(共22张PPT)
第八章
机械能守恒定律
第1节
功和功率（第二课时）
学习目标
1
掌握变力做功的几种方法。
2
学会用控制变量法分析汽车的两种启动方式，优化学生对公式的理解与应用。
top
1
top
2
目录
/CONTENTS
变力做功
机车的两种启动方式
新课引入
经过上一节课的学习，我们知道，功的计算公式W＝Flcos
α，但是当力是变力的时候，我们怎么到底代入那个值进行计算呢。你有没有办法解决这个难题？
一、变力做功
1.方法概述:求解变力做功,可根据实际情况选用不同方法,如用平均力求变力功、化变力为恒力求变力功、用F-x
图象求变力功、利用微元法求变力功等方法。
2.选用思路:
(1)平均力法:若物体受到的力的方向不变,而大小随位移成线性变化,即力均匀变化时,用平均力求变力功。
(2)转化法:变力做功直接求解时,比较复杂,但若通过转换研究的对象,有时可化为恒力做功,可以用W=Flcosα求解。
（一）方法概括
一、变力做功
(3)图象法:若有F-x图象,则图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功,且位于x轴上方的“面积”为正,位于x轴下方的“面积”为负,但此方法只适用于便于求图线所围面积或定性比较功的大小的情况。
(4)微元法:求解力的大小不变、方向改变的变力做功问题常用微元法。将物体的位移分割成许多小段,因小段很小,每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力,这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。
一、变力做功
（二）典例探究
【典例1】（平均值法）把长为l的铁钉钉入木板中,每打击一次给予的能量为E0,已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比,比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次?
【解析】在把钉子打入木板的过程中,钉子把得到的能量用来克服阻力做功,而阻力与钉子进入木板的深度成正比,先求出阻力的平均值,便可求得阻力做的功。钉子在整个过程中受到的平均阻力为
F=
钉子克服阻力做的功为WF=Fl=
kl2
设全过程共打击n次,则给予钉子的总能量:
E总=nE0=
kl2
，所以n=
一、变力做功
（二）典例探究
【典例2】（转化法）如图，用恒力F通过跨过光滑定滑轮的轻绳，将静止于水平面上的物体从位置A拉到位置B，物体和滑轮的大小均忽略，定滑轮距水平面高为h，物体在位置A、B时，细绳与水平面的夹角分别为α和β，求绳的拉力F对物体做的功．
h
【分析】功是能量转化的量度，轻绳不存储能量，恒力F做功通过绳子将能量转移到物体上，故此恒力F做功应该等于绳子对物体做的功。
一、变力做功
（二）典例探究
【典例3】(图像法）放在地面上的木块与一轻弹簧相连,弹簧处于自由伸长状态。现用手水平拉弹簧,拉力的作用点移动x1=0.2
m时,木块开始运动,继续拉弹簧,木块缓慢移动了x2=0.4
m的位移,其F-x图象如图所示,求上述过程中拉力所做的功。
【解析】由F-x图象可知,在木块运动之前,弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系,木块缓慢移动时弹簧弹力不变,图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功,即
W=
×(0.6+0.4)×40
J=20
J。
答案:20
J
一、变力做功
【典例4】（微元法）如图所示，质量为m的质点在力F的作用下，沿水平面上半径为R的光滑圆槽运动一周．若F的大小不变，方向始终与圆槽相切(与速度的方向相同)，求力F对质点做的功．
（二）典例探究
【解析】质点在运动的过程中，F的方向始终与速度的方向相同，若将圆周分成许多极短的小圆弧Δl1、Δl2、Δl3、…、Δln，则每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，所以质点运动一周，力F对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，即W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F(Δl1＋Δl2＋…＋Δln)＝2πRF.
