2020--2021学年人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》提升训练（附答案）

2021年人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》高频热点专题提升训练（附答案）
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则ED的长为（　　）
A． B． C．2 D．
2．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB＝BC，CD＝DA B．AB∥CD，∠A＝∠C
C．AB∥CD，AD＝BC D．∠A＝∠B，∠C＝∠D
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（　　）
A． B．2 C． D．2
4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）
A．2.5 B． C． D．2
5．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
6．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF，连接EF交BD于点O，连接AO．若∠DBC＝25°，则∠OAD的度数为（　　）
A．50° B．55° C．65° D．75°
7．如图，?ABCD的周长是24cm，对角线AC与BD交于点O，BD⊥AD，E是AB中点，△COD的周长比△BOC的周长多4cm，则DE的长为（　　）cm．
A．5 B．5 C．4 D．4
8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（　　）
A．.2 B．3 C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝10，DM＝4，则PQ的长为（　　）
A．4 B．8 C． D．
10．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝23°，则∠PFE的度数为（　　）
A．23° B．25° C．30° D．46°
11．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
12．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．24 B．24 C．12 D．12
13．在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交直线BC于点E，BE：EC＝2：1，且AB＝6，那么这个四边形的周长是　 　．
14．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，∠EAF＝60°．若AE＝3，AF＝4，则AB的长为　 　．
15．四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝，则CE的长为　 　．
16．如图，正方形ABCD中，对角线BD长为15cm．P是线段AB上任意一点，则点P到AC，BD的距离之和等于　 　cm．
17．如图，?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC交AB于点E，已知△BCE的周长为14，则?ABCD的周长为　 　．
18．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE＝　 　．
19．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD⊥BD，垂足为D，E为AC中点．若AB＝10，BC＝6，则DE的长为　 　．
20．如图，在正方形ABCD内，以AB为边作等边△ABE，则∠BEG＝　 　°．
21．如图，正方形ABCD中，A（2，6），C（﹣1，﹣7），则点D的坐标是　 　．
22．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，AD的延长线交BC于点E，F是AC中点，连接DF，若AB＝10，BC＝24，则DF的长为　 　．
23．如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．
（1）求证：FB＝AD．
（2）若∠DAF＝70°，求∠EBC的度数．
24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E．
（1）求证：△FCE≌△BOE；
（2）当∠ADC＝90°时，判断四边形OCFD的形状？并说明理由．
25．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
26．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．
（1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；
（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DFA的大小；
（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．
27．如图，已知?ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．
（1）求证：?ABCD是菱形．
（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求AO的长．
28．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：△ADC≌△ECD；
（3）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．
参考答案
1．解：连接EC，如图，
∵ABCD是矩形，
∴AO＝OC．
∵EO⊥AC，
∴OE为线段AC的垂直平分线．
∴EC＝AE．
设DE＝x，则AE＝12﹣x．
∴EC＝12﹣x，
在Rt△ECD中，
∵EC2＝DE2+DC2，
∴（12﹣x）2＝x2+92．
解得：x＝．
∴DE＝．
故选：A．
2．解：如图示，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
根据平行四边形的判定定理可知：只有B符合条件．
故选：B．
3．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，
∴CG＝CD＝2，
∵点N为AF的中点，
∴MN＝FG，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FG＝＝2，
∴MN＝，
故选：C．
4．解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，
∴AC＝，CF＝3，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，AF＝＝＝2，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝×2＝．
故选：B．
5．解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；
