1.6函数y=Asin(x+φ)的性质与图象-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（74张PPT）

函数y=Asin(????????+ φ )
的性质与图象
?
授课教师：
温故知新
学习目标
1. 了解匀速圆周运动的数学模型.
2. 理解A，????， φ对函数图象变化的影响，并掌握由y=sinx的图象得到y=Asin(????????+φ)的图象.（难点）
3. 知道函数y=Asin(????????+φ)中常数A，????， φ的物理意义，理解振幅、相位、初相的概念.（重点）
?
课文精讲
问题提出
“南昌之星”摩天轮于2006年竣工，总高度160 m，直径153 m匀速旋转一圈需时30 min.
以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，画示意图，如图.
课文精讲
设座舱A为起始位置如图，OA与x轴所形成的角为?????????，因为转一圈需要30 min，所以每分所转的角度为 .
经过x min后，OA旋转到OA′， OA′与x轴所形成角的大小为 .
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?????????????????????????
?
????????????????=????????????
?
课文精讲
因为直径为153 m，总高度为160 m，所以OA的长为76.5 m，轮子的最低点与地面距离为160-153=7(m)，原点O距离地面的距离为7+76.5=83.5(m).从而点A′到地面的距离y与时间x的关系为
y =76.5sin ??????????????????????????+83.5.
?
课文精讲
在物理和工程技术中会遇到一些问题，其中的函数关系都是形如y=Asin(????x+φ)(其中A，????，φ是常数，A>0，????>0)的形式.这类函数有什么性质呢?
从解析式来看，若A=1，????=1， φ =0，函数y=Asin(????x+φ)就是y=sinx.下面，我们就来探究A，????，φ的取值对y=Asin(????x+φ)的图象的影响.
?
课文精讲
实例分析
考虑这类函数的一个特例：y=sin2x，x∈R.
1.周期
由sin2x=sin(2x+2π)= sin 2(x+π)，根据周期函数的定义，y=sin2x是周期函数，π是y=
sin2x的最小正周期.
探究????对y=sin????????的图象的影响
?
课文精讲
2.图象
在函数y=sinx五个关键点的基础上，列表(如表).
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}2x
0
π
2π
x
0
π
y=sin2x
0
1
0
-1
0
探究????对y=sin????????的图象的影响
?
课文精讲
2.图象
由此得到函数y=sin2x的五个关键点为为 (0，0) (????????，1)， (????????，0) ，(????????????，-1)， (π，0).
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}2x
0
π
2π
x
0
π
y=sin2x
0
1
0
-1
0
探究????对y=sin????????的图象的影响
?
课文精讲
2.图象
画出该函数在一个周期[0，π]上的图象.由函数y=sin2x的周期性，把图象向左、右延拓，得到y=sin2x在R上的图象(如图).
探究????对y=sin????????的图象的影响
?
课文精讲
2.图象
从函数y=sin2x的图象看出，将函数y=sin x图象上每个点的横坐标都缩短为原来的????????，纵坐标不变，就得到函数y=sin2x的图象(如图)，且最小正周期变为π.
?
探究????对y=sin????????的图象的影响
?
课文精讲
3.单调性
从图象上可以看出，函数y=sin2x在区间[kπ ?????????， kπ+ ????????]，k∈Z 上单调递增；在区间
[kπ +????????， kπ+ ????????????]，k∈Z上单调递减.
?
探究????对y=sin????????的图象的影响
?
课文精讲
4.最大(小)值和值域
在区间[0，π]上，当x=????????时，函数y=sin2x，取得最大值1；当x=????????????时，函数y=sin2x取得最小值-1.由函数y=sin2x的周期性可知，当x=kπ+????????，k∈Z时，它取得最大值1；当x=kπ+????????????，k∈Z时，它取得最小值-1.
?
探究????对y=sin????????的图象的影响
?
课文精讲
4.最大(小)值和值域
函数y=sin2x 的图象夹在两条平行线y=1和y=?1之间，所以它的值域是[-1，1].
?
探究????对y=sin????????的图象的影响
?
典型例题
例1：求函数y=sin????????x的周期，并画出其图象.
?
