 (3)643 (4)20 (5)34 (6)72 2.(1)x=323 (2)y=512 (3)x=17 (4)m=124
五、1.4÷25=10(分钟) 2.24÷23=36(个)3.240÷17=1680(米) 4.35÷57=49(页) 5.58÷56=34(m) 6.解:设妈妈今年x岁。13x=13 x=39 设奶奶今年y岁。35y=39 y=65 7.解:设合唱团有x人。25x=20 x=50 8.解:设图书馆有x本书。 16x=300 x=1800
附加题 336千米
本单元学习的主要内容有:分数除以整数,一个数除以分数,解决有关的简单实际问题。教材主要分3个活动呈现:在操作活动中理解分数除法的意义和分数除以整数的计算方法;借助图形语言,在操作中理解一个数除以分数的意义和计算方法;在现实情景中利用方程解决一些简单的实际问题。
《分数除法》是学生在已经掌握了分数乘法的意义和计算方法以及倒数的认识的基础上学习的。要求学生探索并理解分数除法意义的过程,掌握分数除法的计算方法。
在第一学段,学生借助直观模型,学习了同分母分数加减法,在本册第一单元,学生学习了异分母分数加减法,在第三单元学习了分数乘法和倒数的相关知识,本单元的学习内容为分数除法,为六年级分数混合运算奠定基础。这样的安排有利于分散教学难点,突出了借助操作活动,探究并理解分数除法的意义的过程,掌握分数除法的计算方法,能利用方程解决有关分数除法的实际问题,积累解决问题的经验。
1.在具体情景中,借助操作活动,探索并理解分数除法的意义。
2.探索分数除法的计算方法,并能正确计算。
经历分数除法探究过程,提高运算能力。
能利用方程解决有关分数除法的实际问题,体会数学与生活的密切联系。
体验成功解决问题的乐趣,养成认真勤奋、独立思考、勇于质疑与合作交流的学习习惯。
【重点】
1.理解分数除法的意义。
2.掌握一个数除以分数的计算方法。
3.会用方程解答已知一个数的几分之几是多少,求这个数的实际问题。
【难点】
1.掌握分数除以整数的计算方法。
2.理解一个数除以分数的算理。
3.用方程解决简单的有关分数的实际问题。
这部分学习内容,是在学生学习了分数乘法和认识了倒数的基础上进行的,学生之前掌握了分数乘分数的计算方法,为本单元的学习起到了良好的铺垫作用。本单元教学建议如下:
1.结合操作活动和面积模型,探索并理解分数除法的意义和计算方法。分数除法的意义和计算方法的呈现方式和编写思路与分数乘法类似,突出操作活动,充分利用面积模型,促进学生理解除法的意义和相应的计算方法。
在学习一个分数除以整数的意义和计算方法时,教师可以先提出把一张纸的47平均分成2份、3份,求每份是这张纸的几分之几的问题,利用分数的面积模型帮助学生体会一个分数除以整数的意义。通过“算一算、说一说”的问题,呈现一组算式,在运算的过程中,得出一个数除以整数的计算方法,体会除以“一个不为零的整数”相当于乘这个整数的倒数的方法的合理性。
在学习除数是分数的除法的意义和计算方法这个难点时,教材借助整数除法的意义,让学生在“填一填、说一说”的活动中,体会一个数除以分数的意义,并帮助学生理解除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数,根据设计的面积模型的活动,利用长方形的面积模型等直观图形,理解一个数除以分数的意义和计算方法,最后总结上面活动中产生的算式,观察并思考每组算式之间的关系,得出分数除法的计算方法。
教材呈现了一个发现的过程,让学生经历操作、观察、归纳等活动,借助图形语言和符号语言等多种方法,帮助学生理解并掌握知识。
2.鼓励学生用方程解决分数除法的简单实际问题。分数除法的应用问题历来是学生学习中的难点,需要学生灵活应用数量之间的关系。由于理解困难,学生往往依靠记忆题型来解决问题,这就失去了在解决问题中培养学生解决实际问题能力的作用,而利用方程解决分数除法的问题,通过设字母表示未知量,寻找等量关系列方程,就可以化解分数除法应用题的难点,学生理解起来会容易一些,因此,根据《标准2011年版》的要求,教材提倡学生用方程解决简单的分数除法问题。
1 分数除法(一)
分数除法(一)是第五单元中的第一节,本节知识的主要内容是分数除以整数的意义、计算方法与应用,是分数除法单元的基础。教材呈现了3个问题。其中前两个问题是借助面积模型解决有关分数除法的问题,理解分数除法的意义;第三个问题是引导学生总结分数除法的计算方法。
教材从解决实际问题入手,演示分数除以整数的计算方法,意在通过探索该问题的解法初步感受分数除法的意义。通过沟通分数除法与分数乘法的本质联系,为本课的学习奠定了基础,在“算一算、说一说”中,问题脱离了直观背景,从算式出发进行运算,引导学生归纳总结分数除以整数的计算方法。
1.在具体的操作活动中,探索并理解分数除法的意义。
2.探索并掌握分数除以整数的计算方法,并能正确计算。
3.能够运用分数除法解决简单的实际问题。
【重点】 分数除法的意义。
【难点】 分数除以整数的计算方法。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 练习本。
计算下面各题。
16×78= 9×56=
【参考答案】 748 152
方法一:创设情景、引入新课
师:炎炎夏日,笑笑带了一瓶4升的清凉果汁到姐姐家做客,姐姐家有两个小孩,如果把这些果汁分给这两个孩子喝,你们认为怎样分才合适呢?
PPT课件出示:
师:这道题怎样列式?为什么?
预设 生:平均分成两份,求每份多少升,4÷2=2(升),用除法。
师:如果果汁是47升呢?你还能帮笑笑平均分给这两个孩子吗?
[设计意图] 创设学生熟悉的生活情景,激发了学生浓厚的学习兴趣。在分果汁时,利用学生掌握整数除法的经验基础,使学生再次感受整数除法的意义;通过改4升为47升,迁移到本课的问题,沟通了整数除法与分数除以整数意义上的联系,理解分数除法的运算意义,达到水到渠成的效果。
师:把47升果汁平均分给两个小朋友喝,每人可以喝多少升?可以怎样列式?为什么?
(学生摇头表示不知道)
师:我们知道,把一个整数平均分成几份,求每份是多少,用除法计算,而把47升平均分成两份,求每份是多少升,也可以用除法计算。
揭示课题:把一个分数平均分成若干份,求其中的一份,用除法计算。今天我们就来研究分数除以整数。
板书课题:分数除法(一)。
[设计意图] 通过具体的情景,既激发了学生的学习兴趣,又唤起学生原有的认知与新知有机联系,与此同时又为新知做好铺垫。
方法二:谈话引入新知
师:同学们,服装厂要给小猴做衣服。请同学们看大屏幕……
PPT课件出示:
服装厂要用47米的花布给小猴做衣服。如果做裤子可以做2条。
师:说说你找到了哪些数学信息,你能提出什么数学问题?
预设 生:做一条裤子需要多少米花布?
师:要解决“做一条裤子需要多少米花布”,应该怎样列算式?
(学生思考,根据整数除法的知识列出算式)
预设 生:47÷2。
师:为什么用除法?
预设 生:求每份是多少,用除法计算。
师:观察这个除法算式,与以前的除法算式有什么区别?
预设 生:这道除法算式与我们以前学习的除法有所不同,以前学习的是整数除以整数,这道算式的被除数是分数。
揭示课题:这就是我们今天要探究的问题——分数除以整数。
板书课题:分数除法(一)。
[设计意图] 通过谈话,使学生初步感知分数除法与整数除法有内在的联系,体会知识的联系性。
方法三:回顾旧知、导入新知
师:同学们,这学期我们学过哪些与分数有关的知识,你能用这些知识解决下列问题吗?
PPT课件出示问题:
比一比谁算得快。
311×2= 47×14=
59×13= 25×13=
师:孩子们,你们计算得可真快呀!你们会计算这两道题吗?
PPT课件继续出示:
38÷5= 49÷2=
(学生摇头,表示不会,没有学习过)
师:你们遇到什么问题了吗?
揭示课题:我们怎么解决这些困难呢!这就是我们今天学习的内容——除数是整数的分数除法。
板书课题:分数除法(一)。
[设计意图] 通过已有的知识,引出问题,自然过渡到新的教学环节。
一、体会分数除法的意义
师:同学们,请看大屏幕……
1.理解题意,列出算式。
PPT课件出示教材问题:
把一张纸的47平均分成2份,每份是这张纸的几分之几?
师:你们知道了哪些信息?
预设 生:把一张纸的47平均分成2份,求一份是这张纸的几分之几。
师:“把一张纸的47平均分成2份,求一份是这张纸的几分之几”,可以怎样列式?为什么?
预设 生:我们知道,把一个整数平均分成几份,求每份是多少,用除法计算,而把一张纸的47平均分成2份,求一份是这张纸的几分之几,也可以用除法计算。
师:把一个分数平均分成若干份,求其中的一份,用除法计算。你们可以列出算式吗?
预设 生:47÷2。
教师板书:47÷2。
[设计意图] 通过分析题目,引导学生列出算式,使学生体会求一个数的几分之几是多少用除法计算,初步感受分数除法与整数除法的意义相同。
2.探索分数除以整数的计算方法。
师:那么47÷2可以怎样计算呢?你们有办法解决这个问题吗?请同学们四人一组,共同讨论。尝试解决吧!
(学生尝试探究解决问题,教师巡视指导,对于有困难的学生,教师要进行引导)
师:通过刚才的讨论,老师看到有的同学心里已经有了想法,有的同学还在思考,可能是遇到了什么困难?是吗?
预设 生:(学生点头表示同意老师的说法)不知道怎样计算?
师:你们能告诉老师47表示什么意思吗?
