2.4单摆
题号
一
二
三
总分
得分
一、单选题
如图所示，两段光滑圆弧轨道半径分别为和，圆心分别为和，所对应的圆心角均小于，在最低点O平滑连接．M点和N点分别位于O点左右两侧，距离MO小于现分别将位于M点和N点的两个小球A和均可视为质点同时由静止释放．关于两小球第一次相遇点的位置，下列判断正确的是
A.
恰好在O点
B.
一定在O点的左侧
C.
一定在O点的右侧
D.
条件不足，无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
由题，两段光滑圆弧所对应的圆心角均小于，把两球在圆弧上的运动看做等效单摆运动，根据单摆的周期公式，分析两小球第一次到达O点的时间关系，即可判断第一次相遇的位置。
本题关键是采用等效法，将两球在圆弧上的运动看做等效单摆运动，常常称为槽摆，再根据单摆的周期公式，比较时间，即可判断第一次相遇的位置。
【解答】
据题意，两段光滑圆弧所对应的圆心角均小于，把两球在圆弧上的运动看做等效单摆，等效摆长等于圆弧的半径，则M、N两球的运动周期分别为
????，
两球第一次到达O点的时间分别为
???，。
由于，则，故两小球第一次相遇点的位置一定在O点的右侧，故C正确，ABD错误。
故选C。
一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线振幅A与驱动力频率f的关系如图所示，则下列说法不正确的是
A.
此单摆的固有周期约为
B.
此单摆的摆长约为
C.
若摆长增大，单摆的固有频率增大
D.
若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动
【答案】C
【解析】
【分析】
由共振曲线可知，出现振幅最大，则固有频率等于受迫振动的频率。
本题关键明确：受迫振动的频率等于驱动力的频率；当受迫振动中的固有频率等于驱动力频率时，出现共振现象。
【解答】
A.单摆做受迫振动，振动频率与驱动力频率相等；当驱动力频率等于固有频率时，发生共振，则固有频率为，周期为2s。故A正确；
B.由图可知，共振时单摆的振动频率与固有频率相等，则周期为2s。由公式，可得，故B正确；
C.若摆长增大，单摆的固有周期增大，则固有频率减小。故C错误；
D.若摆长增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动。故D正确；
本题选不正确的，故选C。
如图所示，房顶上固定一根长的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下，细线下端系了一个小球可视为质点。打开窗子，让小球在垂直于窗子的竖直平面内小幅摆动，窗上沿到房顶的高度为，不计空气阻力，g取，则小球从最左端运动到最右端的最短时间为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：由单摆周期公式知，
摆球从左到右的时间为
故选：B
本题实际为两个单摆，从左到右的时间为两个摆总周期的
本题关键建立单摆模型，明确测量原理，然后根据单摆的周期公式列式求解，基础题．
下列说法正确的是
A.
摆钟走得快了必须调短摆长，才可能使其走时准确
B.
挑水时为了防止水从桶中荡出，可以加快或减慢走路的频率
C.
在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是共振现象
D.
部队要统一步伐通过桥梁，是为了防止桥梁发生共振而坍塌
【答案】B
【解析】解析：选B
摆钟走得快了说明摆的周期短，需要增大单摆的周期，根据单摆的周期公式?可知，必须增大摆长，才可能使其走得准确，故A错误；挑水的人由于行走，使扁担和水桶上下振动，当扁担与水桶振动的固有频率等于人迈步的频率时，发生共振，水桶中的水溢出，挑水时为了防止水从水桶中荡出，可以加快或减慢走路的频率，故B正确；停在海面的小船上下振动，是受迫振动，故C错误；部队经过桥梁时，如果士兵统一步伐行走的频率和桥梁的固有频率相等，则会发生共振，为了防止桥梁发生共振而坍塌，士兵要便步通过桥梁，故D错误。
一个物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的，在地球上走时正确的摆钟设摆钟的周期与单摆简谐运动的周期相同搬到此行星上，现要使摆钟在该行星与地球上的周期相同，下列可行的办法是
A.
将摆球的质量m增加为4m
B.
将摆球的质量m减少为
C.
将摆长L减短为
D.
