第7章 复数 单元检测-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

高一数学必修二第七单元复数单元检测 -【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（含解析）
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
设i是虚数单位，复数1+ai2?i为纯虚数，则实数a为(?? )
A. 2 B. ?2 C. ?12 D. 12
若复数z满足3z+2z=5+2i，其中i为虚数单位，则z=? (??? )
A. 1?2i B. 1+2i C. ?1?2i D. ?1+2i
设(1+i)x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=(????)
A. 1 B. ?2 C. ?3 D. 2
设复数z=a+bi(a∈Z,b∈Z)，则在复平面内满足|z|≤3的复数z有(? ? )
A. 9个 B. 8个 C. 4个 D. 5个
已知复数2+i与复数13+i在复平面内对应的点分别是A，B，若O为坐标原点，则∠AOB等于? (??? )
A. π6 B. π4 C. π3 D. π2
已知i是虚数单位，则化简(1+i1?i)2020的结果为(????)
A. i B. ?i C. ?1 D. 1
复数z=(i?1)2+4i+1的虚部为(?? )
A. ?1 B. ?3 C. 1 D. 2
已知z1=(m2+m+2)+(m2+m?5)i，m∈R，z2=4?3i，则“m=1”是“z1=z2”的(????)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
已知i为虚数单位，下列说法正确的是(????)
A. 若x，y∈R，且x+yi=1+i，则x=y=1
B. 任意两个虚数都不能比较大小
C. 若复数z1，z2满足z12+z22=0，则z1=z2=0
D. ?i的平方等于1
在复平面内，复数6+5i，?2+3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且AC=3CB，则点C对应的复数是(????)
A. 4i B. 2+4i C. 72i D. 1+72i
若1+2i是关于x的方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根，则(????)
A. b=2，c=3 B. b=?2，c=3
C. b=?2，c=?1 D. b=2，c=?1
已知z=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)，z1，z2∈C，定义：D(z)=|a|+|b|，D(z1,z2)=D(z1?z2)，则下列命题正确的是(? ? )
A. 对任意z∈C，都有D(z)>0
B. 若z是z的共轭复数，则D(z)=D(z)恒成立
C. 若D(z1)=D(z2)(z1,z2∈C)，则z1=z2
D. 对任意z1，z2，z3∈C，D(z1,z3)≤D(z1,z2)+D(z2,z3)恒成立
若复数z=r(cosθ+isinθ)(r>0,θ∈R)，则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，θ为复数z的辐角.若一个复数z的模为2，辐角为2π3，则zi=(? )
A. 1+3i B. 1?3i C. 3?i D. 3+i
[多选]若m为实数，则复数(m2+m?2)+(6?m?m2)i在复平面内所对应的点可能在(????)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
[多选]复数z满足z2=i，则下列四个判断中，正确的是(????)
z=22+22i或z=?22?22i B. z是虚数
C. z+z=±2 D. z的模等于1
二．填空题
已知复数x满足x2?2x=?2，则x=??????????．
定义运算abcd=ad?bc，则符合条件z1+2i1?i1+i=0的复数z=??????????，复数z的共轭复数z在复平面内对应的点在第??????????象限．
若复数z1=4[cos(α+π4)+isin(α+π4)]，z2=2(cosα+isinα)，则z1z2=??????????．
已知f(x)=1+x,x∈R(1+i)x,x∈C且x?R，则f(f(1?i))=??????????．
三．解答题
已知复数z=2+i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2+px+q=0在复数范围内的一个根．
(1)求p+q的值;
(2)复数w满足z?w是实数，且|w|=25，求复数w．
已知复数z=a+bi(a,b∈R)，若存在实数t使a?bi=2+4it?3ati成立．
(1)求证：2a+b为定值;
(2)若|z?2|已知复数z=(m?i2)+(m?3)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限．
(1)求实数m的取值集合M;
(2)若集合N={x||(x?1)?1i|<|1?i|,x∈R}，求M∪(CRN)．
已知复数z满足|z|=2，z2的虚部是2．
(1)求复数z;
(2)设z，z2，z?z2在复平面上对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，属容易题．
复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值．
【解答】
解：复数1+ai2?i=(1+ai)(2+i)(2?i)(2+i)=2?a+2ai+i5，它是纯虚数，
所以a=2，
故选A．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了复数相等的充要条件和共轭复数，属基础题．
由已知可得3z+2z=3(a+bi)+2(a?bi)=5a+bi=5+2i，根据复数相等的条件即可得结果．
【解答】
解：设z=a+bi(a,b∈R)，则z=a?bi，
所以3z+2z=3(a+bi)+2(a?bi)=5a+bi=5+2i，
所以5a=5，b=2，即a=1，b=2，
故选B．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查复数相等的条件及复数模的求法，属于基础题．
先由复数相等的条件求出x，y，再由复数的模长公式即可求解..