【答案】 2πRF
二、机车的两种启动方式
当F=F阻时，
a＝0
，v达到最大
保持
vm
匀速
v
F＝
v
P
a＝
m
F－F阻
↑
→
↓
↑
→
→
↓
↓
vm＝
F阻
P
加速度逐渐减小的变加速直线运动
匀速直线运动
a≠0
启动过程分析：
（一）汽车以恒定的功率启动
二、机车的两种启动方式
（一）汽车以恒定的功率启动
启动过程中速度、牵引力、加速度变化情况
不断减小直到等于零
t
t1
o
a
不断减小，直到最小，且大小等于阻力
t
t1
F
f
o
不断增大，直到最大，并以最大速度做匀速运动
v
vm
t
t1
o
(1)速度变化规律：
(3)加速度变化规律：
(2)牵引力的变化规律：
二、机车的两种启动方式
（二）汽车以恒定的加速度启动
当F=
F阻时，
a＝0
，v达到最大
保持
vm
匀速
F＝
v
P额
a＝
m
F－F阻
↑
→
↓
v
↑
↓
→
→
↓
vm＝
F阻
P额
加速度逐渐减小的变加速直线运动
匀速直线运动
a＝
m
F－F阻
→
→
→
→
F
→
v
↑
P＝F
v
↑
↑
→
当P=
P额时，保持P额继续加速
匀加速直线运动
启动过程分析：
二、机车的两种启动方式
（二）汽车以恒定的加速度启动
(1)实际功率的变化规律：
先是与时间成正比变大，达到额定功率后保持不变
t
P
t1
t2
o
P0
(2)速度的变化规律
先是均匀变大，然后非均匀变大，达到最大速度后保持不变
t
t1
t2
o
v
vm
v1
启动过程中实际功率、速度、加速度、牵引力变化情况
(3)加速度的变化规律：
先保持不变，然后不断减小，直到为零
(4)牵引力的变化规律：
先保持恒定，然后不断减小，和阻力等大后不再变化
t
t2
t1
f+ma0
f
o
F
t
t2
t1
o
a0
a
二、机车的两种启动方式
【典例5】质量为m=5×103kg的汽车在水平路面上行驶，阻力是车重的0.1倍，让汽车保持额定功率P0=60kw由静止开始运动，请回答以下问题：
（1）经过时间t=1s，速度为v1=4m/s,求此时的加速度a1=?
（2）当汽车的加速度为a2=1m/s2时，求汽车的速度v2=?
（3）求汽车所能达到的最大速度vm=?
(3)12m/s
(1)2m/s2
(2)6m/s
二、机车的两种启动方式
【典例6】质量为m=5×103kg的汽车在水平路面上行驶，阻力是车重的0.1倍，汽车的额定功率P0=60kw，让汽车以加速度a0=1m/s2由静止开始运动，请回答以下问题：
（1）求汽车所能达到的最大速度vm=?
（2）求汽车做匀加速直线运动的最长时间？
（3）求在t1=2s
和t2=7s时汽车的实际功率？
（4）求速度为v1=2m/s
和v2=8m/s时汽车的加速度？
(1)12m/s
(2)6s
(3)20kw,
60kw
(4)1m/s2,
0.5m/s2
课堂检测
1.(2020·台州模拟)在水平面上,有一弯曲的槽道AB,槽道由半径分别为
和R的两个半圆构成。如图所示,现用大小恒为F的拉力将一光滑小2球从A点沿槽道拉至B点,若拉力F的方向时刻均与小球运动方向一致,则此过程中拉力所做
的功为
( )
A.0 B.FR C.
πFR D.2πFR
【解析】选C。把槽道分成s1、s2、s3、…、sn微小段,拉力在每一段上可视为恒力,则在每一段上做的功W1=F1s1,W2=F2s2,W3=F3s3,…,Wn=Fnsn,拉力在整个过程中所做的功W=W1+W2+W3+…+Wn=F(s1+s2+s3+…+sn)=F(π·
+πR)=
πFR。则C正确,A、B、D错误。
课堂检测
2.用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比．已知铁锤第一次使铁钉进入木板的深度为d，接着敲第二锤，如果铁锤第二次敲铁钉时对铁钉做的功与第一次相同，那么，第二次使铁钉进入木板的深度为( )
课堂检测
3.在水平路面上运动的汽车的额定功率为100
kW，质量为10
t，设阻力恒定，且为车重的0.1倍(g取10
m/s2)，则：
(1)若汽车以不变的额定功率从静止启动，汽车的加速度如何变化？
(2)当汽车的加速度为2
m/s2时，速度为多大？
(3)汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小是多少？
（1）汽车的加速度逐渐减小.