解：由y=sinx的周期性可知， y=sin????????x=
sin????????????+?????????=sin????????(x+ 6????) .根据周期函数
的定义， y=sin????????x是周期函数， 6????是它的
最小正周期.
?
典型例题
例1：求函数y=sin????????x的周期，并画出其图象.
?
解：在函数y=sinx五个关键点的基础上，列
表(如表).
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
0
π
2π
x
0
6π
0
1
0
-1
0
典型例题
例1：求函数y=sin????????x的周期，并画出其图象.
?
解：于是得到函数y=sin????????x在区间上的五个关
键点为 (0，0) (?????????????，1)， (3π，0) ，(????????????，
-1)， (6π，0).
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
0
π
2π
x
0
6π
0
1
0
-1
0
典型例题
例1：求函数y=sin????????x的周期，并画出其图象.
?
解：画出该函数在一个周期[0，6π]上的图象.
由函数y=sin????????x的周期性，把图象向左、
右延拓，得到y=sin????????x 在R上的图象(如图).
?
典型例题
例1：求函数y=sin????????x的周期，并画出其图象.
?
解：从函数y=sin????????x的图象看出，对同一个x值，
将函数y=sinx图象上每个点的横坐标都伸
长到原来的3倍，纵坐标不变，就得到函
数y=sin????????x的图象(如图).
?
课文精讲
一般地，对于????＞0，有
sin????x= sin(????x +2π)= sin????????+????????????.
根据周期函数的定义，T=????????????是函数y=sin????x的最小正周期·
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探究????对y=sin????????的图象的影响
?
课文精讲
函数y=sin????x的图象是将函数y=sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的?????????(当????>1时)或伸长(当0?
探究????对y=sin????????的图象的影响
?
课文精讲
sin(x +φ)的图象
横坐标伸长(0＜????＜1)或缩短到(????＞1)原来的????????倍，纵坐标不变
?
sin(????????+φ)的图象
?
探究????对y=sin????????的图象的影响
?
课文精讲
①????的作用：引起周期T=????????????的改变，这种变换叫
横向伸缩.
?
③函数y=Asin(????x+φ)(????＞0，≠1)的图象横向伸
长，周期变大，x的系数变小；横向缩短，周
期变小，x的系数变大.
?
② y=Asin(x+φ)的图象与y=Asin(????x+φ)的图象形
状不同.
?
探究????对y=sin????????的图象的影响
?
课文精讲
考虑这类函数的一个特例： y=sin?????????????.
我们已经知道，函数y=sin?????????????的图象是由函数y=sin????的图象平移得到的.令?????????????=0，得????=????????，即函数y=sin????图象上的点(????，0)向右平移到点(????????，0)，所以函数 y=sin?????????????的图象是将函数y=sin????图象上的所有点向右平移????????个单位长度得到的.
?
探究????对y=sin????????的图象的影响
?
课文精讲
从而将刻画函数y=sinx基本形状的五个关键点 (0，0) (????????，1)， (π，0) ，(????????????，-1)， (2π，0)向右平移??????????个单位长度，得到刻画函数y=sin?????????????基本形状的五个关键点为点 (????????，0)，(????????????，1)， (????????????，0) ，(????????????????，-1)， (????????????，0).
?
探究????对y=sin(x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
画出该函数在一个周期[????????，?????????????]上的图象.由函数y=sin?????????????的周期性，把图延拓到R，得到该函数在R上的图象(如图).
?
探究????对y=sin(x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
从图象上可以看出，函数y=sin??????????????在区间[2kπ?????????， 2kπ+ ????????????]，k∈Z上都单调递增；在区间[2kπ+????????????， 2kπ+ ?????????????????]，k∈Z上都单调递减.
?
探究????对y=sin(x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
当x=2kπ+????????????，k∈Z时，它取得最大值1；当x=2kπ+ ???????????????? ，k∈Z时，它取得最小值-1.
函数y=sin?????????????的图象夹在两条平行线y=1和y=-1之间，所以它的值域是[-1，1].
?
探究????对y=sin(x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
思考
怎样通过平移函数y=sinx的图象得到y=sin????+?????????的图象?
?
函数y=sinx上的所有点向左平移????????个单位长度得到y=sin????+?????????的图象.
?