将摆长L增长为4L
【答案】C
【解析】解：根据在星球表面万有引力等于重力可知：某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的倍，质量不变，所以该星球的重力加速度；
根据单摆的周期公式可知，要使该单摆在行星与在地球上周期相同，所必须将摆长缩短为，单摆的周期与摆球的质量无关，故ABD错误，C正确
故选：C。
该题主要考查了万有引力公式即单摆的周期公式的直接应用，难度不大，属于基础题．
如图所示，一小球用细线悬挂于O点，细线长为L，O点正下方处有一铁钉。将小球拉至A处无初速释放摆角很小，这个摆的周期是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：以L为摆长的运动时间为：
以为摆长的运动的时间为：
则这个摆的周期为：
故ABC错误，D正确
故选：D。
小球再次回到A点时所用的时间为一个周期，其中包括了以L为摆长的简谐运动半个周期和以为摆长的简谐运动的半个周期。
考查对单摆周期的理解，明确不同的摆长对应不同的周期。
某小组利用频闪照相的方法研究单摆的运动过程，即用在同一张底片上多次曝光的方法，在远处从与单摆摆动平面垂直的视角拍摄单摆在摆动过程中的多个位置的照片。从摆球离开左侧最高点A时开始，每隔相同时间曝光一次，得到了一张记录摆球从A位置由静止运动到右侧最高点B的照片，如图所示，其中摆球运动到最低点O时摆线被一把刻度尺挡住。对照片进行分析可知
A.
摆球在A点所受的合力等于在B点所受的合力
B.
在O点附近摆球影像相邻位置的间隔较大，说明在O点附近摆球的速率较大
C.
摆球经过O点前后瞬间摆线上的拉力大小不变
D.
从A点到O点的过程中，重力对摆球做功的功率不断变大
【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了向心力的相关知识，明确摆球摆动过程中，机械能守恒，针对最低点时，分析受力，根据牛顿第二定律求解拉力。
摆球摆动过程中，机械能守恒，在A点和B点的速度均为零，合力为重力沿切线方向的分力。摆球在最低点时，速率最大。根据向心力公式分析摆线的拉力，在最低点时，速度不能突变。根据恒力功率的公式分析。
【解答】
A.摆球在A点的速度为零，向心力为零，即沿绳子方向的合力为零，摆球的合力等于重力沿圆弧切线方向的分力，由于在A点绳子偏离竖直方向的夹角小于在B点偏离竖直方向的夹角，可知，在A点重力沿圆弧切线方向的分力小于在B点重力沿圆弧切线方向的分力，故摆球在A点的所受合力大小小于在B点的合力，故A错误；
B.频闪照相的时间间隔相等，在O点附近摆球影像相邻位置的间隔较大，则速率大，即在O点附近摆球的速率大，故B正确；
C.摆球从左向右通过O点瞬间，速度v大小不变，摆长l变短，根据向心力公式可知，，则摆线上的拉力增大，故C错误；
D.A点时，速度为零，则重力的功率为零，O点时，速度沿水平方向，重力方向的速度为零，则重力的功率为零，但中间位置重力的功率不为零，故重力的功率不是一直变大，故D错误。
已知单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为，则两单摆长与分别为
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
【答案】B
【解析】B【解析】设两个单摆的周期分别为和，由题意，得。
根据单摆周期公式，可知，由此得。则
，
。故选B。
一个单摆，在第一个行星上的周期为，在第二个行星上的周期为，若这两个行星的质量之比为，半径之比，则
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解析：选A
单摆的周期公式为?，同一单摆即有，又据万有引力定律，有，因此?，故??，故A正确。
二、多选题
如图所示，匀强电场方向水平向右，一根不可伸长的绝缘细线一端固定在O点，另一端系一质量为m、电荷量为q的带正电小球。把小球拉至水平位置A，然后由静止释放，小球运动到细线与水平方向成的位置B时速度刚好为零。重力加速度为g。以下说法正确的是
A.
匀强电场的场强大小为
B.
匀强电场的场强大小为
C.
球在B点时，细线拉力为
D.
球在B点时，细线拉力为
【答案】BC
【解析】
【分析】
依据类比单摆的对称性，结合受力分析与矢量合成法则，及三角知识，即可求解场强大小；
小球在B点时，球到达B点时速度为零，向心力为零，沿细线方向合力为零，此时对小球受力分析，求解细线拉力T。
本题要求同学们能正确进行受力，并能联想到已学的物理模型，根据相关公式解题。
【解答】
类比单摆，根据对称性可知，小球处在弧线中点位置时切线方向合力为零，此时细线与水平方向夹角恰为，
根据三角函数关系可得：，化简可知，匀强电场的场强大小为，故B正确，A错误；
小球到达B点时速度为零，向心力为零，则沿细线方向合力为零，
此时对小球受力分析可知：，故细线拉力，故C正确，D错误。
故选BC。
如图所示为某一单摆的振动图象，下列说法不正确的是
A.
