2020—2021学年北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程高频热点专题提升训练（Word版，附答案）

2021北师大版八年级数学下册《第5章分式与分式方程》高频热点专题提升训练（附答案）
1．若式子+有意义，则x满足的条件是（　　）
A．x≠3且x≠﹣3 B．x≠3且x≠4 C．x≠4且x≠﹣5 D．x≠﹣3且x≠﹣5
2．2021年3月12日，为了配合创建文明，宜居的北京城市副中心，通州区某学校甲、乙两班学生参加城市公园的植树造林活动．已知甲班每小时比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用时间与乙班植70棵树所用时间相同．如果设甲班每小时植树x棵，那么根据题意列出方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．方程＝的解为（　　）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
4．运用分式的性质，下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若关于x的分式方程有增根x＝﹣2，则k的值为（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
6．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤5 B．m＜5且m≠3 C．m≠3 D．m≤5且m≠3
7．若关于x的分式方程+3的解为3，则a的值是（　　）
A．7 B．6 C．﹣1 D．﹣6
8．计算﹣+，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．分式方程的解是　 　．
10．如果a+2b＝﹣1时，那么代数式（+2）?的值　 　．
11．若关于x的分式方程有增根，则k的值为　 　．
12．若关于x的方程+＝3的解为正数，则m的取值范围是　 　．
13．某超市从我国西部某城市运进两种糖果，甲种a千克，每千克x元，乙种b千克，每千克y元，如果把这两种糖果混合后销售，保本价是　 　元/千克．
14．若a使关于x的不等式组至少有三个整数解，且关于x的分式方程+＝2有正整数解，则所有整数a的乘积为　 　．
15．已知，则＝　 　．
16．已知a2﹣2021ab+b2＝0（ab≠0），则代数式+的值等于　 　．
17．若关于x的方程无解，则m的值为　 　．
18．关于x的方程x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝，x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝，则关于x的方程x+＝a+的两个解为　 　．
19．计算
（1） （2）
20．解分式方程
（1）＝﹣1； （2）﹣1＝．
21．先化简，再求值：（﹣x﹣2）÷，其中x的值从不等式组的整数解中任意选取一个．
22．为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购A、B两种医疗器械，购买1台A机器比购买1台B机器多花10万元，并且花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等．
（1）求购买一台A器材和一台B器材各需多少万元；
（2）医院准备购买购A、B两种器材共80台，若购买A、B器材的总费用不高于1050万元，那么最多购买A器材多少台？
23．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
如＝＝+＝1+，＝＝a﹣1+，
则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：　 　（填序号）；
①；②；③；④
（2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：
＝　 　．
（3）应用：已知方程组有正整数解，求整数m的值．
24．“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？
25．为全面推进“三供一业”分离移交工作，甲、乙两个工程队承揽了某社区2400米的电路管道铺设工程．已知甲队每天铺设管道的长度是乙队每天铺设管道长度的1.5倍，若两队各自独立完成1200米的铺设任务，则甲队比乙队少用10天．
（1）求甲、乙两工程队每天分别铺设电路管道多少米；
（2）若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？
26．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
参考答案
1．解：∵分式有意义，
∴x﹣3≠0，x﹣4≠0，
∴x≠3，x≠4，故选：B．
2．解：设甲班每小时植树x棵，则乙班每小时植树（x+2）棵，
依题意得：＝．
故选：B．
3．解：去分母得：x﹣2+x+2＝2，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．故选：A．
4．解：A.＝﹣，故A选项错误；
B.＝＝，故B选项错误；
C.＝＝x﹣y，故C选项正确；
D.＝＝，故D选项错误；故选：C．
5．解：分式方程去分母得：x+2+k（x﹣2）＝6，
由分式方程的增根为x＝﹣2，
代人得到﹣4k＝6，
解得：k＝﹣，故选：A．
6．解：去分母得，3＝x﹣2+m，
解得，x＝5﹣m，
∵分式方程的解为非负数，∴5﹣m≥0，
∴m≤5，
又∵x≠2，
∴5﹣m≠2，m≠3，
∴m的取值范围是m≤5且m≠3，故选：D．
7．解：将x＝3代入原方程，得，，
解得a＝7．
故选：A．
8．解：原式＝
＝＝＝，故选：D．
9．解：
方程两边同乘以x﹣1得，
x2﹣1＝0
则（x+1）（x﹣1）＝0
∴x+1＝0或x﹣1＝0
得，x＝﹣1或x＝1．
检验：x＝﹣1时，x﹣1≠0；x＝1时，x﹣1＝0，故x＝1舍去．
故分式方程的根为：x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