【解答】
解：因为(1+i)x=x+xi=1+yi，
所以x=y=1，|x+yi|=|1+i|=12+12=2，
故选B．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查复数的概念和几何意义以及复数的模，属于基础题．
根据题意可得a2≤3，而a∈Z，即可得到a=?1，0，1，分类讨论a和b的取值即可得解．
【解答】
解：∵a2+b2≤3，
∴a2≤3，
∵a∈Z，
∴a=?1，0，1．
当a=?1时，b=?1，0，1；
当a=0时，b=?1，0，1；
当a=1时，b=?1，0，1；
所以共有9个，
故选A．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查复数的几何意义，复数与复平面内的点一一对应．解答的关键是利用正切的和角公式．利用复数的几何意义，写出A，B的坐标；利用正切坐标公式求出角∠XOA，∠XOB，写最后利用和角公式求出∠AOB．
【解得】
解：∵点A、B对应的复数分别是2+i与复数13+i，
则13+i=3?i10，
∴A(2,1)，B(310,?110)，
∴tan∠XOA=12，tan∠XOB=13，
∴tan∠AOB=tan(∠XOA+∠XOB)=12+131?12×13=1，
则∠AOB等于π4．
故选B．
6.【答案】D
【解析】解：∵1+i1?i=(1+i)2(1?i)(1+i)=i，
∴(1+i1?i)2020=i2020=i4×505=1．
故选：D．
利用复数代数形式的乘除运算化简1+i1?i，再由虚数单位i的运算性质得答案．
本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的运算性质，是基础题．
7.【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算、复数的概念，属于基础题．
利用运算法则化简复数z，即可求出结果．
【解答】
解：z=(i?1)2+4i+1=i2?2i+1+4i+1=4?2ii+1
=4?2i1?ii+11?i=4?4i?2i+2i22=2?6i2=1?3i，
所以复数z=(i?1)2+4i+1的虚部为?3．
故选B．
8.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查复数相等的充要条件以及充分条件、必要条件的判断，属于基础题．
根据z1=z2，得m=1或m=?2，再结合充分条件、必要条件的定义即可得到答案，
【解答】解：由z1=z2，得m2+m+2=4m2+m?5=?3，
解得m=1或m=?2，
所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件．
故选A．
9.【答案】AB
【解析】
【分析】
本题考查复数的概念，复数相等的充要条件，复数的四则运算，属基础题．
由复数的概念，复数相等的充要条件，复数的四则运算逐一判定各选项即可．
【解答】
解：对于选项A，∵x，y∈R，且x+yi=1+i，∴由复数相等的概念可得，x=y=1，故A正确;
对于选项B，虚数不能比较大小，故B正确;
对于选项C，当复数z1=i，z2=1时满足z12+z22=0，z1≠z2≠0，故C不正确;
对于选项D，?(?i)2=?1，故D不正确．
故选：AB．
10.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查复数的代数表示，为基础题．
写出复数所对应点的坐标，由AC=3CB，求出点C的坐标，即可求解．
【解答】解：两个复数对应的点分别为A(6,5)，B(?2,3)，
设点C的坐标为(x,y)(x,y∈R)，
则由AC=3CB，得AB=4CB，
即(?8,?2)=4(?2?x,3?y)，
得x=0y=72，
故点C对应的复数为72i.
故选C．
11.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查复数方程的求解，属于中档题．
1+2i是关于x的方程x2+bx+c=0的一个根，则(1+2i)2+b(1+2i)+c=0，化简，根据复数相等的充要条件列方程组求解即可．
【解答】解：因为1+2i是关于x的方程x2+bx+c=0的一个根，
所以(1+2i)2+b(1+2i)+c=0，
整理得(b+c?1)+(22+2b)i=0，
则b+c?1=022+2b=0，
解得b=?2c=3，
故选B．
12.【答案】BD
【解析】【解析】对于A，当z=0时，D(z)=|0|+|0|=0，A错误;对于B，设z=?a+bi(a,b∈R)，则z=a?bi，则D(z)=|a|+|?b|=|a|+|b|=D(z)，B正确;对于C，当z1=1+i，z2=1?i时，满足D(z1)=D(z2)，但z1≠z2，C错误;对于D，设z1=a+bi，z2=c+di，z3=e+fi(a,b，c，d，e，f∈R)，则D(z1，?z2)=D(z1?z2)=|a?c|+|b?d|，D(z2,z3)=D(z2?z3)=|c?e|+|d??fl，D(z1,z3)=D(z1?z3)=|a?e|+|b?f|，由|a?e|=|(a?c)+?(c?e)|≤|a?c|+|c?e|，|b?f|=|(b?d)+(d?f)|≤|b?d|+?ld?f|，得D(z1,z3)≤D(z1,z2)+D(z2,z3)恒成立，D正确.故选BD．
本题主要考查复数的应用，熟悉共轭复数的定义是解答本题的关键，属于中档题．
根据新定义和共轭复数的概念即可逐项分析求解。
13.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查复数的三角形式，复数的运算，属于基础题．
由复数的三角形式得z=2(cos2π3+isin2π3)，由复数的运算求解．
【解答】解：由复数z的模为2，辐角为2π3，
可得z=2(cos2π3+isin2π3)=?1+3i.
