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人教版
八年级数学下册
19.2.2
一次函数（第3课时）
学习目标
1.
理解待定系数法的意义.
2.
学会运用待定系数法和数形结合思想求一次函数解析式.
1.
一般地，形如
的函数，叫做一次函数.
2.已知一次函数y=2x+4的图像过点（m，8），则m＝
.
3.若一次函数y=kx+6与y=2x-5的图象互相平行，则k=
.
4.已知一次函数解析式为
y=
-x-
6，若函数图象向上平移5个单位长度，得到直线
.
y=kx+b(k,b是常数，k≠0)
2
2
y=
-x-
1
温故知新
前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数解析式吗？如何画出它们的图象？
思考：
反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？
两点法——两点确定一条直线
满足条件的两 定点（x1，y1）与（x2，y2）
函数解析式
y
=kx+b
一次函数的 图象直线l
选取
画出
？
导入新课
用待定系数法求一次函数的解析式
如图，已知一次函数的图象经过P（0，-1），Q（1，1）两点.
怎样确定这个一次函数的解析式呢？
合作探究
分析：因为一次函数的一般形式是y=kx+b（k，b为常数，k≠0），要求出一次函数的解析式，关键是要确定k和b的值（即待定系数）.
满足条件的两 定点（x1，y1）与（x2，y2）
函数解析式
y
=kx+b
一次函数的 图象直线l
选取
画出
解出
选取
讲授新课
用待定系数法求一次函数的解析式
如图，已知一次函数的图象经过P（0，-1），Q（1，1）两点.
怎样确定这个一次函数的解析式呢？
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
∵P（0，-1）
和Q（1，1）都在该函数图象上，
k·0
+
b
=
-1，
k
+
b
=
1，
∴
解这个方程组，得
k=2，
b=-1.
∴这个一次函数的解析式为y
=
2x-
1.
一次函数的图象过点（0，-1）与（1，1），因此这两点的坐标满足一次函数y=kx+b.
合作探究
像这样，通过先设定函数解析式（确定函数模型），再根据条件确定解析式中的未知系数，从而求出函数解析式的方法称为待定系数法.
知识要点
例4.已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），
求这个一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
3k+b=5，
-4k+b=-9，
把点（3，5）与（-4，-9）分别代入，
得：
解方程组得
k=2，
b=-1.
y=2x-1.
∴这个一次函数的解析式为
设
还原
解
代
例题解析
（1）设：设一次函数的一般形式
；
（2）列：把图象上的点
，
代入一次函数的解析式，组成_________方程组；
（3）解：解二元一次方程组得k,b；
（4）还原：把k,b的值代入一次函数的解析式.
求一次函数解析式的步骤：
y=kx+b(k≠0)
二元一次
归纳总结
1.已知一次函数的图象过点（3，5）与（-3，-13），求这个一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
解方程组得:
把点（3，5）与（-3，-13）分别代入，得：
∴这个一次函数的解析式为
y=3x-4.
巩固训练
2.
若一次函数的图象经过点
A(2,0)，且与直线y=-x+3平行，求其解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
k
=
-1，
2k
+
b
=
0，
｛
由题意得
k
=
-1，
b
=
2.
｛
解得
∴一次函数的解析式为y=-x+2.
3.正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示，它们的交点A的坐标为(3，4)，并且OB=5.
(1)你能求出这两个函数的解析式吗？
(2)△AOB的面积是多少呢？
分析：由OB=5可知点B的坐标为(0,-5).y=k1x的图象过点A(3，4)，y=k2x+b的图象过点A(3，4)，B(0,-5)，代入解方程(组)即可.
4
2
-2
-4
4
x
y
O
-4
-2
2
A
(3，4)
B
解：（1）由题意可知，B点的坐标是（0，-5）
∵一次函数y=k2x+b的图象过点（0，-5），（3,4）
∴
，
解得
∵正比例函数y=k1x的图象过点（3,4），
∴
因此
（2）S△AOB=5×3÷2=7.5
因此
y=3x-5.
4
2
-2
-4
4
x
y
O
-4
-2
2
A
(3，4)
B
1.若点A(-4,0)、B(0,5)、C(m,-5)在同一条直线上，则m的值是(
)
A.8
B.4
C.-6
D.-8
D
2.已知点P的横坐标与纵坐标之和为1，且这点在直线y=x+3上，则该点是(
)
A.(-7,8)
B.
(-5,6)
C.
(-4,5)
D.
(-1,2)
D
能力提升
3.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空:
(1)b=______,k=______;
(2)当x=30时，y=______;
(3)当y=30时，x=______.
2
-18
-42
l
y
x
能力提升
4.若一直线与另一直线y=-3x+2交于y轴同一点，且过（2，-6），
你能求出这条直线的解析式吗？
答案：y=-4x+2
分析：直线y=-3x+2与y轴的交点为(0,2)，于是得知该直线过点(0,2)，
(2，-6)，再用待定系数法求解即可.
能力提升
用待定系数法求一次函数的解析式
2.
根据已知条件列出关于k，b的方程(组)；
1.
设所求的一次函数解析式为y=kx+b；
3.
解方程，求出k，b;
4.
把求出的k，b代回解析式即可.