单摆的振幅为
B.
单摆的周期为
C.
时摆球所受的回复力最大
D.
时摆球的速度为0
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据振动图像得出周期与振幅，根据回复力与位移关系判断回复力最大时刻；根据振动特点判断速度情况。
本题考查了对振动图像的认识，熟悉单摆的运动特点是解题的关键。
【解答】
AB、由图知，振幅，周期，故AB错误；
C、时摆球的位移最大，回复力也最大，故C正确；
D、时摆球处于平衡位置，此时速度最大，故D错误。
由于本题选择不正确的，故选ABD。
将一个电动传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示．某同学由此图象提供的信息作出的下列判断中，正确的是
A.
时摆球正经过最低点
B.
时摆球正经过最低点
C.
摆球摆动过程中机械能减小
D.
摆球摆动的周期是
【答案】AC
【解析】
【分析】
摆球在摆动的过程中，在最低点时拉力最大，根据牛顿第二定律分析拉力与速度的关系，从而判断出机械能的变化．摆球在摆动的过程中，一个周期内两次经过最低点．
解决本题的关键知道摆球在摆动的过程中，最低点绳子的拉力最大，以及知道摆球运动的周期性，一个周期内两次经过最低点．
【解答】
摆球经过最低点时，拉力最大，由图知在时，拉力最大，所以此时摆球经过最低点；在时，摆球的拉力最小，不是经过最低点。故A正确，B错误；
C.在最低点，根据牛顿第二定律得：，则，在最低点的拉力减小，可知小球的速度减小，机械能减小。故C正确；
D.在一个周期内摆球两次经过最低点，根据图象知周期。故D错误。
故选：AC。
三、实验题
某同学用图甲所示的装置研究单摆运动的规律：
让摆球在竖直平面内做部分圆周运动，用力传感器得到细线对摆球拉力F的大小随时间t变化的图线如图乙所示，且从最低点开始为运动的0时刻。由图乙中所给的数据结合力学规律可得：
该同学先用游标卡尺测量小球的直径如图丙所示，其读数为__________cm；
由图象得该单摆的运动周期__________s；
摆球的质量__________。
【答案】；；。
【解析】
【分析】
游标卡尺主尺与游标尺示数之和是游标卡尺示数；
当单摆经过最低点是速度最大，绳的拉力最大，一个周期单摆两次经过最低点；
根据圆周运动规律、动能定理求解；
【解答】?
由图示游标卡尺可知，其示数为：；
当单摆经过最低点是速度最大，绳的拉力最大，一个周期单摆两次经过最低点；
结合图乙可知，；
设最大摆脚为，有
从最高点到最低点由动能定理得
联立解得。
故答案为；；。
如图所示，细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球，做成一个单摆，测量摆长l和摆的周期T，得到一组数据，改变摆长，再得到几组数据．从中可以找出周期与摆长的关系．实验过程有两组同学分别用了图、的两种不同方式悬挂小钢球，你认为______选填“”或“”悬挂方式较好．图是某组同学根据实验数据画出的图线，通过图线得到单摆周期T与摆长l的关系是________．
【答案】；单摆周期T与摆长平方根成正比
【解析】
【分析】
单摆的试验中，摆长必须固定；分析图象可知，与l成正比，因此T与l的关系应为，单摆周期T与摆长平方根成正比。
知道实验的注意事项，会进行试验数据的分析与处理，比较简单。
【解答】
单摆的试验中，摆长必须固定；分析图象可知，与l成正比，因此T与l的关系应为，单摆周期T与摆长平方根成正比单摆的试验中，摆长必须固定，故应采用图。
故答案为：；单摆周期T与摆长平方根成正比
第2页，共10页2.4单摆
题号
一
二
三
总分
得分
一、单选题
如图所示，两段光滑圆弧轨道半径分别为和，圆心分别为和，所对应的圆心角均小于，在最低点O平滑连接．M点和N点分别位于O点左右两侧，距离MO小于现分别将位于M点和N点的两个小球A和均可视为质点同时由静止释放．关于两小球第一次相遇点的位置，下列判断正确的是
A.
