第五章 三角形

可利用的教学素材
1．某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山，设计时要测量隧道的长度．小山前面恰好是一块空地，利用这样的有利地形，测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开挖的隧道的长度？说明道理．?
点拨：A，B两点直接测量有难度，因此，可利用山前面的空地，构造全等的两个三角形，使含AB的一对对应边相等，则测量出对应边的长，即得出AB的长．?
2．如图，要测量河两岸两点A，B间的距离，可用什么方法？并说明这样做的合理性．?
点拨：直接测量A，B间的距离有困难，而若用上题中的方法，则会出现这种情况：
得到的O点在河中间，很难取到；即使O点取好，而寻找的全等三角形中AB的对应边CD的两点仍然在河的两岸，与A，B的位置相同，因此此法不可取．要寻求另一种使对应边在岸上的方法．利用下面图示的方法就行了．?(共13张PPT)
义务教育课程标准实验教科书（北师大版）七年级下册
沈阳市第一二七中学
高雪飞
第五章第5节（第2课时）
情境导入
小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他要到商店去配一块与原来一样的三角形模具，该怎么办？
知识重现
2cm
3cm
4cm
问题一 图中的两个三角形全等吗？为什么？
2cm
3cm
4cm
问题二 如果已知一个三角形的两角及一边， 那
么有几种可能的情况呢？每种情况下得
到的三角形全等吗？
做一做
1.如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个内角分别是60 和80，它们所夹的边为2cm，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
60
80
2cm
（1）如果60 角所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗？这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为1中的条件吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
做一做
2.如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，比如三角形的两个内角分别是60 和45，一条边长为3cm，情况会怎样呢？
60
45
3cm
（2）如果45 角所对的边为3cm，那么按这个条件画出的三角形都全等吗？
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
想一想
如图，O是AB的中点， A= B， △AOC与△BOD全等吗？为什么？
B
A
O
D
C
巩固练习
如图所示，AB=AC, CDA= BEA,你能说出CD与BE相等的理由吗？
D
A
C
B
E
实践探索
如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？为什么？
本 课 概 要
对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”
两角和它们的夹边
对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
两角和其中一角的对边
　通过这节课的学习，你对全等三角形的判别条件有哪些认识？
作业
习题5.8
作业
生活连接
小红不慎将墨水瓶弄泼了，正好将她所画的三角形给污染了，如图所示，她想画一个与原来一样的三角形，你认为她能办到吗？请谈谈你的看法。第五章 三角形
7．探索直角三角形全等的条件
沈阳市光荣中学 林琳
一、学生起点分析
学生的知识基础：学生在本章的前五节中已经学习过了图形的全等、全等的三角形、探索三角形全等的条件以及作三角形。并且在一系列的实践活动中，学生积累了一定的活动操作与探索经验，已经具备了进一步探索直角三角形全等特殊条件的基本知识与技能。
学生的活动经验：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了观察、测量、折纸、拼图、画图、比较、想象、推理、交流等活动，发展了空间观念，积累了一些数学活动经验；同时 还在探索图形全等的过程中，发展了推理能力和有条理的表达能力，具备了一定的合作探索与合作交流能力。
二、教学任务分析
在学生现有的知识和活动经验的基础上，提出具体的教学及学习任务：经历探索直角三角形全等特殊条件的过程；并掌握直角三角形全等的全部条件，能熟练选择判定方法判定两个直角三角形全等，有条理的进行表达，解决一些实际问题。为此，本节课的教学目标是：
1．经历探索直角三角形全等的条件的过程，掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
2．通过尺规作图，获得判断直角三角形全等的特殊条件，感受三角形全等在实际生活中的应用。
3．通过自己的探索和与同伴的交流发现三角形的有关结论，解决一些实际问题，为学生空间观念的发展，数学活动经验的积累，个性的发挥提供机会。
三、教学设计分析
本节课设计了7个环节：情境引入、探索验证、巩固复习、基础练习、拓展提高、课堂小结、布置作业。
第一环节 情境引入
活动内容：首先提出“舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量。你能帮他想个办法吗？”的问题，自然地引发学生讨论。学生各抒己见。
活动目的：直角三角形作为一类特殊的三角形，除了前面已有的判别两个三角形全等的条件外，是否有特殊的全等条件呢？以一个舞台背景的测量问题引入了这个讨论，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的善于观察生活，并能从生活中提炼出数学模型的能力。同时为探索活动的展开做铺垫。自然引出本节课的主要研究内容“直角三角形全等的条件有哪些？”
实际教学效果：学生一开始对这个测量问题进行讨论，想各种办法进行解决：可以去测量斜边和一个锐角，利用三角形全等条件AAS判定两个直角三角形全等；可以去量没被遮住的直角边和一个锐角，利用三角形全等条件AAS或ASA判定两个直角三角形全等。此时，教师与学生一起解决问题的同时，回顾了判定三角形全等的条件。在这一过程中，教师对学生解决问题的勇气和方法给予鼓励与肯定。
第二环节 探索验证
活动内容：在学生解决问题方法多样的基础上，紧接着提出“如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？”引发学生进一步思考。在学生感到困难时。演示工作人员的测量方法及下面结论。引导学生对工作人员提出的办法及结论进行思考，思考验证他们的方法，从而展开直角三角形全等特殊条件的探索。
通过回忆其他三角形全等条件的获取，不难想到用尺规作图的方法来加以验证，于是利用尺规作一个直角三角形。已知线段a，c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠α，CB=a，AB=c. 师生共同探索、研究、交流、经历利用尺规作直角三角形，学生用自己的语言表述作图的过程。作图完成后，进一步思考“大家画出的三角形是否全等”的问题供学生讨论。通过比较获得判断直角三角形全等的特殊条件“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，进而也验证了工作人员的做法。
活动目的：本环节通过画图、观察、比较、推理、交流等活动逐步探索出最后的结论，给学生充分实践和探索的空间，目的是使学生通过自己的探索和与同伴的交流发现三角形的有关结论，解决一些实际问题，为学生空间观念的发展、数学活动经验的积累、个性的发挥提供机会。
实际教学效果：在给出工作人员的方法后，师生共同探索、研究、交流、经历利用尺规作直角三角形的过程，来验证工作人员的方法，用自己的语言表述作图的过程。在“如何判断你所作的三角形和其他同学所作的三角形是否全等？”的过程中，学生根据以往判断三角形全等的条件，加以验证说明：剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，完全重合说明这两个三角形全等。（全等三角形定义）；测量AC的长度，若相等，说明这两个三角形全等。（SSS）；测量∠CBA的大小，若相等，说明这两个三角形全等。（SAS或ASA或AAS）。从而得出画的这个三角形全班是全等的。进而得出“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”的结论。
第三环节 巩固复习
活动内容：根据问题学生进行思考和讨论。
问题（1）你现在能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
问题（2）其他方法都需要三个条件，而“HL”只有两个条件，你怎么看？
活动目的：总结判断直角三角形全等得所有条件，这既是对刚学习过的内容的巩固，又是对前面学习过的一般三角形全等条件的复习。还对下面的实战练习起到至关重要的作用。
实际教学效果：根据问题学生进行了充分的思考和讨论。积极发表个人见解，三边对应相等（SSS）；一锐角和它的邻边对应相等（ASA）；一锐角和它的对边对应相等（AAS）；两直角边对应相等（SAS）；斜边和一条直角边对应相等（HL）。“HL”的前提是直角三角形，所以也需要三个条件。因此，“HL” 只适合判定直角三角形全等。全班进行交流，达到集思广益、互帮互助的教学效果。
第四环节 基础练习
活动内容：1．快问快答
2．教材随堂练习1
3．有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两个等长的木条GF与GE，E，F分别是AD，BC的中点。G是AB的中点吗？
活动目的：对本节的知识进行巩固练习。锻炼学生能熟练地选择合理的判定方法判定两个直角三角形全等。发展学生的推理能力和有条理地表达能力。
实际教学效果：学生基本都能很熟练地、快速地在快问快答中分析问题，并给出答案。对于习题2，3，学生能很快地作出分析，找到解决方法，并通过此题，进一步了解了用“HL”加以说明所需要的条件。
第五环节 拓展提高
活动内容：小组讨论交流，并用组织自己的语言说明理由。
1．教材议一议
2．如图，∠ACB=∠BDA=90°。要说明△ACB≌△BDA,需要再补充几个条件，应补充什么条件？把它们分别写出来。
活动目的：在学生现有的解决问题经验的基础上，提出较复杂的问题，拓展学生思维，提高学生分析问题的能力和推理、语言表达能力。培养学生合作交流的研究意识。
实际教学效果：学生能够在小组的合作交流中，发表自己的看法，共同解决难题。锻炼了学生的发散思维。特别对问题2，学生注意到了公共边的作用，对解决问题起到了帮助作用。
第六环节 课堂小结
活动内容：师生互相交流探索直角三角形全等条件的体会，及学生的一些困惑。
活动目的：鼓励学生结合自己本节课的实践体验，谈自己的收获、感想及困惑，并与大家交流。锻炼学生组织语言及表达能力，经历与同伴分享成果的快乐过程。
实际教学效果：学生畅所欲言自己的实际收获：判定直角三角形全等的5个条件：SSS，SAS，AAS，ASA，HL（仅适用直角三角形）。更深一步了解三角形全等的判别条件。
第七环节 布置作业
教科书 随堂练习2
数学理解1，2
四、教学设计反思
1．注重使学生经历探索直角三角形全等条件的过程
空间观念的发展需要学生亲自经历观察、操作、想象、推理与交流等数学活动。教师应充分利用教科书提供的素材和活动，鼓励学生经历画图、观察、比较、推理、交流的过程，在过程中逐步探索出最后的结论。在这个过程中，学生不仅得到了两个三角形全等的条件，同时体会了分析问题的一种方法，积累了数学活动经验。
2．注重结合具有现实性、趣味性、挑战性的情境，体现数学的广泛应用
本节课以测量舞台背景为引入点，通过实际问题引发讨论。在习题中还有设置了固定窗架、滑梯的倾斜角的问题。目的在于生动展现三角形全等在生活中的广泛应用，将数学知识的学习和应用紧密结合起来。这样既增强学生对数学的兴趣，也体会了数学与现实的密切联系。
3．可以调整和改进的方面
在教学时应及时了解并尊重学生的个体差异。学生的个体差异重要表现为认知方式和思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异，因此在教学时要及时调整方式，尽可能满足多样化的学习需要，以认知水平、学习能力较好一些的学生带动稍微薄弱的学生的思维，但却不能代替他们的思考，掩盖他们的疑问。在小组合作和全班交流中给不同层次的学生留有一个平台，互相学习，取长补短，使知识的学习和吸收更具有实效性。第五章 三角形
6．利用三角形全等测距离
辽宁省沈阳市第二十二中学 郎美琳
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在本章的前几节内容中已经学习了“三角形”，“全等三角形”以及“探索三角形全等的条件”。尤其是通过探索三角形全等，得到了“边边边”，“边角边”，“角边角”，“角角边”定理，用这些定理能够判断两个三角形是否全等,掌握了这些知识，学生就具备了“利用三角形全等测距离”的理论基础。
学生的活动经验基础：学生在前几节内容中已经经历过解决实际问题的过程，具备了一定的分析问题和解决问题的活动经验。
二、教学任务分析
学习的最高境界是将知识进行迁移，也就是知识的应用。在本章前几节学生已经掌握三角形知识的基础上，本课时的教学及学习任务是利用所探求的三角形全等的条件“边边边”，“边角边”，“角边角”，“角角边”来测距离。本节课的教学目标如下：
⒈ 知识技能：会利用三角形全等测距离。
⒉ 教学思考：在利用三角形全等知识测距离的过程中，培养思维的逻辑性和发散性。
⒊ 解决问题：体会数学与生活的密切联系，能够利用三角形全等解决生活中的实际问题。
⒋ 情感态度与价值观：通过情境创设，激发学生的积极性，感受数学与生活的密切联系，在学生合作交流解决问题的过程中，培养学生的合作精神，锻炼口头表达能力。
三、教学设计分析
本节课设计了六个教学环节：复习提问，情境引入，探究新知，练习提高，回顾思考，布置作业
第一环节 复习提问
活动内容： ① 复习全等三角形的性质及判定条件
② 在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，比比看谁快！（以小组为单位抢答或个人抢答或根据不同情况而定）题如下：
活动目的： 通过第1个问题的提问可以温习与本节有关的知识，帮助基础较弱或掌握不牢的学生巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础；第2个问题是为学习新内容作铺垫，向学生进一步渗透理论联系实际。
实际教学效果：第1题是学生独立思考后回答，由于问题较简单，学生回答踊跃；第2题是第1题的继续，学生的回答的方法较多，小组间的竞争提高了学习热情，使学生产生自信和竞争意识，开始在不知不觉中集中精力，走入数学殿堂。
第二环节 情境引入
活动内容：引入一位经历过战争的老人讲述的一个故事，（图片显示）；
配合简图如下:
教师提出问题： 你知道聪明的战士用的是什么方法吗？能解释其中的原理吗？
活动目的: 用真实的故事引入新课，体现了三角形全等在生活中的广泛应用,适时的提问,激发了学生的学习积极性和好胜心。学生独立思考后，小组间相互交流看法。教师要注意帮助学生审题，引发学生思考,并有主动尝试利用三角形全等来解决实际问题的欲望，从而引出课题---利用三角形全等测距离。
实际教学效果：由故事所引发的问题使学生产生了好奇心，并激发了他们的求知欲，有了学习的积极性，使问题变的生动有趣。但是有些同学对此问题不是很理解，也有一些同学意见不同，针对此，教师可做如下安排：
① 先让学生体会这个情境，明白战士的具体做法,对战士的测量有直观的理解;如:找出教室中与你距离相等的两个点,小组成员合作通过测量来验证战士的做法的合理性。条件允许的情况下,可以安排时间把学生拉到操场或野外选择一定目标亲自做一做。
② 在上述条件下,学生总结并解释战士采用的方法的数学道理。
事实表明，学生们主动参与，积极思考,在操作过程中培养合作交流精神和严谨的学习态度。在鼓励学生的过程中，锻炼了他们的数学思考能力和语言表达能力，形成了良好的数学氛围。
第三环节 探究新知
活动内容: ① 教师引导学生可以用全等的方法测距离，来解决生活中的许多解决相关问题。给出例题:(见教科书174页,教师可适当加入情境,合理安排问题),个人思考后,小组讨论。
② 展示各组方案,小组成员代表讲述画法和原理,全班选定最佳方案，教师作出鼓励性评价。
活动目的: 让学生懂得情境中使用的方法虽然是一种估测,不是准确值,但却是解决问题的好方法 ,鼓励学生通过积极探索、讨论找出解决方案，通过合作从不同的角度得出不同的测量方法。使学生理解透彻明白。
实际教学效果：学生讨论出的三种方法,初步感受到成功的喜悦.
方法1：
方法2:
方法3：
第四环节 练习提高
活动内容：巩固所学知识学生完成以下练习：
练习1 如图： ① 要计算一个圆柱形容器的容积，需要测量其内径，由于瓶颈较小，无法直接测量，你能想出一种测量方案吗？
② 在一座楼相邻两面墙的外部有两点A，C，如图所示，请设计方案测量A，C两点间的距离。
练习2
练习3
练习4
活动目的：对本节课的知识进一步的理解、巩固、提高。
实际教学效果：学生基本掌握了利用三角形全等知识解决生活中的实际问题，达到较好的学习效果。锻炼了学生思维的逻辑性和发散性。在学生合作交流解决问题的过程中，培养学生的合作精神，提高了学生的口头表达能力。
第五环节 回顾与思考
活动内容：师生互相交流利用全等三角形测量距离的合理性，在解决问题的过程中，采用了那些方案使不能直接测量的物体间的距离转化为可以测量的距离。（着重思考如何把距离的测量转化为三角形全等的问题）学生回忆、交流，尝试着对所学知识进行归纳、梳理。教师引导学生回忆所学内容，与学生一起进行补充完善，使学生更加明确所学知识。
活动目的：使学生知道数学与利用所学的数学知识，把生活中的实际问题转化为几何问题，知道运用数学建模的方法解决身边的实际问题，并体会其中的转化思想。
实际教学效果：学生畅所欲言自己的感受与实际收获，体验成功的喜悦。（图片显示）：


第六环节 布置作业
活动内容：1.请你找两个被建筑物或河流等隔开的物体，然后想办法测量这两个物体之间的距离，并说明利用什么数学知识或数学原理。
2.找些相关习题（略）
活动目的：学生通过户外活动，进一步增强应用意识与运用数学知识解决实际问题的能力，体会数学与实际生活的密切联系。
四、 教学设计反思
1. 本节课的教学重点是能利用三角形全等的条件解释生活中的实际问题。教学中先让学生充分发表意见，并给予激励性的评价，培养学生主动运用所学知识寻求发现问题和解决问题的能力。同时适当地把教育激励策略运用于教学活动中，是一种较好的育人艺术。
2. 在本节课里，首先创设了一个“现实情境”，使学生的练习具有“真实”地解决问题的意味，然后用角色模拟的方法进行自由而舒畅的交流活动。通过这样的交流，可以激发学生的好奇心和求知欲，刺激他们思维的多向性与逻辑性，同时也培养了学生倾听别人思路、拓展自己思维、修正自己不足的良好习惯，使他们在积极的互动中掌握知识，发展分析问题、解决问题的能力。注重教学中师生间的对话、教师对学生的引导，以及及时的反馈与评价。
3. 注意时间的把握，应给学生充分的思考时间，题的难易程度不同，使用时间应不同，交流中及时发现问题并解决，力争课堂更具效果。
B
A
C
B
A
C
A
C
B(共13张PPT)
回顾与思考
到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？
答：边边边（SSS）角边角（ASA）角角边（AAS）
根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了上述三种情况外，还有哪种情况？
答：两边一角相等
那么有几种可能的情况呢？
答：两边及夹角或两边及其一边的对角
如图所示的三角形窗户上的玻璃碎了，需要更换，想去划一块同样大小的三角形玻璃，带其中一块的残缺的玻璃行吗？如果行，带哪块呢？
探究新知
1
2
3
4
做一做
（1）如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形两边分别为2.5cm，3.5cm，它们所夹的角为40°，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
3.5cm
2.5cm
40°
A
B
C
3.5cm
2.5cm
40°
D
E
F
(2)若两边的夹角为20 °，画一个三角形。
试一试，情况会怎样呢？
3.5cm
2.5cm
20°
E
F
D
3.5cm
2.5cm
20°
A
B
C
结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”
以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40° ，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
A
B
C
D
E
F
2.5cm
3.5cm
40°
40°
3.5cm
2.5cm
结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等
分别找出各题中的全等三角形
A
B
C
40°
40°
D
E
F
(1)
D
C
A
B
(2)
△ABC≌△EFD 根据“SAS”
△ADC≌△CBA 根据“SAS”
小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流。
E
F
D
H
△EDH≌△FDH 根据“SAS”，所以EH=FH
B
C
D
E
A
如图，已知AB＝AC，AD＝AE。
你能说明∠B＝∠C吗？
C
E
A
B
A
D
所以△ABD≌△ACE（SAS）
所以∠B＝∠C（全等三角形
对应角相等）
解：在△ABD和△ACE中
AB=AC (已知)
∠A＝∠A (公共角)
AD=AE (已知)
如图，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC，那么△ABC与　△FED全等吗？为什么？
AC∥FD吗？为什么？
解：全等。因为BD=EC（已知）　所以BD－CD＝EC－CD。 即 BC＝ED　
在△ABC与△FED中
所以△ABC≌△FED（SAS）
所以∠1＝∠2（全等三角形对应角相等　）
所以∠3＝∠4（等角的补角相等）
所以AC∥FD（内错角相等,两直线平行，
F
D
C
B
A
4
3
2
1
E
AB=FE (已知)
∠B＝∠E (已知)
BC=ED (已证)
说一说
1. 今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？
答：边角边（SAS）
2. 通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？
答：SSS、SAS、ASA、AAS
3. 在这四种说明三角形全等的条件中，你发现了什么？
答：至少有一个条件：边相等
注意哦！
“边边角”不能判定两个三角形全等
作业提示
1. 习题5.9
2. 作业本
3. 用所学的“边角边”内容，编一 道与生活有联系的题
再 见(共11张PPT)
第五章 三角形
第一节 认识三角形(四)
沈阳市第一二六中学 王红艳
沈阳市第一六0中学 景庆伟
回 顾 思 考
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗
回顾 思考
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
画法
放、
靠、
过、
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
画。
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
B
A
C
三角形的高
A
从三角形的一个顶点
B
C
向它的对边
所在直线作垂线，
顶点
和垂足
D
之间的线段
叫做三角形的高线，
简称三角形的高.
(height)
如图5 12, 线段AD是BC边上的高.
图5 12
任意画一个锐角△ABC,
和垂足的字母.
A
B
C
请你画出BC边上的高.
注意
!
标明
垂直的记号
D
锐角三角形的三条高
每人准备一个锐角三角形纸片。
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
做一做
(3) 这三条高之间有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流.
锐角三角形的三条高交于同一点.
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
O
锐角三角形的三条高是
在三角形的内部还是外部
使折痕过顶点，顶点的对边边缘重合
锐角三角形的三条高
都在三角形的内部.
直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形。
将你的结果与同伴进行交流.
A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高,
它们有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高交于直角顶点.
D
折、画钝角三角形的三条高
在纸上画出一个钝角三角形.
做一做
(2) 你能折出钝角三角形的
三条高吗？
需要把CB延长.