课堂小结
教材第99页：6、7题
课后作业
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19.2.2
一次函数（第3课时）
同步练习
一、选择题
1．（2020秋?太原期末）已知是的正比例函数，当时，，则与的函数关系式为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021?沙坪坝区校级模拟）某一次函数的图象与轴交于正半轴，这个一次函数的表达式可能是
A．
B．
C．
D．
3．（2020秋?苏州期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点，过点作直线将分成周长相等的两部分，则直线的函数表达式为
A．
B．
C．
D．
4．（2021?渭滨区一模）在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过，两点，则，一定满足的关系式为
A．
B．
C．
D．
5．（2021?陕西模拟）一次函数的图象经过点，每当增加1个单位时，增加3个单位，则此函数表达式是
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．（2020春?曲阜市期末）正比例函数图象经过，则这个正比例函数的解析式是
．
7．（2020秋?蚌埠期末）已知与成正比例，且当时，则与的函数关系式是
．
8．（2020秋?肥西县期末）如图，直线所对应的一次函数的表达式是：
．
9．（2020秋?姜堰区期末）一个水库的水位在最近内持续上涨．下表记录了这内6个时间点的水位高度，其中表示时间，表示水位高度．
0
1
2
3
4
5
3
3.3
3.6
3.9
4.2
4.5
根据表格中水位的变化规律，则与的函数表达式为
．
10．（2020秋?光明区期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，在轴上，点，，，在直线上，，点，，且，，均与平行，，，均与平行，则有下列结论：①直线的函数解析式为；②点的纵坐标是；③点的纵坐标为．其中正确的是
（填序号）．
三、解答题
11．（2020秋?浦东新区期末）已知，与成正比例，与反比例，当时，；当时，．求关于的函数解析式．
12．（2020秋?下城区期末）一次函数的图象过点和点．
（1）求该一次函数表达式．
（2）若点和点在该一次函数的图象上，求的值．
13．（2021春?金水区校级月考）已知一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为8，求此函数表达式．
14．（2020秋?拱墅区校级期末）如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交轴于点，交轴于点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点和点的坐标；
（3）求的面积
19.2.2
一次函数（第3课时）
同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020秋?太原期末）已知是的正比例函数，当时，，则与的函数关系式为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：设与之间的函数关系式是，
把，代入得：，
解得：，
与的函数关系式为，
故选：．
2．（2021?沙坪坝区校级模拟）某一次函数的图象与轴交于正半轴，这个一次函数的表达式可能是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：令，
则、，
、，
、，
、，
一次函数的图象与轴交于，在正半轴上．
故选：．
3．（2020秋?苏州期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点，过点作直线将分成周长相等的两部分，则直线的函数表达式为
A．
B．
C．
D．
【解析】解：如图，
直线把分成周长相等的两部分，则，
当时，，则，
，
当时，，解得，则，
，
，
，
，解得，
，
设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为．
故选：．
4．（2021?渭滨区一模）在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过，两点，则，一定满足的关系式为
A．
B．
C．
D．
【解析】解：设该正比例函数是，则，．
，
．
故选：．
5．（2021?陕西模拟）一次函数的图象经过点，每当增加1个单位时，增加3个单位，则此函数表达式是
A．
B．
C．
D．
【解析】解；由题意可知一次函数的图象也经过点，
，
解得
此函数表达式是，
故选：．
二、填空题
6．（2020春?曲阜市期末）正比例函数图象经过，则这个正比例函数的解析式是 ．
【解析】解：设这个正比例函数的解析式为，
正比例函数的图象经过点，
，
解得，
．
故答案是：．
7．（2020秋?蚌埠期末）已知与成正比例，且当时，则与的函数关系式是 ．
【解析】解：与成正比例，即：，
且当时，则得到：，
则与的函数关系式是：．
8．（2020秋?肥西县期末）如图，直线所对应的一次函数的表达式是： ．
【解析】解：设一次函数解析式为：，
由题意得，，
解得，，
则一次函数解析式为，
故答案为：．
9．（2020秋?姜堰区期末）一个水库的水位在最近内持续上涨．下表记录了这内6个时间点的水位高度，其中表示时间，表示水位高度．
0
1
2
3
4
5
3
3.3
3.6
3.9
4.2
4.5
根据表格中水位的变化规律，则与的函数表达式为 ．
【解析】解：设与的函数表达式为，由记录表得：
，
解得：．
故与的函数表达式为．
故答案为：．
10．（2020秋?光明区期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，在轴上，点，，，在直线上，，点，，且，，均与平行，，，均与平行，则有下列结论：①直线的函数解析式为；②点的纵坐标是；③点的纵坐标为．其中正确的是 ①②③ （填序号）．
【解析】解：设的解析式为，
，
直线为，
，
，即，
，
，解得，
的解析式为，故①正确；
点，，，在直线上，
，解得，
直线为：，
解得，
纵坐标为，
的坐标为，，
同理求得的解析式为，
解得，
纵坐标为，故②正确；
纵坐标为，纵坐标为，
以此类推，点的纵坐标为．故③正确，
故答案为①②③．
三、解答题
11．（2020秋?浦东新区期末）已知，与成正比例，与反比例，当时，；当时，．求关于的函数解析式．
【解析】解：设，，则，
把，；，代入得，解得，
所以关于的函数解析式为．
12．（2020秋?下城区期末）一次函数的图象过点和点．
（1）求该一次函数表达式．
（2）若点和点在该一次函数的图象上，求的值．
【解析】解：（1）设一次函数表达式为：，
一次函数的图象过点和点．
，
解得：，
一次函数表达式为：；
（2）点和点在该一次函数的图象上，
，
解得：．
13．（2021春?金水区校级月考）已知一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为8，求此函数表达式．
【解析】解：设直线与、轴相交于，，
把点代入得，
把点代入得．
图象与坐标轴围成三角形的面积为8，
，
解得
此函数表达式为或．
14．（2020秋?拱墅区校级期末）如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交轴于点，交轴于点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点和点的坐标；
（3）求的面积
【解析】解：（1）把，代入得，
解得．
所以一次函数解析式为；
（2）令，则，解得，
所以点的坐标为，
把代入得，
所以点坐标为，
（3）．
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