2020—2021学年北师大版八年级数学下册第四章因式分解高频热点专题提升训练（Word版，附答案）

2021年度北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》高频热点专题提升训练（附答案）
1．已知x2+2x﹣1＝0，则x4﹣5x2+2x的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．1
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．m （a+b）＝ma+mb B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．x2+x＝x2（1+） D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
3．若x2+ax﹣24＝（x+2）（x﹣12），则a的值为（　　）
A．﹣10 B．±10 C．14 D．﹣14
4．如果x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式，那么m的值为（　　）
A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2
5．下列各式中能用完全平方公式法分解因式的是（　　）
A．4x2+4x+4 B．﹣x2+4x+4 C．x4﹣4x2+4 D．﹣x2﹣4
6．已知x+y＝1，则＝（　　）
A．1 B． C．2 D．1或2
7．多项式12ab3+8a3b的各项公因式是（　　）
A．ab B．2ab C．4ab D．4ab2
8．812﹣81肯定能被（　　）整除．
A．79 B．80 C．82 D．83
9．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+b2 B．2a﹣b2 C．a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2
10．若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（　　）
A．2 B．5 C．20 D．9
二．填空题（共11小题）
11．已知a+b＝，ab＝，并满足a＞b，则a2﹣b2＝　 　．
12．把多项式ab2﹣4ab+4a分解因式的结果是　 　．
13．分解因式：3ax2﹣18axy+27ay2＝　 　．
14．把多项式x2﹣xy+y2分解因式的结果是　 　．
15．如果x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2﹣3的值为　 　．
16．分解因式：x2（a﹣b）﹣a+b＝　 　．
17．因式分解：﹣4a3b3+ab＝　 　．
18．若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为　 　．
19．已知x2+x﹣2＝0，则代数式x3+2020x2+2017x+2＝　 　．
20．若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值　 　．
21．已知a，b，c为三角形的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，那么它的形状是　 　．
三．解答题（共7小题）
22．因式分解：
（1）﹣20a﹣15ax；
（2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）．
23．分解因式．
（1）5x2y﹣25x2y2+40x3y．
（2）x2（a﹣b）2﹣y2（b﹣a）2．
24．把下列各式分解因式：
（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）；
（2）a3+10a2+25a；
（3）（x2+4）2﹣16x2．
25．分解因式：
（1）（x2+25）2﹣100x2．
（2）3（x﹣1）2﹣18（x﹣1）+27．
26．阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
过程如下：
x2﹣2xy+y2﹣16
＝（x﹣y）2﹣16
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣25；
（2）因式分解：x2﹣4y2﹣2x+4y；
（3）△ABC三边a，b，c满足a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
27．“换元法”是数学的重要方法，它可以使一些复杂的问题变为简单．
例如：分解因式（x2+2x﹣2）（x2+2x）﹣3
解：（x2+2x﹣2）（x2+2x）﹣3
＝（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3
＝（x2+2x﹣3）（x2+2x+1）
＝（x+3）（x﹣1）（x+1）2
这里就是把x2+2x当成一个量，那么式子（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3看成一个关于x2+2x的二次三项式，就容易分解．
（1）请模仿上面方法分解因式：x（x﹣4）（x﹣2）2﹣45
（2）在（1）中，若当x2﹣4x﹣6＝0时，求上式的值．
28．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；
（3）若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，利用得到的结论，求a2+b2+c2的值．
参考答案
1．解：∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2＝1﹣2x，
x4﹣5x2+2x＝（x2）2﹣5x2+2x＝（1﹣2x）2﹣5（1﹣2x）+2x＝1﹣4x+4x2﹣5+10x+2x
＝4x2+8x﹣4＝4（1﹣2x）+8x﹣4＝4﹣8x+8x﹣4＝0，
故选：A．
2．解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
D、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
故选：D．
3．解：根据题意，知：a＝﹣12+2＝﹣10，
∴a的值是﹣10，
故选：A．
4．解：设另一个因式是x+a，
则（x﹣2）（x+a）＝x2+ax﹣2x﹣2a＝x2+（a﹣2）x﹣2a，
∵x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式，
∴a﹣2＝﹣6，
解得：a＝﹣4，
∴m＝﹣2a＝8，
故选：A．
5．解：A、4x2+4x+4另一项不是2x、2的积的2倍，不符合完全平方公式，故此选项错误；
B、﹣x2+4x+4，不符合完全平方公式，故此选项错误；
C、x4﹣4x2+4＝（x2﹣2）2，符合完全平方公式，故此选项正确；
D、﹣x2﹣4不是三项，不符合完全平方公式，故此选项错误；
故选：C．