A
C
B
B
A
A
A
A
B
C
D
F
为了便于折出AB边上的高，
需要把AB延长.
C
C
A
B
C
D
F
C
A
B
C
D
F
E
为了便于折出BC边上的高，
你能画出钝角三角形的三条高吗？
A
B
C
BC边上的高是在三角形的内部还是外部
外部
D
AB边上的高呢？
E
F
钝角三角形的三条高
A
B
C
D
E
F
议一议
A
B
C
D
F
(3) 钝角三角形的
三条高交于一点吗？
钝角三角形的
三条高不相交于一点
它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流.
钝角三角形的三条高所在直线交于一点
O
E
分别指出图5—13中△ABC 的三条高。
直角边BC边上的
高是 ;
AB
直角边AB边上的
高是 ;
CB
A
B
C
D
E
F
A
B
D
图5—13
斜边AC边上的
高是 .
BD
AB边上的高是:
CE
BC边上的高是:
AD
CA边上的高是：
BF
C
练 习
2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
B
3. 三角形的三条高相交于一点，此一点定在（ ）
A. 三角形的内部 B.三角形的外部
C.三角形的一条边上 D. 不能确定
D
1. 下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
D
本 课 概 要
顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角形的三条高的特性：
高所在直线是否相交
高之间是否相交
三角形内部高的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形的三条高所在直线交于一点
三条高所在直线的
交点的位置
三角形内部
直角顶点
三角形外部
作 业
习题 5.4第五章 三角形
３．全等三角形
沈阳市光荣中学　吕洋
学生起点分析
学生知识技能基础：在本章开始学生已经认识了三角形，能找出边、角，能根据所学知识认识全等图形，并能掌握全等图形的性质，会自己动手制作全等图形。
学生活动经验基础：在相关知识学习中把学生的主动权还给学生，倡导积极主动勇于探索的学习方式。因此本节课主要采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，通过让学生剪一剪，比一比，想一想，议一议，自觉实现知识建构，促进学生全面发展。
二. 教学任务分析
本节课是在学生掌握了三角形有关概念的基础上，对图形的全等更具体化的研究。重点研究全等三角形的有关概念，表示法及对应部分的关系。由于三角形是最基本的几何图形之一，所以理解和掌握全等三角形的有关概念，不仅是对图形的全等进一步深入研究，而且是今后学习全等三角形的判定及性质的预备知识，还是证明角相等、线段相等的主要途径。因此，本节内容在教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。
本节的教学目标如下：
知识目标：
1．理解全等三角形的概念及表示方法，会寻找全等三角形的对应边、对应角和对应顶点。
2．掌握全等三角形的性质，并能进行简单的推理和计算，能解决一些实际问题。
能力目标：
1.在研究性学习活动中培养学生分析、归纳、综合、发现数学知识的能力。
2.在自主学习合作交流中提高运用数学知识解决问题的能力。
情感目标：
1.使学生经历数学知识发生过程的情感体验，感受知识形成的快乐。
2.培养学生科学的学习态度及自信，互相尊重的健全人格。
三、教学设计分析
本节的教学重点及难点是全等三角形的有关概念及表示方法和三角形全等的表示方法与对应部分的关系，根据本节重难点把本节分为五个环节：1.创设情境，复习引入 2.自主探索，发现新知 3.巩固练习，深化提高 4.归纳小结，思维拓展 5.完成目标，布置作业
第一环节： 创设情境，复习引入
活动内容：学习用七巧板拼图，并互相展示交流，从中寻找全等图形、全等三角形，从而引入本节新课。
活动目的：通过拼图发展学生空间想象能力和动手能力。拓展思维空间，注重个性发展。将图形比较，也可以得到全等三角形。
实际教学效果：学生的作品丰富多彩，极具创意，突出个性，较快地融入课堂气氛，并体验了合作交流活动，能够找到全等三角形。
第二环节： 自主探索，发现新知
㈠制作三边互不相等的全等三角形。
活动内容：用准备好的硬纸板和剪刀，自己作出一对全等三角形。并总结作法，找到相等的边和角。设法改变两个全等图形的摆动位置，尝试找相等的边和角。
活动目的：通过动手操作，进一步体验了全等三角形的形成过程，为学习下面全等三角形的性质做了充分的准备。
实际教学效果：学生积极参与，作法简单，动手操作能力强。针对同学的摆放位置的不同，使学生体会相等的边和角的位置的变化。在头脑中对这些图形的位置变化形成印象，会为后面学习的推理起到推波助澜的作用。
㈡ 引出性质
活动内容：任取某个小组的作品展示，教师将其板演，讲解表示方法及注意事项。
活动目的：通过图形的平移和旋转过程让学生进一步理解全等三角形的对应边、对应角的关系。
实际教学效果：学生通过制作——交流——展示已经能正确地找到全等三角形的对应边和对应角，并能正确地总结全等三角形对应边相等，对应角相等这一性质。即提高了学生对图形的认识，又使学生的语言表达能力得到充分的锻炼。
第三环节 巩固练习，深化提高
活动内容：1.如图:△ABC≌△AEC, ∠B=30°, ∠ACB=85°,求出△AEC各内角的度数.
2．如图:△AOD≌△BOC,写出其中相等的角。
3．如图,△ABC≌△DEF,∠C=25°,BC=6cm,AC=4cm ,
你能得出△DEF中哪些角的大小,哪些边的长度
4．如图,△ABC≌△DEF,你能说明AD=BE吗？
5．如图,△ABC≌△EBD,问∠1与∠2相等吗 若相等请证明,
若不相等说出为什么
6．如图,若△ABC≌△EFC,且CF=3cm,∠EFC=64°, 则BC=_____cm,∠B=_____.
你还能求出哪些边的长度,哪些角的度数
活动目的：学生能根据图形位置的变换准确的找到对应边和对应角，并能充分地理解和应用全等三角形的性质解决问题。
实际教学效果：学生经历了制作、拼图、变换的过程，能准确地找到对应边和对应角，并能正确解题，分析能力、表达能力得以提高。
第四环节 归纳总结，思维拓展
活动内容：学生畅所欲言表达自己的感受，小组内互相补充，解题思路归纳总结，积累经验。
活动目的：使学生养成善于总结归纳的意识。
实际教学效果：学生通过动手操作，小组讨论，亲身体验了知识的产生过程，能够在教师的引导下总结规律，并能使学生的思维能力得到提升。
第五环节 .完成目标，布置作业
习题5.6问题解决1，2
四、教学设计反思
1．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
通过小组合作画图的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
2．注意改进的方面
在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
A
B
C
E
A
D
C
B
O
A
B
C
D
E
F
B
A
E
F
C
D
B
A
E
2
1
F
C
D
O
B
A
E
F
C巩固练习
1．一个木工师傅现有两根木条，它们长分别为50cm，70cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架，设第三根木条为xcm，则x的取值范围是 .
2．如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，那么第三边长为 ，如果第三边长为偶数，则此三角形的周长为 .
3．如果一个等腰三角形的两已知边长分别为4cm和9cm，则此等腰三角形的周长为
4．已知五条线段长分别为1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，以其中三条为边长可以构成
个不同的三角形.
5．在△ABC中，若∠B=∠C=40 ，则∠A= .
6．在△ABC中，∠ABC=90 ，∠C=43 ，则∠A= .
7．在△ABC中，AD是角平分线，若∠B=50 ，∠C=70 ，则∠ADC= .
8．如果△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：5，则此三角形按角分类应为 .
9．直角三角形两锐角平分线相交所成的钝角为 .
10．△ABC中，三边长为a，b，c，且a>b>c，若b=8，c=3，则a的取值范围是（ ）
A.311．三角形中最大的内角不能小于（ ）
A.30 B.45 C.60 D.90
12．在△ABC中，∠A=50 ，∠B，∠C的平分线相交于O，则∠BOC的度数为（ ）
A.65 B.130 C.115 D.100
13．如图所示，图中的三角形有（ ）
A.6个 B.8个 C.10个 D.12个
14．已知a，b，c为△ABC的三边，化简：|a+b-c|+|b-c-a|-|c-a+b|.
15．三角形中有一边比第二条边长3cm，这条边又比第三条边短4cm，
这个三角形的周长为28cm，求最短边的长。
答案：1．207．80 8．直角三角形 9．135 10．C 11．C 12．C 13．B
14．由a+b-c>0，b-c-a=b-（a+c）<0，c-a+b=c+b–a>0，
故|a+b-c|+|b-c-a|-|c-a+b|=a+b-c+a+c-b+a-b-c=3a-b-c.
15．设第二边长为xcm，则第一边长为（x+3）cm，第三边长为（x+7）cm，又x+x+3+x+7=3x+10=28，解得x=6cm即为最短边长.(共17张PPT)
沈阳市光荣中学 林 琳
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
你能帮他想个办法吗？
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. (ASA)或(AAS)
方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)
如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.
你相信他的结论吗？
已知线段a，c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠α，CB=a，AB=c.
a
c
α
作法:
⑴ 作∠MCN=∠α=90°;
⑵ 在射线CM上截取线段CB=a;
⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;
⑷ 连接AB.
C
M
N
B
A
a
c
△ABC即为所求作的三角形.
C
M
N
B
A
a
c
如何判断你所作的三角形和其他同学所作的三角形是否全等？
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
C
M
N
B
A
a
c
剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，完全重合说明这两个三角形全等。（全等三角形定义）
测量AC的长度，若相等，说明这两个三角形全等。（SSS）
测量∠CBA的大小，若相等，说明这两个三角形全等。（SAS或ASA或AAS）
你现在能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
SSS
SAS
AAS
ASA
HL
前四个判定方法都需要三个条件，而“HL”只有两个条件，你怎么看？
“HL”即“斜边、直角边”的前提是直角三角形，所以也需要三个条件。
因此，“HL” 只适合判定直角三角形全等。
(1) _______,∠A=∠D ( ASA )
(2) AC=DF,________ (SAS)
(3) AB=DE,BC=EF ( )
(4) AC=DF, ______ ( HL )
(5) ∠A=∠D, BC=EF ( )
(6) ________,AC=DF ( AAS )
B
C
A
E
F
D
把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.
AC=DF
BC=EF
HL
AB=DE
AAS
∠B=∠E
如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C
D
A
B
解：BC=BD
∵在Rt△ACB和Rt△ADB中
AB=AB,
AC=AD.
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
∴BC=BD
有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两个等长的木条GF与GE，E，F分别是AD，BC的中点。G是AB的中点吗？
A
B
C
D
E
G
F
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，
(1)△ABC≌△DEF吗
(2)两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
解：
(1)∵在R t△ABC和Rt△DEF中
BC=EF
AC=DF
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)
(2) ∵Rt△ABC≌Rt△DEF
∴∠ABC=∠DEF
(全等三角形对应角相等)
又∵∠DEF+∠DFE=90°
(直角三角形的两个锐角互余)
∴∠ABC+∠DFE=90°
如图，∠ACB=∠BDA=90°。要说明△ACB≌△BDA,需要再补充几个条件，应补充什么条件？把它们分别写出来。
A
B
C
D(共15张PPT)
5.6 作三角形
一二六中学南校区 梁宁
如何利用尺规作出一个三角形与已知三角形全等？
A
B
C
1．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形．
已知：线段a, c, .
求作：△ABC，使BC=a AB=c, ∠ABC= .
a
c
作法 示范
（1）作一条线段BC=a；
（2）以B为顶点，以BC为一边，作 ．
B
C
B
C
B
C
B
C
（3）在射线BD上截取线段BA=c；
（4）连接AC．△ABC就是所求作的三角形．
A
将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？
还有没有其他的作法？
2．已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．
已知： ， ，线段c．
c
求作：△ABC，使∠A= ，∠B= ，AB=c.
请按照给出的作法作出相应的图形．
作法 示范
（1）作 ．
A
F
（2）在射线AF上截取线段AB=c；
C
D
B
A
D
F
A
B
D
F
（3）以B为顶点，以BA为一边，作 ，BE交AD于点C，连接BC．则△ABC就是所求作的三角形．
将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？
还有没有其他的作法？
3．已知三角形的三边，求作这个三角形．
已知：线段a，b，c．
a
c
b
求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a．
（1）请写出作法并作出相应的图形．
（2）将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？
求作：以m为边长的等边三角形。
试根据下面的作图语言完成作图：
（1）作线段AB=m,
（2）分别以A、B为圆心，m长为半径画弧，两弧在射线AX 同侧相交于C;
则△ ABC 就是所要求作的等边三角形。
已知：线段m.
（3）连接AC，BC；
m
1．利用尺规不能唯一作出的三角形是（ ）
A．已知三边
B．已知两边及夹角
C．已知两角及夹边
D．已知两边及其中一边的对角
2．利用尺规不可作的直角三角形是 （ ）
A．已知斜边及一条直角边
B．已知两条直角边
C．已知两锐角
D．已知一锐角及一直角边
D
C
3．以下列线段为边能作三角形的是 （ ）
A．2厘米、3厘米、5厘米
B．4厘米、4厘米、9厘米
C．1厘米、2厘米、 3厘米
D．2厘米、3厘米、4厘米
D
尺规作三角形进一步验证了全等三角形的条件．
习题5.10(共27张PPT)
找一找
如图，
A
B
C
E
F
G
已知：ΔABC≌ΔEFG.
找出图中相等的边和角
要画一个三角形与小明画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件呢？
想一想
做一做
1. 只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？
一个条件
有一条边对应相等的三角形
不一定全等
有一个角对应相等的三角形
不一定全等
不能保证所画的三角形全等
2. 给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做。
做一做
1. 只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？
不一定全等
(1) 三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；
（1) 三角形的一个角为30°,一条边为3cm
30o
3cm
不一定全等
两个条件
2. 给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做。
做一做
1. 只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？
不一定全等
(2) 三角形的两个内角分别为30°和 50°；
(2)三角形的两个角分别是：30°，50°.
不一定全等
50o
50o
两个条件
30o
2. 给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做。
做一做
1. 只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？
不一定全等
(3) 三角形的两条边分别为4cm，6cm.
(3)三角形的两条边分别是：4cm，6cm
不一定全等
4cm
4cm
6cm
4cm
也不能保证三角形全等.
两个条件
2. 给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做。
做一做
1. 只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？
不一定全等
(3) 三角形的两条边分别为4cm，6cm.
(1) 三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；
(2) 三角形的两个内角分别为30°和 50°；
不一定全等
议一议
如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？
1.三条边
2.三个角
3.两边一角
4.两角一边
做一做
(1) 已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？
(2) 已知一个三角形的三条边分别为4cm，5cm和7cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？
三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
三个内角对应相等的两个三角形不一定全等
动手做一做
准备若干长度适中的小木条，用其中三根木条钉成一个三角形的框架，它的形状和大小是固定的吗？如果用四根小木条钉成的框架形状和大小固定吗？
三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
你能找到图中的三角形吗？
你能说出为什么这些地方是三角形吗
课内链接
1. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等吗？为什么？
不一定全等
解：
A
B
C
D
E
F
RtΔABC和RtΔDEF不全等
课内链接
2. 已知：如图AB=CD,AD=BC，E，F是BD上两点，且AE=CF,DE=BF,那么图中共有几对全等的三角形？说明理由.
A
B
C
D
E
F
分析：可先通过观察，初步判断有哪几对三角形全等，然后再根据条件判断。
3. 已知：如图AB=CD,AD=BC.则∠A与∠C相等吗？为什么？
课内链接
A
B
C
D
分析：要说明∠A与∠C相等，可设法使它们在两个可以全等的三角形中，那么，全等三角形的对应角相等,为此变四边形为两个三角形。
解： ∠A=∠C.
连接BD.
因为AB=CD,AD=CB,BD=DB
所以ΔABD≌ΔCDB
所以∠A=∠C.
这节课你学到了什么？
1. 三角形全等的条件：
三边对应相等的两个三角形全等
(“边边边”或“SSS”)
2. 三角形具有稳定性。
问题解决
如图，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。你能说明其中的道理吗？
A(R)
B
D
C
E
Q
P
如图，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。你能说明其中的道理吗？
A(R)
B
D
C
E
Q
P
小明的思考过程如下：
AB=AD
BC=DC
AC=AC
ΔABC≌ΔADC
∠QRE=∠PRE.
你能说出每一步的理由吗？
作业：
2. 选做题
（1）网上查找一些有关三角形稳定性的例子；
（2）你能否利用本节课的探索方法，找出其它可以使三角形全等的条件。
1. 必做题
（1） P183：6
（2）一个四边形的门框，为使其牢固，请用木条加固，你能找出几种方法？最少用几根木条？问题解决
小明课本上的三角形被墨迹污染了一部分，他想在作业本上画一个与课本上完全一样的三角形，他该怎么办？你能帮助他画出来吗？拓展延伸
在△ABC中，∠ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，△ADC≌△CEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时， DE =AD-BE。说说你的理由。
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。与三角形有关的实际问题举例
现实生活中，存在这许许多多、丰富多彩的三角形，学会三角形的边与角的性质后，我们就可以利用它们来迅速、合理地解决很多生活中与三角形有关的实际问题.
例1 杜师傅在做完门框后，为防止门窗变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是________.
分析:本题为一生活常识题,门窗为四边形,形状不稳固,因而需要增加稳定性,在门窗上钉两根斜拉的木条即可实现这一点.所以答案为三角形的稳定性.
例2 如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎了三块,现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ( ).
(A)带①去 (B)带②去 (C)带③去 (D)带①和②去
分析: 这里所说的最省事的办法当然是指在破碎的三块玻璃中,能否只带其中一块或两块去配就行.本题考查三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接成的封闭图形,碎片①或②都无法确定出第三边的大小,从而也不能确定出三角形的形状大小，不能构成封闭图形.碎片③可以,故选C.
说明:本题是一道实际生活应用题,要灵活运用所学三角形的基本知识,注意与生产实践相结合,解决一些实际问题,这也是一些实际问题,这也是近年来中考命题的一个方向.
例3 一个零件形状如图所示,按规定, ∠BAC=900 ,∠B=200 ,∠C=300 ,检验工人量得∠BDC=1420 ,就断定此零件不合格,请运用所学知识说明理由.
分析:这是一个三角形知识的实际应用,解决此类问题的关键是如何把实际问题转化到三角形知识上来.
解:连接AD并延长到点E，则∠CDE=∠C+∠1，
∠BDE=∠B+∠2，
∴∠CDE+∠BDE=∠C+∠1+∠B+∠2，
即∠CDB =∠C+∠B+∠CAB.
如零件合格则有∠BDC=300 +200 +900 =1400，
而量得∠BDC=1420 ,所以此零件不合格.
例4 某海军在南海某海域进行实战演习,岛礁A的周围方圆10千米内的区域为危险区域,有一艘海船误入离A 6千米的B处,为了尽快驶离危险区域,该船应沿哪条射线方向航行 为什么
分析:如图,渔船要想尽快离开危险区域,必须走最近的路程.易知沿AB方向走BC距离最短,用三角形三边关系定理证明图中BD＞BC即可.
解:该船应沿射线AB方向行驶.
理由:设射线AB与圆交于点C, 再在图上任取一点D(不在直线AB上,且不与点C重合),连接AD，BD，进而在△ABD中有AB+BD＞AD(三边关系定理).
而半径AD=AC=AB+BC, ∴AB+BD＞AB+BC,∴ BD＞BC.
例5草原上有四口油井,恰好位于四边形ABCD的四个顶点处,现要建一维修站M,试问M建在何处,才能使它到四口油井的距离之和MA+MB+MC+MD最小 请说明理由.
分析:利用三角形三边关系定理与不等式性质证明.
解:维修站M应建在四边形对角线AC与BD的交点处.
理由如下:取异于M的N点,连接AN,BN,CN,DN,
易得AN+CN＞AC,BN+DN＞BD,而AM+CM=AC,BM+DM=BD.
所以AN+CN+ BN+DN＞AM+CM+ BM+DM,
所以M应建在四边形对角线的交点处.
①
②
③
A
B
C
D
E
1
2
A
B
C
D
A
B
C
D(共22张PPT)
B'
C'
1.点A与点 重合；
5.全等三角形有那些特征？
A
B
C
A'
2.BC与 重合；
3. C与 重合；
A'
B'C'
C'
4. △ABC △A'B'C'
≌
要画一个三角形与小明画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件呢？
如果只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时,大家画的三角形一定全等吗
1. 一个条件
有一条边对应相等的三角形
(不一定全等)
有一个角对应相等的三角形
结论:
一个条件,并不能保证三角形全等.
(不一定全等)
1. 一个条件
按照下面给出的两个条件画出三角形,并与其他同学的比一比!
(1)三角形的一个角为 30°,一条边为6cm ;
(2)三角形的两条边分别是 4cm 和 6cm ;
(3)三角形的两个角分别是 30°和 60°.
2. 两个条件
(不一定全等)
(1) 三角形的一个角为30°,一条边为6cm.
2. 两个条件
30o
6cm
(2)三角形的两条边分别是：4cm，6cm.
(不一定全等)
4cm
6cm
2. 两个条件
(3)三角形的两个角分别是：30°，60°.
结论：
有两个条件对应相等也不能保证三角形全等.
(不一定全等)
2. 两个条件
300
60o
60o
60o
3. 三个条件
(1)三个角;
(2)三条边;
(3)两角一边;
(4)两边一角.
（1）已知三角形的三个角分别为30°,60°,90°.
90o
90o
90o
60o
300
60o
60o
结论:
三个内角对应相等的三角形不一定全等。
3. 三个条件
3. 三个条件
画一画
剪一剪
比一比
（2）已知三角形的三条边分别为4cm，5cm，7cm。
(一定全等)
三角形全等的条件:
一般地,有三边对应相等的两个三角形全等.