（2）
（3）10
m/s
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《8.1功和功率（第二课时）》学案
【学习目标】
1.掌握变力做功的几种方法。
2.学会用控制变量法分析汽车的两种启动方式，优化学生对公式的理解与应用。
【课堂合作探究】
经过上一节课的学习，我们知道，功的计算公式W＝Flcos
α，但是当力是变力的时候，我们怎么到底代入那个值进行计算呢。你有没有办法解决这个难题？
变力做功
方法概括
1.方法概述:求解变力做功,可根据实际情况选用不同方法,如用平均力求变力功、化变力为恒力求变力功、用F-x
图象求变力功、利用微元法求变力功等方法。
2.选用思路:
(1)平均力法:若物体受到的力的方向不变,而大小随位移成线性变化,即力均匀变化时,用平均力求变力功。
(2)转化法:变力做功直接求解时,比较复杂,但若通过转换研究的对象,有时可化为恒力做功,可以用W=Flcosα求解。
(3)图象法:若有F-x图象,则图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功,且位于x轴上方的“面积”为正,位于x轴下方的“面积”为负,但此方法只适用于便于求图线所围面积或定性比较功的大小的情况。
(4)微元法:求解力的大小不变、方向改变的变力做功问题常用微元法。将物体的位移分割成许多小段,因小段很小,每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力,这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。
（二）典例探究
【典例1】（平均值法）把长为l的铁钉钉入木板中,每打击一次给予的能量为E0,已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比,比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次?
【典例2】（转化法）如图，用恒力F通过跨过光滑定滑轮的轻绳，将静止于水平面上的物体从位置A拉到位置B，物体和滑轮的大小均忽略，定滑轮距水平面高为h，物体在位置A、B时，细绳与水平面的夹角分别为α和β，求绳的拉力F对物体做的功．
【典例3】(图像法）放在地面上的木块与一轻弹簧相连,弹簧处于自由伸长状态。现用手水平拉弹簧,拉力的作用点移动x1=0.2
m时,木块开始运动,继续拉弹簧,木块缓慢移动了x2=0.4
m的位移,其F-x图象如图所示,求上述过程中拉力所做的功。
【典例4】（微元法）如图所示，质量为m的质点在力F的作用下，沿水平面上半径为R的光滑圆槽运动一周．若F的大小不变，方向始终与圆槽相切(与速度的方向相同)，求力F对质点做的功．
二、机车的两种启动方式
（一）汽车以恒定的功率启动
启动过程分析：
启动过程中速度、牵引力、加速度变化情况
(1)速度变化规律：
不断增大，直到最大，并以最大速度做匀速运动
牵引力的变化规律：
(3)加速度变化规律：
（二）汽车以恒定的加速度启动
启动过程分析：
启动过程中实际功率、速度、加速度、牵引力变化情况
实际功率的变化规律：
先是与时间成正比变大，达到额定功率后保持不变
速度的变化规律
先是均匀变大，然后非均匀变大，达到最大速度后保持不变
(3)加速度的变化规律：
先保持不变，然后不断减小，直到为零
(4)牵引力的变化规律：
先保持恒定，然后不断减小，和阻力等大后不再变化
【典例5】质量为m=5×103kg的汽车在水平路面上行驶，阻力是车重的0.1倍，让汽车保持额定功率P0=60kw由静止开始运动，请回答以下问题：
（1）经过时间t=1s，速度为v1=4m/s,求此时的加速度a1=?
（2）当汽车的加速度为a2=1m/s2时，求汽车的速度v2=?
（3）求汽车所能达到的最大速度vm=?
【典例6】质量为m=5×103kg的汽车在水平路面上行驶，阻力是车重的0.1倍，汽车的额定功率P0=60kw，让汽车以加速度a0=1m/s2由静止开始运动，请回答以下问题：
（1）求汽车所能达到的最大速度vm=?