预设 生:表示把单位“1”平均分成了7份,取其中的4份。
师:说得非常好,请看大屏幕。
PPT课件演示:
把单位“1”平均分成7份 表示其中的4份
师:把47平均分成2份,就是把图中的哪部分平均分成2份?
预设 生1:把47平均分成2份,也就是把涂上颜色的部分平均分成2份。
生2:把47平均分成2份,也就是把7份中的4份平均分成2份,也就是把涂上颜色的部分平均分成2份。
生3:老师,我可以到展台前指出吗?
师:当然可以。
(学生指出平均分成2份的部分)
[设计意图] 通过分析,使学生明白把47平均分成了2份,实际上分的是哪部分,为下面画图,理解分数除法的计算方法打好基础。
师:把47平均分成2份,得多少呢?(教师指着课件展示的图例说)你能把这个图形继续画下去吗?
(学生拿出草稿纸,先表示出47,再平均分成2份)
师:谁来说一说你是怎样想的?
学生成果展示:
预设 生1:(学生手拿图例分析,到展台前叙述过程)把7份中的4份平均分成2份,每份是2份,也就是占这张纸的7份中的2份,就是27。
生2:老师我的方法和他的不同,但结果是一样的,都是27。
师:你能具体说一说吗?
生2:我把47平均分成2份。(如图)
生3:47里面有4个17,平均分成2份,每份就是4个114,4个114就是27。
师:这个过程怎样用算式来体现呢?
预设 生:47÷2=27。
教师板书:47÷2=27。
师:想一想,如果不看图了,你能计算出47÷2=27吗?能提出你的大胆猜想吗?
(学生讨论交流,然后汇报,学生可能会得到“分数除以整数,分母不变,被除数的分子除以整数的商作为分子”)
师:谁愿意将你们的计算过程板书出来。
学生板书:47÷2=4÷27=27。
师:你们同意他的解法吗?
预设 生:同意。
师:照这样,47÷4该怎样计算呢?
预设 生:47÷4=17。
师:同学们真棒!大胆的猜想是一种非常好的数学思想方法,但还要经过科学的验证。科学的验证,不仅仅是一两道题就能得出的结论。同学们,你们能不能自己设计一道分数除以整数的计算题来验证刚才的想法是否可行?
(学生独立在练习本上完成,小组同学间互相编写计算题,并计算,学生会发现疑问)
[设计意图] 通过学生的猜想,使学生知道猜想是一种非常好的数学思考方法,但要经过科学验证,培养学生的良好学习习惯。
二、分数除以整数的计算方法
师:同学们,通过刚才的验证,你们有什么发现?
预设 生:通过验证,有部分题不能顺利计算。
师:为什么?
预设 生:分数的分子不是除数的倍数(整数倍)。
师:那你们能用刚才的方法计算这道题吗?
PPT课件出示教材问题:
把一张纸的47平均分成3份,每份是这张纸的几分之几?分一分,涂一涂,与同伴交流。
师:怎样列式呢?
预设 生:47÷3。
教师板书:47÷3。
师:计算47÷3,刚才的方法还能用吗?
预设 生:(齐答)不能。
师:看来我们要换一种思维方式,探索一种能普遍运用的方法,把这4份平均分成3份,每份是这张纸的几分之几呢?请同学们动手在纸上分一分、涂一涂,涂好后在小组内交流一下你是怎样分的?
[设计意图] 通过观察和验证,使学生感知上面计算分数除法的方法的局限性,需要探究一种普遍运用的方法,从而使学生体会到验证是学习数学的科学依据,培养学生的自学能力和探究能力。
师:你是怎样分的?
预设 生:把47平均分成3份,每份就是这张纸的421。
师:把47平均分成3份,一份是多少?实际上是求什么?
预设 生:实际上是求3份中的一份是多少。也就是求47的13是多少?
师:求47的13是多少?你们有什么样的想法?
预设 生:求一个数的几分之几是多少用乘法计算,47的13是多少,可以列式为47×13。
教师板书:47×13。
师:把47平均分成3份,求一份是多少,就相当于求47的13,它们的结果都是421。因此,中间我们可以用等号连接起来。
教师板书:=421。
师:同学们,你们看原来的除法算式转化成了什么算式?
预设 生:转化成乘法算式了。
师:什么变了,什么没有变?
预设 生:被除数没有变,除号变为乘号,除以3变为乘3的倒数13。
师:通过分析,同学们明白了什么?
预设 生:分数除以整数,等于分数乘这个整数的倒数。
教师板书:分数除以整数,等于分数乘整数的倒数。
师:同样地,把47平均分成5份,每份等于几分之几呢?把47平均分成6份呢?
(学生回答,教师板书)
教师板书:47÷5=47×15=435;47÷6=47×16=221。
师:同学们真聪明,会把新知识转化成旧知识来解决问题了,以旧学新是我们学习数学的一个重要方法,这就是分数除以整数的常用方法,谁来说一说这种方法是怎样的?
预设 生:分数除以整数,等于分数乘这个数的倒数。
师:在今后的分数除法计算中,我们常用这种方法,因为无论分数的分子能否被除数整除都可以进行计算,不受什么条件的制约,它的应用更普遍,当然,分数的分子如果正好能被除数整除,我们也可以应用第一种方法计算,具体问题具体分析,做题时要合理灵活地选择计算方法。
[设计意图] 计算教学,把计算方法直接告诉学生,然后进行大量的训练。这样尽管也能让学生熟练掌握算法,但学生只知其然,不知其所以然。所以通过计算使学生体会到第一种方法是有限制条件的,必须分子能被除数整除。而第二种方法在一般情况下都可以进行计算,可普遍使用,学生在尝试中经历失败,体会各种方法的优劣,从而进行对比、优化,为达成共识奠定了充分的基础,同时也可提高学生学习效率,促进了学生的发展。
1.完成教材第56页“练一练”第1题。
本题意在借助直观模型进一步理解分数除以整数的意义,巩固分数除以整数的基本方法。
2.完成教材第56页“练一练”第2题。
进一步理解和掌握分数除以整数的意义和算理,练习时,鼓励学生独立完成,交流自己是怎样想的。
3.完成教材第56页“练一练”第3题。
进一步巩固分数除以整数的计算方法,学生独立完成。
4.完成教材第56页“练一练”第4题。
本题是在沟通分数除法与乘法联系中做的变式,主要目的是渗透分数除法与分数乘法的联系,也为后面列方程解决问题做铺垫.
【参考答案】 1.(画一画略)45÷2=45×12=25 45÷5=45×15=425 2.14 2 73 14 2 73 = = = 3.120 239 116 445 4.110 25 116
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了分数除以整数(0除外)的计算方法,分数除以整数(0除外)等于分数乘这个数的倒数。
生2:我知道了分数除以整数的意义与整数除法意义相同,都是已知两个乘数的积和其中一个乘数求另一个乘数的运算。
……
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加深学生的记忆。
作业1
教材第56页“练一练”第5,6题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)710×5=72( )÷( )=( )。
(2)29÷2写成乘法算式是( )。
(3)把1516平均分成3份,求每份是多少,就是求1516的( )是多少。
(4)把45千克的牛奶糖平均分装成2袋,每袋牛奶糖是( )千克。
2.(基础题)找朋友,连一连。
512÷2 411÷6 18÷15
18×115 512×12 411×16
3.(重点题)算一算。
1217÷16 1320÷26 913÷6
【提升培优】
4.(易错题)在○里填上“>”“<”或“=”。
8÷3○8×13 4×512○4
47×34○37 23÷6○49÷6
5.(重点题)一段绳子长1219米,把它平均分成4段,每段长多少米?
6.(重点题)一个三角形的面积是56平方分米,高是5分米,则它的底边长是多少分米?
7.(变式题)甲、乙两个工程队合修一条路,甲工程队单独修了3天完成整条路的25后由乙工程队单独修,乙工程队修了4天完成整条路的35,那么哪个工程队平均每天修得多?
【思维创新】
8.(探究题)在一段长910千米的路上,等距离栽35棵树(两端都栽树),则相邻两棵树之间的距离是多少千米?
【参考答案】
作业1:5.12÷3=16 6.910÷15=350(dm)
作业2:1.(1)72 5 710(答案不唯一) (2)29×12 (3)13 (4)25 2. 3.368 140 326 4.= <= > 5.1219÷4=319(米) 6.13分米 7.25÷3=215 35÷4=320 215<320 乙队平均每天修得多 8.910÷(35-1)=910÷34=910×134=9340(千米)
分数除法(一)
分数除法(一)是北师大版五年级下册第五单元的第一节,这节课的重点是掌握分数除以整数的计算方法及算理。
本节课的着眼点不仅是学生会算,更是通过对意义的理解,让学生深刻认识这样算的道理,突出目标,教学中,我关注学生经历发现数学知识的过程,给予学生提供动手的机会,让学生经历涂一涂、画一画、算一算、说一说的过程,充分借助图形语言,将抽象变为直观,帮助学生体会一个分数除以整数的意义,以及“除以一个整数(0除外),等于乘这个数的倒数”方法的合理性。为学习的可持续发展打下基础。
看到以上这些值得高兴之处的同时,也有一点点遗憾:在学生思考的过程中,没有大胆放开,教学存在一定的局限性。
设计时,注意让学生多思考、多发言、多表态,多讲解,让学生成为课堂学习的主人。
【练一练·56页】
1.(画一画略)45÷2=45×12=25 45÷5=45×15=425 2.14 2 73 14 2 73 = = = 3.120 239 116 445 4.110 25 116 5.12÷3=16 6.910÷15=350(dm) 7.12÷5=110(kg) 110 kg=100 g
工人叔叔5小时加工34个零件,1小时加工多少个零件?