D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
故选：B．
6．方法一：解：如图，连接EC，OC，AF．
在菱形ABCD中，∠EBC＝∠ADF，∠ADB＝∠DBC＝25°，AB＝CD，BC＝DA．
∵AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即BE＝DF．
在△EBC与△FDA中，
．
∴△EBC≌△FDA（SAS）
∴EC＝AF．
又AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴EF与AC平分，
∴在菱形ABCD中，AO⊥BD，
∴∠OAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣25°＝65°．
方法二：解：∵ABCD是菱形，AE＝CF，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴BE＝DF，∠OBD＝∠ODF，
在△OEB和△OFD中，
∴△OEB≌△ODF（AAS）．
∴OB＝OD，
∴AO⊥BD，
∴∠OAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣25°＝65°．
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD的周长是24，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，AD+AB＝CD+BC＝12，
∵△COD的周长比△BOC的周长多4，
∴（CD+OD+OC）﹣（CB+OB+OC）＝4，即CD﹣BC＝4，
，
解得，CD＝8，BC＝4，
∴AB＝CD＝8，
∵BD⊥AD，E是AB中点，
∴DE＝AB＝4，
故选：C．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO＝8，
又∵S菱形ABCD＝＝，
∴BD＝6，
∵DH⊥AB，
∴在Rt△BHD中，点O是BD的中点，
∴OH＝＝＝3．
故选：B．
9．解：在正方形ABCD中，
AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，
在△ADM与△DCN中，
∵AD＝CD，DM＝CN，∠ADC＝∠DCN，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，
∴∠DMA＝∠CND，
在△DPM中∠PDM+∠PMD＝90°，
∴∠DPM＝90°'
∵∠DPM＝∠APN，
∴△ANP为直角三角形，
AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝AN，
在△ANB中AN＝＝2，
故选：C．
10．解：在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF＝BC，PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF＝23°，
∴∠PEF＝∠PFE＝23°．
故选：A．
11．解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故选：C．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∵AE平分∠BAC，AE＝CE，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，
∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，
∴BC＝BE+CE＝6，
∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；
故选：C．
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝6，
如图1，∵BE：EC＝2：1，
∴EC＝3，
∴AD＝BC＝9，AB＝CD＝6，
∴这个四边形的周长是：9+6+9+6＝30；
如图2，∵BE：EC＝2：1，
∴EC＝3，
∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝6，
∴这个四边形的周长是：3+6+3+6＝18；
∴这个四边形的周长是：30或18．
故答案为：30或18．
14．解：延长AE交DC延长线于M点，过M点作MN⊥AF于N点，
∵E点为BC中点，
∴BE＝CE．
∵AB∥DM，
∴∠B＝∠ECM．
又∠AEB＝∠MEC，
∴△ABE≌△MCE（ASA）．
∴CM＝AB，AE＝ME＝3，
∴AM＝2AE＝6．
在Rt△AMN中，∠MAN＝60°，
所以∠AMN＝30°，
∴AN＝AM＝3，MN＝＝＝3，
∴NF＝AF﹣AN＝4﹣3＝1．
在Rt△MNF中，利用勾股定理可得
MF＝＝＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，
又F为CD中点，
∴CF＝CD＝AB．
∴MF＝MC+CF＝AB．
所以AB＝2，
解得AB＝．
故答案为．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝6，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝6，
∴OB＝BD＝3，
∴OC＝OA＝＝3，
∴AC＝2OA＝6，
∵点E在AC上，OE＝，
∴当E在点O左边时CE＝OC+＝4
当点E在点O右边时CE＝OC﹣＝2，
∴CE＝4或2；
故答案为：4或2．
16．解：作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，连接OP，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝BD＝，OA⊥OB，
∵S△OPA+S△OPB＝S△OAB，
∴PE?OA+PF?OB＝OA?OB，
∴PE+PF＝OA＝cm．
故答案为．
17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O点为AC中点．
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE．
∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝BC+AE+BE＝BC+AB＝14．
∴平行四边形ABCD周长为2×14＝28．
故答案为28．
18．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝5，AC⊥BD，AO＝AC＝×6＝3，OB＝OD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝4，
∴BD＝2OD＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OD＝OB，
∴OE＝BD＝×8＝4，
故答案为：4．
19．解：延长CD交AB于F，
在△BDC和△BDF中，
，
∴△BDC≌△BDF（ASA），
∴BF＝BC＝6，CD＝DF，
∴AF＝AB﹣BF＝4，
∵CD＝DF，CE＝EA，
∴DE＝AF＝2，
故答案为：2．
20．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．