可以简写成 “边边边” 或“ SSS ”
S ——边
AB=A’B’
BC=B’C’
AC=A’C’
（SSS）
A’
B’
C’
A
B
C
数学表达式：
在△ABC和△A'B'C'中
ABC ≌ A'B'C'
所以
（SSS）
A
B
C
D
例:如图，在四边形ABCD中,AB=CD，AD=CB，
则∠A=∠C.请说明理由。
解：在 ABD和 CDB中
AB=CD （已知）
AD=CB （已知）
BD=DB （公共边）
所以 ABD ≌ CDB
所以 ∠A= ∠C
(全等三角形的对应角相等)
A
B
C
D
SSS
1.如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
2.如图，D，F是线段BC上的两点，
AB=EC，AF=ED，要使△ABF≌△ECD ，
还需要条件
A
E
B D F C
解： △ABC≌△DCB
在△ABC和△DCB中
AB = CD
AC = DB
=
所以△ABC ≌ （ ）
BC
CB
△DCB
BF=CD 或 BD=CF
取出课前自制长度适当的木条，把它们分别做成三角形和四边形框架，并拉动它们。
你发现什么？
三角形的大小和形状是固定不变的，而四边形的形状会改变。
三角形的稳定性：
当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，
这个性质叫三角形的稳定性。
三角形的稳定性在生活中的应用：
准备几根硬纸条
（1）取出三根硬纸条钉成一个三角形，你能拉动其中两边，使这个三角形的形状发生变化吗？
（2）取出四根硬纸条钉成一个四边形，拉动其中两边，这个四边形的形状改变了吗？钉成 一个五边形，又会怎么样？
（3）上面的现象说明了什么？
请同学们谈谈本节课的收获与体会:
本节课你学到了什么？
发现了什么？
有什么收获？
还存在什么没有解决的问题？
1. 课本P161问题解决
2. 预习：
三角形全等的条件是什么？巩固提高
问题1 比眼力：利用学生感兴趣的“找不同”游戏，巩固学生对“全等图形”概念的理解。
问题2 将全等图形经过平移、旋转、折叠等变换后，让学生判断变换后的图形是否全等。
问题3 将正三角形分成两个、三个、四个全等图形。关于三角形全等条件的探索
三角形全等是欧氏几何中展开对图形其他性质证明的基础，因此三角形全等的条件也就自然成为推理证明的基本出发点。以往教材中全等三角形条件的给出，往往是很直接地让学生知道两个三角形的边角边、角边角、边边边分别相等时，两个三角形是能够重合的，从而给出三个三角形全等的三条公理。
但是，这样的处理实际没有将人们对三角形全等的条件的认识的全过程展现给学生，因为从两个三角形完全重合（即三条边、三个角分别相等）到两个三角形的边角边、角边角、边边边分别相等，是需要一定的认识过程的。如果省略了这个过程，学生理解和记忆的更多的是结论，而其中的思考过程、思考问题的方法却被掩盖了，同时，这些结论的本质所在（如：为什么不能省略一些条件，甚至为什么会想到这些条件）。因此，展现这个过程或者让学生经历这个过程，对学生理解“边角边、角边角、边边边”条件的合理性和必要性等都是很重要的，学生从中也能获得思想方法方面的启示。
因此，教材中对三角形全等条件的探索就一改以往的方法，将过程呈现在学生面前，大致的过程是：
1．情境引入
这是探索三角形全等条件的开始，教材首先提出需要怎样的条件才能做出与已知三角形全等的三角形（事实上，这样的转换表明：两个三角形全等的含义就是满足确定条件的三角形“能够唯一做出”）。教学时，教师可以先从三角形全等的含义即“两个三角形重合”出发，指出如果给出三个角、三条边的条件，那么所画出的两个三角形应是全等的，但是，是否一定需要六个条件呢？能不能少一点呢？然后再引导学生从最少的已知条件开始探究三角形全等的条件。
2．探索
（1）只给出一个条件时结论是很显然的，因此，只须学生想象此时的情况即可，无须实际画出三角形。
（2）当给出两个条件时，学生也不难得出结论。教学中先让学生实际画一画，体验到经考察各种情况后得出结论的过程，初步感受到反例的作用。
（3）给出三个条件画三角形，有四种可能，让学生在讨论的过程中初步体验到分类的思想。
此处分别考虑三角、三边、两角及一边、两边及一角的情况。对于三角的情况，学生很容易就能举出反例来说明不成立。对于三边的情况，根据所有的同学作出的三角形都重合，得出第一个根据边角判断三角形全等的条件，让学生从中体验到归纳的思想。
对于两角及一边的情况又分如下两种可能：“两角夹边”与“两角及其中一角的对边”。首先要求学生分别根据所给条件 “两角夹边”与“两角及其中一角的对边”进行作图。作图时，可以利用尺规，也可以利用量角器和有刻度的直尺。在根据“两角及其中一角的对边”条件画三角形时，学生可能会遇到困难，教师可引导学生按照教科书所提问题的线索进行条件的转化，当然，学生如有其他办法作出符合条件的图形也是可以的。在学生画出三角形后，教师应要求他们将所得三角形与同伴的进行比较，以便通过归纳得出结论。
对于两边及一角的情况也有两种可能：“两边夹角”与“两边及其中一边的对角”。对于“两边夹角”的情况，让学生画出三角形进行交流、比较，然后再改变条件的数据画三角形，最后归纳出结论。对于“两边及其中一边的对角”的情况，可能每个学生在按照教科书的条件作图时，只作出了其中的一种情况，因此让学生充分地进行交流，发现根据同一条件作出的三角形是不完全相同的，从而，利用反例否定了一般性结论的成立，即有结论“两条边及其中同一边所对的角相等，两个三角形不一定全等”。
3．拓展与引申
在三角形全等的条件探索过程中，三角形稳定性是“SSS”的一个推论，教学中可以引导学生进行这样的思考，逐渐树立推理的意识。教科书中还给出了两个生活中利用三角形稳定性的例子，在现实生活中，这样的例子还很多，可以让学生找出生活中这样的例子，初步体验到数学知识在生活中的应用。
此外，“两条边及其中同一边所对的角相等，两个三角形不一定全等”也将在探索过程中得到。
至此，探索到的三角形全等的条件以后就可以作为进行推理的公理。三角形全等条件的获取过程，应是在学生通过画图、观察、比较、推理、交流，在条件由少到多的过程中逐步探索出最后的结论。在这个过程中，学生不仅得到了结论，同时也学会了分析、思考、解决问题的方法。在探索过程中，教师要注意给学生留有充分的探索空间，在独立思考后，让学生进行交流，用自己的语言表达，发展合情推理的能力。巩固练习
1．如图，△ABD≌△ACE．
（1）如果∠ADB=110 ，∠B=30 ，你能说出△ACE中各角的大小吗？
（2）如果BD＝5㎝，AD＝3㎝，AB=7cm，你能说出△ACE中各边的长度吗？
2．如图，已知：△AOC ≌ △BOD，小明说AC与BD一定平行．你认为他说得对吗？说说你的理由．
A
E
D
B
C
B
D
A(共17张PPT)
第五章 三角形
第一节 认识三角形(三)
沈阳市126中学王明慧
沈阳市第一六0中学 景庆伟
复习引入
1. 什么样的图形叫三角形？
2. 三角形的三条边有什么关系呢？
3. 三角形的三条角有什么关系呢？
观察与思考
如图，ΔABC中，有一条红色线段，一端点在顶点A处，另一端点从点B沿着BC边移动到点C，观察移动过程中形成的无数条线段（AD,AE,AF,AG,…）中，有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？
A
B
C
D
E
F
做一做
在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗
B
A
C
注意
!
用直尺和圆规也能做
你能通过折纸的方法得到它吗
在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合。
折痕AD即为三角形的∠A的角平分线。
A
B
C
A
D
做一做
三角形的角平分线的定义
以前所学的“角平分线”是一条射线，
B
A
C
“三角形的角平分线”
还是射线 吗
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。
“三角形的角平分线”是一条线段。
注意
!
D
∠1=∠2
1
2
三角形的角平分线的性质
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个。
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
做一做
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的
位置关系
三角形的三条角平分线交于一点.
1. 什么是三角形的中线？
2. 如何画出三角形的中线？
3. 三角形的三条中线有什么样的位置
关系？
在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形的中线.
三角形的“中线”
BE=EC
图5 11
B
A
C
E
A
AE是BC边上的中线.
(1) 在纸上画出一个锐角三角形，
并画出它的三条中线.
它们有怎样的位置关系
与同伴进行交流.
(2) 钝角三角形和直角三角形的三条中线
也有同样的位置关系吗
折一折，画一画，
并与同伴进行交流·
议一议
三角形的三条中线的性质
三角形的三条中线交于一点.
1. AD是ΔABC的角平分线（如图），那么∠BAC= ∠BAD；
2. AE是ΔABC的中线（如图），那么BC= BE。
A
D
C
B
A
B
C
E
已知ΔABC（如图），画中线AD和角平分线BE。
A
C
B
注意点是什么？
在ΔABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长.
A
D
B
C
如图,在ΔABC中,角平分线BD，CE相交与I,则∠BIC与∠A有什么关系 如果设∠A为α,求∠BIC(用α表示).利用上述关系,计算:
(1)当∠A=50°时,求∠BIC;
(2)当∠BIC=130°时,求∠A.
A
I
D
E
B
C
本 课 概 要
通过折纸、画图等活动，体验并获得了三角形的“角平分线”、“中线”的概念与性质。
B
D
∠1=∠2
1
2
A
C
BE=EC
B
A
C
E
A
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的
叫三角形的角平分线。
线段
在三角形中，
叫做这个三角形的中线(median).
连接一个顶点与它对边中点的线段，
三角形的三条中线 .
交于一点
三角形的三条角平分线 .
交于一点
1.今天你学到了什么？
2.你觉得角平分线有哪些注意点？
3.中线呢？
4.想一想在三角形中除了中线、
角平分线外还有其他线吗？
作 业
5.3拓展延伸
1．三边均不相等的三角形的三边都是整数，其中两边长是5，8。
（1）满足条件的三角形有几个？
（2）求所有满足条件的三角形的周长。
2．五根长度分别为1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米的小棒，任意取三根，能构成多少个三角形？(共12张PPT)
教学过程
（一）情境导入
活动１ 情境问题：
配回打碎的
三角形玻璃
教学过程
（一）情境导入
活动２ 观察：
教学过程
（一）情境导入
活动３ 生活中的例子：
同一张底片洗出的同规格照片。
两张纸重合后的剪纸；
还有……？
教学过程
（一）情境导入
比一比： 裁下的纸板和样板的形状、大小是否 完 全 一样？能 完全重合吗？
活动４、动手做一做：
能够完全重合的两个图形；
全 等 形：
全等三角形：
定 义
能够完全重合的两个三角形。
游戏时间:各组同学依次把混在一起的全等三角形分类,比比哪一组最快!
A
B
C
D
F
E
（二)讲解新课
教学过程
1.全等三角形的定义
平移、翻折、旋转形状、大小都不变
结论：平移、翻折、旋转前后的图形全等。
⑴平移
⑵翻折
⑶旋转
教学过程
2.三角形的变换
（二)讲解新课
A
C
B
F
E
D
想一想
能否记作 ABC≌ DEF
应该记作： ABC≌ DFE
原因:A与D、B与F、C与E对应。对应顶点要写在对应 位置上。
A
B
C
D
F
E
教学过程
（二)讲解新课
3. 全等的对应元素及表示方法
动画演示
学生动手实践
小组交流
对应的概念
提出问题
学生解决问题
全等的表示
⑴
⑵
对应边相等，对应角相等
∴A B=D E，A C=D F，BC= E F
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
（全等三角形的对应边相等）
（全等三角形的对应角相等）
如图，∵ ABC≌ DEF
（二)讲解新课
4. 全等三角形的性质
A
B
O
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
E
1. 全等对应元素的找法
教学过程
（三)拓展与应用
小组活动
小组方案
方法提练
寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公共角的，公共角是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角是对应角；
（4）两个全等三角形最大的边是对应边， 最小的边也是对应边；
（5）两个全等三角形最大的角是对应角， 最小的角也是对应角；
（2）将△ ABC 沿直线BC平移，得到△ DEF，说出图中线段、角的关系并说明理由。
A
B
C
D
E
O
A
F
E
D
C
B
（3）△ABD≌△ACE，若∠B＝25°，BD＝6㎝，AD＝4㎝，你能得出△ACE中哪些角的大小，哪些边的长度吗？为什么 ？
2. 全等三角形性质的运用
教学过程
（三)拓展与应用
分组探究
巡回指导
全班交流
3. 课堂练习
重点掌握：
明白道理：
“全等”和“对应相等”
因“完全重合”而“全等”
因“完全重合”而“对应”边(角)相等
口 诀：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　形状相同大小等，完全重合是根本；
顶点一二三对应，边角相等方入门。
教学过程
交流：学会了什么？ 收获了什么？ 有什么感受？《探索三角形全等的条件—边边边》教学设计说明
辽宁省沈阳市第十九中学 王贺
学生起点分析
学生的知识技能基础：学生通过前面的学习已经了解了全等三角形的概念，掌握了全等三角形的对应边、对应角的关系，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。
学生活动经验基础：学生也具备了利用直尺、量角器作三角形的基本作图能力，这将使学生能够主动参与本节课的操作、探究成为可能。
教学任务分析
全等三角形是两个三角形间最简单，最常见的关系，它不仅是学习后面知识的基础，还是证明线段相等、角相等以及两线互相平行、垂直的重要依据。因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且能够灵活应用。《探索三角形全等的条件》共三课时，本节课探索第一种判定方法—边边边，为了使学生更好地掌握这一部分内容，遵循启发式教学原则，用设问形式创设问题情景，设计一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，真正把学生放到主体位置，发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验，为以后的证明打下基础。为此，本节课的教学目标是：
1.知识与技能：经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性，在探索的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
2.方法与过程：讨论、引导教学法。
3.情感、态度、价值观：使学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验，让学生体验数学源于生活，服务于生活的辨证思想。
教学设计分析
本节课设计了五个教学环节：知识回顾引入新知、创设情境提出问题、建立模型探索发现、巩固运用及其推广、反思小结布置作业。
第一环节 知识回顾引入新知
活动内容：回顾全等三角形的定义及其性质。
全等三角形的定义：两个能够重合的三角形称为全等三角形。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。
活动目的：回忆前面学习过的知识，为探究新知识作准备。
第二环节 创设情境提出问题
活动内容：（屏幕显示）小明画了一个三角形，怎样才能画一个三角形与他的三角形全等？
教师加以分析，学生分小组进行讨论交流，师生互动合作。受教师启发,学生从最少的条件开始考虑：一个条件；两个条件；三个条件…经过逐步分析，各种情况渐渐明朗，进行交流予以汇总、归纳。
活动目的：探索三角形的条件。我们知道全等三角形的三条边、三个角分别对应相等,反之这六个元素分别对应相等,这样的两个三角形也一定全等。但是,是否一定需要六个条件呢 条件能否尽可能少呢 一个条件行吗？两个条件、三个条件呢？这就是我们这节课要探索的问题（自然引出课题）。
实际教学效果：学生能够在教师的启发下分小组讨论（四人搭配）：一个条件、两个条件、三个条件…逐步分析，进行交流，得出结论。
对学生提出的解决问题的不同策略,教师要给予肯定和鼓励,以满足多样化的学生需要,发展学生个性思维。经过对各种情况的分析、归纳、总结,对学生渗透分类讨论的数学思想。
第三环节 建立模型探索发现
活动内容：按照三角形“边、角”元素进行分类,师生共同归纳得出:
1. 一个条件:一角；一边
2. 两个条件:两角；两边；一角一边
3. 三个条件:三角； 三边；两角一边；两边一角
按以上分类顺序动脑、动手操作验证。（对学生在分类中出现的问题,教师予以纠正。）
验证过程可采取以下方式：
想一想：对只给一个条件画三角形，画出的三角形一定全等吗？
画一画：按照下面给出的两个条件做出三角形：
（1）三角形的两个角分别是：30°，50°
（2）三角形的两条边分别是：4cm，6cm
（3）三角形的一个角为 30°，一条边为3cm
剪一剪：把所画的三角形分别剪下来。
比一比：同一条件下作出的三角形与其他同学作的比一比，是否全等。
教师收集学生的作品，加以比较，得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等。
下面将研究三个条件下三角形全等的判定。（学生模仿上面的研究方法，独立完成操作过程，通过交流，归纳得出结论。）
（1）已知三角形的三个角分别为40°、60°、80°，画出这个三角形，并与同伴比较是否全等。学生得出结论后，再举例体会一下。
举例说明：如老师上课用的三角尺与同学用的三角板三个角分别对应相等，但一个大一个小，很显然不全等；再如同是等边三角形，边长不等，两个三角形也不全等，等等。
（2）已知三角形的三条边分别是4cm，5cm，7cm,画出这个三角形，并与同伴比较是否全等。
板演：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
由上面的结论可知：只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就确定了。
活动目的：营造自主探索空间，提供合作交流的场所，以学生的探求活动为主体，让学生参与经历、体验、感悟，“三角形全等条件”的形成与发展过程，并能举例说明。在举例时，利用多媒体辅助演示让学生感受反例的作用。。
实际教学效果：教师提出问题后，学生采取各自解决问题的方案，通过画图、观察、比较、推理、交流，在条件由少到多的过程中逐步探索出最后的结论。在这个过程中，学生不仅得到了两个三角形全等的条件，同时体会了分析问题的一种方法，积累了数学活动的经验。总之，学生充分地经历了实践、探索和交流的活动，在讨论的过程中体验分类的思想。
第四环节 巩固运用及其推广
活动内容：
1.三角形全等的条件的练习题（P161问题解决1，对有能力的学生要求把实际问题抽象成数学问题，根据自己的理解写出推理过程。对一般学生要求口头表达理由，并能说明每一步的根据。）及补充习题。
2.（实物演示）由三根木条钉成的一个三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
（举例说明该性质在生活中的应用。）
类比三角形，让学生动手操作，研究四边形、五边形有无稳定性？
（学生拿出准备好的硬纸条，进行实验，得出结论：四边形、五边形不具有稳定性。）
图形的稳定性与不稳定性在生活中都有其作用，让学生举例说明。
练习：P161 知识技能2（学生举反例说明）鼓励学生自己举出实例,体验数学在生活中的应用。
活动目的：演示教具，引导学生由三根木条钉成的三角形框架和由四根木条钉成的四边形框架，体会三角形的稳定性，并进一步提出问题，你有办法使四边形的框架的形状不发生改变吗？
三角形稳定性及四边形不稳定性在生活中有着广泛的应用.