探究????对y=sin(x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
概括
函数y=sin(x+φ)与函数y=sinx的周期相同，由x+φ=0，得x=?φ，即函数y=sinx图象上的点(0，0)平移到了点(-φ，0).
函数y=sin(x+φ)的图象，可以看作将函数y=sinx图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度得到的.
?
探究????对y=sin(x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
下面来研究函数y=sin????????+??????????的性质.
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1.周期
y=sin????????+??????????=sin????????+????????+????????=sin[????????+????+????????]
根据周期函数的定义， y=sin????????+??????????是周期函数，π是它的最小正周期. 即函数， y=sin????????+??????????与函数y=sin2x周期相同·
?
探究????对y=sin(x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
2.图象
通过表确定五个关键点.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
0
π
2π
x

0
1
0
-1
0
探究????对y=sin(x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
2.图象
由此得到在区间[??????????????， ?????????????????????]上刻画该函数基本形状的五个关键点为??????????????，????，??????????，????， ?????????????????，????， ????????????，?????， ????????????????????，????.
?
探究????对y=sin(x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
2.图象
画出函数y=sin????????+??????????在区间[??????????????， ?????????????????????]上的图象.由函数y=sin????????+??????????的周期性，把图象向左、右延拓，就可得到它在R上的图象(如图).
?
探究????对y=sin(x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
2.图象
它也可以由函数y=sin2x的图象向左平移?????????????得到·
?
探究????对y=sin(x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
3.单调性
从图可以看出，函数y=sin????????+??????????在区间[kπ ?????????， kπ+??????????]，k∈Z 上单调递增；在区间
[kπ+??????????， kπ+ ????????????]，k∈Z上单调递减.
?
探究????对y=sin(x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
4.最大(小)值和值域
当x=kπ+ ?????????，k∈Z时， 函数y=sin????????+??????????取得最大值1；当x=kπ+????????????，k∈Z时，它取得最小值-1.
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探究????对y=sin(x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
4.最大(小)值和值域
函数y=sin??????????????????的图象夹在两条平行线y=1和y=?1之间，所以它的值域是[-1，1].
?
探究????对y=sin(x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
概括
函数y=sin(????x +φ)与函数y=sin????x有相同的周期，由????x +φ =0，得x=?????????，即函数y=sin????x 图象上的点(0，0)平移到点(??????????，0).函数y=sin(????x +φ)的图象，可以看作将函数y=sin????x图象上的所有点向左(φ>0)向右(φ＜0)平移|????????|个单位长度得到的.
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探究????对y=sin(x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
概括
在函数y=sin(????x +φ)中， φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，????x +φ为相位.
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探究????对y=sin(x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
概括
①φ的变化引起图象位置的变化.
② y=sin(x+φ)的图象与y=sinx的图象形状完全
一样，且由y=sinx的图象向左(右)平移得到；
y=sinx的图象
探究????对y=sin(x+φ)的图象的影响
?
向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移| φ |个单位长度
y=sin(x+φ)的图象
课文精讲
谢 谢
课文精讲
探究????对y=Asin(????x+φ)的图象的影响
?
探究函数y=2sin????????+????????的周期，并画出它的图象.
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函数y=2sin????????+?????????与函数y=sin????????+?????????有相同的周期，即它的周期是π.
?
课文精讲
前面已经画出了函数y=2sin????????+?????????的图象，并讨论了它的性质，所以从解析表达式上容易得到，对于同一个x值，函数y=2sin????????+?????????图象上点的纵坐标等于函数y=sin????????+?????????图象上点的纵坐标的2倍.
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探究????对y=Asin(????x+φ)的图象的影响
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课文精讲
这表明，函数y=2sin????????+????????的图象，可以看作是将函数y=sin????????+????????图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的.
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探究????对y=Asin(????x+φ)的图象的影响
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课文精讲
如图.
探究????对y=Asin(????x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
概括
y=Asin(????x +φ)(A>0)的图象是将y=sin(????x +φ)的图象上的每个点的纵坐标伸长(当A>1时)
或缩短(当0?
探究????对y=Asin(????x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
如何更好的理解呢？
①若A＞0，则函数y=Asin(????x +φ)的值域为 [-A ，A]，最大值为A，最小值为-A.