（2）求汽车做匀加速直线运动的最长时间？
（3）求在t1=2s
和t2=7s时汽车的实际功率？
（4）求速度为v1=2m/s
和v2=8m/s时汽车的加速度？
【课堂检测】
1.(2020·台州模拟)在水平面上,有一弯曲的槽道AB,槽道由半径分别为
和R的两个半圆构成。如图所示,现用大小恒为F的拉力将一光滑小2球从A点沿槽道拉至B点,若拉力F的方向时刻均与小球运动方向一致,则此过程中拉力所做
的功为
( )
A.0 B.FR C.
πFR D.2πFR
2.用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比．已知铁锤第一次使铁钉进入木板的深度为d，接着敲第二锤，如果铁锤第二次敲铁钉时对铁钉做的功与第一次相同，那么，第二次使铁钉进入木板的深度为( )
3.在水平路面上运动的汽车的额定功率为100
kW，质量为10
t，设阻力恒定，且为车重的0.1倍(g取10
m/s2)，则：
(1)若汽车以不变的额定功率从静止启动，汽车的加速度如何变化？
(2)当汽车的加速度为2
m/s2时，速度为多大？
(3)汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小是多少？
【达标训练】
一、单选题
如图所示，某个力作用在半径为的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F做的总功为
A.
0
B.
C.
D.
一个物体在粗糙的水平面上运动，先使物体向右滑动距离l，再使物体向左滑动距离l，正好回到起点，来回所受摩擦力大小都为，则整个过程中摩擦力做功为
A.
0
B.
C.
D.
无法确定
在机械化生产水平较低时，人们经常通过“拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用．如图所示，一个人推磨，施加给推磨杆的力的大小始终为F，方向与推磨杆始终垂直，作用点到轴心的距离为r，磨盘绕轴缓慢转动，则在转动一周的过程中推力F做的功为
A.
0
B.
C.
2Fr
D.
如图所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R。一质量为m的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为，当它由轨道顶端A从静止开始下落时，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为????
A.
B.
C.
mgR
D.
一赛车在平直赛道上以恒定功率200kW加速，受到的阻力不变，加速度a和速度的倒数的关系如下图所示，则赛车
A.
做匀加速直线运动
B.
质量为200kg
C.
所受阻力大小为2000N
D.
时牵引力大小为2000N
一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前内做匀加速直线运动，末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其图象如图所示已知汽车的质量为，汽车受到的阻力为车重的，g取，则
A.
汽车在前内的阻力为
B.
汽车在前内的牵引力为
C.
汽车的额定功率为
D.
汽车的最大速度为
关于汽车匀速驶上山坡，下列说法中错误的是?????
A.
汽车所受合外力对汽车所做的功为0
B.
如果发动机输出功率为P，汽车上坡所受的摩擦力为，则汽车上坡的最大速度
C.
摩擦力与重力对汽车做负功，支持力对汽车不做功
D.
当发动机输出功率恒定时，车速越大，牵引力越小
一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前内做匀加速直线运动，末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其图象如图所示。已知汽车的质量为，汽车受到地面的阻力为车重的倍，g取，则以下说法正确的是
A.
汽车在前内的牵引力为
B.
汽车速度为时的加速度为
C.
汽车的额定功率为
D.
汽车的最大速度为
汽车发动机的额定功率为，汽车的质量为，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重的倍，下列说法错误的是?
?
?
?
A.
若汽车保持额定功率不变从静止启动，当汽车的速度为时，加速度为
B.
汽车的最大速度为
C.
若汽车以的加速度从静止开始做匀加速启动，经过20s汽车功率达到额定值
D.