利用题组练习检测学生对知识的掌握情况及应用能力。
实际教学效果：学生观察由三根木条钉成的三角形和由四根木条钉成的四边形框架，体会三角形的稳定性。通过这一实验演示，学生体会到了三角形这一特殊的性质，发现和体验数学在现实生活中的广泛应用，从而激发他们学习数学的热情，用所学的知识更好的解决实际问题。
第五环节 反思小结布置作业
活动内容：教师引导、回顾反思本节课对知识的研究探索过程，小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律。学生在教师引导下结合本节课的知识点，对学习过程进行回顾反思，归纳整理。
（边边边公理）三边对应相等的两个三角形全等。
三角形具有稳定性。
作业：熟记边边边公理，预习其它判定三角形全等的条件；
灵活应用边边边公理解决实际问题。
活动目的：通过小结教养学生的概括能力，加深记忆。再次渗透分类的数学思想，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验。
实际教学效果：学生畅所欲言自己的实际收获，并且能利用三角形全等解决实际问题，体会到了三角形稳定性在实际生活中的应用。
教学设计反思
（1）本节课的设计体现了以教师为主导、学生为主体，以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的教学思想。教师以探究任务引导学生自学自悟的方式，提供了学生自主合作探究的舞台，营造了思维驰骋的空间，在经历知识的发现过程中，培养了学生分类、探究、合作、归纳的能力。
（2）在课堂教学设计中，尽量为学生提供“做中学”的空间，不放过任何一个发展学生智力的契机，让学生在“做”的过程中，借助已有的知识和方法主动探索新知识，扩大认知结构，发展能力，完善人格，从而使课堂教学真正落实到学生的发展上。
（3）在课堂教学中，时时注意营造积极的思维状态，关注学生的思维发展过程，创设民主、宽松、和谐的课堂气氛，让学生畅所欲言，这样学生的创造火花才会不断闪现，个性才得以发展。第五章 三角形
2.图形的全等
沈阳市第一三四中学 白洪涛
沈阳市和平区教师进修学校 王继伟
学生起点分析
学生的知识技能基础：学生已经学习并认识了一些图形，大多是通过直观感知、操作确认得到的，此部分的学习让学生通过观察，对图形全等有一个感性的认识。作为本章第二节课，教科书紧紧抓住学习内容与生活的联系，从学生熟悉的、感兴趣的国旗等这些实物图片与学生熟悉的几何图片的大小、形状切入课题来研究图形的全等，使学生对图形全等有一个感性的认识，知识容量、思维难度不是很大，同时以学生感兴趣的教学活动为主线，从而促进了知识和思维的发展。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些认识图形的活动。
解决了一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历观察图形的活动，具有了一定的图形分析能力，具备了一定的合作与交流的能力。
教学任务分析
教科书通过实例让学生理解图形全等的概念和特征，并能识别图形的全等。日常生活中，学生接触图形全等的例子很多，如数学课本的封面、光盘的表面、名片等，教学中要充分让学生列举生活中的例子，并试着用一个名词概括这些例子，由此体验数学概念由具体现象抽象出来的过程，体验数学术语表达的精练、简洁。为此，本节课的教学目标是：
（一）知识与技能目标
1.借助具体情境和图案，经历观察、发现和实践操作重叠图形等过程。
2.了解图形全等的意义。
3.了解图形全等的特征。
（二）过程与方法目标
经历“我实践，我发现”，“几何常识我知道”，“实践问题我创造”的教学活动由此“感悟图形的全等——应用图形的全等——创造图形的全等”，带动知识发生、发展的全过程。
（三）情感、态度、价值观目标
1．学生观察生活中变化的图片信息，并愿意谈论图形的特征，在实践反思中敢于发表自己的观点，树立实事求是的科学态度。
2．学生积极参与图形全等的探究过程，从中体味合作与成功的快乐，建立学习好数学的自信心，体会图形全等在现实生活中的应用价值。
教学设计分析
本节课设计了五个教学环节：情境引入、观察图形得出全等图形、练习提高、课堂小结布置作业、欣赏图片。
第一环节 情境引入
活动内容：观察实物，图片。
请同学们观察这些图片有何特征（数学课本的封面、光盘的表面、名片等）？教学中要充分让学生列举生活中的例子，并试着用一个名词概括这些例子。请大家想一想在你周围有没有全等的图形？请看我手里的照片，同一底片，相同的两张是全等的，不同的两张是不全等的。同一人的两只手掌，与老师的手掌和学生手掌。
活动目的：设置有趣的生活图片，一组是实物图形，一组是几何图形。让学生通过观察，对全等图形有一个感性认识。
实际教学效果：明确活动要求，设置开放的课堂情境。学生亲身实践，汇报出不同的实践结果，促使学生学习主动化，从而引出本课的研究内容：图形的全等、全等图形的特征，在实践中产生感性认识。学生在一个开放的环境下给出很多生活中的例子，从中获取了大量的信息，亲身经历了感受全等的过程，而且气氛热烈。事实上，同学们通过观察都能说出一些生活中形状和大小都相同的例子，这就为下一环节图形全等的定义打好基础。用复写纸印出任一封闭的图形把两张纸叠在一起，用剪刀随意剪出一个图形等例子体现了学生良好的情感、态度、价值观。通过精心设计的问题串和活动系列，不断地制造思维兴奋点，再加上学生在学习过程中的动手操作活动，让学生脑、嘴、手动起来，充分调动了学生的学习积极性，达到事半功倍的教学效果。
第二环节 观察图形得出全等图形
活动内容：观察图片引导学生认真观察几何图形找出完全一样的图形。能够重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同。完成课本第149页“议一议”。
观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？
活动目的：从反面使学生对全等的概念有了一个更清楚的理解——全等图形的形状和大小都相同。
实际教学效果：活动中教师可以让学生回答全等图形的含义。学生甲：两个形状、大小相同的图形。学生乙：两个能够完全重合的图形。可以小组讨论，畅所欲言。最后学生提出三种想法，一是凭感觉（相当多的学生），二是看看是否重合，三是分别量出这些图形的边和角是否分别相等。这三种思维体现了不同的思维层次，都有一定的道理，教师应给予学生积极的评价。
第三环节 练习提高
活动内容：巩固练习
1．找朋友：请找出图中全等的图形。
2．速度大比拼：下图可以看着是由哪几种全等图形拼凑而成的？看看谁找的速度最快。
活动目的：这里设计了三道题，前面两道题既有趣味性，又复习了本节课的内容。第三题是一个动手实验的题目，是提供给学有余力的学生，体现了分层教学的思想。裁剪的过程就是一个让学生进行全等图形的识别过程。培养学生的创新精神，增强学生的合作意识。调动学生学习的积极主动性，起到激励的作用.
实际教学效果：可以在适当的机会展示学生的作品，以此激发学生进一步探究兴趣，对第3题，学生的方法有如下几种：
第四环节 课堂小结、布置作业
活动内容：
1．教师提问：（1）什么是图形的全等？（2）图形全等有何特征？
学生畅所欲言。
2．如图，你能将它分成两个全等的图形吗？可以用几种方法？能将它分成四个全等的图形吗？（找出可能的分法）
3．通过今天的活动你有何收获呢？
活动目的：巩固新知，总结性提问的问题包括了本节课的学习内容，让学生自己对这节课进行评价，学会反思。并留有一定开放性的作业发展学生思维。
实际教学效果：提问时遵循了学生的思维规律，并给予了学生充分的时间，去体会知识的形成过程。通过学生的实验与思考，对全等特征进行验证，可以进一步加强学生对所学知识的感性认识。学生课后考虑可以得出如下结论：
第五环节：欣赏图片
活动内容：欣赏有关全等的图片。
活动目的：对全等的认识更加强烈，激发学习兴趣，并为以后的学习打好基础。教学中也可将欣赏的图片放入第一环节，让学生在感受美的同时，通过仔细观察发现图形的特征。
实际教学效果：积极为学生创设学习的情境，学生在自主的空间里，自由奔放的想、创作、学习，取得了较好的效果，课后可以让学生自己找一些图片并发现生活中的全等图形 。
四、教学反思：
1．本节课采用探究教学法，充分发挥了学生的主体作用。
在探究活动中，实践、探究、交流，充分发挥学生的想象力和集体的智慧，使不同的学生有不同的发展，在实践中注意给学生充分的时间和空间，特别要从身边生活中的例子入手，激发起每一个学生的求知欲。从熟悉的几何图形，、实物图形入手，让学生对图形全等有一个感性的认识，调动学生的积极性，很快抓住学生的注意力，激起学生的探索欲，为实践活动做好充分的铺垫。教师只要创造机会，给学生以充分的自由，把学生看成学习的主人，学生的积极性高涨，自然会有新的突破。
2．本节课的另一特色是充分发挥媒体的作用，利用课件设计，调动学生的学习积极性，再一次使课堂气氛推向高潮。还可以让学生大胆想象、探索，使更多的同学有更多的锻炼机会。
3．新课程要求培养学生的应用数学的意识，数学来源于生活，又服务于生活。在整个过程中还要注意发挥评价的作用，不论是探究活动、创作活动都采取自评、互评的方式让学生成为评价的主人。
通过这节课的教学实践，使教师认识到；教学必须紧密联系学生装的生活和实际，使学生对所学的内容兴味盎然，乐于探究。教师最精彩的表现应该是高明的引导者、组织者、合作者，而不是舞台的主人——演员。全面的培养学生的创新意识与实践能力。
全等图形的形状和大小都相同
形状
相同
大小
相同
观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？
3.沿着图中的虚线，分别把下面的图形划分为两个全等图形(至少找出两种方法)，并与同伴进行交流。
在这个平行四边形的四条边上找两点（不能是各边的中点，也不能是顶点），使得连接这两点的线段把这个平行四边形分成两个全等的图形。(共15张PPT)
第五章 三角形
第3节 全等三角形
沈阳市光荣中学
吕洋
作品展示:
你能找到图中的全等三角形
你能找到图中的对应边和对应角吗？
A
B
C
D
E
F
表示方法:
△ABC≌△DEF
A
B
C
D
E
F
注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上
用纸板、剪刀等工具制作全等三角形
改变它们的摆放位置,找出对应边,对应角.
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
你能将一个等边三角形分
成两个全等三角形吗？
能把它分成三个,四个
全等三角形吗？
如图:△ABC≌△AEC, ∠B=30°, ∠ACB=85°,求出
△AEC各内角的度数.
A
B
C
E
解：因为△AEC≌△ABC
所以∠E=∠B=30°
∠ACE=∠ABC=85°
∠EAC=∠BAC=180°- 30°-85°=65°
如图:△AOD≌△BOC,写出其中相等的角
A
D
C
B
O
解：∠A=∠B
∠D=∠C
∠DOA=∠COB
如图,△ABC≌△DEF,∠C=25°,BC=6cm,AC=4cm ,
你能得出△DEF中哪些角的大小,哪些边的长度
A
B
C
D
E
F
因为△DEF≌△ABC
所以∠F=∠C=25°
EF=BC=6cm
DF=AC=4cm
解：
如图,△ABC≌△DEF,求证:AD=BE
B
A
E
F
C
D
因为△ ABC≌△DEF
所以AB=DE
AB-BD=DE-BD
即AD=BE
证明：
.如图,△ABC≌△EBD,问∠1与∠2相等吗 若相等请证明,
若不相等说出为什么
B
A
E
2
1
F
C
D
O
解：
因为△EBD≌△ABC
所以∠A=∠E
在△AOF与△EOB中，
∠AOF=∠EOB
根据三角形内角和为180°
所以 ∠1=∠2
如图,若△ABC≌△EFC,且CF=3cm,∠EFC=64°,
则BC=_____cm,∠B=_____.
B
A
E
F
C
3
64°
你还能求出哪些边的长度,
哪些角的度数 三角形的角平分线、中线和高学习点拨
三角形的角平分线、中线和高是三种重要的线段，在以后的学习中经常用到，为帮助大家理解好这三种重要的线段，总结如下。
一、三角形的角平分线
1．定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
图1 图2
如图1，画∠BAC的平分线AD，交对边BC于点D，则线段AD是△ABC的角平分线。
2．特征：任意一个三角形都有三条角平分线，这三条角平分线交三角形内于一点。
如图2，线段AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则有∠1=∠2，∠3=∠ABC，∠ACB=2∠4。
3．提示：三角形的角平分线与一般角的平分线不同，三角形的角平分线是线段，而一般角的平分线是一条射线.
二、三角形的中线
1．定义：在三角形中，连接一顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线。
如图3，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得的线段AD叫
做△ABC的边BC上的中线。
图3 图4
2．特征：任意一个三角形都有三条中线，这三条中线交于三角形内一点。
如图4，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则有CD=BD，AF=AB，AC=2AE。
3．提示：三角形的中线是线段，而不是射线，也不是直线。
三、三角形的高
1．定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。简称三角形的高。
如图5，从△ABC的顶点A，向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的高。
2．特征：任意三角形都有三条高线，锐角三角形的三条高交于三角形内一点，直角三角形的高交于直角顶点，钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形外一点。
如图5，锐角△ABC中，三条高AD，BE，CF在三角形的内部，并且它们相交于一点；如图6，直角△ABC中，高AD，BE分别与AC，BC重合，还有一条是斜边是上的高CF；如图7，钝角△ABC中，钝角边上的两条高AD，CF在三角形外，最大边上的高BE在三角形的内。
图 5 图6 图7
3．提示：三角形的高的与三角形的面积有关，根据三角形的面积可得BC·AD=AC·BE=AB·CF。(共23张PPT)
沈阳市光荣中学
张丽
斜梁
斜梁
直 梁
1.你能从中找出四个不同的三角形吗？
2.与你的同伴交流各自找到的三角形。
3.这些三角形有什么共同的特点？
观察下面的屋顶框架图
你能回答吗
三角形有三条边、三个内角 、三个
顶点、三条线段首尾顺次相接。
1.这些三角形有什么共同的特点？
A
B
C
D
E
F
G
　　由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.什么叫做三角形？
3.如何表示三角形？
　　三角形可用符号“△”表示，如右图
三角形记作：△ABC
A
C
B
4.三角形的边可以怎么表示？
如图三角形中三边可表示为AB，BC，AC，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示c
注意:
1.表示三角形时，字母没有先后顺序；
2.如下图，我们把BC(或a）叫做 A的对边，把AB（或c），AC（或b） 分别叫做 A的邻边.
A
B
C
c
a
b
边：
三角形中三边 AB，BC，AC.
如果我说三角形有三要素,你能猜出是哪三要素吗
A
B
C
b
a
c
角：
三角形中有三个角：∠A，∠B，∠C.
顶点：
三角形中有三个顶点，顶点A，顶点B，
顶点C.
1.小强用三根木棒组成的图形，其中符合三角形概念是（ ）
B
此图中有几个三角形？你能表示出来吗
A
C
ABC
AC
AB，BC
A
B
C
D
E
2.如图三角形ABC 记作：
∠B的对边:
邻边是:
练一练
C
(1) 元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由。
利用你发现的规律填空
AB+AC BC
AB+BC AC
AC+BC AB
A
B
c
议一议
(2)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系
议一议
在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A—B路线，而不选择A—C—B路线，难道小狗也懂数学？
C
B
A
三角形任意两边之和大于第三边
分别量出下面三个三角形的三边长度，并填空。
a
b
c
a
b
c
a
b
c
(1)a=_____
b=_____
c=_____
(2)a=_____
b=_____
c=_____
(3)a=_____
b=_____
c=_____
计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？
做一做
三角形任意两边之差小于第三边
有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？动手摆一摆。
解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7 < 8，出现了两边之和小于 第三边的情况，所以它们不能摆成三角形。
取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形。
你能取一根木棒，与原来的两根木棒摆成三角形吗？
2.两点之间的所有连线中，线段最短
1.三角形任意两边之和大于第三边
人行横道
.A
.B
为什么经常有行人斜穿马路而不走人行横道
1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？实际摆一摆，验证你的结论。
（1）3cm, 4cm, 5cm ; (2)8cm, 7cm, 15cm
(3) 13cm, 12cm, 20cm; (4)5cm, 5cm, 11cm
2.现有长度分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm的五条线段，从其中选三条线段为边可以构成 个的不同的三角形。
（1）（3）
3
3.如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，那么第三边长为 。若第三边为偶数，那么三角形的周长 。
4.已知一个三角形的三边a=7,b=3,第三边c是一个正整数，满足这些条件的三角形共有 种，
当c= 时，所作出的三角形的周长最长。
5.一个等腰三角形的两边长分别为25和12，则第三边长为 。
3或5
10
5
25
9
若△ABC的三边为a，b，c，则化简 a+b-c – b-a-c 的结果是（ ）.
(A) 2a-2b (B) 2a+2b+2c
(C) 2b-2c (D) 2a-2c
C
动动脑
某地有四个汽车停车场，位于如图所示的四边形ABCD的四个顶点，现在要建立一个汽车维修站，你能利用“三角形任意两边之和大于第三边”在四边形ABCD的内部找一点P，使点P到A，B，C，D四点的距离之和最小吗？
A
B
C
D
P
P1
1. 通过本节课的学习，你有些什么收获和感想？
2. 你还有无疑问
制作人：张丽(共16张PPT)
在小学我们探究了三角形三个内角的和等于180 ，
你还记得这个结论的探索过程吗
1
A
B
D
2
C
如图,当时我们是撕下两个角,把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置。
如果只撕下一个角,你能用学过的知识拼凑并
解释“三角形的三个内角和是180 ”吗？
1
2
3
1
a
b
4
三角形三个内角的和等于180
下面的图⑴、图⑵、图⑶中的三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由。
将图⑶的结果与图⑴、图⑵的结果进行比较，可以将三角形如何按角分类？
三角形的分类
锐角三角形
三个内角都是锐角
钝角三角形
有一个内角是钝角
直角三角形
有一个内角是直角
直角边
直角边
斜边
1. 常用符号“Rt ABC”来表示
直角三角形ABC.
2. 直角三角形的两个锐角之间
有什么关系？
直角三角形的两个锐角互余
1. 观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应图内：
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
③⑤
①④⑥
②⑦
2. 已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.