若A <0，则函数y=Asin(????x +φ)的值域为
[A ，-A] ，最大值为-A，最小值为A.
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探究????对y=Asin(????x+φ)的图象的影响
?
②A的作用：引起值域的改变，这种变换叫
纵向伸缩.
课文精讲
如何更好的理解呢？
③|A|的大小反映了曲线y=Asin(????x +φ)的波
动幅度的大小.
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探究????对y=Asin(????x+φ)的图象的影响
?
④y=Asin(????x +φ)与y=sin(????x +φ)的图象形状
不同.
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课文精讲
思考
函数y=2sin????????+?????????+1与函数y=sin????????+?????????的图象有什么不同？
?
探究????对y=Asin(????x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
综上关于????，φ，A这三个参数的讨论，可知探究函数y=Asin(????x+φ)(A＞0，????＞0，x∈R)性质的一般步骤:
第1步，确定周期T=????????????；
第2步，在y=sinx五个关键点(0，0)，????????，????，
(????，????)， ????????????，?????， ????????，???? 的基础上确定该函数的五个关键点；
?
探究????对y=Asin(????x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
综上关于????，φ ，A这三个参数的讨论，可知探究函数y=Asin(????x+φ)(A＞0，????＞0，x∈R)性质的一般步骤:
第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数y=Asin(????x+φ)(在一个周期上的图象，再利用其周期性把图象延拓到R，就可以得到它在R上的图象；
?
探究????对y=Asin(????x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
综上关于????，φ ，A这三个参数的讨论，可知探究函数y=Asin(????x+φ)(A＞0，????＞0，x∈R)性质的一般步骤:
第4步，借助图象讨论性质.
实际上，这也是讨论周期函数的一般方法和步骤.
?
探究????对y=Asin(????x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
步骤1
由y=sinx的图象得到y=Asin（????????+ φ ） (A>0，????>0)的图象的两种方法：
?
画出y=sinx的图象
得到y=sin（????+φ ）的图象
?
得到y=sin（????????+ φ ）的图象
?
得到y=Asin（????????+φ）的图象
?
向左（右）平移
| φ |个单位长度
步骤2
步骤3
步骤4
横坐标变为原来的????????倍
?
纵坐标变为原来的????倍
?
探究????对y=Asin(????x+φ)的图象的影响
?
课文精讲
由y=sinx的图象得到y=Asin（????????+ φ ） (A>0，????>0)的图象的两种方法：
?
步骤1
画出y=sinx的图象
得到y=sin????????的图象
?
得到y=sin（????????+ φ ）的图象
?
得到y=Asin（????????+ φ）的图象
?
向左（右）平移|????|????个单位长度
?
步骤2
步骤3
步骤4
横坐标变为原来的????????倍
?
纵坐标变为原来的????倍
?
探究????对y=Asin(????x+φ)的图象的影响
?
典型例题
例2：画出函数y=cos????????????的图象，并讨论其基本性质.
?
解：方法一：
直接运用y=Asin(????x+φ)的结果，先变形，
y=cos????????????=sin??????????????????????=sin?????????????+????????，
再用上面的一般方法来研究.
?
典型例题
例2：画出函数y=cos????????????的图象，并讨论其基本性质.
?
解：方法二：使用类似y=Asin(????x+φ)的研究方法
(1)周期
因为y=cos????的周期是2π，所以cos????????????=
cos????????????+????????= cos???????? (x+4π)，该函数的周期
为T=4π.
?
典型例题
例2：画出函数y=cos????????????的图象，并讨论其基本性质.
?
解：方法二：使用类似y=Asin(????x+φ)的研究方法
(2)图象
刻画函数y=cos????在区间[0，2π]上图象基
本形状的五个关键点为(0，1)，????????，????，
(????，?????)， ????????????，????， ????????，????.
?
典型例题
例2：画出函数y=cos????????????的图象，并讨论其基本性质.
?
解：方法二：使用类似y=Asin(????x+φ)的研究方法
(2)图象
由此得到刻画函数y=cos????????????在区间[0，
4π]上图象基本形状的五个关键点为(0，1)，
?????????(????，????) ， (????????，?????)， ????????，????，
????????，????.
?
典型例题
例2：画出函数y=cos????????????的图象，并讨论其基本性质.