若汽车保持额定功率不变从静止启动，经到达最大行驶速度汽车从静止到开始到匀速运动时所通过的路程为1000m
二、计算题
如图所示，一质量为的物体从半径为的圆弧轨道的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端圆弧AB在竖直平面内。拉力F的大小始终为15N，方向始终与物体在该点的运动方向成角。圆弧所对应的圆心角为，BO沿竖直方向。求这一过程中：计算结果可用和根号表示
拉力F做的功；
重力G做的功；
圆弧面对物体的支持力做的功。
上海有若干辆超级电容车试运行，运行中无需连接电缆，只需在候客上车间隙充电30秒钟到1分钟，就能行驶3到5公里．假设有一辆超级电容车，质量，额定功率当超级电容车在平直水平路面上行驶时，受到的阻力f是车重的倍，，求：
超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度；
若超级电容车从静止开始，保持以的加速度做匀加速直线运动，则这一过程能维持多长时间？
一列火车总质量，发动机的额定功率，在轨道上行驶时，轨道对列车的阻力是车重的倍。取求：
列车能达到的最大速度为多少？
在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，求当行驶速度为时，列车的瞬时加速度的大小
若列车从静止开始，保持的加速度做匀加速运动，求这一过程维持的最长时间；
参考答案
1.B【解析】转半周通过的轨迹长度为：
力F所做的功：
故选B。
2.B【解析】由题意可知，物体运动过程可分两段，两段内摩擦力做功均为负功，为；则全程摩擦力所做的功；
故选B。
3.B【解析】由题意可知F大小不变，方向与推磨杆始终垂直，即方向一直与速度方向相同，为圆周切线方向，根据微元法可知，F做的功等于力F与路程的乘积，故，故B正确，ACD错误。
故选B。
4.D【解析】BC段物体受摩擦力，位移为R，故BC段摩擦力对物体做功，对全程由动能定理可知，
解得，故AB段克服摩擦力做功为，故ABC错误，D正确。
故选D。
5.C【解析】A、由题图可知，加速度变化，赛车不是做匀加速直线运动，故A错误．
BC、牵引力，根据牛顿第二定律得，加速度，图线的斜率，解得赛车的质量，图线纵轴截距的绝对值为，解得阻力，故B错误，C正确．
D、当时，牵引力，故D错误．
故选C．
6.B【解析】A.汽车受到地面的阻力为车重的倍，则阻力为：，故A错误。
B.由图可知，汽车匀加速直线运动的加速度为：
根据牛顿第二定律得：
解得牵引力为：，故B正确。
C.发动机额定功率为：，故C错误。
D.当牵引力等于阻力时，速度最大，则最大速度为：，故D错误。
故选B。
7.B【解析】A.汽车匀速驶上山坡，汽车所受合外力对汽车所做的功为零，故A正确，不合题意；
B.如发动机输出功率为P，汽车上坡摩擦力为，则汽车上坡的最大速度，故B错误，符合题意；
C.摩擦力与重力对汽车做负功，支持力对汽车不做功，故C正确，不合题意；
D.当发动机输出功率为恒定时，根据，车速越大，牵引力越小，故D正确，不合题意。
故选B。
8.C【解析】
A、匀加速直线运动的加速度为：
，
根据牛顿第二定律得：，
解得牵引力为：故A错误；
BC、额定功率为：。
当车的速度是时，牵引力：
车的加速度：，故B错误，C正确。
D、当牵引力与阻力相等时，速度最大，最大速度为：，故D错误。
故选C。
9.C【解析】A.设速度为的牵引力为F，则有：
由牛顿第二定律可得：，解得，故A正确；
C.若汽车以的加速度从静止开始做匀加速启动，由牛顿第二定律可得：
可得：
匀加速获得的速度为：，加速时间为：，故C错误；
若汽车保持额定功率不变从静止启动，时到达最大行驶速度，则有：
全程列动能定理：，代入数据解得：，故BD正确。
此题选错误的，故选C。
10.【答案】解：
将圆弧AB分成很多小段、、、，拉力在每小段上做的功为、、、，因拉力F大小不变，方向始终与物体在该点的运动方向成角，
，
，
。
则有；
重力G做的功；
物体受的支持力始终与物体的运动方向垂直，所以。
11.【答案】解：当汽车速度达到最大时汽车的牵引力与阻力平衡，即
得：
汽车做匀加速运动：
设汽车刚达到额定功率时的速度：
设汽车匀加速运动的时间t：
解得：
答：超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是
若超级电容车从静止开始，保持以的加速度作匀加速直线运动，这一过程能维持40s．
12.【答案】解：
火车以额定功率行驶，当时，速度达到最大值时由，解得最大速度：；
当时，由解得此时机车所受的牵引力，又根据牛顿第二定律：，解得列车的瞬时加速度：；
由牛顿第二定律得，解得此时的牵引力，当功率达到额定功率时速度为，且，由于火车匀加速直线运动，故有：，
联立解得匀加速运动过程维持的最长时间：。
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