⑴ 图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说出它们的
直角边和斜边。
⑵ ∠ACD和∠A有什么关系？∠BCD和∠A呢？
C
B
A
D
一个三角形中会有两个直角吗？可能两个内角是钝角或锐角吗？
1. 已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，∠A＝
70°，∠C＝30 °， ∠B＝（ ）
2. 直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角（ ）度。
3. 在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=（ ）
4. 如果△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5，此三角形按
角分类应为 （ ）。
80 °
20 °
50 °
直角三角形
有关三角形的角度计算问题，有两种类型：一是直接利用三角形的内角和180°进行计算；二是设某一个角为x（或将某一个角视为未知数），其余的角用x的代数式表示，从而根据题意列出方程（组）求解，这就是“形题数解”。
如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，
请你根据图中所标数据求∠ACB的大小，当轮船距离灯塔
C最近时，∠ACB是多少度？
30 °
70 °
B
C
A
1. 三角形三个内角的和等于180 。
2. 三角形按角的大小分类：
⑴锐角三角形 ：三个内角都是锐角；
⑵直角三角形 ：有一个内角为直角；
⑶钝角三角形 ：有一个内角为钝角 。
3. 直角三角形的两个锐角互余。
习题5.2 1，2，3(共24张PPT)
沈阳市光荣中学 林琳
豆豆书上的三角形被墨迹污染了一部分，他想在作业本上画出一个与书上完全一样的三角形，他该怎么办？
你能帮他画出来吗？
三角形的基本元素是＿＿＿＿和＿＿＿＿。
你会用尺规作一条线段等于已知线段吗？
自己动手试一试！
你会用尺规作一个角等于已知角吗？
你能利用尺规作一个三角形与已知三角形全等吗？
边
角
1. 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。
已知：∠α，∠β，线段c。
求作：△ABC，使∠A=∠α ，∠B=∠β，AB=c。
α
β
c
你能作出这个三角形吗？
α
β
A
B
C
c
假设这个三角形已作出
1. 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。
对于边和角，你想先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿。
α
β
A
B
C
c
1. 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。
对于边和角，你想先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿。
作法：
(1)作∠DAF=∠α；
(2)在射线AF上截取线段AB=c；
(3)以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C。
△ABC就是所求作的三角形。
D
A
F
B
C
E
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
α
β
A
B
C
c
角
角
边
1. 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。
回顾刚才作三角形的顺序
角
角
夹边
夹边
角
角
还有没有其他的作法？
1. 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。
请按照给出的作法作出图形
作法：
(1)作线段AB=c；
(2)以A为顶点，以AB为一边，作∠DAB=∠α ；
以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C。
△ABC就是所求作的三角形。
D
A
B
C
E
(3)
α
β
A
B
C
c
对于边和角，你想先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿。
角
角
边
你现在能帮助豆豆画出三角形了吗？
2. 已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。
已知：线段a , c , ∠α。
α
a
c
求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α。
假设这个三角形已作出
B
A
C
α
a
c
B
C
D
A
作法:(1)作一条线段BC=a
(2)以B为顶点，以BC为一边，作角∠DBC=∠α
(3)在射线BD上截取线段BA=c
(4)连接AC
△ABC就是所求作的三角形。
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
2. 已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。
对于边和角，你想先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿。
α
a
c
B
A
C
a
c
α
边
角
边
请按照给出的作法作出图形
2. 已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。
回顾刚才作三角形的顺序
边
边
夹角
夹角
边
边
还有没有其他的作法？
2. 已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。
已知：线段a , c , ∠α。
α
a
c
求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α。
作法:
(1)作∠DBE=∠α
(2)在射线BD，BE上分别截取BA=c，BC=a
(3)连接AC
△ABC就是所求作的三角形。
B
E
D
C
A
对于边和角，你想先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿。
边
角
边
B
A
C
α
a
c
尝试自己作图，并用语言表述作法
(1)作∠······=∠ ······ ；
(2)在······上截取，使······ = ······ ；
(3)以···为顶点，以······为一边，作∠ ······ =∠ ······ ；
(4)作一条线段······ = ······ ；
(5)连接······ ，或连接······交······于点······ ；
(6)分别以··· ， ···为圆心，以··· ， ···为半径画弧，两弧交于···点；
······ ······ ······ ······
你知道的常用作图语言有哪些呢？
3. 已知三角形的三条边，求作这个三角形。
已知：线段 a，b，c。
求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。
a
b
c
尝试自己分析并作出这个三角形、写出作法。
3.已知三角形的三条边，求作这个三角形。
已知：线段 a，b，c。
求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。
（1）作一条线段BC=a；
（2）分别以B，C为圆心，以c，b为半径画弧，两弧交于A点；
（3）连接AB,AC。
△ABC就是所求作的三角形。
a
b
c
B
C
A
作法：
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
经过前面的实践，我们如何来分析作图题呢？
1. 假设所求作的图形已经作出，并在草稿纸上作出草图；
2. 在草图上标出已给的边、角的对应位置；
3. 从草图中首先找出基本图形，由此确定作图的起始步骤；
4. 在3的基础上逐步向所求图形扩展。
1. 你能用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段a，b吗？并写出作法。
a
b
分析：先在草纸上画出一个假设的“已作出的三角形”，会发现是“已知两边及夹角求作三角形”，所以按照此方法作图。
已知：直角，线段a，b
求作：直角三角形ABC，使BC=a，AC=b
作法：
(1)作∠DCE=90°
(2)在射线CD，CE上分别截取CB=a，CA=b
(3)连接AB
△ABC就是所求作的三角形。
C
D
E
B
A
2. 已知∠α和∠β，线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于∠β ，且∠α的对边等于a。
α
a
提示：先作出一个角等于∠α+∠β，通过反向延长角的一边得到它的补角，即三角形中的第三个内角∠γ 。由此转换成已知∠β 和∠γ及其这两角的夹边a，求作这个三角形。
β
α
β
γ
β
γ
a
α
B
C
A
E
F
G
作法：1. 作∠α+∠β的补角∠γ
2. 作∠GBE=∠β
3. 在射线BE上截取BC=a
4. 以C为顶点，CB为一边作∠FCB=∠γ
5. 射线BG与射线CF相交于点A
△ABC就是所求作的三角形。
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使其有一个内角等于∠α，且∠α的对边等于a，另有一边等于b。
a
b
α
分析：先在草纸上画出一个假设的“已作出的三角形”；然后在草图上标出已给的边、角的对应位置；再找出边与角，确定作图的顺序。
α
b
a
a
A
B
M
N
C
C'
作法：
1. 作∠MAN=∠α
2. 在射线AM上截取AB=b
3. 以B为圆心，以a为半径画弧，交AN于点C， C'
4. 连接BC，BC'
△ABC和△ABC'就是所求作的三角形。
同样是已知两边及一角，为什么会出现两个三角形呢？
你从中可以感悟到什么？
感悟：已知三角形的两边及一角并不都能只确定一个三角形。当已知两边及夹角时可以确定一个三角形，因此可以用来判定两个三角形全等；而当已知两边及一边的对角时，会画出两个不同的三角形，因此不能用来作为判别两个三角形全等的条件。
α
b
a
a
A
B
M
N
C
C'
a
c
α
两边及夹角
两边及一边的对角
B
E
D
C
A
谈谈你本节课的
收获与感受第五章 三角形
4. 探索三角形全等条件（二）
沈阳市第一二七中学 高雪飞
《探索三角形全等条件》共三课时，第一课时首先让学生初步经历三角形全等条件的探索过程，初步掌握三边对应相等的两个三角形全等的判别条件。第二课时通过学生对已学知识的反思过程进一步探索三角形全等的其他条件，并在大量解决实际问题当中进一步发展学生严谨的思维能力和逻辑推理能力，充分感受人人学到了有价值的数学。
学生起点分析
学生的知识技能基础：七年级的学生观察、操作、猜想能力已经得到了很大的发展，演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺。学生通过第一课时的学习已经对三角形全等的条件的探索过程有所了解，作为本章节第二节课，紧紧抓住学习内容与生活的联系，从学生熟悉的、感兴趣的故事情节切入课题来研究三角形的全等条件，对三角形全等的探索有一个感性的认识，知识容量、思维难度不是很大，本节课以学生感兴趣的教学活动为主线，从而促进了知识和思维的发展。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些简单探索活动，并进行了一些简单的逻辑推理过程，解决了一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验的基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历全等三角形判别条件的探索活动，具有了一定的问题分析能力及归纳演绎的能力，具备了一定的合作与交流的能力。发展学生的空间观念。
教学任务分析
教科书通过以问题的形式，创设一个有利于学生动手操作和反思的情境，进一步发展学生的探索、交流能力，以及动手、动脑、手脑和谐一致的习惯，达到进一步探索三角形全等条件的目的，能够运用三角形全等的条件解决简单的问题，进一步发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识，由此体验数学概念由具体现象抽象出来的过程，体验数学术语表达的精练、简洁。为此，本节课的教学目标是：
（一）知识与技能
1.借助具体情境和图案，经历观察，发现和探索三角形全等的条件。
2.掌握三角形全等的“ASA”和“AAS”条件。
（二）过程与方法
学生经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，由此带动知识发生、发展的全过程。
（三）情感、态度、价值观
1．学生善于观察生活发生的事情，并愿意解决提出的难题，在实践反思中敢于发表自己的观点，树立实事求是的科学态度。
2．学生积极参与三角形全等条件的探究过程，从中体味全作与成功的快乐，建立学习好数学的自信心，体会三角形全等条件在现实生活中的应用价值。
教学设计分析
本节课设计了五个教学环节：情境引入、合作交流，探究新知、巩固提高、课堂小结，布置作业、生活连接。
第一环节 情境导入
活动内容：讲述小明的故事。
小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他要到商店去配一块与原来一样的三角形模具，该怎么办？带哪块去呢？
活动目的：设置有趣的生活都市情节，让学生通过观察思考，对三角形全等条件的探索有一个感性认识。
实际教学效果：明确活动要求，设置开放的课堂情境。学生亲身实践，汇报出不同的实践结果，促使学生学习主动化。从而引出本课的研究内容：探索三角形全等的条件，在实践中产生感性认识。学生在一个开放的环境下想出很多的方法，从中获取了大量的信息，亲身经历了感受全等的过程，而且气氛热烈。事实上，同学们通过观察都能说出一些解决问题的办法，这就为下一环节探索三角形全等的条件打好基础。在同学们互相探讨问题的过程中培养了学生良好的情感、态度、价值观。通过精心设计的问题串和活动系列，不断地制造思维兴奋点，再加上学生在学习过程中的动手操作活动，让学生脑、嘴、手动起来，充分调动了学生的学习积极性，达到事半功倍的教学效果。
第二环节 合作交流，探究新知
活动内容：观察问题，引导学生认真思考所提出的问题，并能够找到这样的图形，能够通过合作交流的方式，用作图的方法解决问题。完成课本“做一做”。
活动目的：使学生对三角形全等条件有了一个更清楚的理解——两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等让他们尝到成功的喜悦。让学生懂得数学就来自于我们的生活，体会到数学与我们生活的联系。让学生逐步深入，符合学生的认知规律。培养学生的创新精神，增强学生的合作意识。
实际教学效果：活动中教师可以让学生分别作图。通过不同学生的画图结果，以分组讨论的形式得出三角形全等的条件。当然可能有的学生会感到画图的困难要及时组织学生进行交流。教师应给予学生积极的评价。这样我们便巩固了知识，并培养学生的读书能力，在讨论活动中让学生得到友情的陶冶培养学生的动手操作能力，收到了良好的效果
第三环节 巩固提高
活动内容：巩固练习
1．速度大比拼
如图，O是AB的中点，A= B， △AOC与△BOD全等吗？为什么？
2．如图所示，AB=AC, ∠CDA=∠BEA,你能说出CD与BE相等的理由吗？
3．实践探索
小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他要到商店去配一块与原来一样的三角形模具，该怎么办？
活动目的：使学生对三角形全等条件有了一个更清楚的理解——两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。在学生作体的过程中，学生还能体会到严谨的数学思想。
实际教学效果：可以在适当的机会展示学生的才能，以此激发学生进一步探究兴趣，这里设计了与本课刚开始就前后呼应的小明的故事，然学生们进行解答，体现了人人学有价值的数学的思想，培养学生的创新精神，增强学生的合作意识。调动学生学习的积极主动性，起到激励的作用。
第四环节 课堂小结，布置作业
1．教师提问：三角形全等的条件已经学了哪些？
2．通过今天的活动你有何收获呢？
实际教学效果：提问时遵循了学生的思维规律，并给予了学生充分的时间，去体会知识的形成过程。通过学生的实验与思考，对全等特征进行验证，可以进一步加强学生对所学知识的感性认识。
第五环节 生活连接
活动内容：解决小红提出的问题。
活动目的：对三角形全等条件的理解更加深刻，激发学习兴趣，并为以后的学习打好基础。
实际教学效果：积极为学生创设一个和谐、安全的情景，学生在自主的空间里，自由奔放的想、创作、学习，取得了较好的效果，课后可以让学生自己找一些利用全等解决问题的实际例子。
四、教学体会与反思：
本节课采用探究教学法进行教学，充分发挥学生的主体作用。
在探究活动中，实践、探究、交流，充分发挥学生的想象力和集体的智慧，使不同的学生有不同的发展，在实践中注意给学生充分的时间和空间，特别要从身边生活中的例子入手，激发起每一个学生的求知欲。从熟悉的事物入手，让学生对三角形全等的条件有一个感性的认识，调动学生的积极性，很快抓住学生的注意力，激起学生的探索欲，为实践活动做好充分的铺垫。教师只要创造机会，给学生以充分的自由，把学生看成学习的主人，学生的积极性高涨，自然会有新的突破。
本节课的另一特色是充分发挥媒体的作用，利用课件设计，调动学生的学习积极性，再一次使课堂气氛推向高潮。还可以让学生大胆想象、探索，使更多的同学有更多的锻炼机会。
新课程要求培养学生的应用数学的意识，数学来源于生活，又服务于生活。在整个过程中还要注意发挥评价的作用，不论是探究活动、创作活动都采取自评、互评的方式让学生成为评价的主人。
通过这节课的教学实践，使教师认识到；教学必须紧密联系学生装的生活和实际，使学生对所学的内容兴味盎然，乐于探究。教师最精彩的表现应该是高明的引导者、组织者、合作者，而不是舞台的主人——演员。全面的培养学生的创新意识与实践能力。
D
B
A
O
C
D
A
C
B
E第五章 三角形
5．作三角形
沈阳市光荣中学 林琳
一、学生起点分析
学生的知识基础：学生在七年级上册教材中已经学习过了尺规作图。其中包括理解尺规作图的含义，能完成作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角的基本作图，初步掌握了尺规作图。而对于三角形，它是最简单、最基本的几何图形，学生在生活中随处可见。并且在本章的前4节中学生已经对三角形的有关概念及相关结论有了进一步的学习，如认识三角形、全等三角形、探索三角形全等条件。学生已经初步具备了作三角形的基本知识与技能。
学生的活动经验：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了观察、折纸、拼图、画图、想象、推理、交流等活动，发展了空间观念，积累了一些数学活动经验，具备了一定的动手实践与合作交流能力。
二、教学任务分析
在学生现有的知识和活动经验的基础上，提出具体的教学及学习任务：在分别给出两角一夹边、两边一夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形，并能用自己的语言表述作图的过程。学生在本学段完成后会书写“已知、求作和作法”。能结合三角形全等条件与同伴交流作图过程和结果的合理性。为此，本节课的教学目标是：
1．经历尺规作图实践操作过程，训练和提高学生的尺规作图的技能，能根据条件作出三角形。
2．能依据规范作图语言，作出相应的图形，在实践操作过程中，逐步规范作图语言。
3．通过与同伴交流作图过程和结果的合理性，体会对问题的说明要有理有据。
三、教学设计分析
本节课设计了7个环节：情境引入、作三角形、合作分享、基础练习、拓展提高、课堂小结、布置作业。
第一环节 情境引入
活动内容：首先提出“豆豆书上的三角形被墨迹污染了一部分，你能帮他在作业本上画出一个与书上完全一样的三角形吗？”的问题，自然地引发学生思考“如何作一个三角形与已有的三角形一样呢？”与此同时引导学生回顾三角形的基本元素，以及学过的基本作图
——作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角。学生思考后独立回答。对于两种基本尺规作图，找两名学生板演示范，其他学生在练习本上做。完成后，请学生试着叙述作法，教师规范学生的语言。
活动目的：通过学生处理身边经历过的事情，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的善于观察生活，并能从生活中提炼出数学模型的能力。同时对两个基本尺规作图的复习是为后面的学习做铺垫。自然引出本节课的主要研究内容“如何利用尺规作一个三角形与已知三角形全等呢？”
实际教学效果：学生一开始在问题情境下进行积极思考，思考各种办法进行解决，如：用一张薄纸覆盖在三角形上，描出来未被污染的部分，将污染了一部分的两边延长，两边相交，即恢复成了原来的三角形。提出方案的同时，引导学生考虑方案的可行性。此时，教师与学生一起回顾三角形的基本元素，及尺规的基本作图——作线段、作角。学生能熟练的画一条线段等于已知线段，并用语言描述作图过程。而对于画一个角等于已知角，有些学生作起来稍显困难，需教师重新示范，并说明作图过程。在这一复习过程中，教师对做得好的学生给予鼓励，说明学习知识要扎实，基础打得好后续的学习才会比较容易。
第二环节 作三角形
活动内容：师生共同探索、研究、交流、经历利用尺规作三角形，学生用自己的语言表述作图的过程。本环节学生要按要求完成三个尺规作三角形的内容：
已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形；（豆豆所求助的三角形）
已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形；
已知三角形的三边，求作这个三角形。
首先，学生在教师的引导下分析、交流作三角形时作边与角的先后顺序，再作所求的三角形。第一个作图教师给出作法，并演示作图过程，让学生进行模仿操作；第二个作图只给出作法，不演示，让学生根据已知步骤独立作出图形；第三个作图让学生自己探索作法，并独立作出图形。学生在每个作图完成后，进一步思考“还有没有其他的作法？”，思考后进行操作，尝试表述作图过程，并组织全班进行交流。再提出“大家画出的三角形是否全等”的问题供学生讨论。
活动目的：本环节通过分析—操作—再分析的形式培养学生分析和解决问题的能力。学生通过经历从模仿、独立完成作图、到探索作图的过程，巩固尺规作图的技能，循序渐进的会书写“已知、求作和作法”。在完成三个作图后，都鼓励学生比较各自所作的三角形，利用重合等直观方式观察所作出的三角形是否全等。在此基础上，还引导学生利用已经获得的三角形全等的条件来说明大家所作出的三角形一定是全等的，即说明作法的合理性。这实际上体现了直观操作与推理的相结合，并从中也使学生意识到这两种方法的不同。
实际教学效果：在教师示范第一个作图之后，学生能够学着模仿分析和操作下面的作图，并且在不断地作一个角等于已知角的过程中，逐渐达到熟练。从而，学生可以自己探索作法，并独立作出图形。在整个过程中，学生的画图要比表述作图过程（即写作法）显得自如，有信心。大多数学生对“用准确的语言描述作图过程”感到有很大的困难。即使这样，也要鼓励学生亲自张嘴说一说，尽他的最大可能描述自己的作图顺序及过程，教师即时地加以引导、完善、规范作图所用的语言。使学生可以很快地自己独立完成作图和作法。本环节注意模仿与自主学习的相结合，给学生一个展示自己思维的平台。
学生在完成每一个作图后，都要思考“依据给出的条件作出的三角形会全等吗？”学生能够很好地根据刚刚学过的三角形全等的判别方法中的“ASA”、“SAS”和“SSS”来进行说明，从中体会做法的合理性以及直观操作与推理的相结合。
第三环节 合作分享
活动内容：以4人合作小组为单位，根据问题开展活动。
问题（1）你都知道有哪些常用的作图语言可以用于描述作图过程（即作法）？
问题（2）我们是如何分析作图题的？它的步骤是什么？
活动目的：学生通过前一环节的实践操作，已经有了一定的作图经验。在此基础上提出这两个问题是为了让学生对刚刚的作图过程进行回顾、总结，培养学生善于思考，善于归纳数学方法的能力，并加强学生的语言表达能力。这一环节无论是对已完成的实践操作，还是下面的实战练习都起到至关重要的作用——承上启下。
实际教学效果：各合作小组成员在已有的作图经验基础上积极参与，各抒己见，尽可能多的挖掘作图语言和详细的分析步骤，一派紊而不乱的讨论气氛。最后各小组把自己的研究成果在全班进行展示，与大家分享。在分享的同时全班进行交流，取长补短，使语言更加规范、精练。达到集思广益、互帮互助的教学效果。
第四环节 基础练习
活动内容：1．你能用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段a，b吗？并写出作法。
2．已知∠α和∠β、线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于∠β ，且∠α的对边等于a。
活动目的：对本节的知识进行巩固练习。特别是习题2可以锻炼学生思维，考察学生的应变能力，培养学生的转换思想。并且可以从中体会“AAS”直观操作与推理的相结合。
实际教学效果：学生基本都能很熟练地、快速地分析并作出习题1的三角形，教学效果较好。而对于习题2，需要通过平角画出第三个内角，转换成“ASA”的情况，学生的这种转换思想稍显薄弱，需要教师加以引导、启发。而学生对于转换之后的作图信心十足，能够快且好的完成。
第五环节 拓展提高
活动内容：已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使其有一个内角等于∠α，且∠α的对边等于a，另有一边等于b。
做完后进一步提问：同样是已知两边及一角，为什么会出现两个三角形呢？你从中可以感悟到什么？
活动目的：在学生现有的作图经验基础上，提出多解问题，拓展学生思维，提高学生分析问题的能力。通过“两边及其夹角”和“两边及一边的对角”问题的对比分析，加深学生对判别三角形全等条件“SAS”的理解和“SSA”反例的印象。
实际教学效果：学生能够通过自己的分析画出一种三角形的情况，能想到最后的一段弧会与已作的射线有两个交点，需要在教师的引导和示范下完成。但对于有两个三角形满足条件理解较好。因此，需要开阔学生的视野，提高分析问题的能力。
第六环节 课堂小结
活动内容：师生互相交流作三角形的体会，如何分析作图题，作图语言的应用以及三角形全等条件与作图之间的关系。
活动目的：鼓励学生结合自己本节课的实践体验，谈自己的收获与感想，并与大家交流。锻炼学生组织语言及表达能力，经历与同伴分享成果的快乐过程。
实际教学效果：学生畅所欲言自己的实际收获：会利用尺规作一个三角形；学到了一些作图时常用的作图语言；更深一步理解了三角形全等的判别条件是有图可依的。……
第七环节 布置作业
教科书习题5.10知识技能2，3
问题解决1
四、教学设计反思
1．注重学生经历作图的过程
本节课的重点在于利用尺规依据条件作三角形，并用语言描述作法。因此在教学时留给学生充分的时间动手实践和整理表达。而教师在这里只是一个引导者、协助者的角色，辅助学生更好地完成实践与表达，并及时给予鼓励，使学生对自己能够独立完成任务充满信心。
特别在学生描述作法时，能让学生充分表达后，再给予补充和修改，千万不要用教师的语言代替学生正在逐渐学习中的不够完美的表达。学生只有在自己亲身经历了想象、组织、表达、纠正后印象才会深刻，并且符合学习的规律性。
2．要创造性的使用教材
在教材中，本节课重要介绍了按三个不同的条件作三角形，分别是“ASA”、“SAS”、“SSS”，这三个都是用来判别三角形全等的条件，在本节课中通过作图，得到进一步的直观验证。为了使学生在前面探索出的三角形全等条件全都得到直观认识，因此增加了“已知两角及一角的对边（AAS）”和“已知两边及一边的对角（SSA）”两种情况的研究，使学生能够全面的理解为什么ASA、SAS、SSS、AAS可以作为三角形全等的条件，而SSA是不能判别两三角形全等的。直观、形象、亲历亲为地把直观操作与推理有效的结合起来。
3．可以调整和改进的方面
在教学时应及时了解并尊重学生的个体差异。学生的个体差异主要表现为认知方式和思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异，因此在教学时要及时调整方式，尽可能满足多样化的学习需要，以认知水平、学习能力较好一些的学生带动稍微薄弱的学生的思维，但却不能代替他们的思考，掩盖他们的疑问。在小组合作和全班交流中给不同层次的学生留有一个平台，互相学习，取长补短，使知识的学习和吸收更具有实效性。
b
a
a
β
α
α
a
b第五章 三角形
1．认识三角形（四）
沈阳市第126中学　王红艳
沈阳市第一六0中学　景庆伟
一、学生起点分析:
学生的知识技能基础:学生在前面几节课已经认识了三角形,并且讨论过三角形角平分线、高的定义及性质，同时在七年级上学期了解了两直线互相垂直等概念,会过一点作已知线的垂线，这些为本节课的学习奠定了良好的知识技能基础。
学生的活动经验基础:一方面,在认识三角形的中线,角平分线时,学生已经通过折纸感受到了它们的意义,同时也具有了从事数学实验所必须的一些数学活动经验的基础；另一方面,在以往的数学活动中,学生已经经历了很多合作交流的学习过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作交流的能力.
二.教学任务分析:
本节课主要是三角形高线的概念，并利用折纸和画图等方法认识其共点的性质。三角形的高线概念比较简单，但为了使学生真正理解，教科书上安排了“做一做”、“议一议”、“想一想”三个环节。重点是三角形高线的概念，会画任意三角形的高。难点是画钝角三角形钝边上的高和三角形高的运用。为此，本节课的教学目标如下:
1.知识技能: (1)掌握三角形高线的定义；(2)会画三角形高线。
2.过程与方法:通过观察,操作,想象,推理,交流等活动,发展空间观念,培养学生动手动脑,发现问题及解决问题的能力,以及推理能力和有条理的表达能力。
3.情感与态度:通过折纸,画图等活动,培养学生的动手能力,提高学生的识图技能,使学生的思维变得更灵活。
三.教学设计分析:
本节课共设计了六个教学环节：回顾与思考、做一做、议一议、练习与提高、课堂小结、布置作业。
第一环节:回顾与思考
活动内容：
1．你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗
2．过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
活动目的:让学生先回忆过一点如何作一条直线的垂线,然后再引出三角形高的定义,同时为下面作三角形的高线做准备.培养学生善于找到新知识与旧知识的联系,体会学习是一个连续的过程.
活动效果:学生都能快速回忆垂线的定义,并画出图形，教学效果良好。教师适时引出三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。对过三角形的一个顶点，画出它的对边的垂线，学生的方法很多样，有学生用折纸的方法，有学生用三角尺来画，有学生利用量角器来画。
第二环节：做一做
活动内容：每人准备一个锐角三角形纸片。
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
(3) 这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流.
活动目的：使学生从理论上明确三角形的高,对它有了更深的认识. 会画出和折出锐角三角形的三条高,并能说出它们的位置关系,从而发展学生空间观念,培养动手能力.
活动效果:学生都能理解此定义,并立刻能作出锐角三角形一边的高线. 因为这里有了前面的角平分线和中线的结论,学生在此环节完成的非常好,所以教学时要让学生充分地画和折,并相互交流.
第三环节：议一议
活动内容：
（1) 在纸上画出一个直角三角形。画出直角三角形的三条高,它们有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流.
（2）在纸上画出一个钝角三角形。你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出钝角三角形的三条高吗？钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？将你的结果与同伴进行交流.
活动目的:由锐角三角形的高过渡到直角三角形,再到钝角三角形的高,便于学生从＂动＂的角度研究几何. 通过折、画活动使学生多动脑,并使学生学会对新旧知识进行对比.
