江西省四校2011-2012学年高二理科零班联考数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．设，则“”是“ （ ）
A．充分而不必要条件 B．充分必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模若，则 （ 　 ）
A． B．2 C． D．4
3.现有四个函数① ② ③ ④的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）
A. ①④②③ B. ①④③② C. ④①②③ D. ③④②①
4．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为(　　)
A． 360 B．520 C．600 D．720
5.设A={（x,y)|(x-1)2+y2≤25},B={(x,y)|(x+1)2+y2≤25},Ct={(x,y)||x|≤t,|y|≤t,t>0},则满足Ct（A∩B）时，t的最大值是 （ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
6.某游戏中,一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下,从最下面的六个出口出来,规定
猜中出口者为胜.如果你在该游戏中,猜得珠子从出口3出来,那么你取胜的概率为( )
A. B. C. D.以上都不对
7.已知点表示的平面区域内的一个动点，且目标函数的最大值为7，最小值为1，则的值为（ ）
A．2 B． C．-2 D．-1
8.已知直线l在平面α、β上的射影分别是直线a,b.有以下四个命题：①若α∥β，则a∥b； ②若α⊥β，则a⊥b；③若a与b相交,则直线l垂直于α、β的交线;④ 若l垂直于α、β的交线,则a与b相交; 则正确的命题是（ ）.
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
9．设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、 两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是 （ ）
A． B．
C． D．
10.在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设是非零实数，且满足，则＝ （ ）
A．4 B． C．2 D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）把答案填在答题卷的相应位置上.
11．设，则= 。
12. 已知点及抛物线，若抛物线上点满足，则的最大值为
13．下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在，,的人数依次为、、……、．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，图乙输出的 ．（用数字作答）
14．如图，在每个三角形的顶点处各放置一个数，使位于的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别成等差数列．若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1，
则所有顶点上的数之和等于 ．
15．设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：
①设是平面上的线性变换，，则
②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；
③对，则是平面上的线性变换；
④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。
其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共6小题，共75分）把解答题答在答题卷限定的区域内.解
答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
在锐角中，角所对的边分别为，已知
（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.
17．（本小题满分12分）
在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－成等比数列.
(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；
(3)求数列{an}前n项的和.
18．（本小题满分12分）袋中装有13个红球和个白球，这些红球和白球除了颜色不同之外，其余都相同，从袋中同时取两个球.
(1)若取出的是2个红球的概率等于取出的是一红一白两个球的概率的3倍，试求的值；
(2) 某公司的某部门有21位职员，公司将进行抽奖活动，在（1）的条件下，规定：每个职员都从袋中同时取两个球，然后放回袋中，摇匀再给别人抽奖，若某人取出的两个球是一红一白时，则中奖（奖金1000元）；否则，不中奖（也发鼓励奖金100元）．试求此公司在这次抽奖活动中所发奖金总额的期望值.
19、（本小题满分12分）如图(1)在等腰中，D，E，F
分别是AB，AC和BC边的中点，，
现将沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如图(2))
(I)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，
并说明理由；(II).求二面角E-DF-C的余弦值；
(III)在线段BC是否存在一点P，但APDE？证明你的结论.
20、（本小题满分13分）设a为实数，设函数的最大值为g(a)。
　　　（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)
（Ⅱ）求g(a)（Ⅲ）试求满足的所有实数a
21、（本小题满分14分）
已知椭圆内有圆，如果圆的切线与椭圆交A、B两点，且满足（其中为坐标原点）．
（1）求证：为定值；
（2）若达到最小值，求此时的椭圆方程；
（3）在满足条件（2）的椭圆上是否存在点P，使得从P向圆所引的两条切线互相垂直，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由．
四校联考数学答案
17．解：∵an,Sn,Sn－成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2) (*)
(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－
由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－
同理可得：a4=－,由此可推出：an=
(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.
②假设n=k(k≥2)时，ak=－成立
故Sk2=－·(Sk－)
∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0
∴Sk= (舍)
由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)
由①②知，an=对一切n∈N成立.
(3)由(2)得数列前n项和Sn= .
18．解：(1)记“取出两个红球”和“取出一红一白两球”分别为事件A和B，
根据题意，得： 令P(A)=3P(B),k∈N*，
即，解得.…………5′
（2）设中奖人数为，不中奖人数为21－，奖金为，则
即，每人中奖的概率为
～，，，
答：此公司在这次抽奖活动中所发奖金的期望值为6780元. …………12′
19、法一（I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，
又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．………………4分
（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD，∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角，∴AD⊥BD，∴AD⊥平面BCD，取CD的点M，使EM∥AD，∴EM⊥平面BCD，过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF，
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角.……6分设CD＝a,则AC＝BC＝2a , AD＝DB＝, △DFC中,设底边DF上的高为h由， ∴h＝在Rt△EMN中，EM=，MN= h＝，
∴tan∠MNE=2从而cos∠MNE ＝……8分
（Ⅲ）在线段BC上不存在点P，使AP⊥DE，………… 9分
证明如下：在图2中, 作AG⊥DE,交DE于G交CD于Q
由已知得∠AED＝120°，于是点G在DE的延长线上，
从而Q在DC的延长线上，过Q作PQ⊥CD交BC于P
∴PQ⊥平面ACD ∴PQ⊥DE∴DE⊥平面APQ∴AP⊥DE.但P在BC的延长线上。… 12分
法二（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，
设CD＝a，则AC＝BC＝2a , AD＝DB＝则A（0，0，），B（，0，0），
C（0，.…… 5分
取平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为，
则 得…6分
…… 7分
所以二面角E—DF—C的余弦值为……8分
（Ⅲ）设，
又，……… 9分
……11分
把，可知点P在BC的延长线上
所以在线段BC上不存在点P使AP⊥DE.…… 12分
20、（Ⅰ）令
要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,
∴t≥0 ①
t的取值范围是由①得
∴m(t)=a()+t=
（Ⅱ）由题意知g(a)即为函数的最大值。
注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论。
（1）当a>0时，函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段，
由<0知m(t)在上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2
(III)解法一：
情形1：当时，此时，
由，与a<-2矛盾。
情形2：当时，此时，
解得， 与矛盾。
情形3：当时，此时
所以
情形4：当时，，此时，
矛盾。
情形5：当时，，此时g(a)=a+2,
由解得矛盾。
情形6：当a>0时，，此时g(a)=a+2,
由，由a>0得a=1.
综上知，满足的所有实数a为或a=1
方法2：设切线的方程为，则有
，
所以.
因，所以，即
（定值）．
（2）因，
所以．
当时取到最小值，此时椭圆的方程为．
（3）如果存在满足条件的点P，则向圆引两条切线，切点分别为M、N，连结OM、ON，则，如果，则四边形OMPN为正方形，所以，因为椭圆上到中心最近的点为短轴的端点，距离为，故存在四个点满足条件，其坐标为，即．
图甲
图乙