所以zi=?1+3ii=(?1+3i)i?1=3+i．
故选D．
14.【答案】ABD
【解析】
【分析】本题考查复数的代数表示及几何意义，若m为实数，则复数(m2+m?2)+(6?m?m2)i的实部为m2+m?2，虚部为6?m?m2.由实部与虚部相加为m2+m?2+6?m?m2=4>0，可得该复数在复平面内对应的点的横、纵坐标不可能都为负，即该复数在复平面内对应的点不可能位于第三象限，排除C；取m=0，则m2+m?2=?2<06?m?m2=6>0，可得该复数在复平面内对应的点在第二象限；取m=2，则m2+m?2=2>06?m?m2=6?2?2=4?2>0；取m=3，则m2+m?2=9+3?2=10>06?m?m2=6?3?9=?6<0，从而可求解．
【解答】解：若m为实数，
则复数(m2+m?2)+(6?m?m2)i的实部为m2+m?2，虚部为6?m?m2．
因为实部与虚部相加为m2+m?2+6?m?m2=4>0，
所以该复数在复平面内对应的点的横、纵坐标不可能都为负，
即该复数在复平面内对应的点不可能位于第三象限，排除C;
取m=0，则m2+m?2=?2<06?m?m2=6>0，
所以该复数在复平面内对应的点在第二象限，可选B;
取m=2，则m2+m?2=2>06?m?m2=6?2?2=4?2>0，
所以该复数在复平面内对应的点在第一象限，可选A;
取m=3，则m2+m?2=9+3?2=10>06?m?m2=6?3?9=?6<0，
所以该复数在复平面内对应的点在第四象限，可选D．
故选ABD．
15.【答案】ABCD
【解析】
【分析】本题考查复数相等的基本概念；
先设复数z=a+bi(a,b∈R)，则z2=(a2?b2)+2abi.因为复数z满足z2=i，从而可以解得答案，选项都符合。
【解答】解：设复数z=a+bi(a,b∈R)，
则z2=(a2?b2)+2abi．
因为复数z满足z2=i，
所以a2?b2=02ab=1，
解得a=22b=22或a=?22b=?22，
即z=22+22i或z=?22?22i，
结合题中的四个选项可知ABCD均正确，
故选ABCD．
16.【答案】1±i
【解析】
【分析】本题考查复数范围内一元二次方程的解法，属于基础题．
将等号的左边的式子配方，等号右边?1变形为i2，将等式两边同时进行开方运算即可求解．
【解答】解：∵x2?2x=?2，
∴(x?1)2=?1，
又∵(±i)2=?1，
∴x?1=±i，
∴x=1±i.
17.【答案】2?i ，一
【解析】
【分析】
本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数的四则运算，复数相等的充要条件，共轭复数，属中档题．
设复数z=x+yi(x,y∈R)，由定义运算可得(x?y)+(x+y)i=3+i，再由复数相等的充要条件可解得x，y的值，再由共轭复数的概念及复数的几何意义即可解答．
【解答】
解：设复数z=x+yi(x,y∈R)，
由定义运算abcd=ad?bc，
可得z1+2i1?i1+i=z(1+i)?(1+2i)(1?i)=0，
将z=x+yi代入整理可得(x?y)+(x+y)i=3+i，
所以x?y=3x+y=1，解得x=2，y=?1，所以z=2?i；
所以z=2+i，所以复数z的共轭复数z在复平面内对应的点在第一象限．
故答案为：2?i，一．
18.【答案】2+2i
【解析】
【分析】本题考查复数的运算，根据复数的运算解答即可，属于基础题．
【解答】解：因为复数z1=4[cos(α+π4)+isin(α+π4)]，z2=2(cosα+isinα)，
所以z1z2=4[cos(α+π4)+isin(α+π4)]2(cosα+isinα)
=2[cos(α+π4?α)+isin(α+π4?α)]
=2(cosπ4+isinπ4)=2+2i.