活动效果:学生很自然的猜到结论,并且突破了＂画直角三角形、钝角三角形的高＂这一难点. 在这一环节,学生的认识和理解有些吃力,尤其是画出它们, 所以,教学时,应让学生很好的掌握三角形高的定义,思考并回答所提出的问题,并引导他们得出结论,所以要给学生充分的时间和空间去画、去折.
第四环节：练习与提高
活动内容:
基础练习
分别指出下图中△ABC 的三条高。
变式训练
活动目的:巩固本节知识,使学生更熟练地运用它们,进一步让学生认识到直角三角形,钝角三角形中高的位置的特殊性.
活动效果:通过练习,学生都能掌握知识点,效果不错.
第五环节：课堂小结
活动内容:总结本节的重点内容和应注意的问题.
顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角形的三条高所在直线交于一点
活动目的:使学生对三角形高线的认识上升一个高度.
活动效果:学生通过自己的思考、归纳、总结本节课所学的知识要点，并敢于提出问题，说出自己的困惑，激发了学生的学习兴趣。
第六环节：布置作业
习题5.4
四、教学设计反思:
本节课利用多媒体辅助教学,加大了课时容量,突破了教学难点.本节贯彻以＂教师为主导,学生为主体,练习为主线＂的教学原则,采用启发式教学方法,辅之以讲授,讨论等方法,力求体现＂数学教学主要是数学活动的教学＂,力求使学生对数学知识,技能和思想方法统一起来,体现学生的数学素养全面地提高.第五章 三角形
4. 探索三角形全等的条件（三）
辽宁省沈阳市光荣中学 吕洋
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生对三角形比较熟悉，会准确找出边和角。在前面几节中又学习了判定三角形全等的条件：SSS、ASA、AAS。能够根据给出的条件画出满足条件的三角形，并且具备了一定的推理能力。
学生的活动经验基础：在相关知识的学习中，学生已经历了一些画图、推理活动，解决了一些简单的推理问题，感受到了动手画图对比的重要。同时在以前的数学学习中学生已经经历了合作学习的过程，具备了一定的合作交流能力。
二、教学任务分析
教科书基于学生对前三种判定三角形全等的条件的认识，提出了本课的具体学习任务，根据第一节的经验，可知判定一个三角形全等需要三个条件，除了三边、两角一边、还剩下两边一角的情况。学生能够画图对比，得出“两边及夹角对应相等的两个三角形全等”这个结论。并针对“两边及其中一边的对角”举出反例，与前面几节的学习形成一个严谨的课堂结构。为此，本节课的教学目标是：
1．通过分组画图比较，得出SAS的结论，培养学生思维的全面性。
2．让学生在活动过程中，发展合作交流能力和语言表达能力。
3．能够利用全等条件判定两个三角形全等并会用数学语言说明理由。
4．在解决问题中发现问题，通过虚心交流解决问题，互相启发，互相受益。
5．在活动过程中体会结论的客观真实性，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生依据已知结论分析问题、解决问题的良好习惯。
三、教学设计分析
本节课设计了七个教学环节：知识回顾、分类研究、画图比较、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业。
第一环节 知识回顾
活动内容：复习提问。判断三角形全等的方法有几种，分别用语言加以描述。
活动目的：通过第一个活动使学生能很快进入课堂角色。培养学生善于总结、善于反思的学习品质，并在此过程中培养学生勇于探索的精神。学生在已有的经验基础上很快说出“已知两边及一角有两种情况，分别是：两边夹角和两角及一边的对角。”从而打开了学习的大门，在课堂中用学生找到的问题作为突破口，极大地激发了学生的学习积极性和主动性。
实际教学效果：学生在回顾过程中积极思考，归纳总结，对现有的判定方法有了进一步的巩固和理解，并通过语言描述，更加深了印象，顺理成章地引出本节课的教学内容，极大地此激发了学生的求知欲。
第二环节 分类研究
活动内容：通过小组讨论，明确两边及一角的情况，就此三个条件找出分为两类，并对每类的情况进行解释说明。
活动目的：培养学生思维的严谨性，并亲身体验、归纳两种情况的区别及研究的意义，并针对两种情况进行进一步的研究。
实际教学效果：学生在一个开放的环境下，通过合作交流，从中获得信息，讲解中互相补充，气氛热烈，使思维更加严谨。
第三环节 画图比较
活动内容：1．按要求画图：已知两边分别为2．5厘米、3．5厘米，它们的夹角为
４０°。分小组画图，鼓励学生利用量角器、直尺、三角板等一切工具画三角形，并要求画出的三角形尽可能准确，减少误差。
２．按要求作图：以２．５厘米，３．５厘米为边，以２．５厘米的边所对的角为４０°。分小组画图，要求同１。
活动目的：培养学生动手操作能力和分析能力并体会画图方法的多样性。为下一环节的总结做好准备。
实际教学效果：学生积极参与，学习热情高涨，亲身经历了画三角形的过程，为下一环节“合作学习”打好了基础。
学生所画图形展示：
第四环节　合作学习
活动内容：１．⑴学生根据各小组所画的图形，剪下后对比分析，看图形是否完全重合。
⑵通过对比、交流，最终对研究的问题作出决策。
⑶总结结论，培养了语言表达能力。
２．小组内合作探究，剪下所画图形后对比分析图形是否全等，并互相补充产生这种情况的原因。
目的活动：此处留给学生充分的时间与空间思考画图的方法。并培养学生对某个问题作出正确判断、合理决策的能力。使学生完整地经历动手操作、总结结论的活动过程，深刻体会到实践可以为科学合理地判断决策问题提供有力依据。
实际教学效果：学生积极参与画图，方法多样，能从动手实践中找到行之有效的方法。
第五环节 练习提高
活动内容：1．分别找出各题中的全等三角形，说明理由。
2．小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，DE=FD。将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同伴交流。
3．在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线。那么BD与CD相等吗？为什么？
4．如图，已知AB＝AC，AD＝AE。那么∠B与∠C相等吗？为什么？
5．如图，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC，那么△ABC与　△FED全等吗？为什么？
AC∥FD吗？为什么？
6．小颖作业本上画的三角形被墨迹污染,她想画出一个与原来完全一样的三角形,她该怎么办呢 你能帮帮小颖吗
活动目的：对本节知识加以巩固。
实际教学效果：学生能正确利用所得结论进行简单的推理，并能用合理的数学语言表述。在练习的过程中，推理能力得到了提高。通过解决实际问题培养了学生理论应用与实践的思想。
第六环节 课堂小结
活动内容： 学生畅所欲言，表达这节课的学习感受，总结收获、体会。教师总结。
活动目的：使学生养成善于总结的良好习惯，并能整理思路，为今后的学习打下坚实的基础。
实际教学效果：学生基本能够按要求画出图形，并能够从小组交流合作中，通过对比得出SAS的判定三角形全等的方法。并能通过画图对比，得出两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等的结论。学生能通过得到的判定方法练习、巩固所学的知识，加深了理解。
第七环节 布置作业
习题5.9
四、教学设计反思
1．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
通过小组合作画图的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
2．注意改进的方面
在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
40°
3.5cm
2.5cm
40°
3.5cm
2.5cm
2.5cm
3.5cm
40°
40°
3.5cm
2.5cm
D
C
B
A
F
D
E
40°
C
B
A
40°
H
E
F
D
D
A
B
C
E
D
B
A
C
F
E
D
A
B
C(共17张PPT)
沈阳市第100中学　段宏伟
下面请大家仔细观察一组图片，看看它们有什么共同特点
斜梁
斜梁
直 梁
1.你能从中找出四个不同的三角形吗？
2.与你的同伴交流各自找到的三角形。
3.这些三角形有什么共同的特点？
观察下面的屋顶框架图
想一想：
请同学们自学课本并回答有关问题。
你能回答吗
三角形有三条边、三个内角 、三个
顶点、三条线段首尾顺次相接。
1.这些三角形有什么共同的特点？
A
B
C
D
E
F
G
　　由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.什么叫做三角形？
3.如何表示三角形？
　　三角形可用符号“△”表示，如右图
三角形记作：△ABC
A
C
B
4.三角形的边可以怎么表示？
如图三角形中三边可表示为AB，BC，AC，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示c
注意:
1.表示三角形时，字母没有先后顺序；
2.如下图，我们把BC(或a）叫做 A的对边，把AB（或c），AC（或b）分别叫做 A的邻边.
A
B
C
c
a
b
边：
三角形中三边 AB，BC，AC.
如果我说三角形有三要素,你能猜出是哪三要素吗
A
B
C
b
a
c
角：
三角形中有三个角：∠A，∠B，∠C.
顶点：
三角形中有三个顶点，顶点A，顶点B，
顶点C.
1.小强用三根木棒组成的图形，其中符合三角形概念是（ ）
B
此图中有几个三角形？你能表示出来吗
A
C
ABC
AC
AB，BC
A
B
C
D
E
2.如图三角形ABC 记作：
∠B的对边:
邻边是:
练一练
C
(1) 元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由。
三角形任意两边之和大于第三边
利用你发现的规律填空
AB+AC BC
AB+BC AC
AC+BC AB
A
B
C
A
B
C
A
B
c
议一议
(2)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系
为什么 由此你能得到什么结论
有人说他一步能走3米， 你相信吗？
不可能
A
B
C
分别量出下面三个三角形的三边长度，并填空。
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a=_____
b=_____
c=_____
(2)a=_____
b=_____
c=_____
(3)a=_____
b=_____
c=_____
计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？
做一做
三角形任意两边之差小于第三边
1. 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？动手摆一摆。
解题技巧
三角形第三边的取值范围是:
两边之差<第三边<两边之和
练习提高
人行横道
2. 请用所学的数学知识解释：
为什么经常有些行人斜穿马路而不走人行横道
或者两点之间的所有连线中，线段最短。
三角形任意两边之和大于第三边。
.A
.B
理由：
C
.
3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？实际摆一摆，验证你的结论。
(1) 3cm, 4cm, 5cm;
(2) 8cm, 7cm, 15cm;
(3) 13cm, 12cm, 20cm;
(4) 5cm, 5cm , 11cm.
比较两较短线段之和与最长线的大小即可。
4.现有长度分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm的五条线段，从其中选三条线段为边可以构 成 个不同的三角形。
5.如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，那么第三边长为 。若第三边为偶数，那么三角形的周长 。
6.一个等腰三角形的两边长分别为25和12，则第三边长为 。
A
B
C
D
7.有四个汽车停车场，位于如图所示的四边形ABCD的四个顶点，现在要建立一个汽车维修站，你能利用“三角形任意两边之和大于第三边”在四边形ABCD的内部找一点P，使点P到A，B，C，D四点的距离之和最小吗？
1.三角形的概念
2.三角形的三要素
3.三角形的表示方法
4.三角形三边之间的关系
本节课的学习你有哪些收获？(共19张PPT)
沈阳市第一三四中学 白洪涛
沈阳市和平区教师进修学校 王继伟
北师大 七年级《数学(下)》
这些图形中有些是完全一样的，如果把它们叠在一起，它们就能重合。你能分别从图中找出这样的图形吗？
请欣赏图片
全等图形的形状和大小都相同
形状
相同
大小
相同
观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？
如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同
练习：
一、找出下列图形中的全等图形
想一想：
如图是由几种全等图形拼凑而成的
如果上图1是4×4的方格子有哪些分割方法？
沿图形中的虚线，分别把下面图形划分为两个
全等图形（至少找出两种方法）
如图，做四个全等的小“L”型纸片，将它们拼成一个与大“L”全等的图案。
与图1所示图形全等的图形是
将图2绕A点顺时针转90°所得到的图形是
图1
图2
A
B
C
D
D
A
B
C
A
B
C
本 课 概 要
的图形称为全等图形；
如果两个图形全等，那么它们的 一定都相同；
把一个图形划分为两个全等图形 ；
把几个全等的图形拼成一个大的图案。
两个能够重合
形状和大小
　通过这节课的学习，你对
全等图形有哪些认识？
习题5.5
作 业
一．你能把下面的这个平行四边形
1．分成两个全等的图形吗？
２．分成四个全等的图形吗？
３．分成三个全等的图形吗？
作业
图片欣赏：《作三角形》 教学设计说明
沈阳市第一二六中学 梁宁
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生已经学习过用尺规作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，在本章前面几节课中，又学习了全等三角形的判定方法，初步理解了全等三角形的涵义，具备了用尺规作三角形的基本技能。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些作图活动，会作一些简单的图形，感受到了尺规作图的必要性和严密性，具备了一定的动手能力；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
在学生现有的知识和活动经验的基础上，提出具体的教学及学习任务：在分别给出两角一夹边、两边一夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形，并能用自己的语言表述作图的过程。学生在本学段完成后会书写“已知、求作和作法”。能结合三角形全等条件与同伴交流作图过程和结果的合理性。为此，本节课的教学目标是：
1.在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形.
2.能结合三角形全等条件与同伴交流作图过程和结果的合理性.
3.在学生利用尺规作图的过程中，培养学生的动手能力和探索精神.
三、教学设计分析
本节课设计了5个环节：巧设现实情境，引入新课、讲授新课、课堂练习、课时小结、课后作业。
第一环节 巧设现实情境，引入新课
［师］在第二章里我们已研究了用尺规作图.会用尺规作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角.现在来回忆一下：用尺规作图的步骤：
［生］用尺规作图的步骤有：已知、求作、分析、作法.
［师］很好.下面大家来画一条线段等于已知线段.
［生］已知：线段a,求作：一条线段，使它等于a.
图5－141
作法：1.画射线AC.
2.在射线AC上截取AB=a.
则线段AB就是所求作的线段.
图5－142
［师］好，那如何作一个角等于已知角呢？
［生］已知：∠AOB.求作：一个角，使它等于∠AOB.
图5－143
作法：1.画射线O′B′.
2.以O为圆心，以任意长为半径画弧.交OA于D点，交OB于C点；
3.以O′为圆心，以OC的长为半径画弧.交O′B′于点C′.
4.以点C′为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于D′.
5.过D′作射线O′A′.
则∠A′O′B′就是所求作的角.
图5－144
［师］很好，从回答问题中知道大家基本掌握了用尺规作线段和角.边和角是三角形的基本元素.如果给了一些三角形的基本元素，你能用尺规作出一个三角形，使它满足已知条件吗？这节课我们就来利用尺规作一个三角形与已知三角形全等.
第二环节 讲授新课
［师］下面我们来做一做（出示投影片）
1．已知三角形的两边及其夹角.
求作这个三角形.
［师］如何求作这个图形呢？
［师生共析］需要先写出已知、求作，然后进行分析，最后画图形，写作法.
已知：线段a，c，∠α.
图5－145
求作：△ABC，使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.
图5－146
分析：假设这个三角形已作出，如图5－146.从图中可知，是两边夹角，所以可先作一条线段等于已知线段中的任一条，然后以所作的线段为角的一边，它的一端点为角的顶点，作角.使这个角等于已知角，再在角的另一边截取已知线段的另一条，最后连结，组成三角形.
［师］下面大家按老师的叙述步骤来作图.
作法 示范
1.作一条线段BC=a
2.以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC=∠α
3.在射线BD上截取线段BA=c
4.连接AC.△ABC就是所求作的三角形.
［师］很好，将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？
［生齐声］全等.因为两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
［师］同学们真棒.大家想一想：这个题还有没有其他的作法呢？
［生］有，先作出一个角等于已知角，然后再在角的两条边上分别截取线段等于已知线段.从而作出三角形.
［师］很好.哪位同学口述作法呢？
［生］1.作∠DBF=∠α
2.在射线BD上截取BA=c
在射线BF上截取BC=a
3.连接AC.
则：△ABC就是所求作的三角形.
图5－147
［师］这位同学叙述得真好.下面大家来根据作法画出相应的图形
2．已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.
已知：∠α、∠β，线段c
图5－148
求作：△ABC，使∠A=∠α、∠B=∠β，BA=c.
请按照给出的作法作出相应的图形.
作法 图形
1.作∠DAF=∠α
2.在射线AF上截取线段AB=c
3.以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β.BE交AD于点C△ABC就是所求作的三角形
［师］在画图时，要准确运用直尺和图规，并要注意保留作图痕迹.
［生］我们根据给出的作法，画出相应的图形:如图5－149：
图5－149
［师］同学们画得很准确，将你作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？
［生］我所作的三角形与同伴作出的三角形进行了比较，它们全等.因为两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
［师］很好.下面同学们来独立作一个图形以巩固尺规作图的技能.
第三环节 课堂练习
3．已知三角形的三条边，求作这个三角形.
已知：线段a，b，c
图5－150
求作：△ABC,使AB=c，AC=b,BC=a.
（1）请写出作法并作出相应的图形.
（2）将你作出的三角形与同伴作的进行比较，它们全等吗？为什么？
答案：（1）作法及图形如下表.
（2）根据已知条件所作的三角形都是全等的.因为三边对应相等的两个三角形全等.
作法 图形
1.作一条线段BC=a
2.分别以B、C为圆心，以c,b为半径画弧，两弧交于A点
3.连接AB、AC，则△ABC就是所求作的三角形
在完成三个作图后，要鼓励学生比较各自所作的三角形，利用重合等直观的方法观察所作的三角形是否全等。在此机会上，引导学生利用已经获得的三角形全等的条件来说明大家所作的三角形一定是全等的，即说明作法的合理性。
第四环节 课时小结
本节课我们利用尺规作出一些三角形.
在几何作图中，通常先画出所要求作的图形的草图，然后根据草图把已知事项具体化；在求作中，通常先写出要作出什么图形，再写出这个图形符合什么条件.写作法时，一般不重复基本作法过程.如：作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角等.
几何作图的每一步作图都必须有根有据.
第五环节 课后作业
（一）课本习题5.10 2，3
（二）1.预习内容：P173~174
2.预习提纲
（1）复习三角形全等的条件.
（2）如何利用三角形全等解决实际问题.
四、教学设计反思
本节课的内容比较多，学生对作图的步骤有混淆的情况发生，学生对于自己探索“已知三角形三边作三角形”的作图过程存在一定的难度。用自己的语言表达作图过程也是不大理想。有待练习巩固。问题解决
小明说：“三角形一边的两个端点到这边上的中线所在直线的距离相等。”你认为小明的话有道理吗？为什么？
A
B
C
D
EE可利用的教学素材
1．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
2．小明没有量角器，但他利用三角板也画出了一个角的平分线。下面是他的做法，你认为他的画法对吗？说说你的理由。
画法：（1）利用三角板在∠AOB的两边上，分别取OM=ON；
（2）分别过M，N画OA，OB的垂线，交点为P；
（3）画射线OP。
射线OP即为的角平分线。
创③⑩的
活动与发展
没有量角器,利用三角板也能画出一个角的平分线吗 下面是小红的做法,她的画法正确
反
A
画法:①利用三角板在∠AOB的两边上,分别取OM=ON
一、选择题(每题4分,
②分别过M、N画OA、OB的垂线,交点为P.
O
1.如图,AB=CD,AD
画射线OP
A SAS
B
射线OP即为∠AOB的角平分线
B
B
(第
2.如图,图中的全等图形
13.如图,A、B两个建筑物分别位于河的两岸,要测得它们之间的距离,可以从B出发沿河岸作
A.1对
射线BF,且使BF⊥AB,在BF上截取BC=CD,过D作DE⊥BF,使E、C、A在一条直线
3.下列条件中,可以确定
上,则DE的长就是A、B之间的距离.请你说明其中的道理你还能想出其他方法吗
A. BC- BAB'C
C
AB
2007如00①
A. AD= BC
B第五章 三角形
1．认识三角形（一）
沈阳市光荣中学　张丽
沈阳市第一六0中学　景庆伟
学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在小学已经学习了有关三角形的一些初步知识，能在生活中抽象出三角形的几何图形，并能给出三角形的简单概念及一些相关概念.但不够严密，教师要在教学中指出，并要相对严密地给出概念.
学生活动经验基础：学生在以前的几何学习过程中,已对图形的概念、线段及角的表示法、线段的测量等有了一定的认识,为认识三角形概念、表示法、边的关系的学习奠定了基础.同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二. 教学任务分析
本节课基于学生在小学数学中学习了有关三角形的一些初步知识，所以在观察生活图片抽象三角形的几何图形学生会理解地很好，对三角形的边角也能很好理解.教学中注重三角形三边关系在生活中的应用,渗透数学来源于实践又能应用于实践的思想,在解题中培养学生的合作交流意识,逐步达成学生的有关情感态度目标.因此
本节课设计了如下的教学目标是:
1．让学生掌握三角形的概念及三角形的三边关系,并能运用三边关系解决生活中的实际问题.
2．通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念,推理能力和有条理地表达能力.
3．结合具体实例,进一步认识三角形的概念,掌握三角形三条边的关系.
4．联系学生的生活环境、创设情景,使学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.
三. 教学设计分析
本节课设计了六个环节:现实情境引入、三角形的概念、探索三角形三边关系、练习提高、课堂小结、布置作业.
第一环节 现实情境引入
活动内容： 让学生收集生活中有关三角形的图片,课上让学生举例,并观察图片.
活动目的： 让学生能从生活中抽象出几何图形 ,感受到我们生活在几何图形的世界之中. 培养学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质,从而更大地激发学生学习数学的兴趣.
实际教学效果：学生能很好的找出生活中的三角形的实例,如教师用的三角板、人字架房屋、自行车的大梁、三角架、埃及金字塔等.
第二环节 三角形概念的讲解
活动内容 观察下面的屋顶框架图,回答如下问题
(1)你能从中找出四个不同的三角形吗？
(2)与你的同伴交流各自找到的三角形。
(3)这些三角形有什么共同的特点？
通过上题的分析引出三角形的概念、三角形的表示方法及三角形的边角的表示方法.并出两道习题加以练习，从练习中归纳出三角形的三要素和注意事项.