恰好在O点
B.
一定在O点的左侧
C.
一定在O点的右侧
D.
条件不足，无法确定
一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线振幅A与驱动力频率f的关系如图所示，则下列说法不正确的是
A.
此单摆的固有周期约为
B.
此单摆的摆长约为
C.
若摆长增大，单摆的固有频率增大
D.
若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动
如图所示，房顶上固定一根长的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下，细线下端系了一个小球可视为质点。打开窗子，让小球在垂直于窗子的竖直平面内小幅摆动，窗上沿到房顶的高度为，不计空气阻力，g取，则小球从最左端运动到最右端的最短时间为
A.
B.
C.
D.
础题．
下列说法正确的是
A.
摆钟走得快了必须调短摆长，才可能使其走时准确
B.
挑水时为了防止水从桶中荡出，可以加快或减慢走路的频率
C.
在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是共振现象
D.
部队要统一步伐通过桥梁，是为了防止桥梁发生共振而坍塌
一个物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的，在地球上走时正确的摆钟设摆钟的周期与单摆简谐运动的周期相同搬到此行星上，现要使摆钟在该行星与地球上的周期相同，下列可行的办法是
A.
将摆球的质量m增加为4m
B.
将摆球的质量m减少为
C.
将摆长L减短为
D.
将摆长L增长为4L
如图所示，一小球用细线悬挂于O点，细线长为L，O点正下方处有一铁钉。将小球拉至A处无初速释放摆角很小，这个摆的周期是
A.
B.
C.
D.
某小组利用频闪照相的方法研究单摆的运动过程，即用在同一张底片上多次曝光的方法，在远处从与单摆摆动平面垂直的视角拍摄单摆在摆动过程中的多个位置的照片。从摆球离开左侧最高点A时开始，每隔相同时间曝光一次，得到了一张记录摆球从A位置由静止运动到右侧最高点B的照片，如图所示，其中摆球运动到最低点O时摆线被一把刻度尺挡住。对照片进行分析可知
A.
摆球在A点所受的合力等于在B点所受的合力
B.
在O点附近摆球影像相邻位置的间隔较大，说明在O点附近摆球的速率较大
C.
摆球经过O点前后瞬间摆线上的拉力大小不变
D.
从A点到O点的过程中，重力对摆球做功的功率不断变大
已知单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为，则两单摆长与分别为
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
一个单摆，在第一个行星上的周期为，在第二个行星上的周期为，若这两个行星的质量之比为，半径之比，则
A.
B.
C.
D.
二、多选题
如图所示，匀强电场方向水平向右，一根不可伸长的绝缘细线一端固定在O点，另一端系一质量为m、电荷量为q的带正电小球。把小球拉至水平位置A，然后由静止释放，小球运动到细线与水平方向成的位置B时速度刚好为零。重力加速度为g。以下说法正确的是
A.
匀强电场的场强大小为
B.
匀强电场的场强大小为
C.
球在B点时，细线拉力为
D.
球在B点时，细线拉力为
如图所示为某一单摆的振动图象，下列说法不正确的是
A.
单摆的振幅为
B.
单摆的周期为
C.
时摆球所受的回复力最大
D.
时摆球的速度为0
将一个电动传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示．某同学由此图象提供的信息作出的下列判断中，正确的是
A.
时摆球正经过最低点
B.
时摆球正经过最低点
C.
摆球摆动过程中机械能减小
D.
摆球摆动的周期是
三、实验题
某同学用图甲所示的装置研究单摆运动的规律：
让摆球在竖直平面内做部分圆周运动，用力传感器得到细线对摆球拉力F的大小随时间t变化的图线如图乙所示，且从最低点开始为运动的0时刻。由图乙中所给的数据结合力学规律可得：
该同学先用游标卡尺测量小球的直径如图丙所示，其读数为__________cm；
由图象得该单摆的运动周期__________s；
摆球的质量__________。
如图所示，细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球，做成一个单摆，测量摆长l和摆的周期T，得到一组数据，改变摆长，再得到几组数据．从中可以找出周期与摆长的关系．实验过程有两组同学分别用了图、的两种不同方式悬挂小钢球，你认为______选填“”或“”悬挂方式较好．图是某组同学根据实验数据画出的图线，通过图线得到单摆周期T与摆长l的关系是________．
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