[名师点拨] 由已知条件可知5小时加工零件的总数为34个,要求1小时加工多少个零件,用总数除以5即可。
[解答] 34÷5=34×15=320(个)。
答:1小时加工320个零件。
【知识拓展】 世界上系统叙述分数的最早著作,人们一直认为是公元前1世纪我国的《九章算术》。它给出了相当完整的分数运算法则,基本上和现在的算法一致。但该书介绍分数除法(称之为“经分”)却采用了先将两个分数通分,使分子相除的方法,即:
ab÷cd=adbd÷bcbd=adbc(a,b,c,d均不为0)。
李白诗中的数学故事
李白是我国伟大的诗人,在他的诗中也有与数学有关的问题,一天,李白无事街上走,提着酒壶去买酒,便作诗一首:“遇店加一倍,见花喝一斗。三遇店和花,喝光壶中酒,借问此壶中,原有多少酒?”李白壶中原有多少酒呢?看似比较难,但倒着思考就容易多了:第三次遇见花之前,壶中有酒:0+1=1(斗),第三次遇见店之前,壶中有酒:1÷2=12(斗);第二次遇到花之前,壶中有酒1+12=112(斗),第二次遇见店之前,壶中有酒:112÷2=34(斗);第一次遇到花之前,壶中有酒:1+34=134(斗),第一次遇见店之前,壶中有酒:134÷2=78(斗)。
小恐龙奇奇历险记
小恐龙奇奇在寻找妈妈的途中,经历千辛万苦,一日它在赤角龙的地域内被抓了,它哭着请求赤脚龙放了它,赤角龙冷笑着说:“放了你,没那么容易,如果你能过了‘做难题’这关,就放了你,如果你过不了这关,那么我就吃了你。”聪明勇敢的小恐龙奇奇没有被难关吓倒,它顺利地过了关,又去找妈妈了,那么你能过“做难题”这关吗?这道题是:赤角龙在做一道除法题时,把被除数扩大到原来的5倍后,除以3的结果是160,把除法算式中的被除数求出来,小朋友千万不能输呀!
【参考答案】 1100
2 分数除法(二)
分数除法(二)是第五单元中的第二节,进一步理解分数除法的意义,探索一般的分数除法的计算方法是本节课的主要内容。同时,它也是分数除法中的重点和难点。为此,教材在编写中依然利用直观模型帮助学生学习这部分知识,设计了三个问题和“试一试”。其中,第一个问题是结合分饼的活动,探索一个数除以一个不为零的数(除数是非零整数和分数两种形式)的计算方法;第二个问题是借助长方形的面积模型,强化学生对一般的分数除法算理的理解;第三个问题是反思分数除法计算需要关注的方面。
“试一试”中第一个问题是探索除数大于、小于或等于1时,商与被除数的关系,第二个问题是进一步领悟上一个问题中所发现的规律及其应用。
1.借助实际操作和模型,进一步理解分数除法的意义和除法的基本算理。
2.掌握一般的分数除法的计算方法,并能正确计算。
【重点】 掌握一个数除以分数的计算方法。
【难点】 理解一个数除以分数的算理。
第课时 除数是分数的除法
1.掌握一个数除以分数的计算方法,并能正确计算。
2.借助实际操作和图形语言,理解一个数除以分数的意义和基本算理。
3.培养学生归纳推理的能力。
【重点】 进一步理解分数除法的意义,掌握一个数除以分数的计算方法,并能正确计算。
【难点】 用分数除法的计算方法解决实际问题。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 圆形纸片,练习本。
计算下面各题。
79÷8= 710×107=
【参考答案】 772 1
方法一:创设情景、引入新课
师:“六一”儿童节那天,淘气的班级举行了联欢活动,淘气从家带来了4张同样大的饼,打算和同学们一起分享。
PPT课件出示:
师:淘气想“如果每2张1份,可以分给几个同学呢?”同学们,你们能帮助他吗?
预设 生:我们可以用4÷2=2(个),可以分给两个同学。
师:“如果每1张1份,可以分给几个同学呢?”
预设 生:4÷1=4(个),可以分给4个同学,每人一张。
师:一人2张,只能分给2个同学,一人1张,也只能分给4个同学,一人12张呢?
板书课题:除数是分数的除法。
[设计意图] 让学生对除法有更深入的认识,总量相同,每份数越少,份数就越多。
方法二:复习导入、引入新知
师:同学们,我们已经学习了分数除以整数的计算方法,下面这几道题你们能正确计算吗?请看大屏幕。
PPT课件出示:
37÷3= 56÷4=
49÷6= 611÷2=
师:说一说,你们是如何计算分数除以整数的?
预设 生:分数除以整数,等于分数乘这个整数的倒数。
师:同学们,我们已经学习了分数除法中的分数除以整数,今天我们继续学习分数除法,学习一个数除以分数。
板书课题:除数是分数的除法。
[设计意图] 通过复习导入新知,开门见山地提出学习内容和学习方法,简洁明了,直奔主题。
方法三:谈话导入新知
师:同学们,你们喜欢布艺手工吗?你们会做什么呀?
(学生畅所欲言,然后教师出示有关布艺图片)
PPT课件出示:
师:这是兴趣小组用2米布做的简易背包,一个小的需要13米布,一个大的需要23米布。
师:通过信息,你们可以提出什么问题?
预设 生1:2米布可以做多少个小的简易背包?
生2:2米布可以做多少个大的简易背包?
师:你能列出算式吗?
预设 生:求小的简易背包个数:2÷13;求大的简易背包个数:2÷23。
师:观察这两个算式,与我们前面学习的分数除法有什么不同?
预设 生:我们前面学习的分数除法除数是整数,而这两道除法算式,除数是分数。
师:今天我们就来学习这样的知识,除数是分数的分数除法。
板书课题:除数是分数的除法。
[设计意图] 通过谈话引出问题,从中发现问题,可以激发学生尝试解决问题、探究真理的欲望。
一、分一分
师:(针对方法一)同学们,你们是怎样帮助淘气分饼的,让更多的同学尝到淘气妈妈做的饼了吗?
(汇报探究结果)
师:你们是怎样分的?是平均分吗?
(学生展示分法,分法很多,自由发挥)
师:同学们真聪明,想到了这么多的方法,现在老师给你们提出一个定向要求,我们试着将每12张为一份,可以分成多少份?应该怎样解释?
预设生:4÷12。
教师板书:4÷12。
师:4÷12等于多少呢?
预设 生:老师,4÷12=8。
师:你们同意这个观点吗?通过前面的学习我们已经知道了,一个理论的成立需要科学的论证,下面请同学们先借助圆形纸片来分一分,验证一下4÷12=8这个结论正确吗?
(学生动手操作,用事实验证结论)
学生成果展示:
预设 生1:我把每一张饼都平均分成2份,1份1份地数,正好是8份。
2+2+2+2 =8
生2:每12张为一份,每一张都可以平均分成2份,那么就可以分成4×2=8(份)。
师:现在你们同意刚才同学提出来的观点吗?
预设 生:(齐答)同意。
师:(要求前面提出等于8的同学回答)你为什么这么快就回答出4÷12=8呢?你的根据是什么?
预设 生:根据上节课学习的分数除以整数的计算方法,除以一个数等于乘这个数的倒数,4÷12中的12的倒数是2,所以4÷12=4×2=8。
教师板书:4÷12=4×2=8。
[设计意图] 通过整数除法的铺垫,有效地把整数除法中的数量关系迁移到分数除法中,让学生正确列出分数除法算式,再通过多媒体演示,建立4÷12和4×2之间的联系,从而获得一定的猜想。
师:(老师自做糊涂)哦,老师有些明白了!如果还想分的份数更多呢?比如每13张为一份,每14张为一份呢?
师:请同学们用圆形纸片再分一分,算一算,每13张为一份,可以分成多少份呢?每14张为一份,可以分成多少份呢?
(学生动手实践,并列式计算)
预设 生1:如果把每张饼的13张为一份,4张饼就可以分成4÷13份,所以列式是4÷13。
师:你们同意吗?
预设 生:(齐答)同意。
师:你继续说。
预设 生1:我用4个圆形纸片,代替4张饼,把每张平均分成3份,4张饼一共分成了4×3=12(份),所以4÷13=12。
教师板书:4÷13=4×3=12。
生2:把每张饼的14张为一份,4张饼就可以分成4÷14份,所以列式是4÷14。通过摆一摆,算一算(如图),得到4÷14=4×4=16。
教师板书:4÷14=4×4=16。
师:同学们,你们能利用长方形的面积解释一下吗?
PPT课件出示教材问题:
淘气利用长方形的面积解释“除以一个不为零的数,等于乘这个数的倒数”,你能看懂吗?想一想,接着填下去。
图形
面积
宽
长
算式
13
1
13
3
1÷13=3
13
2
13
2×3
2÷13=2×3
13
3
13
13
4
13
师:同学们,观察屏幕表格中的数据,这些数据有什么特点?你能把它填完整吗?你们一定行,试试吧!
(学生思考,讨论)
学生成果展示:
图形
面
积
宽
长
算式
13
1
13
3
1÷13=3
13
2
13
2×3
2÷13=2×3
13
3
13
(3×3)
3÷13=3×3
13
4
13
(4×3)
4÷13=4×3
师:结合你们刚才探索的过程,你们发现了什么?
预设 生1:除以一个不为零的数,等于乘这个数的倒数。
生2:一个数除以分数,等于这个数乘这个分数的倒数。
教师板书:一个数除以分数,等于这个数乘这个分数的倒数。
[设计意图] 通过长方形的面积,使学生进一步体会分数除法的计算方法,加深学生对计算方法“除以一个不为零的数,等于乘这个数的倒数”的认识。
二、算一算、说一说
师:同学们,你们听懂了吗?老师想考考你们,请看大屏幕,你们试着独立完成这次任务吧!