19.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，分段函数的给值求值问题，属基础题．
根据分段函数的解析式，先求f(1?i)，再求f(f(1?i))即可．
【解答】
解：∵f(1?i)=(1+i)(1?i)=2，∴f(f(1?i))=f(2)=1+?2=3．
故答案为：3．
20.【答案】解：(1)∵在复数范围内，实系数方程x2+px+q=0的两个根是互为共轭复数的，
∴实系数方程x2+px+q=0在复数范围内的另一个根是2?i，
故2?i+(2+i)=?p(2?i)(2+i)=q，
解得p=?4q=5，
∴p+q=1．
(2)设复数w=a+bi(a,b∈R)，
∴z?w=(2+i)?(a+bi)=(2a?b)+(a+2b)i，
∵z?w是实数，
∴a+2b=0，即a=?2b．?①
又|w|=25，∴a2+b2=20，?②
∴联立?①?②，解得a=4b=?2或a=?4b=2，
因此复数w=4?2i或w=?4+2i．
【解析】本题考查复数的计算，求复数的模，难度一般．
(1)由题意判断出实系数方程x2+px+q=0的两个根是互为共轭复数的，
得出方程x2+px+q=0的另一个根是2?i，
进而求得p=?4q=5;
(2)设复数w=a+bi(a,b∈R)，
计算z?w=(2a?b)+(a+2b)i，
得出a+2b=0，即a=?2b，结合已知求出a，b即可求出复数w．
因此复数w=4?2i或w=?4+2i．
21.【答案】(1)证明：∵存在实数t使a?bi=2+4it?3ati成立，
∴ta?tbi=2+(4?3at2)i，且t≠0，
∴ta=2?tb=4?3at2，
∴?b?2a=4?3a?4a2，即?2b=4a?12，
化简可得2a+b=6，即2a+b为定值．
(2)解：若|z?2|∴a>0，且(a?2)2+(6?2a)2化简可得(a?2)(a?5)<0，解得2∴|z|=a2+b2=a2+(6?2a)2
=5a2?24a+36=5(a?125)2+365，a∈(2,5)，
当a∈(2,5)时，5(a?125)2+365∈[365,41)，
∴|z|的取值范围为[655,41).
【解析】本题考查复数相等的概念以及复数模的问题，属于中档题．
(1)将条件a?bi=2+4it?3ati整理成ta?tbi=2+(4?3at2)i，由复数相等的定义得到ta=2?tb=4?3at2，消去t，即可得证结果．
(2)根据(1)中得到的a，b关系，可将|z?2|22.【答案】解：z=(m?i2)+(m?3)i=(m+1)+(m?3)i，
(1)因为z在复平面内对应的点在第四象限，
所以m+1>0m?3<0，
解得?1即M={m|?1(2)因为|(x?1)?1i|<|1?i|，
所以|(x?1)?1i|<2，
所以|(x?1)+i|<2，
所以(x?1)2+12<(2)2，
化简得x2?2x<0，解得0即N={x|0所以?RN={x|x≤0或x≥2，x∈R}，
故M∪(?RN)=R．
【解析】本题考查复数的几何意义，集合的运算，不等式的解法，难度适中．
(1)z=m+1+m?3i，由题设得m+1>0m?3<0,
(2)由|(x?1)?1i|<|1?i|，得|(x?1)?1i|<2，所以|(x?1)+i|<2，所以(x?1)2+12<(2)2，得N={x|023.【答案】解：(1)设z=a+bi(a,b∈R)，
则z2=a2?b2+2abi，
由题意得a2+b2=2且2ab=2，
解得a=b=1或a=b=?1，
所以z=1+i或z=?1?i．
(2)当z=1+i时，z2=2i，z?z2=1?i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1,?1)，
所以S△ABC=1;
当z=?1?i时，z2=2i，z?z2=?1?3i，
所以A(?1,?1)，B(0,2)，C(?1,?3)，
所以S△ABC=1．
综上，△ABC的面积为1．
【解析】本题考查数复数的四则运算、模的计算、复数相等以及复数的几何意义，属于基础题．
(1)z=a+bi(a,b∈R)，通过复数的四则运算以及复数相等，建立方程组，解得a，b的值，即可得到复数z;
(2)先得到A，B，C三点的坐标，进而求出△ABC的面积．