高中数学新课标A版必修1第一章函数的性质

函数的性质
一、要点及方法：
1.函数的单调性。
（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）；
②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等；
③要熟悉一次、二次、反比例、对勾函数的单调性，特别要注意型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为；
④复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减.
例、已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_____（答：）；
（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域,二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”,三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
例、若函数在区间上为减函数，求的取值范围（答：）
2.函数的奇偶性。
（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。
（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：
①定义法：算出与进行比较；
例、判断函数的奇偶性____（答：奇函数）。 ( http: / / www. )②利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）；
③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。
（3）函数奇偶性的性质： ( http: / / www. )①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②若为偶函数，则.
例、定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为______.（答：）
③若奇函数定义域中含有0，则必有.
例、若为奇函数，则实数＝____（答：1）.注意函数单调性与奇偶性的逆用（①比较大小 ②解不等式 ③求参数范围）例、已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围.（答：） ( http: / / www. )
注意函数单调性与奇偶性的逆用（①比较大小 ②解不等式 ③求参数范围）
例、已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围.（答：）3.常见的图象变换
①函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的;
②函数(的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的;
③函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的;
④函数+的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的;
⑤函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的;
⑥函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的.
4.函数的对称性
①满足条件的函数的图象关于直线对称。
②点关于轴的对称点为；函数与关于轴对称；
③点关于轴的对称点为；函数与关于轴对称；
④点关于原点的对称点为；函数与关于原点对称；
⑤的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。
例、作出函数及的图象.
二、课后练习：
1.奇函数满足：①在内单调递增；②；则不等式的解集为： .
2.为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是（ ）
A.沿轴向右平移个单位 B.沿轴向右平移个单位 C.沿轴向左平移个单位 D.沿轴向左平移个单位
3.已知函数的图象关于直线对称，且当时，有则当时，
的解析式为（ ） A． B． C． D．
4.设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
5.已知函数为偶函数，则的值是（ ）
A. B. C. D.
6.若函数，则对任意实数，下列不等式总成立的是（ ）
A. B.
C. D.
7.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
8.若在区间上是增函数，则的取值范围是 .
9.若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.下列判断正确的是（ ）
A．函数是奇函数 B．函数是偶函数
C．函数是非奇非偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数
11. 若函数在上是奇函数,则的解析式为________.
12.设是定义在上的函数,且对任意实数都有求证：
（1）是奇函数；（2）若当时，有则是上的增函数.
13.若非零函数对任意实数均有，且当时，；
（1）求证：; （2）求证：为减函数; （3）当时，解不等式.
14.定义在R上的函数f(x)满足:①对任意实数x,y∈R有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；②当x＞0时,f(x)＜0且f(1)＝－2.
(1)求证f(0)＝0；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)判断函数f(x)的单调性；
(4)解不等式f(x2－2x)－f(x)≥－8.