活动目的: 通过观察三角形的组成,归纳出它的概念.了解三角形的表示方法,进而能从复杂图形中找出其个数并能表示三角形.培养学生观察和分析能力及归纳总结的能力.
实际教学效果：学生对三角形的概念已牢固掌握并能熟练应用,并能在图中找出三角形的个数,在表示三角形的角方面,应该用三个大写字母表示角，个别学生用一个大写字母表示.
第三环节 探索三角形三边关系
活动内容:
第一部分 探索三角形的任意两边之和大于第三边
元宵节的晚上,房梁上亮起了彩灯,装有黄色彩灯的电线与装有红色的彩灯的电线哪根长呢？以及小狗吃食物发现三角形任意两边之和与第三边的长度的关系,并让学生通过测量验证结论是否正确.
第二部分 探索三角形的任意两边之差小于第三边
通过让学生测量任意三角形三边长度来比较两边之差与第三边的关系,教师通过几何画板验证,从而得出结论.
活动目的: 通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展学生空间观念、推理能力和有条理地表达能力，让学生知道数学来源于生活又作用于生活,培养学生能善于观察生活从生活中寻找数学知识.在测量过程中培养学生合作交流意识,在交流中认识三角形三边和差关系.
实际教学效果：在研究彩灯问题中,学生都认为装有黄色彩灯的电线长,但他们理由不同.学生甲是通过测量得到的;学生乙是通过上册书中学习的两点间线段最短得到的;学生丙认为在一个三角形中,任意两边之和大于第三边.他认为△ABC中,若把B、C这两个顶点看作是定点,由“两点间线段最短”可以得到:AB+AC>BC.同样,若把顶点A、C看作定点,可以得到:AB+BC>AB,若把顶点A、B看作定点,可以得到:BC+AC>AB.因此可以得: 三角形的任意两边之和大于第三边.
在测量任意三角形三边时,学生画出了钝角三角形、直角三角形和锐角三角形,并测量、计算、比较,得到了: 三角形的任意两边之差小于第三边.这关系也可以通过三角形的任意两边之和大于第三边推导,有的学生实际上也用它推导了.学生掌握了三角形三边的关系.
第四环节 练习提高
活动内容: 1.有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？动手摆一摆。学生回答完上面问题后想一想能取一根木棒与原来的两根木棒摆成三角形吗？
2. 为什么经常有行人斜穿马路而不走人行横道线？
3．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？实际摆一摆，验证你的结论。
（1）3cm, 4cm, 5cm ; (2)8cm, 7cm, 15cm；
(3 ) 13cm, 12cm, 20cm; (4)5cm, 5cm, 11cm
4.现有长度分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm的五条线段，从其中选三条线段为边可以构 成 个不同的三角形。
5.如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，那么第三边长为 。若第三边为偶数，那么三角形的周长 。
6.一个等腰三角形的两边长分别为25和12，则第三边长为 。
7.若△ABC的三边为a、b、c,则化简 a+b-c – b-a-c 的结果是（ ）.
A 2a-2b B 2a+2b+2c
C 2b-2c D 2a-2c
8.有四个汽车停车场，位于如图所示的四边形ABCD的四个顶点，现在要建立一个汽车维修站，你能利用“三角形任意两边之和大于第三边”在四边形ABCD的内部找一点P，使点P到A，B，C，D四点的距离之和最小吗？
活动目的:主要是让学生掌握三角形三边的和差关系具体的应用，并能应用生活中实际问题。同学之间可以合作交流互相探讨，发展学生空间观念、推理能力，使学生善于观察生活、乐于探索研究，激发学生学习数学的积极性，从中适当的对学生进行德育教育。
实际教学效果：在探索第一题时学生积极发言，也能取一根木棒与原来的两根木棒摆成三角形。第二题学生理由说得非常好，能说出两个原因，学生甲：三角形的任意两边之和大于第三边；学生乙：两点之间的所有连线中，线段最短。同时也教育学生穿越马路时间越长就越危险，所以我们要遵守交通法规。三、四、五题学生理解较好，都能答对。但第六题有的学生答12；有的答25 ；有答12或25。学生在等腰三角形中就忽略了三角形成立的条件。第
七题是绝对值与三角形三边和差的综合应用，有的学生在去绝对值时符号发生了错误。六、七题在学生互相交流讨论中理解了这两道题。第八题是联系生活实际题，学生是通过两点之间的所有连线中，线段最短解决此问题。很少学生会从三角形三边关系来解决，大家通过探讨交流很快也解决了此问题。
第五环节 课堂小结
活动内容:学生自我谈收获体会，说说学完本节课的困惑。教师做最终总结并指出注意事项。
活动目的:让学生畅所欲言，谈收获体会，教师给予鼓励。主要是让学生熟记新知能应用新知解决问题。培养学生概括总结的能力。
实际教学效果：学生对本节内容归纳为以下两点：1.了解了三角形的概念及表示方法；
2.三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边.
注意事项为：判断a，b，c三条线段能否组成一个三角形，应注意：a+b>c,a+c>b,b+c>a三个条件缺一不可。当a是a，b，c三条线段中最长的一条时，只要b+c>a就是任意两条线段的和大于第三边。
第六环节 布置作业
课本习题5.1
四 教学设计反思
本节设计的成功之处为：一是创设生活情境引入三角形，让学生能从生活中抽象出几何图形 ,感受到我们生活在几何图形的世界之中.；二是在验证三边和差时充分的调动了学生的积极性，在实践中总结了结论。学生能印象深刻，为理论的应用奠定基础。同时通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展了学生的空间观念,推理能力和有条理地语言表达能力；三是注重了理论联系实际，适时的对学生进行德育教育。培养了学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质,从而更大地激发学生学习数学的兴趣.
今后注意改进的方面，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要一些思维活跃的学生
的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。平时要多注重学生几何语言的培养，多让学生在生活中发现数学学习数学。
斜梁
斜梁
直梁
A
B
C
D教材给出了几种进行简单说理时的表示方法，如用自然语言或在图上标注等。这些写法是不规范的，这给教师批改作业带来很多麻烦。重要的是，这种不统一是否会在学生中造成混乱？为什么不现在就教给学生严格规范的写法？
按照本套教材的系统，从八年级下册才给出公理化证明的体系，并开始严格的演绎推理证明和要求学生规范地进行书写。
在没有给出公理化体系之前，进行演绎推理证明是缺乏依据的，因此教材的要求是先让学生“说理”，强调学生思维的条理性和对推理过程的理解，再逐步过渡到演绎推理证明。
可以说，在这个阶段，学生的表达形式可以多样，但思维的条理性是统一要求的。
学生对演绎推理证明的学习，是需要一定的过程的。“甚至到现在一想到欧几里得，我都得擦擦满是汗水的前额”，瑞典诗人C.M.贝尔曼写道。
因此，在学习某一概念或知识的开始，教材总是给学生一个可以用自己的方式进行表达的机会，从不规范到规范，从学生自己的多种方式到严格的数学方式，是教材的一贯作法。这体现了教材对学生思考过程的关注、对学生概念形成过程的关注。
从八年级下册开始，学生将被要求按照一定的格式进行证明的书写。(共17张PPT)
吕洋
第4节 探索三角形全等的条件（三）
沈阳市光荣中学
第五章 三角形
温故知新
到目前为止，你知道哪些判定三角形全等的方法？
边边边（SSS）
角边角（ASA）
角角边（AAS）
根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了上述三种情况外，还有哪种情况？
两边一角相等
那么有几种可能的情况呢？
两边及夹角或两边及其一边的对角
（1）两边及夹角
三角形两边分别为2.5cm，3.5cm，它们所夹的角为40°，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
3.5cm
2.5cm
40°
A
B
C
3.5cm
2.5cm
40°
D
E
F
结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”.
以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40°，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
C
A
B
D
E
F
2.5cm
3.5cm
40°
40°
3.5cm
2.5cm
(2)两边及其中一边的对角
结论：两边及其一边所对的角对应相等，两个三角形不一定全等
分别找出各题中的全等三角形
A
B
C
40°
40°
D
E
F
(1)
D
C
A
B
(2)
△ABC≌△EFD (SAS)
△ADC≌△CBA (SAS)
小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流。
E
F
D
H
补充练习：
D
C
B
A
在△ABC中，AB=AC，
AD是∠BAC的角平分线。
那么BD与CD相等吗？为什么？
解：相等，理由：因为AD是∠BAC的角平分线
所以∠BAD＝∠CAD
因为AB＝AC
∠BAD＝∠CAD
　AD＝AD
所以△ABD≌△ACD（SAS）
所以BD＝CD
B
C
D
E
A
如图，已知AB＝AC，AD＝AE。
那么∠B与∠C相等吗？为什么？
C
E
A
B
A
D
解：相等 理由：在△ABD和△ACE中
所以△ABD≌△ACE（SAS）
所以∠B＝∠C
F
E
D
C
B
A
如图，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC，那么△ABC与△FED全等吗？为什么？
解：全等。因为BD=EC　 所以BD－CD＝EC－CD。即BC＝ED　　
在△ABC与△FED中
所以△ABC≌△FED（SAS）
AC∥FD吗？为什么？
所以∠1＝∠2
所以∠3＝∠4
所以AC∥FD
4
3
1
2
小颖作业本上画的三角形被墨迹污染,她想画出一个与原来完全一样的三角形,她该怎么办呢
你能帮帮小颖吗
1. 今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？
边角边（SAS）
2. 通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？
SSS，SAS，ASA，AAS
3.在这四种说明三角形全等的条件中，你发现了什么？
至少有一个条件：边相等
“边边角”不能判定两个三角形全等第五章 三角形
1．认识三角形（二）
沈阳市第一二四中学 龚平
沈阳市和平区教师进修学校 杨惠玲
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在小学已经学习了三角形的三个内角和等于180°，并且在第二章对两直线平行的条件以及平行线的特征进行了探索，使学生具备了利用平行线的结论得出三角形内角和的结论的基本知识和基本技能。
学生的活动经验基础：在小学学习三角形的内角和的结论时是通过撕、拼的方法得到的，具备了直观操作的经验，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
1. 知识与技能目标：
⑴经历实验活动的过程，得出“三角形内角和等于180°”；
⑵能从“三角形内角和等于180°”中探索出直角三角形两锐角互余的性质；
⑶能应用三角形内角和等于180°来解决一些简单的求三角形内角和问题；
⑷会按角的大小关系对三角形分类；能从所给出的已知角中，判断出三角形的形状。
2. 过程与方法目标：通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念，推理能力和有条理的表达能力。
3. 情感与态度目标：通过对问题的发现和解决，培养学生的相互协作意识及数学表达能力，体验探索、交流与成功。
三、教学设计分析
本节课设计了六个教学环节：回顾与思考、拼一拼，说一说、猜角游戏、练习提高、课堂小结、布置作业。
第一环节 回顾与思考
活动内容：
1. 提出问题： 三角形三条边的关系我们已经明确了，而且利用上述关系解决了一些几何问题，那么三角形的三个内角有何关系呢？
2. 学生利用小学探究过的方法，将课前准备的任意三角形纸片的三个角剪下来拼在一起。
活动目的：
新课引入的好坏在某种程度上关系到课堂教学 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )的成败，本节课从旧知识切入，特别是从知识体系考虑引入，学习了三角形边的关系，自然想到三角形角的关系怎样呢？使学生感觉本节课学习的内容自然合理。
小学时，学生已经通过撕、拼的方法得到了三角形内角和为180°的结论，这里让学生重新经历这个过程。根据现代建构主义理论，从学生思维的最近发展区出发，创设问题情境，激活原有的认知结构。通过回顾与思考这一环节，引导学生主动利用认知结构中已有的经验，去发现新的验证三角形内角和为180°的方法。
实际教学效果：把问题作为教学 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )的出发点，创设问题情境，激发学生学习兴趣和求知欲，为发现新知识创造了一个最佳的心理和认知环境。
第二环节 拼一拼，说一说
活动内容：以4人合作小组为单位，充分利用课前准备的任意三角形纸片，探索新的验证三角形内角和为180°的方法。然后各小组选派代表展示设计的方案并陈述理由。
活动目的：学生在探究的过程中，教师到各小组巡回指导，参与他们的讨论，鼓励他们提出疑问，但是并不急于评判他们的答案，而是有针对性的启发和指导，引导学生在操作中自觉思考：能否利用平行线的有关事实说明理由，让学生们去主动思考，团结协作的释疑。
在这一环节中一方面充分利用学生已有的知识和经验，另一方面使学生通过多角度思考、分析、说理、操作加深学生对三角形内角和为180°的理解，从而突出和解决了本节课的重点，同时在教学中注重在直观操作的基础上进行简单的推理，使学生学会用一定的方式有条理地表达推理过程，为今后的几何证明打下基础。
实际教学效果：通过小组讨论、直观教具演示、设置类比情境等手段，激发了学生学习的兴趣，创设师生间民主、互动的学习氛围，为每一个学生创设了平等参与学习的机会。通过合作交流，使学生在横向交流中各尽所能，取长补短，各有所获，在交往互动中共同发展。
第三环节 猜角游戏
活动内容：
1. 以4人合作小组为单位，每组剪出三个不同的三角形，用书夹住三角形，只露出一个内角，让同学猜其余两个内角是什么样的角？并说明理由。然后让学生按照电脑演示的情况进行猜测和说理。
2. 从上述游戏活动中找出直角三角形两个锐角之间的关系。
活动目的：
通过第1个活动，使学生从游戏中归纳出来根据三角形内角的大小只能把三角形分成三类，电脑展示分类情况。然后让学生任意说出三角形的两个内角的度数，请其他的同学说出是什么三角形。通过对三角形分类的学习,使学生了解数学分类的基本思想。当只露出一个内角为锐角时，引导学生发现三种情况都是可以的，即两个锐角，一个锐角一个直角，一个钝角一个锐角，从而使学生初步体会反证法的思想，为后面进一步研究反证法奠定基础。
通过第2个活动，是使学生在理解三角形内角和为180°之后的延伸——直角三角形的符号、斜边、直角边的名称以及直角三角形两个锐角互余，培养学生良好的学习习惯，，提高学生灵活运用所学知识的能力。
实际教学效果：通过在游戏中对问题的解决，使学生有成就感，培养了学生的合作精神，树立了学好数学的信心。学生通过自己的游戏活动，发现三角形三个角之间的关系与三角形的具体形状无本质关系，特殊三角形的特殊性质与其形状有关——直角三角形两个锐角互余。
第四环节 练习提高
活动内容：在这个环节设计了练一练、想一想、知识技能、实际问题
练一练
1. 观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应图内：
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
2. 已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.
⑴图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说出它们的直角边和斜边。
⑵∠ACD和∠A有什么关系？∠BCD和∠A呢？
想一想
一个三角形中会有两个直角吗？可能两个内角是钝角或锐角吗？
知识技能
1.已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，∠A＝70°，∠C＝30 °， ∠B＝（ ）
2.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角（ ）度。
3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=（ ）
4.如果△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5，此三角形按角分类应为 （ ）。
实际问题
如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，
请你根据图中所标数据求∠ACB的大小，当轮船距离灯塔C最近时，∠ACB是多少度？
活动目的：关于练习的安排是按照由易到难，由简到繁的学习心理和认知规律过程设计的，便于学生循序渐进地掌握知识。
实际教学效果：在练习的过程中对学生给予及时的肯定、表扬、激励，使不同的学生得到不同的发展，特别是“学习有困难”的学生也能够积极参与。
第五环节 课堂小结
活动内容：引导学生进行小结
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获与感想，包括三角形的内角和为180°，直角三角形的表示法及有关概念，直角三角形两锐角互余，三角形按角分类。
实际教学效果：学生通过自己的思考、归纳、总结本节课所学的知识要点，并敢于提出问题，说出自己的困惑，使学生带着问题走进课堂，又带着思索走出课堂，不仅激发了学生的学习兴趣，而且使数学学习延伸到课外。
第六环节 布置作业
习题5. 2 1，2，3
四、教学设计反思
1. 让学生体验“做数学”、“说数学”
在教学过程中学生在教师创设的情境下，自己动手操作、动脑思考、动口表达，探索未知领域，寻找客观真理，成为发现者，学生自始自终地参与这一探索过程，发展了学生的创新精神和实践能力。通过有条理的表达三角形内角和为180°的推理过程，为今后的几何证明打下基础。
2. 教师应成为学生学习的促进者
通过让学生剪、拼得到三角形内角和为180°，再请学生用所学知识推导出来，使学生的感性认识和理性认识都得到提高，而不是单纯的将问题的结论告诉学生。在备课时，更应思考的是学生怎么学，为了让学生学得更多、更好、更会学，身为教师的我应该做些什么？使自己从一个讲授者变成学生学习的促进者。
C
B
A
D
C
B
A
300
700(共12张PPT)
5.6　利用三角形全等测距离
沈阳市126中学南校区
李伟
1.全等三角形的性质及判定条件
2.在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，比比看谁快！
A
C
B
B
A
C
B
A
C
A
C
B
B
A
C
A
C
B
如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长就是A，B间的距离。 你能说明其中的道理吗？请把你的思路写下来。
∴ △ABC≌ △DEC (SAS)
∴ AB=DE
AC＝DC（已知）
∠ACB＝∠DCE（对顶角相等）
BC＝EC（已知）
（全等三角形对应角相等）
解：在△ABC与△DEC 中
∵
试一试
已知：A，B两点之间被一个池塘隔开，无法直接测量A，B间的距离，请给出一个适合可行的方案，画出设计图，说明依据。
1.利用三角形全等测距离，主要是解决哪些问题？
2.利用三角形全等测距离有哪些方法？
E
C
D
C
D
C
D
解决办法：
做一做 有如图的一个零件，它的设计图纸不见了，现在想要知道AB的长度，你有什么办法？
D
C
A
B
比一比 课间，小明和小聪在操场上突然争论起来。他们都说自己比对方长得高，这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不用争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”如图，你知道数学老师为什么能从他们的影长相等就断定它们的身高相同？你能运用全等三角形的有关知识说明一下其中的道理吗？（假定太阳光线是平行的）
太阳光线
你们其实一样高，瞧瞧，你们的影子一样长！
这一节课你有何收获
作业：习题5.11本章教学的定位是什么？
本章强调通过探索活动得出认识的结果，鼓励活动形式的多样性，不要求演绎证明，主要用试验、操作并结合说理的形式进行。重点放在培养几何直觉、发展合情推理、形成猜想的能力，以及感受条件与结论之间的逻辑关系等方面。
本章的学习活动，为三角形性质的探索提供了广阔空间，如果仅定位在课本所呈现的现成知识的重新发现，或落实在说理证明上，那么合情推理能力的培养难免被淡化，问题意识与创新精神的培养又将失去一次良好的机会。变式训练
在学习中，若能将所解的题目变换条件和结论，然后进行猜想和探究，可以培养学生思维的灵活性，从而提高学习效率，给解同类题型带来方便,现举例供大家参考.
如图1，在△ABC中，∠ABC=，∠ACB=，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数.
分析：本题是求三角形的两内角的平分线所形成的角的度数，主要训练大家运用角的平分线的有关知识，结合三角形的内角和解决问题的能力.
解：因为BP平分∠ABC，∠ABC=,所以∠PBC=∠ABC=，同理∠PCB= ∠ACB=，所以∠BPC=--=.
一般结论：在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC=+∠A.
文字叙述:三角形两个内角的平分线相交所成的钝角等于加上第三个角的一半.
变式一:如图2,在△ABC中，BP，CP分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的平分线，且∠A=，试求∠BPC的度数.( ∠BPC=).
结论：在△ABC中，BP，CP分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的平分线，则 ∠BPC=-∠A.
文字叙述:三角形两个外角平分线相交所成锐角等于减去第三个角的一半.
变式二: 如图3,在△ABC中，CP平分∠ACB, BP是△ABC的外角∠ABE的平分线，∠A=，求∠P的度数.( ∠P=).
结论：在△ABC中，CP平分∠ACB, BP是△ABC的外角∠ABE的平分线，则
∠P=∠A.
文字叙述:三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角,等于第三个内角的一半.
变式三:如图4,在△ABC中,P是△ABC内一点, ∠A=，∠ABP=，∠ACP=
求∠BPC的度数.( ∠BPC=)
结论: 在△ABC中,P是△ABC内一点, 则∠BPC=∠ACP+∠ABP+∠A.
注:每种变式的求解过程,请同学们自己论证.
小试身手:记住上述结论可以给做题带来方便,请看下面的中考题:
题目一（06江西）如图5,B0，CO分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BOC与∠A的关系为________.
一变:BE，CE若分别平分∠ABC，∠ACP，则∠E和∠A的关系为________.
二变: 若BF，CF分别平分∠CBH，∠BCQ，则∠F和∠A的关系为________.
答案:分别填∠BOC=+∠A. ∠E=∠A. ∠F=-∠A.
题目二:如图6, 在△ABC中, ∠C＞∠B,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC.
求证: ∠EAD=(∠C-∠B).
上题也可以换成:
已知:如图7,AE为△ABC的角平分线,F为其上一点,且FD⊥BC于D,
求证: ∠EFD=(∠C-∠B).
这时结论是否成立呢 另外,若F点在AE的延长线上,结论是否还成立 (如图8)
分析:本题主要应用角平分线、三角形内角和定理等知识.
证明:AE平分∠BAC(已知)
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC(角平分线定义)
∵∠BAC=-(∠C+∠B)
∴∠EAC=[-(∠C+∠B)]
∵AD⊥BC (已知)
∴∠DAC=-∠C (直角三角形两锐角互余)
∵∠EAD=∠EAC-∠DAC.
