甘肃省兰州第一高中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

兰州一中2020-2021-2学期高一年级期中考试试题参考答案
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．将两个数false交换，使false，下列语句正确的是（ ）.
A．false B．false C．false D．false
2．袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”和“没有黑球” B．“至少有一个白球”和“至少有一个红球”
C．“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个” D．“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”
3．已知实数false满足false,则false的最小值是（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．某公司从代理的A，B，C，D四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知A，B，C，D四种产品的数量比是2：3：2：4，则该样本中D类产品的数量为（ ）
A．55件 B．40件 C．33件 D．22件
5．某公司在2016－2020年的收入与支出如下表所示：
收入false（亿元）
false
false
false
false
false
支出false（亿元）
false
false
false
false
false
根据表中数据可得回归方程为false，依此估计2021年该公司收入为8亿元时支出为（ ）
A．4．2亿元 B．4．4亿元 C．5．2亿元 D．5．4亿元
6．下列各数中最大的数是（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．根据下面茎叶图提供了甲、乙两组数据，可以求出甲、乙的中位数分别为（ ）
A．24和29 B．26和29 C．26和32 D．31和29
8．我校高中数学兴趣小组在国际数学日（每年3月14日）开展相关活动，其中一个活动是用随机模拟实验的方法获得false的近似值.现通过计算器随机获得500个点的坐标（x，y）false，其中有399个点的坐标满足false，据此可估计false的值约为（ ）
A．3.19 B．3.16 C．3.14 D．3.11
9.一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数据，若求得的新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）
A．40.6, 1.1 B．48.8, 4.2 C．81.2, 44.4 D．78.8, 75.6
10．已知圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
11．从标有1、2、3、…、9的9张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为偶数的概率是（　　）
A．false B．false C．false D．false
12．曲线false与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是(　　)
A．false B．false C．false D．false

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
C
B
C
B
B
A
A
D
A
D

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．一个容量为n的样本分成若干个小组，已知某组的频数和频率分别是48和0.3，则n＝________.
【答案】160
14．下图是一个算法的流程图，则输出的e值是_______
【答案】5
15．由点false向圆false作的切线方程为___________．
【答案】false或false
16．在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(3,0),C(0,a)，D(0,a+2)，若存在点P，使得false，则实数a的取值范围是 ．
（注：false表示点P与点A之间的距离）
【答案】false
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题10分）
同学小王通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.
求小王周末不在家看书的概率.
解析：∵去看电影的概率P1＝＝，……………3分
去打篮球的概率P2＝＝， ……………6分
∴不在家看书的概率为P＝＋＝.
故小王周末不在家看书的概率： ……………10分
18．（本小题12分）
已知直线false与圆false.
（Ⅰ）求证：直线false必过定点，并求该定点；
（Ⅱ）当圆false截直线false所得弦长最小时，求false的值.
【解析】（Ⅰ）证明：直线false方程可化为：false，
对上式中，当false时，不论false取何值，等式恒成立，
所以直线false恒过点false .……………4分
（Ⅱ）将圆false的方程化为：false，圆心为false，半径false
由（Ⅰ）知，直线false恒过点false，
当圆false截直线false所得弦长最小时，则false垂直于直线false， ……………8分
即false.false，false，false，false
所以当圆false截直线false所得弦长最小时，false的值为false .……………12分
19．（本小题12分）
一只口袋装有形状大小都相同的false只小球，其中false只白球，false只红球，false只黄球，从中随机摸出false只球，试求：
（1）false只球都是红球的概率
（2）false只球同色的概率
（3）“恰有一只是白球”是“false只球都是白球”的概率的几倍？
【解析】记两只白球分别为false，false；两只红球分别为false，false；两只黄球分别为false，false
从中随机取2只的所有结果为false，false，false，false，false，
false，false，false，false，false，false，false，false，
false，false共15种
（1）false只球都是红球为false共1种，概率false ……………4分
（2）false只球同色的有：false，false，false，共3种，概率false……………8分
（3）恰有一只是白球的有：false，false，false，false，false，false，false，false，共8种，概率false;
false只球都是白球的有：false，概率false ……………12分
所以：“恰有一只是白球”是“false只球都是白球”的概率的8倍
20．（本小题12分）
某企业为了增加某种产品的生产能力，决定改造原有生产线，需一次性投资300万元，第一年的年生产能力为300吨，随后以每年40吨的速度逐年递减，根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，该设备的使用年限为3年，该产品的销售利润为1万元false吨．
falseⅠfalse根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数false同一组中的数据用该组区间的中点值作代表false；
falseⅡfalse将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立．
false根据频率分布直方图估计年销售利润不低于180万的概率和不低于220万的概率；
false试预测该企业3年的总净利润false年的总净利润false年销售利润一投资费用false
【解析】
falseⅠfalse年销量的平均数false吨false．
falseⅡfalse该产品的销售利润为1万元false吨，
由频率分布直方图得只有当年平均销量不低于220吨时，年销售利润才不低于220万，
false年销售利润不低于220万的概率false．
false由falseⅠfalse可知第一年的利润为：false万元false，
第二年的利润为：false万元false，
第三年的利润为：false万元false，
false预测该企业3年的总净利润为：false万元false．
21．（本小题12分）
我们定义一个圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，记作false.已知圆false:false，直线false.
（Ⅰ）若直线l关于圆false的距离比false，求实数m的值；
（Ⅱ）当false时，若圆false与y轴相切于点false，且直线l关于圆false的距离比false，试判断圆false与圆false的位置关系，并说明理由.
【解析】（Ⅰ）由直线关于圆的距离的比的定义得：false，所以false
（Ⅱ）当false时，直线false，圆false与false轴相切点于false
所以可设false：false
false或false
①当false时，false：false
两圆的圆心距false，两圆半径之和为false，因此两圆外切
②当false时，false：false
两圆的圆心距false大于两圆的半径之和false，因此两圆外离
22．（本小题12分）
已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数y（个）和温度false（false）的7组观测数据，其散点图如所示：
根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y和温度false可用方程false来拟合，令false，结合样本数据可知false与温度false可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：
false
false
false
false
false
false
27
74
false
182
false
false
表中false，false．
（Ⅰ）求false和温度false的回归方程（回归系数结果精确到false）；
（Ⅱ）求产卵数false关于温度false的回归方程；若该地区一段时间内的气温在false之间（包括false与false），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据：false，false，false，false，false．）
附：对于一组数据false，false，…，false，其回归直线false的斜率和截距的最小二乘估计分别为false．
【解析】（Ⅰ）因为false与温度false可以用线性回归方程来拟合，设false．
false，
所以false，
故false关于false的线性回归方程为false．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得false，
于是产卵数false关于温度false的回归方程为false,
当false时，false；
当false时，false；
因为函数false为增函数，
故气温在false之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是false内的正整数．