PPT课件出示:
算一算,说一说进行分数除法计算时要注意些什么。
5÷16 34÷58 512÷3
学生计算,然后全班交流。
师:在计算时,我们应该注意什么?(学生的关注方面比较零碎,如果学生的回答没有呈现出教材中的注意事项,教师要引导学生阅读教材)
预设 生1:不要抄错数,不要写错运算符号。
生2:……
师:打开教材,阅读教材第57页下面的内容,你有什么感受?
预设 生1:计算时要根据计算方法计算,结果能约分的要化成最简分数。
生2:在做题的过程中,能约分的也可以先约分。
[设计意图] 通过刚才的“分一分”和“画一画”,学生已经认识到,可以用乘法计算分数除法,而通过这些提示学生更加确定“除以一个不为零的数,等于乘这个数的倒数”。
1.完成教材第58页“练一练”第1题。
目的是引导学生利用图示分析数量关系,进一步体会分数除法的意义和算法,体现数形结合的思想,练习时,教师一定要给出充分的时间让学生去画图和观察图,分析图中反映的数量关系。
2.完成教材第58页“练一练”第3题。
巩固一个数除以分数(整数)的计算方法。
【参考答案】 1.(1)4 (2)6 (3)3 2.103 23 23 2549
这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了整数除以分数,可以转化为整数乘分数的倒数来计算。
生2:我知道了一个数除以分数,等于这个数乘分数的倒数,用公式表示:一个数÷分子分母=一个数×分母分子。
生3:老师,我还知道除以一个不为零的数,等于乘这个数的倒数,结果能约分的要约分。
……
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加强学生对一个数除以分数的计算方法的记忆,从而更加灵活地运用计算方法计算分数除法。
作业1
教材第63页“练习五”第3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)23÷815=23×( )=( )。
(2)18×( )=15,( )千克的310是30千克。
(3)有一根长5米的绳子,每段截成15米,可以截成( )段;如果把它平均截成10段,每段长( )米。
2.(易错题)在○里填上“>”“<”或“=”。
56÷5○56 34÷23○34
12÷45○12×45 512÷1○512×1
3.(重点题)算一算。
23÷34 56÷16 920÷23
【提升培优】
4.(情景题)一条水渠长45千米,每天修110千米,多少天可以修完?
5.(重点题)糖果厂要把2000千克糖用袋装起来,每袋装45千克,能装多少袋?
6.(难点题)小明看一本书,每天看这本书的524,多少天可以看完?
【思维创新】
7.(探究题)有一批蔬菜重6吨,王师傅用汽车把它们运往某市场,56小时运了这批蔬菜的23,平均每小时运蔬菜多少吨?
【参考答案】
作业1:3.6÷23=9(份)
作业2:1.(1)158 54 (2)120 100 (3)25 12 2.< > > = 3.89 5 2740 4.45÷110=8(天) 5.2000÷45=2500(袋) 6.1÷524=245(天)7.23÷56=45 6×45=245(吨)
除数是分数的除法
4÷12=4×2=8 4÷13=4×3=12 4÷14=4×4=16
一个数除以分数,等于这个数乘这个分数的倒数。
探索计算的算理是教学的根本,学生能根据计算法则进行计算,但是问他们为什么可以这样算时,很多同学都答不上来,这就产生了探究算理的内因。在探讨的过程中,学生必然要用到已有的知识来分析新知,或是根据教师的演示来进行推理,这时教师就可以及时地培养学生分析推理能力,特别是理解除法非常必要。
看到以上这些值得高兴之处的同时,也有一点点遗憾:时间仓促,学生练习得较少。
设计时要注意给予学生多一点的时间,巩固所学新知,通过练习加深学生对知识的理解和掌握,使学生做到学有所用。
工人叔叔34小时加工5个零件,1小时加工多少个零件?
[名师点拨] 由已知条件可知34小时加工零件的总数为5个,要求1小时加工多少个零件,用总数除以34即可。
[解答] 5÷34=5×43=203(个)。
答:1小时加工203个零件。
【知识拓展】 列式解决分数除法的实际问题,需要逆向思考,即从“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的角度去理解数量关系和算理。
古算趣题
“远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增。共灯三百八十一,请问尖头几盏灯。”(提示:把底层的灯数看作1,那么从第二层起,各层的灯数依次为底层灯数的12,14,18,116,132,164,共有381盏灯就应该相当于底层灯数的1+12+14+18+116+132+164=12764,所以底层灯数为381÷12764=192(盏),所以塔尖应该有192×164=3盏灯。)
华罗庚
华罗庚(1910~1985),国际数学大师、中国科学院院士,是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自安函数论等多方面研究的创始人和开拓者,“中国解析数论学派”创始人。他为中国数学的发展作出了无与伦比的贡献。被誉为“中国现代数学之父”,被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一。美国著名数学家史贝特曼著文称:“华罗庚是中国的爱因斯坦,足够成为全世界所有著名科学院的院士”。
1910年11月12日,华罗庚出生于江苏省金坛县一个小商人家庭,父亲华瑞栋,开一间小杂货铺,母亲是一位贤惠的家庭妇女。华罗庚出生时,父亲已经40岁。40岁得子,夫妻俩把儿子看成掌上明珠,为了给儿子祝福,一生下来就用两个箩筐扣住了他,华罗庚因此得名。
他12岁进入金坛县立初级中学学习,初一之后,便深深爱上了数学。一天,老师出了道“物不知其数”的算题。老师说,这是《孙子算经》中一道有名的算题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”“23!”老师的话音刚落,华罗庚的答案就脱口而出。当时的华罗庚并未学过《孙子算经》,他是用如下妙法思考的:“三三数之剩二,七七数之剩二,余数都是二,此数可能是3×7+2=23,用5除之恰余3,所以23就是所求之数。”
第课时 分数除法中商与被除数的大小关系
1.进一步理解一个数除以分数的意义和基本算理。
2.理解分数除法中商与被除数的关系。
3.培养学生归纳推理的能力。
【重点】 进一步理解分数除法的意义,掌握一个数除以分数的计算方法,并能正确计算。
【难点】 分数除法中商与被除数关系的理解。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 练习本。
计算下面各题。
79÷8= 710×7=
【参考答案】 772 4910
方法一:铺垫引入,旧知衔接,巧设疑问
(出示PPT课件)在下面的中填入“>”“<”或“=”。
(1)2.4×1.22.4。
(2)1.38×11.38。
(3)1.89×0.91.89。
(4)0×2.60。
师:请同学们按要求填写。
预设 生1:2.4×1.2>2.4。
生2:1.38×1=1.38。
生3:1.89×0.9<1.89。
生4:0×2.6=0。
师:刚才同学们填写的是因数与积的大小规律,那么除法中是否也有类似的规律呢?今天我们就来学习分数除法中商与被除数的大小关系。
板书课题:分数除法中商与被除数的大小关系。
[设计意图] 通过旧知衔接,巧妙地设置疑问,导入新课。
方法二:问题引入
师:在a÷b=c(b≠0)中,你认为是a比c大,还是c比a大呢?
师:今天我们就来研究分数除法中这样的问题。
板书课题:分数除法中商与被除数的大小关系。
[设计意图] 利用学过的被除数、除数、商之间的关系设置问题,引入新课。
方法三:设置情景,导入新课
师:同学们,我们已经学习了分数除法,那么你们知道分数除法中商与被除数的大小关系吗?
预设 生:不知道。
师:下面我们就来研究分数除法中商与被除数的大小关系。
板书课题:分数除法中商与被除数的大小关系。
[设计意图] 根据学过的分数除法引入课题。
师:下面请同学们计算下列各题,把得数大于6的算式圈起来,你发现了什么?
(教师出示PPT课件)
计算下列各题,把得数大于6的算式圈起来,你发现了什么?与同伴交流。
6÷35 6÷34 6÷1
6÷32 6÷53
(学生独立计算后回答问题)
预设 生1:6÷35=10。
生2:6÷34=8。
生3:6÷1=6。
生4:6÷32=4。
生5:6÷53=185。
师:你从中发现了什么?
预设 生1:6÷35=10。除数<1,商>被除数。(教师板书)
生2:6÷34=8。除数<1,商>被除数。(教师板书)
生3:6÷1=6。除数=1,商=被除数。(教师板书)
生4:6÷32=4。除数>1,商<被除数。(教师板书)
生5:6÷53=185。除数>1,商<被除数。(教师板书)
师:说得非常好,下面请同学们按要求填空。
(出示PPT课件)
在○里填上“>”“<”或“=”,说一说你是怎么想的。
811÷2○811 811÷1○811
811÷12○811 14÷3○14×3
25÷2○25×12 712÷17○712×17
预设 生1:811÷2<811。
生2:811÷1=811。
生3:811÷12>811。
生4:14÷3<14×3。
生5:25÷2=25×12。
生6:712÷17>712×17。
师:通过计算,你发现了什么?