10．解：原式＝（+）?＝?＝2（a+2b），
当a+2b＝﹣1时，
原式＝2×（﹣1）＝﹣2，
故答案为：﹣2．
11．解：分式方程去分母得：1﹣kx+3（x﹣2）＝﹣1，
展开得：（3﹣k）x＝4，
当3﹣k＝0，即k＝3时，方程无解，不符合题意；
当3﹣k≠0，即k≠3时，
∵分式方程无解，
∴x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入得：2（3﹣k）＝4，
解得：k＝1，
综上，k＝1．故答案为：1．
12．解：+＝3，
去分母得，x+m﹣3m＝3（x﹣4），
整理得，2x＝12﹣2m，
解得，x＝6﹣m，
∵分式方程的解为正数，
∴6﹣m＞0且6﹣m≠4，
∴m＜6且m≠2．
故答案为：m＜6且m≠2．
13．解：甲种a千克，每千克x元，乙种b千克，每千克y元，
保本价＝（ax+by）÷（a+b）＝．
14．解：关于x的不等式组，整理得，，
由不等式组至少有三个整数解，可得a＞﹣2，
关于x的分式方程+＝2，整理得x＝，
∵分式方程有正整数解，且x≠2，
∴a＝﹣1或a＝5，
∴﹣1×5＝﹣5，
故答案为：﹣5．
15．解：∵＝＝，
∴设＝＝＝k，
∴x＝k，y+z＝2k，z+x＝3k，
∴x＝k，y＝0，z＝2k，
∴＝＝2，
故答案为：2．
16．解：∵a2﹣2021ab+b2＝0，
∴a2+b2＝2021ab，
则原式＝+＝＝＝2021，故答案为：2021．
17．解：分式方程去分母得：x+4+m（x﹣4）＝4，
整理得：x+4+mx﹣4m＝4，即（m+1）x＝4m，
当m+1＝0，即m＝﹣1时，方程无解；
当m+1≠0，即m≠﹣1时，由分式方程无解，得到x＝4或x＝﹣4，
把x＝4代入整式方程得：4（m+1）＝4m，无解；
把x＝﹣4代入整式方程得：﹣8m＝4，即m＝﹣，
综上，m的值为﹣1或﹣．
故答案为：﹣1或﹣．
18．解：x+＝a+可化为：x﹣1+＝a﹣1+，
∵方程x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝，
∴x﹣1＝a﹣1或x﹣1＝，
解得：x1＝a，x2＝，
经检验x1＝a，x2＝都是分式方程的解．
故答案为：x1＝a，x2＝．
19．解：（1）原式＝??x2＝；
（2）原式＝?＝．
20．解：（1）去分母得：4＝﹣3x﹣2x+2，
解得：x＝﹣，
检验：把x＝﹣代入得：2x﹣2＝﹣≠0，
∴x＝﹣是分式方程的解；
（2）去分母得：x2+4x+4﹣x2+4＝16，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：（x+2）（x﹣2）＝0，
则x＝2是增根，分式方程无解．
21．解：原式＝[﹣]÷＝?（x+2）＝1﹣（x+2）2
＝﹣x2﹣4x﹣3，
解不等式组得﹣2≤x＜2，
∴不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0、1，
要使分式有意义，则x≠﹣2，
∴x＝﹣1、0、1，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1+4﹣3＝0；
当x＝0时，原式＝﹣3；
当x＝1时，原式＝﹣1﹣4﹣3＝﹣8．
22．解：（1）设购买一台B器材需要x万元，则购买一台A器材需要（x+10）万元，
依题意，得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝15．
答：购买一台A器材需要15万元，则购买一台B器材需要5万元．
（2）设购买A器材y台，则购买B器材（80﹣y）台，
依题意，得：15y+5（80﹣y）≤1050．
解得y≤65．
所以y的最大值为65．
答：最多购买A器材65台．
23．解：（1）①＝，故是和谐分式；
②＝，故不是和谐分式；
③＝，故是和谐分式；
④＝，故是和谐分式；
故答案为①③④；
（2）＝＝＝，
故答案为；
（3）解方程组得，
∵方程组有正整数解，
∴m＝﹣1或﹣7．
24．解：（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需（x+50）元，
依题意，得：＝2×，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴x+50＝150．
答：购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元．
（2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买（50﹣m）个A品牌垃圾桶，
依题意，得：100×0.9（50﹣m）+150×（1+20%）m≤6000，
解得：m≤16．
因为m是正整数，所以m最大值是16．
答：该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶．
25．解：（1）设乙队每天铺设电路管道x米，则甲队每天铺设电路管道1.5x米，
依题意，得：．
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×40＝60．
答：甲队每天铺设电路管道60米，乙队每天铺设电路管道40米．
（2）设乙队施工m天正好完成该项工程，
依题意，得：≤20，
解得：m≥30．
答：若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天，则乙队至少施工30天才能完成该项工程．
26．解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，
根据题意，得＝，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．
（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．
由题意得：3y﹣5+y≤95．
解得y≤25．
答：商场最多购进乙商品25个；
（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，
解得：y＞23．
∵y为整数，y≤25，
∴y＝24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个