6．解：＝（x2+2xy+y2）＝（x+y）2＝×12＝，
故选：B．
7．解：12ab3c+8a3b＝4ab（3b2c+2a2），则4ab是公因式，故选：C．
8．解：原式＝81×（81﹣1）＝81×80，
则812﹣81肯定能被80整除．故选：B．
9．解：A、a2+b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
B、2a﹣b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
C、a2﹣b2能运用平方差公式分解，故此选项正确；
D、﹣a2﹣b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
故选：C．
10．解：a2+2ab+b2﹣c2＝10，
（a+b）2﹣c2＝10，
（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，
∵a+b+c＝5，
∴5（a+b﹣c）＝10，
解得a+b﹣c＝2．
故选：A．
11．解：∵a+b＝，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝＝，
∵a＞b，
∴a﹣b＝，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝＝．故答案为：．
12．解：原式＝a（b2﹣4b+4）＝a（b﹣2）2．故答案为：a（b﹣2）2．
13．解：原式＝3a（x2﹣6xy+9y2）＝3a（x﹣3y）2，
故答案是：3a（x﹣3y）2．
14．解：x2﹣xy+y2＝（x2﹣2xy+y2）＝（x﹣y）2．
15．解：∵x2+x﹣1＝0，
∴x2+x＝1，
∴x3+2x2﹣3＝x3+x2+x2﹣3＝x（x2+x）+x2﹣3＝x+x2﹣3＝﹣2．
即：x3+2x2﹣3＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．解：x2（a﹣b）﹣a+b＝x2（a﹣b）﹣（a﹣b）
＝（a﹣b）（x2﹣1）＝（a﹣b）（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（a﹣b）（x+1）（x﹣1）．
17．解：原式＝ab（﹣4a2b2+1）
＝ab（1+2ab）（1﹣2ab）．
故答案为：ab（1+2ab）（1﹣2ab）．
18．解：∵2a﹣3b＝﹣1，
∴4a2﹣6ab+3b＝2a（2a﹣3b）+3b＝2a×（﹣1）+3b＝﹣2a+3b＝﹣（2a﹣3b）
＝﹣（﹣1）＝1故答案为1
19．解：∵x2+x﹣2＝0，
∴x2＝2﹣x，x2+x＝2，
∴x3+2020x2+2017x+2＝x?x2+2020x2+2020x﹣3x+2
＝x（2﹣x）+2020（x2+x）﹣3x+2＝2x﹣x2+2020×2﹣3x+2
＝﹣（x2+x）+4040+2＝﹣2+4040+2＝4040．
故答案为：4040．
20．解：∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴m2﹣n2＝n﹣m，
∴（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，
∵m≠n，
∴m+n＝﹣1，
∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴m2﹣n＝2020，n2﹣m＝2020，
∴原式＝m3﹣mn﹣mn+n3
＝m（m2﹣n）+n（n2﹣m）＝2020m+2020n＝2020（m+n）＝2020×（﹣1）＝﹣2020．
故答案为：﹣2020．
21．解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），
∴a2﹣b2＝0或c2＝a2+b2，
当a2﹣b2＝0时，a＝b；
当c2＝a2+b2时，∠C＝90°，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
故答案为：等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
22．解：（1）﹣20a﹣15ax
＝﹣5a（4+3x）；
（2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）
＝（a﹣3）2﹣2（a﹣3）
＝（a﹣3）（a﹣5）．
23．解：（1）5x2y﹣25x2y2+40x3y
＝5x2y（1﹣5y+8x）；
（2）x2（a﹣b）2﹣y2（b﹣a）2
＝（a﹣b）2（x2﹣y2）
＝（a﹣b）2（x﹣y）（x+y）．
24．解：（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）
＝a（x﹣y）+b（x﹣y）
＝（x﹣y）（a+b）；
（2）a3+10a2+25a
＝a（a2+10a+25）
＝a（a+5）2 ；
（3））（x2+4）2﹣16x2
＝（x2+4﹣4x）（x2+4+4x）
＝（x﹣2）2（x+2）2．
25．解：（1）原式＝（x2+25）2﹣（10x）2
＝（x2+25+10x）（x2+25﹣10x）
＝（x+5）2（x﹣5）2；
（2）原式＝3[（x﹣1）2﹣6（x﹣1）+9]
＝3[（x﹣1）﹣3]2
＝3（x﹣4）2．
26．解：（1）a2﹣6ab+9b2﹣25，
＝（a﹣3b）2﹣25，
＝（a﹣3b﹣5）（a﹣3b+5）；
（2）x2﹣4y2﹣2x+4y，
＝（x﹣2y）（x+2y）﹣2（x﹣2y），
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）；
（3）△ABC是等边三角形，
理由如下：
∵a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（c2﹣2bc+b2）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，且b﹣c＝0，
∴a＝b，且b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
27．解：（1）x（x﹣4）（x﹣2）2﹣45
＝（x2﹣4x）（x2﹣4x+4）﹣45
＝（x2﹣4x）2+4（x2﹣4x）﹣45
＝（x2﹣4x+9）（x2﹣4x﹣5）
＝（x2﹣4x+9）（x﹣5）（x+1）；
（2）当x2﹣4x﹣6＝0，即x2﹣4x＝6时，
原式＝（x2﹣4x+9）（x2﹣4x﹣5）＝（6+9）×（6﹣5）＝15．
28．解：（1）∵边长为（a+b+c）的正方形的面积为：（a+b+c）2，
分部分来看的面积为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵（a+b+c）2＝（a+b+c）（a+b+c）＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（3）∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝102﹣2×35＝30，
∴a2+b2+c2的值为30．