预设 生:一个数除以小于1的数(0除外),商比被除数大。一个数除以1,商与被除数相等。一个数除以大于1的数,商比被除数小。(教师板书)
[设计意图] 通过计算,引导学生发现规律。
1.完成教材第59页“练一练”第4题。
2.完成教材第59页“练一练”第5题。
【参考答案】 1.得数小于5的算式:5÷54 5÷10099 2.< < > >
这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生:通过这节课的学习,我们发现了分数除法中商与被除数的大小关系。
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加强学生对分数除法中商与被除数的大小关系的理解。
作业1
教材第58页“练一练”第9题。
作业2
【基础巩固】
1.(重点题)除以一个数(0除外)等于乘这个数的( )。
【提升培优】
2.(难点题)下列各式中,结果大于78的是( )。
A.78×12 B.78÷12 C.78÷2
【思维创新】
3.(易错题)在( )里填上“>”“<”或“=”。
4÷12( )4 23÷65( )23
37×12( )37
【参考答案】
作业1:9.3÷14=12(杯)
作业2:1.倒数 2.B 3.> < <
分数除法中商与被除数的大小关系
6÷35=10。除数<1,商>被除数。6÷34=8。除数<1,商>被除数。
6÷1=6。除数=1,商=被除数。6÷32=4。除数>1,商<被除数。
6÷53=185。除数>1,商<被除数。
一个数除以小于1的数(0除外),商比被除数大。一个数除以1,商与被除数相等。一个数除以大于1的数,商比被除数小。
分数除法中商与被除数的大小关系是分数知识的一个重要、基础的知识点,所以在计算中重点引导学生通过计算发现问题、解决问题,从而总结出发现的规律。
多给学生出示一些练习题。
设计时分析学生的不同情况,多涉及一些有关的练习题。
【练一练·58页】
1.(1)4 (2)6 (3)3 3.103 23 23 2549 4.得数小于5的算式:5÷54 5÷10099 5.< < > > 6.(1)20÷25=50(天) (2)12÷67=14(天) 7.22 103 13 36 136 4 8.x=25 x=20 x=30 x=58 9.3÷14=12(杯) 10.2 4 8
比较大小,在( )里填“>”“<”或“=”。
13÷35( )13 54÷2( )54
[名师点拨] 根据除数大于1、等于1或小于1判断。
[解答] > <
除法的秘诀
(1)若一个数的各位上的数字之和是3(或9)的倍数,那么这个数就能被3(或9)整除;
(2)若一个数的末尾两位数是4(或25)的倍数,那么这个数就能被4(或25)整除;
(3)若一个数的末尾三位数是8的倍数,那么这个数就能被8整除;
(4)把一个数的偶数位上的数字相加,奇数位上的数字相加,再求这两个和数的差。如果这个差是11的倍数或是0,那么原数能被11整除;否则不能。
(5)把一个数舍去其末位数字,再从留下来的数中减去所舍数字的2倍,这样一次一次地减下去。如果最后得到的数是7的倍数或0,那么原数能被7整除;否则不能。
例如:判断1344能否被7整除;
舍去末位数字“4”:1344→134,
减去所舍数的2倍:134-2×4=126,
再舍去末位数字“6”:126→12,
再减去所舍数的2倍:12-6×2=0,
所以1344能被7整除。
有关小数除法的童话故事
从前,有一座美丽的大森林,森林里住着许多动物。一天,小猴和好朋友们到城里的动物园走亲戚,打算住一晚上。谁知动物们刚走,森林里就来了一大群人,把树全部砍光了。第二天,动物们回来了,看到一棵树也没有了,到处光秃秃的,都非常惊讶。小猴说:“天呀!是谁毁坏了我们的大家园?”小动物们没有了家:小鸟没了树就不能垒巢,不能休息;小猴没了树,就不能玩耍;长颈鹿没了树,就不能吃饭……树是它们生存的梁柱,没有了树,小动物们就不能生存。“肯定都是那可恶的人类!”小猴气愤地说。长颈鹿含着痛苦的泪水说:“知道又有什么用呢?我们又斗不过人类。”动物们号啕大哭。它们无家可归了!过了一段日子,这座森林里的动物渐渐地灭绝了。一个阳光灿烂的下午,四周一片寂静,小草和大树聊起了天,它们的话题是环保。小草先说了起来:“现在人们不重视环保,我们周围都是垃圾,真臭!”大树说:“是的,还有工厂里排出来的污水流到哪里,哪里就遭殃,流到小河里,小河里的鱼全都死了。”小草又说:“现在亡羊补牢还来得及,可人们就是不重视。”大树说:“你可别说所有的人,有些小学生挺注重环保的,有空的时候抓紧时间捡垃圾,倒是有些大人,乱扔垃圾。”小草说:“那我们得感谢那些小学生了!”大树说:“破坏森林是不折不扣的自杀行为,这个道理连小学生都知道,为什么大人却不知道呢?他们这样做是不对的。树木砍太多会下暴雨,会引发泥石流。”“还有呀,泥沙会随心所欲地流入河流,使它决口、改道,都是人们不保护环境,乱砍树木造成的。人类贪小便宜,却忘了这样会引发自然灾害。”“我们虽然不能告诉人们这样做不对,但是我相信,那些小学生长大了一定会把环境治理得井井有条,让草木自由地生长,让河流顺畅地奔腾。”小草说:“我期待着这一天。”
关于除法的趣味儿歌
一、数的整除的意义。
数的整除要记住,除式各项都要是整数。
但是除数不等于0,商是整数无余。
a÷b时可以说,数b能够整除a,数a能被b整除。
a是数b的倍数,b是数a的约数。
如果要是求约数,就去除以自然数,
如果要是求倍数,就去乘自然数。
二、能被2,5,3整除的数。
个位是0和5,一定能被5整除。
个位是2,4,6,8,0,一定能被2整除。
各个数位数字和,如果要是3的倍数,一定能被3整除。
3 分数除法(三)
分数除法(三)是第五单元中的第三节,分数除法应用问题历来是教学中的难点,尤其是分数乘法与分数除法混编时,学生难以判断是用乘法还是用除法解答,为了突破这个难点,教材鼓励学生用方程解决简单的分数除法问题。为此,教材借助操场上的活动,为学生创设问题情景,设计了三个问题和“试一试”。其中,第一个问题借助模型分析数量关系;第二个问题是找等量关系;第三个问题是列方程解决问题。“试一试”中第一个问题是根据信息写出等量关系;第二个问题是用方程解决问题。
1.能用方程解决简单的有关分数的实际问题,初步体会方程是解决实际问题的模型。
2.会分析简单实际问题中的数量关系,能找出题目中的等量关系。
3.在解方程过程中,巩固分数除法的计算方法。
【重点】 会用方程解答“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的实际问题。
【难点】 分数乘、除法之间的关系。
第课时 用方程解决简单的有关分数的实际问题
1.能用方程解决简单的有关分数的实际问题。
2.在解方程中,巩固分数除法的计算方法。
3.感受数学思考过程的条理性,体会数学知识的逻辑之美,激发学生的学习兴趣。
【重点】 运用分数除法知识解决简单的实际问题。
【难点】 运用分数除法的计算方法解决实际问题。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 练习本。
计算下面各题。
17÷25= 9÷78= 67÷45=
【参考答案】 514 727 1514
方法一:创设情景、引入新课
师:同学们,课间10分钟操场上十分热闹,同学们在做着各种各样的体育活动,他们玩得多开心呀!你们看……
PPT课件出示教材情景图:
师:同学们,你从图片中发现了哪些数学信息?
预设 生:老师,有6名同学在跳绳,是操场上参加活动的总人数的29。
师:同学们观察得真仔细,这些数量关系之间又有怎样的关系呢!今天我们的学习之旅就从这里开始。
板书课题:用方程解决简单的有关分数的实际问题。
[设计意图] 通过让学生根据情景图提取数学信息,将复杂的分数问题生活化、简单化,可以激发学生的学习兴趣和探究欲望。
方法二:复习导入、引入新知
师:同学们请看大屏幕,仔细阅读,你能用所学知识完成这次任务吗?
PPT课件出示:
1.说出下面的等量关系。
(1)书的价钱是钢笔价钱的25。
(2)一种书包打九折出售。
(3)跳绳人数是操场上人数的29。
2.解方程。
8x=14。 58x=23。
【参考答案】 1.钢笔价钱×25=书的价钱;原价×910=现价;操场上人数×29=跳绳人数。2.132 1615
PPT课件继续出示:
师:同学们获得了什么信息,你有什么想法?
(学生发表意见)
[设计意图] 学生的回答正好验证了学生在预习时已经解决了分数除法的应用问题,为后面进一步学习埋下了伏笔。
一、观察图片信息,提出问题
师:同学们,通过刚才的观察,你能提出什么问题?
(如果学生不能准确提出问题,可以做以下引导)
师:你们知道跳绳的同学有多少人吗?
预设 生:(齐答)跳绳的同学共有6人。
师:那你们知道操场上一共有多少人吗?
预设 生1:老师,我数了一下,操场上一共有19人。
生2:我认为不够准确,操场上不一定是19人,这只是操场的一角,不能够确定整个操场上的人数。
……
师:说得真好,是啊!我们怎样才能知道操场上一共有多少人呢?操场上有多少人与我们知道的哪个数量有关系呢?
预设 生:与跳绳的人数有关系。
师:那你能具体说一说操场上有多少人与跳绳的人数有怎样的数量关系吗?
预设 生:跳绳的有6人,是总人数的29。
[设计意图] 充分利用情景图,鼓励学生根据信息大胆提出数学问题,使学生思维活跃,热情高涨。
二、自主探究,找出等量关系
师:“有6名同学在跳绳,是操场上参加活动总人数的29”,怎样理解这句话?
(学生独立思考,然后小组讨论)
预设 生:把操场上参加活动的总人数看作单位“1”,平均分成9份,跳绳的同学占2份,也就是6名同学占9份中的2份。
师:你想怎样解决这个问题?和同桌讨论一下,老师相信你们一定能解决这个问题。
(学生讨论解决的方法)
师:同学们,谁能说一说你是怎样解决这道题的?
成果展示:
预设 生1:我用画图的方法解决问题。操场上同学总共是9份,而2份为6人,8份就应该有6×4=24(人),1份就应该有6÷2=3(人)。操场上一共有24+3=27(人)。
生2:老师,我用的是算术方法,用6÷29=27(人),可是我说不出道理来。
师:你的方法真有创意,还有谁的方法跟他一样?
预设 生1:我也是这样做的,是昨天在预习的时候爸爸教我的。
生2:我也是这样做的,已知这两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算是除法,这是除法的定义。
师:这种方法非常正确,可是解释起来却很难,现在我们用线段图把它表示出来。
PPT课件出示:
师:观察线段图,已知一个数的几分之几是多少,求这个数,用除法。在解决这类问题时,我们提倡用方程来解。
[设计意图] 从学生的不同提问中,启发学生从不同角度去阐述自己解题的策略,最后把分数乘法的应用与分数除法的应用对比,这样不仅使学生沟通了新旧知识之间的联系,也体验了解决问题策略的多样性。
师:有6名同学在跳绳,是操场上参加活动总人数的29,同学们,你们可以表示题中的等量关系吗?
