江西省六校2012届高三下学期3月联考数学（理）试题

江西省六校2012届高三下学期3月联考
数学试卷（理科）
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1．复数的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
2．若集合A=｛y|y=x2-1｝，B=｛x| |x2-1|3｝，则A=（ ）
A． B．［-1，2］ C．［1，2］ D．［-2，-1］
3．sin45°cos15°+cos225°sin15°的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知命题p：“都有x2a”。命题q：“，使得x2+2ax+2-a=0成立 ”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围（ ）
A．a B．-25．函数f(x)=tan+，x的大致图象为（ ）
A B C D
6．已知△ABC的三边a, b, c的长均为正整数，且a，若b为常数，则满足条件的△ABC的个数是（ ）
A．b2 B． C． D．b
7．如果空间三条直线a, b, c两两成异面直线，那么与a, b, c都相交的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．多于1条但为有限条 D．无数条
8．已知点P(x, y)满足=1，且F1(-3,0)，F2(3, 0)，则下列式子正确的为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知集合A={1, 2, 3, 4}，函数f(x)的定义域、值域都是A，且对于任意，，设1, 2, 3, 4是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表
，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为（ ）
A．216 B．108 C．48 D．24
10．设函数f(x)=(>0, 且1)，[m]表示不超过实数m的最大整数，则函数[f(x)]+[f]的值域是（ ）
A．{-, } B．{-1, 0} C．{-1, 1} D．{0}
二．填空题（每小题5分，共20分）
11．设向量，且∥,则锐角为 。
12．执行右面某算法的程序图，则输出的S是 。
13．若两个正数, b的等差中项是，等比中项
为2，且>b，则双曲线=1的离心
率为 。
14．已知3x+4x=5x的解为x=2，类比可知
3x+4x+5x =( )x的解为 。
三．选做题（共5分，只能从下面两小题中选做一题，两题全做的，只计第一小题得分）
15．①在极坐标系中，点A(2,)到直线：的距离为
②(不等式选讲选做题) 设函数f(x)=|x-2|+x，g(x)=|x+1|，则g(x)四、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（12分）在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，，若．
(1)求角A的大小；
(2)若，且，求△ABC的面积．
17．（12分）一个盒子装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：
，，，，，
(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
(2)现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
18．（12分）如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E为VB的中点．
(1)求证：VD∥平面EAC；
(2)求二面角A—VB—D的余弦值．
19．（12分）设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：
① ②，其中n∈N*，M是与n无关的常数
(1)若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4，S3=18，试探究{Sn}与集合W之间的关系；
(2)设数列{bn}的通项为bn=5n-2n，且{bn}∈W，M的最小值为m，求m的值；
(3)在(2)的条件下，设，求证：数列{Cn}中任意不同的三项都不能成为等比数列．
20．（13分）已知椭圆的中心在原点，准线方程为x=±4，如果直线：3x-2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点．
(1)求椭圆方程；
(2)设直线与椭圆的一个交点为P，F是椭圆的一个焦点，试探究以PF为直径的圆与椭圆长轴为直径的圆的位置关系；
(3)把(2)的情况作一推广：写出命题（不要求证明）．
21．（14分）设 ．
(1)当，设x1，x2是f(x)的两个极值点，且满足x1<1(2)当时，
①求函数 (x>0)的最小值；
②对于任意正实数a,b,c，当a+b+c=3时，求证：3aa+3bb+3cc≥9．
2012年江西省六校联考数学参考答案（理科）
一、选择题（每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C C A C D D A B
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．45° 12．12×11×10=1320 13． 14．6 x=3
三、选做题（共5分）
15．① 1 ②
四、解答题。（共75分）
16．（12分）解：(1)∵，
∴
………………3分
∵ ∴
∴ ∵ ∴
∴ ………………6分
(2) a2=b2+c2-2bccosA
∴
∴ ∴ ∴c=8 ………………9分
∴ ………………16分
17．（12分）解：(1)6张卡片中3奇3偶 …………2分
记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”
…………6分
(2)ξ可取1,2,3,4
当ξ的分布列为：
ξ 1 2 3 4
P
…………10分
…………12分
18．（12分）解：(1)由正视图可得：平面VAB⊥平面ABCD，连接BD交AC于O 点，连EO，由已知可得BO=OD，VE=EB
∴ VD∥EO ………………2分
又VD平面EAC，EO平面EAC
∴ VD∥平面EAC ………………5分
(2)设AB的中点为P，则由题意可知VP⊥平面ABCD，
建立如图所示坐标系
设=(x,y,z)是平面VBD法向量，
=(-2,2,0)
由，
∴
∴ …………10分
∴二面角A—VB—D的余弦值 …12分
19．（12分）解：(1) Sn=-n2+9n
满足①
当n=4或5时，Sn取最大值20
∴Sn≤20满足② ∴{Sn}∈W …………4分
(2) bn+1-bn=5-2n 可知{bn}中最大项是b3=7
∴ M≥7 M的最小值为7 …………8分
(3) ，假设{Cn}中存在三项bp、bq、br（p、q、r互不相等）
成等比数列，则bq2=bp ·br
∴
∴
∵ p、q、r∈N*
∴ p=r与p≠r矛盾
∴ {Cn}中任意不同的三项都不能成为等比数列 …………12分
20．（13分）解：(1)设椭圆方程为 (a>b>0)
直线3x-2y=0与椭圆的一个交点的坐标是，代入椭圆方程得：
又 a2=b2+c2
∴ a=2 C=1
∴ ………………5分
(2)由(1)知，直线与椭圆的一个交点为，F(1,0)，则从PF为直径的圆的方程，圆心为，半径为
以椭圆长轴为直径的圆的方程为x2+y2=4，圆心(0，0)，半径为2
两圆圆心之间距离为
∴ 两圆内切 ………………8分
P、F为其它三种情况时，两圆都为内切 ………………10分
(3)如果椭圆的方程是 (a>b>0)，P是椭圆上的任意一点，F是椭圆的一个焦点，则以PF长为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆是内切关系。 …………13分
（如P写成椭圆上的定点，此问只给1分）
21．（14分）(1)当λ1=1，λ2=0，
x 1，x2是两根，由x1<10
∴ 即
…4分
(2)①当λ1=0，λ2=1时，f(x)=3x·x y=3x·x-3(ln3+1)x
是增函数，且x=1是它的一个零点，即也是唯一的一个零点
当x>1时，>0，当0∴ 当x=1时，y=f(x)-3(ln3+1)x有最小值为 ……8分
②由①知：3xx≥3(ln3+1)x-3ln3，当x分别取a,b,c时有
3aa≥3(ln3+1)a-3ln3
3bb≥3(ln3+1)b-3ln3
3Cc≥3(ln3+1)c-3ln3 三式相加即得 …………14分
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
开始
i=12,S=1
i≥10
S=S×i
i=i-1
是
输出S
结束
否
2
2
正视图
侧视图
V
E
A
D
B
C
2
俯视图
V
E
A
D
B
C
z
y
x
P
O