又∵三角形ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．
∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，
∴AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠BEG＝180°﹣∠DAE﹣∠AEB＝180°﹣75°﹣60°＝45°．
故答案为：45．
21．解：如图，连接AC，取AC的中点G，过点G分别作平行于y轴、x轴的直线a、b，连接DG，作AH⊥b于点H，DF⊥b于点F，
∵∠AGD＝∠AHG＝∠GFD＝90°
∴∠GAH＝90°﹣∠AGH＝∠DAF，
∵AG＝DG，
∴△AGH≌△GDF（AAS）．
∴AH＝GF，GH＝DF，
∵A（2，6），C（﹣1，﹣7），且G是AC的中点，
∴G（，）．
∴AH＝GF＝6+＝，GH＝DF＝2＝，
∴xD＝+＝7，yD＝＝﹣2，
∴点D的坐标为（7，﹣2）．
故答案为：（7，﹣2）．
22．解：在△ADB和△EDB中，
，
∴△ADB≌△EDB（ASA），
∴EB＝AB＝10，AD＝DE，
∵BC＝24，
∴CE＝BC﹣BE＝14，
∵AF＝FC，AD＝DE，
∴DF＝CE＝7，
故答案为：7．
23．（1）证明∵E为AD的中点，
∴DE＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∴∠EDC＝∠EAF，
在△DEC和△AEF中，，
∴△DEC≌△AEF（AAS），
∴DC＝FA，
∵AD＝2AB，
∴AB＝DE＝EA＝FA，
∴FB＝AD；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DA∥CB，
∴∠CBF＝∠DAF＝70°，∠AEB＝∠EBC，
又∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴∠EBC＝∠ABE＝35°．
24．证明：（1）∵CF∥BD，DF∥AC，
∴四边形OCFD是平行四边形，∠OBE＝∠CFE，
∴OD＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OB＝CF，在
△FCE和△BOE中，，
∴△FCE≌△BOE（AAS）；
（2）当△ADC满足∠ADC＝90°时，四边形OCFD为菱形；理由如下：
∵∠ADC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形OCFD为菱形．
25．解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示：
∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，
∴∠C＝45°＝∠B，
∴AB＝AC，
∴BM＝CM，
∴AM＝BC＝5，
∵AD∥BC，
∴∠PAN＝∠C＝45°，
∵PE⊥BC，
∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，
∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，
∴5﹣t＝2t﹣2，
解得：t＝，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×＝；
（2）存在，t＝4或12；理由如下：
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则AP＝BE，
∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10
解得：t＝4或12
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12．
26．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBA＝∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠HAD＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣35°＝10°；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBA＝∠BAD＝∠ADF＝90°，
∴∠EAB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣α，
∴∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣（90°﹣α）＝α﹣45°，
∴∠DFA＝90°﹣∠DAF＝90°﹣（α﹣45°）＝135°﹣α；
（3）∠BEA＝∠FEA，理由如下：
延长CB至I，使BI＝DF，连接AI．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABI＝90°，
又∵BI＝DF，
∴△DAF≌△BAI（SAS），
∴AF＝AI，∠DAF＝∠BAI，
∴∠EAI＝∠BAI+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°＝∠EAF，
又∵AE是△EAI与△EAF的公共边，
∴△EAI≌△EAF（SAS），
∴∠BEA＝∠FEA．
27．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴?ABCD是菱形．
（2）解：由（1）得：?ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，AO＝CO，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CBE，
∵AE＝AF＝3，
∴∠AFE＝∠AEF，
又∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝BC＝5，
∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，
∴AO＝AC＝4．
28．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠2，
又∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE，
∴∠B＝∠1，
∴∠1＝∠2；
（2）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝ED，
∵AB＝AC，
∴AC＝ED，
在△ADC和△ECD中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（3）解：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，理由如下：
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AE∥BC，
∵D为边长BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AE＝CD，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵△ADC≌△ECD，
∴AC＝DE，
∴四边形ADCE是矩形．