预设 生1:参加活动总人数×29=6。
生2:参加活动总人数×29=跳绳的人数。
教师板书:参加活动总人数×29=跳绳的人数。
[设计意图] 学生根据分数乘法中,“求一个数的几分之几是多少,用乘法计算”的思路写出等量关系,为下面的学习理清思路。
三、列方程解决问题
(学生先自己解决,再小组讨论汇报)
师:在“参加活动总人数×29=跳绳的人数”关系式中,参加活动的总人数知道吗?
预设 生:(齐答)不知道。
师:我们可以用一个什么字母来表示这个量?
预设 生:用未知数x表示。
师:你们可以列出方程,并且解方程吗?
预设 生:通过已知条件“有6名同学在跳绳,是操场上参加活动总人数的29”,再根据“参加活动总人数×29=跳绳的人数”这个等式,列出方程,并解方程。
教师根据学生的回答板书:
解:设操场上有x人参加活动。
29x=6
29x÷29=6÷29
x=27
答:操场上有27人参加活动。
师:谁能说一说用方程解决问题的一般步骤?
预设 生:首先找出等量关系,设未知数x,然后根据等量关系列出方程,最后解方程。
教师板书:找出等量关系,设出未知数x,列出方程,解方程。
师:为了帮助学生记忆用方程解决实际问题的方法,老师教大家一首儿歌。
分数应用不算难,掌握方法是关键;
是占比与相当于,后面数量看作“1”;
知一求几用乘法,知几求一用方程。
[设计意图] 通过利用方程解决问题,使学生发现用方程解决问题要弄清楚等量关系,从而知道解决分数应用题的窍门,就是弄清哪个数量是哪个数量的几分之几。
师:同学们,今天我们用方程解答了有关分数的实际问题,你们能根据下面的方程编出相应的应用题吗?
29x=30
[设计意图] 让学生根据方程编应用题,提高学生运用知识的能力,培养学生的想象力和创造力。
1.完成教材第61页“练一练”第1题。
解决问题的关键是找等量关系,练习时,引导学生弄清“八折”的意思,然后找出等量关系,最后列出方程解决问题。
2.完成教材第61页“练一练”第2题。
目的是培养学生解决实际问题的能力,在解决问题时,鼓励学生列方程解决问题,对有兴趣的同学,尝试让他们用算术方法解决,但不做统一要求。
3.完成教材第61页“练一练”第3题。
进一步巩固解方程的方法,练习时,学生独立完成后全班交流。交流时,注意步骤和方法,同时要注意对有困难的学生的指导。
【参考答案】 1.(1)(2)原价×810=现价 (3)解:设原价是x元。 810x=56 x=70 2.(1)解:设妈妈的身高为x cm。1516x=150 x=160 (2)解:设爸爸的身高为y cm。 89y=160 y=180 3.x=35 x=163 x=215 x=114 x=9 x=83
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了对于这类问题的解题方法,首先要找出单位“1”的量,设为x,然后找出题中的等量关系,再根据等量关系列出方程并正确解方程。
生2:通过列方程解决实际问题,根据等量关系,解题思路更加清晰。
……
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加强学生对列方程解决问题的方法的掌握。
作业1
教材第63页“练习五”第8题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)根据条件填写数量关系式。
(1)桃树棵数的27是梨树的棵数。
( )×27=( )。
(2)女生人数的45与男生人数的56相等。
( )×45=( )×56。
(3)纯牛奶的箱数是酸奶的箱数的310。
( )=( )×310。
(4)一本书小红看了34,正好看了57页,这本书有多少页?
( )×34=( )。
2.(基础题)列方程并解答。
3.(重点题)一辆汽车从甲地到乙地行驶了全程的37,共行驶240千米,全程共多少千米?
【提升培优】
4.(情景题)长百大楼举行国庆大酬宾,所有商品一律八折销售。请填入下列商品的原价。
商品
现价
8元
24元
6.4元
原价
5.(难点题)同学们为灾区小朋友献爱心,一共献了120本漫画书,占全部图书的25。
(1)同学们一共献了多少本图书?
(2)科普书占全部图书的310,科普书有多少本?
6.(重点题)吉祥家电城现有液晶电视260台,是现有笔记本电脑台数的1317。现有笔记本电脑多少台?
【思维创新】
7.(探究题)有一个两位数,十位上的数是个位上的数的23。十位上的数加2,就与个位上的数相等。这个两位数是多少?
【参考答案】
作业1:8.x=6 x=81 x=20 x=32 x=19 x=214
作业2:1.(1)桃树的棵数 梨树的棵数 (2)女生人数 男生人数 (3)纯牛奶的箱数 酸奶的箱数 (4)这本书的总页数 57 2.x×67=30 x=35 3.解:设全程共x千米。37x=240 x=5604.
原价
10元
30元
8元
5.(1)解:设同学们一共献了x本图书。25x=120 x=300 (2)300×310=90(本) 6.解:设现有笔记本电脑x台。x×1317=260 x=340 7.46
用方程解决简单的有关分数的实际问题
参加活动总人数×29=跳绳的人数
解:设操场上有x人参加活动。
29x=629x÷29=6÷29x=27
答:操场上有27人参加活动。
找出等量关系,设出未知数x,列出方程,解方程。
分数除法应用问题是小学数学教学的一个难点,在本节课的设计中,通过“先学后教,当堂训练”的课堂教学模式,把预习前移,使学生带着明确的目的与任务进行预习,学生在预习中基本掌握了新课内容,为高效率的学习奠定了基础。
在教学设计过程中,注重用“自主、合作、探究”的教学模式,有意识地把所有信息设计成开放式,让学生根据信息大胆找到关系,提出问题,把分数除法应用题及分数乘法应用题结合起来,让学生通过讨论、交流等活动,亲自感受它们之间的不同,挖掘它们之间的内在联系与区别,增强学生分析问题、解决问题的能力。在教学过程中,鼓励学生独立解决问题,这样使学生思之有法,学之有据,养成良好的学习习惯。
看到以上这些值得高兴之处的同时,也有一点点遗憾:时间紧,任务重。
设计时要注意给予学生多一点的时间,巩固所学新知,通过练习加深学生对知识的理解和掌握,使学生做到学有所用。
杨树有30棵,杨树的棵数相当于松树的34,松树有多少棵?
[名师点拨] 本题可根据等量关系:松树的棵数×34=杨树的棵数,列方程求解。
[解答] 设松树有x棵。
34x=30x=30÷34x=30×43x=40
答:松树有40棵。
【知识拓展】 列式解决分数除法的实际问题,需要逆向思考,即从“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的角度去理解数量关系和算理。列方程解决分数除法的实际问题只要依据分数乘法的意义思考,就能找到等量关系列出方程,用方程解决问题易于理解。
数字“0”
大约1500年前,欧洲的数学家们是不知道用“0”的。他们使用罗马数字。罗马数字是用几个表示数的符号,按照一定规则,把它们组合起来表示不同的数目。在这种数字的运用里,不需要“0”这个数字。
而在当时,罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号。他发现,有了“0”,进行数学运算方便极了,他非常高兴,还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍。过了一段时间,这件事被当时的罗马教皇知道了。当时是欧洲的中世纪,教会的势力非常大,罗马教皇的权利更是远远超过皇帝。教皇非常恼怒,他斥责说,神圣的数是上帝创造的,在上帝创造的数里没有“0”这个怪物,如今谁要把它给引进来,谁就是亵渎上帝!于是,教皇就下令,把这位学者抓了起来,并对他施加了酷刑,用夹子把他的十个手指头紧紧夹住,使他两手残废,让他再也不能握笔写字。就这样,“0”被那个愚昧、残忍的罗马教皇明令禁止了。
但是,虽然“0”被禁止使用,然而罗马的数学家们还是不管禁令,在数学的研究中仍然秘密地使用“0”,仍然用“0”做出了很多数学上的贡献。后来“0”终于在欧洲被广泛使用,而罗马数字却逐渐被淘汰了。
数学天才高斯小时候的故事
高斯念小学的时候,有一次在老师教完加法后,因为老师想要休息,所以便出了一道题目要同学们算算看,题目是:1+2+3+…+97+98+99+100=?老师心里正想,这下子小朋友们一定要算到下课了吧!正要借口出去时,却被高斯叫住了!原来,高斯已经算出来了,小朋友,你知道他是如何算的吗?
高斯告诉大家他是如何算出的:把1加至100与100加至1排成两排相加,也就是:
1+2+3+4+…+96+97+98+99+100
+100+99+98+97+96+…+4+3+2+1
=101+101+101+…+101+101+101+101
共有一百个101相加,但算式重复了两次,所以把10100除以2便得到答案:5050,从此以后,高斯小学的学习过程早已经超越了其他同学,也因此奠定了他以后的数学基础。
更让他成为数学天才!
第课时 分数除法的实际应用
1.能用方程解决简单的有关分数的实际问题,初步体会方程是解决实际问题的模型。
2.进一步体会解决简单实际问题的关键是找出数量关系。
3.在解方程过程中,巩固分数除法的计算方法,掌握用方程解决实际问题的步骤。
【重点】 进一步理解用方程解决实际问题的方法,并能正确计算。
【难点】 找出等量关系,列出方程并正确计算。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 练习本。
甲数是乙数的57,甲数是25,求乙数是多少。(用方程解答)
【参考答案】 解:设乙数是x。57x=25 x=35
方法一:创设情景,导入新知
师:(教师手拿两瓶果汁)现在老师准备了两瓶果汁,大家先估计一下,大瓶和小瓶的果汁有什么关系?
(学生随意说,教师聆听)
师:如果老师告诉你:“小瓶果汁是大瓶的12。”谁来说一说,这句话怎么理解?把谁看作单位“1”?