∴∠EAD=[-(∠C+∠B)]-( -∠C)=-(∠C+∠B)-+∠C= (∠C-∠B)
若F点在AD上,过A点作AG⊥BC,如图7，由上面结论可知∠EAG=(∠C-∠B)
而AG⊥BC, FD⊥BC, ∴AG∥FD
∴∠EFD=∠EAG=(∠C-∠B)
同理,若F点在AE延长线上,结论仍成立.
图1
P
C
B
A
D
图2
P
C
B
A
E
A
B
E
C
P
A
B
D
P
C
图3
图4
F
Q
P
C
B
A
E
O
H
图5
图6
D
E
C
B
A
图7
D
E
C
B
A
G
F
图8
D
E
C
B
A
F第五章 三角形
1．认识三角形（三）
沈阳市126中学王明慧
沈阳市第一六0中学 景庆伟
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在前面两节课已经认识了三角形及其基本要素：顶点、边、角，知道三角形的定义和三角形三边关系及内角和定理，为进一步探索三角形内角平分线及三角形中线，掌握其定义和性质，奠定了知识技能基础。
学生的活动经验基础：在前面学生已经通过活动探索了三角形三边关系及三角形内角和定理，具备了直观操作的经验，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
三角形是研究平面几何的开端，起到承上启下的作用，三角形的基本知识是最基础的内容。在学习过程中通过观察、操作、想象，推理，交流发展学生的空间观念，积累数学经验，同时通过实验操作与理论相结合的的学习方法可以培养学生合情推理和论证推理相结合的意识。本节课的教学目标如下：
1．经历探索三角形内角平分线及三角形中线的过程，掌握其定义及性质，培养学生简单推理能力。
2．通过折纸和画图等方法认识三角形的中线、角平分线及其性质。
3．通过经历探索过程，认识三角形角平分线及中线定义，同时发展他们的空间观念。
三、教学设计分析
本节课设计了七个教学环节：引入新课、动手做一做、议一议、猜一猜、巩固练习、本课概要、布置作业。
第一环节：引入新课
活动内容：
教师提出问题：上两节课我们学习了三角形及其基本要素：边、角，现在来回顾一下：什么样的图形叫三角形？三角形的三条边有什么关系呢？三个角呢？
在学生回答后，进一步提出如下问题让学生观察与思考：
如图，ΔABC中，有一条红色线段，一端点在顶点A处，另一端点从点B沿着BC边移动到点C，观察移动过程中形成的无数条线段（AD,AE,AF,AG,…）中，有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？
活动内容：在复习回顾的基础上提出新的问题供学生观察与思考，在学生的回答中自然引入新课。
活动效果：学生大部分都能说出三角形的定义、三角形三边之间的关系和三角形内角和定理。对于新的问题，有学生说，“在这些线段中，有一条线段平分∠BAC，即是∠BAC的平分线”，有学生说，“我观察到，还有条线段的端点是BC的中点”，有学生说，“还有一条线段垂直边BC”。这时教师承接学生的回答，点明本节课的学习主题：“好，同学们通过观察，找到了具有特殊位置的线段，这三条线段是三角形的重要线段，他们分别是三角形的角平分线、中线、高线。这节课我们重点探讨三角形的角平分线和中线。”
第二环节：动手做一做
活动内容：
（1）要求同学们动手来做一做：在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗 你能通过折纸的方法得到它吗
（2）在操作的基础上抽象概括三角形角平分线的定义，并提出注意点。
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与焦点之间的线段叫做三角形的角平分线。
在定义中注意：三角形的角平分线是一条线段而不是射线
活动目的：通过具体的操作力求创设一个现实有趣的问题情景使学生经历从现实世界中抽象出几何模型和运用所学知识解决实际问题的过程。在探索的过程中学生可以自己发现三角形的有关结论，可以让学生更好的将新旧知识联系在一起形成系统的知识体系，积累数学经验。
活动效果：这样的教学方式符合学生的认知规律和学习心理，也符合知识的呈现过程，学生接受知识比单纯的听讲印象深刻。有学生说，“我画了一个三角形，然后我用量角器测出一个内角的度数，再画一条射线，使它平分这个角”，有学生说，“通过折纸的方法也可以得到这个内角平分线”
第三环节：议一议
活动内容：每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个。
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系
活动目的：让学生在自主探究和相互交流中研究问题，通过自身的探索发现结论，同时培养了学生独立思考的能力，促进学生同他人相互合作共同解决问题的意识。
活动效果：学生画的、折的都很好，通过教师的引导也都发现了结论：三条角平分线相交于一点。
第四环节：猜一猜
活动内容：
1．什么是三角形的中线？
2．如何画出三角形的中线？
3．三角形的三条中线有什么样的位置关系？
活动目的：用类比的方法研究三角形的中线，鼓励学生先猜测再验证，对学生的空间观念提出更高要求。
活动效果：学生先猜测后验证，对自己的发现很兴奋，师生共同讨论总结三角形中线的定义和性质。
在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线。
一个三角形的中线共有三条，它们在三角形的内部，并且三条中线交于一点。
第五环节：巩固练习
活动内容：
练一练
1．AD是ΔABC的角平分线（如图），那么∠BAC= ∠BAD；
2．AE是ΔABC的中线（如图），那么BC= BE。
画一画
已知ΔABC（如图），画中线AD和角平分线BE。
比一比
1．在ΔABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长.
2．如图,在ΔABC,角平分线BD、CE相交与I,则∠BIC与∠A有什么关系 如果设∠A为α,求∠BIC(用α表示).利用上述关系,计算:
(1)当∠A=50°时,求∠BIC;
(2)当∠BIC=130°时,求∠A.
活动目的：设置一组有层次的问题对新学知识进行巩固，有基本概念和性质的简单呈现，有画图，有利用新学知识解决问题。
活动效果：对“练一练”和“画一画”学生基本没有问题，对“比一比”有部分学生还不是很灵活，在后续的学习中需进一步巩固。
第六环节：本课概要
活动内容：
1．今天你学到了什么？
2．你觉得角平分线有哪些注意点？中线呢？
3．想一想在三角形中除了中线、角平分线外还有其他线吗？
活动目的：使学生清楚地了解本节课的内容，加深对知识的理解，同时同时为下一节课的学习留下线索。
活动效果：学生通过自己的思考、归纳、总结本节课所学的知识要点，并敢于提出问题，说出自己的困惑，不仅激发了学生的学习兴趣，而且为下一节课作了铺垫。
第七环节：布置作业
习题5.3
四、教学反思：
1．要合理地使用教材。在教学中要根据学生的知识水平、学习特点选择适合学生的知识内容，保证让全体学生得以发展。
2 .相信学生并为学生提供充分展示自己的机会。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面。在学生讨论的过程中，教师该注意多加以指导，对发现的问题要及时给予纠正，避免更多的学生陷入误区，对于个别问题要区别对待。注意讨论的过程中是否达到了每位同学都积极参与不掉队，合作的意识得以发展。
A
B
C课堂实录
[师] 同学们，让我们一起走进三角形王国，去探讨其中的奥秘。上一节我们研究了三角形的三边关系，这一节我们重点来探究一下三角形三个内角之间的关系。
[师] 在美丽的三角形王国中，住着许多三角形家庭，在这里秩序井然，大家相处得非常融洽。
[画外音] 嘈杂声。
[师] 哪来的声音？我们一起来看看：原来在一个三角形家庭中，三个兄弟发生了争执，老大是钝角，两个小兄弟嫌自己住的地方太小，想扩大自己的底盘，都想当老大。同学们可以当一次法官，看两个小兄弟的愿望能否实现，在这个三角形家庭中能否出现三个老大？
[生] 不能。因为三角形的内角和等于180°。
[师] 在小学时候，我们就知道三角形的内角和等于180°，今天我们先用手中的三角形，通过实验去检验一下，看哪个小组想到的方法多。
[生] 在下面活动。
[师] 刚才同学们不仅用实验直观的说明三角形内角之间的关系，还用前面学过的平行线的特征从理论上进行证明。
[习题] 教师出示范，同学之间互相出题考。
[师] 我们学习了这个知识点后，三角形王国的矛盾是否就解决了？在一个三角形中能否出现两个或者三个老大呢？
[生] 只能有一个钝角。 ——叫钝角三角形
[师] 这回呢老大发扬风格了，我让出一些位置，变成直角，让你成为一个直角，我们一起当老大。
[生] 在一个三角形中只能有一个直角。
[师] 这也不行、那也不行，那同学们说有没有可能在一个三角形中三兄弟一起当老大的情况？
[生] 如果三个角都是锐角且和为180°，可以组成为一个三角形家庭中的三个成员。
[师] 也就是说，我们可以将三角形按角的大小分成锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。看一下大家是否都会分类了。再回到习题总动员，奖品又来了！
[师] 在我们做题的时候，碰到了许多直角三角形，在现实生活中直角三角形也有许多的应用，一起看这幅图片，看看图中有哪些三角形。
[生] 指出图中三角形。
[师] （在这里有一个直角三角形，引出Rt△ABC，斜边，直角边，互余。）
大家真聪明，直角三角形的特点自己都可以找出来，学了这么多，看大家掌握得如何，回到习题总动员，机会不多，好好把握。
[习题] 第四题
第五题
[师] 大家掌握的非常好，题做的也很棒。学了这么多，哪位同学给总结一下，我们今天都学了哪些知识。
[生] 小结。
[师] 今天大家表现的非常好，不但自己学习了知识，还帮助三角形王国解决了矛盾，现在的三角形王国一片祥和。我们学习的知识都是一点一滴积累起来的，都是用已有的知识去探索未知的世界。我们今天就是用已有的平行线知识来验证三角形三个内角和等于180°。在后面的学习中，我们也可以用三角形三个内角的关系去探求四边、五边形内角的和。稳定性
三角形的稳定性在实际中的应用很广，如自行车车架、房屋支架、钻机铁架中，很多支撑结构都是三角形。
门是依靠铰链才能固定在门框上的。如果只用一个铰链，这时门会摇摇晃晃，很不稳定。若是再加一个铰链，两个铰链一固定，门就不会摇摇晃晃了，但它可以绕着两个铰链所确定的直线旋转，门的位置还是不稳定。但是，如果把门关好，上了锁，这时门就动不了。这就告诉我们，一个平面（门的表面）内不在同一直线上的三点（两个铰链和门锁）如果确定了，这个平面也就确定，它的位置就不会改变了。这条几何性质在生活中的应用也是很广泛的：自行车与地面只有两个接触点，所以很不稳定，为了让自行车站得稳，人们在后轮附近加一根支撑；照相机的支架和晒衣服的“三角码”也是这个原理的应用；拖拉机在荒野工作，要力求稳定，所以用三个轮子，而不是四个轮子；古寺庙前常见到的铜鼎也是三只脚，因为鼎很重，要求放置稳定。
事物都是一分为二的。稳定性有它的作用，也有它的缺点。三轮车比自行车稳，但行驶起来慢。我们有时要利用物体的稳定性，有时则要利用它的灵活性。扬长避短，择优而用，这是一条基本原则。第五章 三角形
4.探索三角形全等的条件（一）
辽宁省沈阳市第一六六中学 戚越英
一、总体说明
三角形是最常见、最简单、最基本的几何图形，在生活中随处可见。它不仅是研究其他几何图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用。因此，如何更好的探索和掌握它的基本性质对学生学习这一章显得尤为重要。
对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步。它是两个三角形间最简单，最常见的关系。它不仅是学习后面知识的基础，并且是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据。因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且灵活的应用。为了使学生更好地掌握这一部分内容，遵循启发式教学原则，用设问形式创设问题情景，设计一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，使学生经历从现实世界抽象出几何模型和运用所学内容，解决实际问题的过程。
根据《数学课程标准》，对学生的发现和探索能力的新要求，三角形全等的条件，就更注重学生经历探索的过程，所以《探索三角形全等的条件》这一节就根据全等条件中的边数安排了三个课时，第一课时为三边等三角形全等，第二课时为一边两角等则三角形全等，第三课时是两边及夹角等则三角形全等，让学生有更为充分的时间探索三角形全等的各种条件。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在前几节中，已经了解了三角形的有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），以及三角形三边之间的关系、图形的全等和全等三角形等，对本节课要学习的三角形的稳定性和三角形全等条件中的“边边边”来说已经具备了一定的知识技能基础。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索图形的全等和全等三角形的活动，通过拼图、折纸等方式解决了一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
三、教学任务分析
教科书基于学生对三角形全等的认识，提出了本课的具体学习任务：了解三角形的稳定性和经历探索三角形全等条件的过程，掌握三角形全等“边边边”的条件，并能应用这一条件解决一些实际的问题。但这仅仅是这堂课外显的具体教学目标，本课内容从属于“空间与图形”这一数学学习领域，因而务必服务于“空间与图形”的总体目标：“学生将探索基本图形的基本性质及其相互关系，进一步丰富对空间图形的认识和感受”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的教学目标是：
1. 了解三角形的稳定性，三角形全等“边边边”的条件；
2. 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
3. 使学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、观察、比较、交流等过程，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验。
4. 培养学生的空间观念，推理能力，发展有条理地表达能力，积累数学活动经验。
四、教学设计分析
本节课设计了七个教学环节：课前准备、情境引入、合作学习、课内链接、课堂小结、问题解决、布置作业。
第一环节 课前准备
活动内容：动手操作（前一个双休日布置。课堂上要用到的三角形、四边形等模型，在课堂上现场制作有一定的困难，且时间也较长，所以要求学生提前准备。学生可以个人，也可以以小组为单位准备。）
以4人活动小组为单位，要求学生每小组制作完成三角形、四边形、五边形和六边形四个模型
材料：若干小木条（或硬纸板），钉子（大头钉）
活动目的：通过此活动，培养学生的动手能力，在实践操作中对于三角形形状的固定有初步的认识，再在教学中鼓励学生思考三角形为什么具有稳定性，逐步树立推理意识。在实际操作中培养学生善于观察、乐于探索的学习品质及与他人合作交流的意识；
实际教学效果：实际教学时，在学生探索完三角形全等的条件“边边边”后，再讨论三角形所具有的性质时，拿出此模型。学生拿出了自己制作的模型，虽然制作有些粗糙，但有亲手制作的模型，学生更愿意参与到讨论中来，效果要明显优于教学模型，尤其是对比可以动来动去的四边形、五边形、六边形来说，学生在摆弄之中，更能深刻的体会出只有三角形具有稳定性。
第二环节 情境引入
活动内容：出示幻灯片，两个全等的三角形，让学生找出其中相等的边和角，复习全等三角形所具有的性质。然后提出问题：要画一个三角形与小明画的三角形全等需要什么条件？一定要知道所有的边长和所有的角度吗？条件能否尽可能的少？是需要一个条件？两个条件？三个条件？还是更多的条件？
活动目的：通过复习，使学生回忆起所学的和三角形全等相关的一些性质和概念。并通过问题的提出引导学生思考，鼓励学生通过画图、观察、比较、推理、交流等方式，在条件由少到多的过程中逐步探索出最后的结论。
实际教学效果：学生积极投入思考，开篇就为学生创设了一个自由、宽松的讨论氛围。
第三环节 合作学习
活动内容： 一、做一做.
1. 只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？
2. 给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做。(1) 三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；(2) 三角形的两个内角分别为30°和 50°；(3) 三角形的两条边分别为4cm，6cm.
二、议一议. 如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？
三、做一做.
1.已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？
2.已知一个三角形的三条边分别为4cm，5cm和7cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？
活动目的：以问题串的形式引导学生逐步深入的思考可以使三角形全等的条件，问题的提出从条件的由少到多，由简到繁，一步步深入、引导，通过一系列的活动最终得出正确的结论。
实际教学效果：对于只给出一个条件时结论是显而易见的。因此，只需学生想象此时的情况即可，无需实际画出三角形。当给出两个条件时，学生也不难得出结论，教学中让学生实际去画一画，感受反例的作用。这时学生发现两个条件都不能使结论成立，那么三个条件呢？引出议一议。由于三个条件的组合较多，所以，先让学生组合一下条件。组合时提醒学生按照一定的顺序、规律进行，不重不漏。让学生在讨论的过程中体验分类的思想。讨论出结果后，本节课只研究三个角和三条边的情况，也就是第二个做一做。对于已知三个内角的情况，学生能比较容易的举出反例。而对于已知三边的研究则是本节课的重点，也是难点。由于七年级学生在作图方面没有太深的基础，所以这里的作图，可以利用一切可以利用的工具，如：直尺，量角器，等等。每人完成后，先小组比较，然后全班比较，根据它们都重合的特点，使学生承认“边边边”的条件。（这里有的学生可能在作图上有困难，如果出现困难，可以用小木条、细纸条等摆一摆。）
第四环节 课内链接
活动内容：1. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等吗？为什么？
2. 已知：如图AB=CD,AD=BC，E，F是BD上两点，且AE=CF, DE=BF, 那么图中共有几对全等的三角形？说明理由.
3. 已知：如图AB=CD,AD=BC.则∠A与∠C相等吗？为什么？
活动目的：巩固练习，对课上的探索结论有更深一步的认识。例1的设计是使学生练习使用举反例这一解题方法，对于这类可以猜想出结论是否定答案的题，可以提示学生尽量去选择身边常见的较为简单的例子作为反例，例如这道题，就可以引导学生观察大小不同的两个三角板。学生善于发现、找到这些简单的例子，有助于学生更好的应用举反例的方法。 通过例2，例3主要是让学生练习去应用本节课学习的利用三边判定全等的方法。并在例3中给出完整的答案，指导学生答题要规范。
实际教学效果： 例1较为简单，一般的学生都能想到这两个直角三角形不全等，一部分学生可以举出较简单的例子；例题2，学生可以通过观察法先得出结论，然后结合本节课的学习内容作出口答；例3较为复杂，对于一般学生很难马上想到，这时，教师可以给出较为详尽的分析，帮学生屡清思路，并板演解题过程。
第五环节 课堂小结
活动内容： 让学生自己谈收获，可以是知识方面的，也可以是探索方法的，应鼓励学生从多方面思考问题。
活动目的：教师带领，回顾反思本节课对知识的研究探索过程，小结方法及相关结论，提炼数学思想，掌握数学规律。
实际教学效果：给学生一定的时间去反思回顾，启发学生从知识技能、数学方法、情感态度进行总结，让学生们畅所欲言，培养学生的归纳、概括能力。然后老师点评，使学生在获得知识的同时，学会数学方法，增强学习兴趣和合作意识。
第六环节 问题解决
活动内容：仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与
∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。你能说明其中的道理吗？
活动目的：再次渗透分类的数学思想，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验
实际教学效果：对有能力的学生要求把实际问题抽象成数学问题，根据自己的理解写出推理过程。对一般学生要求口头表达理由，并能说明每一步的根据。
第七环节 布置作业
作业分为必做题和选做题，必做题属于知识性的，可以巩固练习本节课的教学内容及相关方法；选作题有一定难度，且结合实际情况，有些学生不方便上网的，可以不做这一部分的习题。
必做题
P183：6；
一个四边形的门框，为使其牢固，请用木条加固，你能找出几种方法？最少用几根木条？
选做题
（1）网上查找一些有关三角形稳定性的例子；
（2）你能否利用本节课的探索方法，找出其它可以使三角形全等的条件。
五、教学设计反思
1. 给学生展示自我的空间。本节课的设计本着以教师为主导、学生为主体，以知识为载体、培养学生的思维能力为重点的教学思想。教师以探究任务引导学生自学自悟的方式，提供给学生自主合作探究的舞台。在经历知识的发现过程中，培养了学生分类、探究、合作、归纳的能力。课堂上把激发学生学习热情和获得学习的能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
2. 在课堂上要给予学生充分的时间去思考、动手实践，而不是使合作流于形式。要把合作交流的空间真正的还给学生。教师在课堂中还要照顾到每一名学生，让全体的学生都动起来。在把他们的结论互相比较之前，应该留给学生足够的时间，使大部分的学生都能完成画图的工作，不能以一些思维活跃的学生的完成时间作为标准，剥夺了其他学生的操作时间。教师还应对画图有困难的学生给予适当的指导。
3. 本节课教学内容比较丰富，具体操作时间相对比较紧张，对教学环节恰当的调控可以有效的完成本节课的教学目标，预见性的对于整体合作较快的集体，可以把课前准备的部分安排在课上；如果课上进行的较慢，则可以适当的删减课内链接的那一部分习题，着重于知识理论的建立。
A
D
F
E
B
C
D
A
C
B
A(R)
B
D
C
E
Q
P教学建议和评价建议
这里可以让学生先回忆过一点如何作一条直线的垂线，然后再引出三角形高的定义．画钝角三角形的高是个难点，为了克服这个难点，教材先安排了作锐角三角形的三条高线，并观察它们的位置关系．有了前面一节角平分线和中线的结论，通过类比的方法，学生比较容易接受这个结论，但教学时还是应让学生充分地画或折叠，并相互交流．然后过渡到直角三角形和钝角三角形的三条高的认识和理解．教学时应让学生很好地把握三角形高的定义，教师要设计好有关问题，引导学生得出结论，并提供一些变式图形供学生练习．
教学评价时应注重：
过程性：关注学生参与操作、探索的积极性，关注学生通过观察与操作发现有关结论的过程及语言交流的能力．
知识性：关注学生能否结合实例，掌握三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三个角、三条边之间的关系．了解三角形的内角平分线、高、中线，并能在图中作出三角形的内角平分线、高、中线．