预设 生:小瓶果汁是大瓶的12,是把大瓶果汁看作单位“1”,大瓶果汁的12是小瓶果汁的量。
师:根据这句话,谁来说一说数量间的等量关系是怎样的?
预设 生:大瓶果汁×12=小瓶的果汁。
师:如果告诉你大瓶果汁有900毫升,小瓶果汁有多少毫升?
PPT课件出示:
一大瓶果汁有900毫升,小瓶果汁是大瓶的12。一小瓶果汁有多少毫升?
(学生列式解答)
PPT课件出示:
900×12=450(毫升)
答:小瓶果汁有450毫升。
师:列这个算式的依据是什么?
预设 生1:求小瓶果汁有多少毫升,就是求大瓶果汁的12是多少,那就是求900毫升的12是多少,算式是900×12。
生2:根据“大瓶果汁的12是小瓶果汁”这句话可以看出把大瓶果汁的量看作单位“1”,用大瓶的果汁量×12=小瓶的果汁,大瓶果汁量已经告诉我们是900毫升,用900×12就得到了小瓶果汁量。
师:同学们都能够很熟练地解答这类题目,用什么方法解决?
预设 生:“求一个数的几分之几是多少”,用乘法计算。
师:今天我们就利用这样的知识,来解决生活中的实际问题。
板书课题:分数除法的实际应用。
[设计意图] 用方程解决分数除法的简单实际应用题的学习难度并不高,但很重要,起到了一个承上启下的作用。它是在以前学习“求一个数的几分之几是多少”的基础上的发展与应用,因此通过复习不仅有利于学生进一步体会分数乘、除法的内在联系,而且有利于学生进一步感受方程的思想方法。起到加深学生掌握数量关系,熟练解答“求一个数的几分之几是多少”的习题,为下面的学习做铺垫。
方法二:设疑激趣,导入新知
师:同学们,通过上节课的学习,淘气掌握了“用方程解决与分数除法有关的实际问题”的方法。于是课下他又做了充分的预习,有了很多收获,现在淘气想考考大家,你们愿意接受吗?
预设 生:(齐答)我们愿意。
PPT课件出示:
根据信息写出等量关系。
(1)操场上打篮球的人数是踢足球人数的49。
(2)汽油的现价是原价的1920。
(3)果园今年的苹果产量比去年增加了1200 kg。
师:淘气要求我们完成什么?
预设 生:根据上面的语言描述,找出它们的等量关系。
师:我相信你们一定能够完成任务。
板书课题:分数除法的实际应用。
[设计意图] 通过“淘气”想考考大家的情景导入,激发学生的学习兴趣和学习热情,调动学生的学习欲望。
一、教学等量关系
师:淘气考察我的题目,你们想怎样解决?把你的想法与小组同学交流一下。
PPT再次出示:
根据信息写出等量关系。
(1)操场上打篮球的人数是踢足球人数的49。
(2)汽油的现价是原价的1920。
(3)果园今年的苹果产量比去年增加了1200 kg。
师:根据课件中的信息,你们写出等量关系了吗?
预设 生:我们完成了。
师:谁愿意说说你是如何找到等量关系的?
(学生汇报)
预设 生:打篮球的人数是踢足球人数的49,就是把踢足球的人数平均分成9份,打篮球的人数是其中的4份,可以用线段图表示。
师:你可以到展台前具体说一说。
预设 生1:
所以等量关系是:踢足球的人数×49=打篮球的人数。
生2:老师,我没有画图,我根据“求一个数的几分之几是多少,用乘法计算”可以列出等量关系。通过题意可知“打篮球的人数是踢足球人数的49”,就是踢足球的人数乘以49等于打篮球的人数。所以踢足球的人数×49=打篮球的人数。
……
师:同学们,你们听懂了吗?
预设 生:听懂了。
教师板书:踢足球的人数×49=打篮球的人数。
[设计意图] 通过教师对问题的简单引导,唤起学生原有的认知“求一个数的几分之几是多少,用乘法计算”,使学生体会分数除法与乘法的联系。
师:第(1)题中我们根据题目,可以找到它们的等量关系,下面请同学们仿照第(1)题找出第(2)题和第(3)题中的等量关系。
(学生独立思考,解决问题,也可以小组讨论,然后指名汇报)
预设 生1:老师,我完成的是(2)题,通过“汽油的现价是原价的1920”,把原价平均分成20份,现价占其中的19份,把原价看作单位“1”,用线段图表示如下:
所以等量关系是:汽油的原价×1920=汽油的现价。
教师板书:汽油的原价×1920=汽油的现价。
生2:(3)题是今年的苹果产量比去年增加了1200 kg,就是以去年产量为标准,今年在和去年同样多的情况下再多产1200 kg。(如图)
可以知道等量关系为:去年苹果产量+1200 kg=今年苹果产量。
教师板书:去年苹果产量+1200 kg=今年苹果产量。
生3:根据今年的苹果产量比去年增加了1200 kg,还可以写出另外两种等量关系。
去年苹果产量=今年苹果产量-1200 kg。
今年苹果产量-去年苹果产量=1200 kg。
师:同学们,你们可真聪明!你们都是爱思考的好孩子。列方程解答这类应用题的关键就是:找到题目中的等量关系,才可以正确列出方程。
[设计意图] 通过学生分析,独立解决问题,既锻炼了学生的思维能力,又培养了学生独立解决问题的能力。使学生更好地掌握如何找到准确的等量关系。
二、用方程解决实际问题
师:同学们,我们学习知识,掌握更多技能,就是为我们的生活服务,解决生活中的实际问题,做到学有所用。请同学们看大屏幕。
PPT课件出示:
某月有9天休息日,休息日占这个月总天数的310。这个月共有多少天?(列方程解决问题)
师:智慧老人想通过这道题考考大家,智慧老人要求我们怎样完成这道题目?
预设 生:智慧老人要求我们用方程解决问题。
师:列方程解决问题的关键是什么?你能根据题意列出方程并解答问题吗?
预设 生:能。
师:下面你们独立完成吧!完成后与小组同学交流、讨论一下。
(学生完成问题)
预设 生:根据题意“休息日占这个月总天数的310”,可以找到等量关系是:这个月的总天数×310=休息日。而这个月总天数是单位“1”,是未知量。我们可以设这个未知量为x,列出方程。
学生板书:
解:设这个月共有x天。
310x=9
310x÷310=9÷310
x=30
答:这个月共有30天。
师:同学们完成得真好,可是智慧老人又向我们提出了一个新的要求,请同学们看大屏幕……
PPT课件出示:
师:智慧老人要求我们说一说,用方程解决问题的步骤是什么?
预设 生:在分析题的基础上找到等量关系,根据等量关系列出方程,解方程。(只要学生描述得合理,教师就应给予肯定)
师:为了方便同学们记忆,老师编了一首儿歌。
除法问题并不难,对应关系要细辨。
乘法意义来搭桥,方程解法更方便。
等量关系要看全,设列求值检答案。
[设计意图] 通过解决问题,再次体验应用分数知识解决问题的策略,充分体现了数学来源于生活,最后应用于生活的教育,增强了学生应用数学的意识。
1.完成教材第61页“练一练”第4题。
进一步理解找等量关系的基本思路和方法,可以由学生独立完成。
2.完成教材第61页“练一练”第5题。
结合鸡、鸭、鹅孵卵期的长短,为学生创设运用分数乘法、除法解决问题的机会,引导学生学会寻找有用的数学信息,找出等量关系。
3.完成教材第61页“练一练”第6题。
在理解题的基础上,让学生独立完成题目,然后进行交流,交流时,要关注学生解决问题的思路。
4.完成教材第61页“练一练”第7题。
综合运用所学知识解决问题,培养学生解决问题的能力。
【参考答案】 1.(1)妈妈的年龄×13=小明的年龄 (2)7月电话费×67=8月电话费 (3)原价×215=降低的价格 2.鸭的孵卵期×34=鸡的孵卵期 解:设鸭的孵卵期为x天。 34x=21 x=28 鹅的孵卵期×1415=鸭的孵卵期 解:设鹅的孵卵期为y天。 1415y=28 y=30 3.2÷25=5(升) 4.(1)35÷712=60(公顷) (2)12÷60=15
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了对于这类问题的解题方法,首先要找出单位“1”的量,设为x,然后找出题中的等量关系,再根据等量关系列出方程并正确解方程。
生2:判断单位“1”的方法,占谁、是谁、相当于谁,谁就是单位“1”。用方程解决问题时,一定要找到等量关系。
生3:列方程解应用题的一般步骤:弄清题意,找出未知数用x表示,分析并找出数量之间的关系列出方程,解方程,检验。
……
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加强学生对列方程解决问题的步骤的掌握。
作业1
教材第63页“练习五”第9,10题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
(1)已知一个数的35是15,求这个数是多少。可以设( )为x,则x的( )是( ),列出方程是( )。
(2)一个数除以35是78,求这个数。可以设( )为x,列出方程是( )。也可以用乘法计算,列式为( )。
2.(重点题)解方程。
58x=40 25x=49×38
【提升培优】
3.(难点题)解决问题。
(1)下列商品是打五折后的价格,原价格分别是多少元?
(2)面积是45平方米。
【思维创新】
4.(情景题)甲、乙两袋苹果,甲袋苹果重10千克,如果从乙袋中倒出它的14给甲袋,则两袋苹果一样重,乙袋苹果原来重多少千克?
【参考答案】
作业1:9.解:设宇宙飞船每秒运行x km。23x=5.1 x=7.65 10.解:设光在空气中的传播速度是x万千米/秒。 23x=20 x=30
作业2:1.(1)这个数 35 15 35x=15 (2)这个数 x÷35=78 78×35 2.x=64 x=5123.(1)108元 48元 (2)245 4.20千克
分数除法的实际应用
踢足球的人数×49=打篮球的人数。
汽油的原价×1920=汽油的现价。
去年苹果产量+1200 kg=今年苹果产量。
解:设这个月共有x天。
310x=9310x÷310=9÷310x=30
答:这个月共有30天。
用方程解决分数除法应用问题是小学数学教学的重点,在本节课的设计中,通过新颖的导入,把学生带入教学,充分调动学生的兴趣。
在教学设计过程中,注重对学生原有认知的调动,挖掘学生思维的潜能。有意识地把所有信息设计成开放式,让学生根据信息大胆找到关系,提出问题,独立解答,增强学生分析问题、解决问题的能力。这样可使学生思之有法,学之有据,使学生养成良好的学习习惯。
看到以上这些值得高兴之处的同时,也有一点点遗憾:由于时间关系,教师在引导学生学习知识时,有些仓促。
设计时要注意给予学生多一点的时间,教师不要为了课堂的完整性而忽视学生认知上的冲突。
【练一练·61页】
1.(1) (2)原价×810=现价 (3)解:设原价是x元。 810x=56 x=70 2.(1)解:设妈妈的身高为x cm。 1516x=150 x=160 (2)解:设爸爸的身高为y cm。 89y=160 y=180 3.x=35 x=163 x=215 x=114 x=9 x=83 4.(1)妈妈的年龄×13=小明的年龄 (2)7月电话费×67=8月电话费 (3)原价×215=降低的价格 5.鸭的孵卵期×34=鸡的孵卵期 解:设鸭的孵卵期为x天。 34x=21 x=28 鹅的孵卵期×1415=鸭的孵卵期 解:设鹅的孵卵期为y天。 1415y=28 y=30 6.2÷25=5(升) 7.(1)35÷712=60(公顷) (2)12÷60=15
【练习五·63页】
1.34÷2=38 2.910÷3=310(m) 3.6÷23=9(份) 4.14 12 34 1 54 除数小于(0除外)1时,商大于被除数;除数大于1时,商小于被除数;除数等于1时,商等于被除数 5.< > > = > < 6.2 316 32 310 1415 1649 920 16037.8 16 32 165 163 485 8.x=6 x=81 x=20 x=32 x=19 x=214 9.5.1÷23=7.65(km) 10.20÷23=30(万千米/秒) 11.原价×610=72元 解:设这件衣服的原价是x元。 610x=72 x=120 12.10÷511=22(时) 13.解:设九月份用水x吨。 58x=240 x=384
动物园里有多少只猴子?
[名师点拨] 根据大熊猫的只数是猴子的25,可以知道把猴子的只数看作单位“1”,等量关系是:猴子的只数×25=大熊猫的只数。根据这个关系式,可以列出方程。
[解答] 设动物园里有x只猴子。
25x=6
25x÷25=6÷25
x=15
答:动物园里有15只猴子。
【知识拓展】 用算术方法解决分数应用题:先找单位“1”,如果单位“1”已知,求部分量用乘法,求单位“1”用除法。
如:33的23是多少?
33×23=22。
如:一个数的23是32,求这个数。
32÷23=32×32=48。
方程式的由来
十六世纪,随着各种数学符号的相继出现,特别是法国数学家韦达创立了较系统的表示未知量和已知量的符号以后,“含有未知数的等式”这一专门概念出现了。
十七世纪前后,欧洲代数首次传进中国,当时译为相等式。由于那时我国古代文化的势力还较强,西方近代科学文化未能及时在我国广泛传播和产生较大的影响,因此“代数学”连同“相等式”等这些学科或概念都只是被极少数人学习和研究。
十九世纪中叶,近代西方数学再次传入我国。1859年,李善兰和英国传教士伟烈亚力,将英国数学家德·摩尔根的《代数初步》译出。李、伟两人很注重数学名词的正确翻译,他们借用或创设了近四百个数学的汉译名词,许多至今一直沿用。其中,“equation”的译名就是借用了我国古代的“方程”一词,这样,“方程”一词首次意为“含有未知数的等式”。
1873年,我国近代早期的又一个西方科学的传播者华蘅芳,与英国传教士傅兰雅合译英国渥里斯的《代数学》,他们则把“equation”译为“方程式”,他们的意思是,“方程”与“方程式”应该区别开来,方程仍指《九章算术》中的意思,而方程式是指“含有未知数的等式”。华、傅的主张在很长时间里被广泛采纳。直到1934年,中国数学学会对名词进行审查,确定“方程”与“方程式”两者意义相通。在广义上,它们是指一元n次方程以及由几个方程联立起来的方程组。狭义则专指一元n次方程。既然“方程”与“方程式”同义,那么“方程”就显得更为简洁明了了。
科学家和方程的故事
有一次德国著名物理学家爱因斯坦病了,他的一位朋友给他出了一道题消遣:“如果时钟上的针指向12点钟,在这个位置如果把长针和短针对调一下,它们所指示的位置还是合理的。但是在有的时候,比如6点钟,时针和分针就不能对调。否则会出现时针指12,而分针指6,这种情况是不可能的。问针在什么位置时,时针和分针可以对调,使得新位置仍能指示某一实际上可能的时刻?”
爱因斯坦说:“这对于病人确实是一个很有意思的问题,有趣味而不太容易。只是消磨不了多少时间,我已经快解出来了。”说着他在纸上就解起来了。爱因斯坦画了个草图。钟盘上共有60个刻度,分针运转的速度是时针的12倍。设所求的时刻针是x点y分,此时分针在离12点有y个刻度的位置,时针在离12点有z个刻度的地方。时针走一点时,分针要转一圈,也就是要转60个刻度。如果时针指向x,那么分针要转x圈,即转过60x个刻度。现在时针指向x点y分,分针从12点起已转过了(60x+y)个刻度。由于时针运转的速度是分针的十二分之一,所以时针转过的刻度是z=60x+y12个。把时针、分针对调以后,设所指时刻为x1点z分,这时时针离12点有y个刻度,则y=60x1+z12。这样就得到了一个不定方程组z=60x+y12,y=60x1+z12。其中x1和x是不大于11的正整数或0。让x1和x取0到11的各个数值时,可以搭配出144组解。但是当x=0,x1=0时,时针、分针同时指向12;当x=11,x1=11时,y=60,z=60,是11点60分,即12点。这样x=0,x1=0与x=11,x1=1是同一组解。因此,这个不定方程有143组解。比如,当x=1,x1=1时,y=5511,z=5511,说明1点5511分时,两针重合,可以对调;当x=2,x1=3时,y=15135143,z=1147143,说明2点15135143分与3点1147143分时两针可以对调。
爱因斯坦的朋友十分钦佩爱因斯坦的解题能力。
第5单元阶段测评
(时间:60分钟 满分:100分)
一、想一想,填一填(9分)
1.56÷23=56×( ),47÷4=47×( )。
2.在○里填“>”“<”或“=”。
4÷12○4 23÷65○23
37×12○37 25÷1○25
3.把89平均分成4份,每份是( )。
4.两个乘数的积是715,其中一个乘数是14,求另一个乘数的算式是( )。
5.有一批货物,每天运走它的27,( )天可以运完全部货物。
二、判断(10分)
1.415÷3=415÷3=45。 ( )
2.1除以一个数(0除外)所得的商就是这个数的倒数。 ( )
3.57÷7-7÷57=0。 ( )
4.一个非零数除以15就是把这个数扩大为原来的5倍。 ( )
5.一个数除以真分数,商大于被除数。 ( )
三、选择(15分)
1.如果a>0,那么a÷15( )a×45。
A.大于 B.等于 C.小于
2.一种钢材45米重125吨,这种钢材每米重( )吨。
A.4125 B.120 C.20
3.下列各式中,结果大于47的是( )。
A.47×78 B.47÷78
C47÷87
4.一袋大米的15是500 g,这袋大米是( )kg。
A.2500 B.2.5 C.100
5.一个长方形的面积是2 dm2,宽是45 dm,它的长是( )。
A.85 dm B.25 dm C.2.5 dm
四、我会算(24分)
1.计算。
(1)38÷34 (2)1325÷13
(3)8÷38 (4)6÷310
(5)23÷89 (6)74÷714
2.解方程。
(1)34x=8 (2)65y=12
(3)4x=47 (4)18+m=16
五、解决问题(42分)
1.小蚂蚁每分钟爬行25米,爬行4米长的一段路,需要多少分钟?(5分)
2.23小时做24个零件,1小时做多少个?(5分)
3.一条公路已修好240米,是全长的17,这条公路全长是多少米?(5分)
4.小红看一本书,已经看了35页,正好相当于全书的57,这本书有多少页?(5分)
5.一块长方形玻璃的面积是58 m2,它的长是56 m,这块玻璃的宽是多少米?(5分)
6.妈妈和奶奶今年分别多少岁?(5分)
7.学校舞蹈队有20人,是合唱团人数的25,合唱团有多少人?(6分)
8.学校图书馆有多少本书?(6分)
★附加题
一辆汽车从甲地驶往乙地,第一天行了全程的14,第二天行了全程的13,这时离乙地还有140千米,则甲、乙两地相距多少千米?
【参考答案】
一、1.32 14 2.> < < = 3.29 4.715÷14 5.72
二、1.? 2.√ 3.? 4.√ 5.?
三、1.A 2.B 3.B 4.B 5.C
四、1.(1)12 (2)125 (3)643 (4)20 (5)34 (6)72 2.(1)x=323 (2)y=512 (3)x=17 (4)m=124
五、1.4÷25=10(分钟) 2.24÷23=36(个)3.240÷17=1680(米) 4.35÷57=49(页) 5.58÷56=34(m) 6.解:设妈妈今年x岁。13x=13 x=39 设奶奶今年y岁。35y=39 y=65 7.解:设合唱团有x人。25x=20 x=50 8.解:设图书馆有x本书。 16x=300 x=1800
附加题 336千米