?
解：方法二：使用类似y=Asin(????x+φ)的研究方法
(2)图象
用光滑曲线顺次连接五个关键点画出函
数y=cos????????????在区间[0，4π]上的图象.由它的周
期性，把图象向左、右延拓，就可以得到它
在R上的图象(如图).
?
典型例题
例2：画出函数y=cos????????????的图象，并讨论其基本性质.
?
解：方法二：使用类似y=Asin(????x+φ)的研究方法
(2)图象

?
典型例题
例2：画出函数y=cos????????????的图象，并讨论其基本性质.
?
解：方法二：使用类似y=Asin(????x+φ)的研究方法
(3)其他性质
设????=????????????，则函数y=cosu的单调递增
区间[2kπ-π，2kπ]，k∈Z.
由2kπ-π≤ ???????????? ≤ 2kπ，k∈Z，得4kπ-2π
≤ ????≤???????????? ， k∈Z.
?
典型例题
例2：画出函数y=cos????????????的图象，并讨论其基本性质.
?
解：方法二：使用类似y=Asin(????x+φ)的研究方法
(3)其他性质
?
所以函数y=cos????????????的单调递增区间是[4kπ-2π，4kπ]，k∈Z.
类似地，函数y=cos????????????的单调递减区间是[4kπ，4kπ+2π]，k∈Z.
?
典型例题
例2：画出函数y=cos????????????的图象，并讨论其基本性质.
?
解：方法二：使用类似y=Asin(????x+φ)的研究方法
(3)其他性质
?
函数y=cosu，u∈R取得最大值的u的集合是{u| u= 2kπ，k∈Z}.
典型例题
例2：画出函数y=cos????????????的图象，并讨论其基本性质.
?
解：方法二：使用类似y=Asin(????x+φ)的研究方法
(3)其他性质
?
由?????????????= 2kπ ，得x= 4kπ，k∈Z，所以当x∈{x|x= 4kπ，k∈Z}时，函数y=cos????????????， x∈R取得最大值1.
?
典型例题
例2：画出函数y=cos????????????的图象，并讨论其基本性质.
?
解：方法二：使用类似y=Asin(????x+φ)的研究方法
(3)其他性质
?
类似地，当x∈{x|x= 4kπ+ 2π，k∈Z}时，函数y=cos????????????， x∈R取得最小值-1.
?
函数y=cos?????????????， x∈R的值域为[-1，1].
?
综合练习
若函数y=sin(2x + ????????) ，则它的最小正周期T=______.
?
解：T=????????????=????.
?
????
?
综合练习
已知函数f(x)=2sin(2x + ????????).
(1)求函数在[0，π]的单调递增区间；
(2)关于x的不等式f(x)＜1的解集.
?
解： (1)令2kπ- ?????????≤2x + ????????≤2kπ+ ????????，
解得kπ- ?????????????????≤x≤kπ+????????????， k∈Z，
故 f(x)的单调递增区间[kπ- ?????????????????， kπ+????????????]，
?
综合练习
已知函数f(x)=2sin(2x + ????????).
(1)求函数在[0，π]的单调递增区间；
(2)关于x的不等式f(x)＜1的解集.
?
解：(1) 令k=0，单调递增区间为[-????????????????，????????????] ，
令k=1，单调递增区间为[????????????????，????????????????????]，
故f(x)在[0，π]上的单调递增区间为[????，????????????] ∪[????????????????，????].
?
综合练习
已知函数f(x)=2sin(2x + ????????).
(1)求函数在[0，π]的单调递增区间；
(2)关于x的不等式f(x)＜1的解集.
?
解： (2) 由f(x)=2sin(2x + ????????)＜1得：
sin(2x + ????????)＜????????，
故2kπ+ ?????????????＜2x + ????????≤2kπ+ ????????????????，k∈Z，
解得：kπ+ ?????????＜x≤kπ+ ????????????????????，k∈Z，
?
综合练习
已知函数f(x)=2sin(2x + ????????).
(1)求函数在[0，π]的单调递增区间；
(2)关于x的不等式f(x)＜1的解集.
?
解： (2)所以f(x)＜1的解集为：
(kπ+ ?????????， kπ+ ????????????????????).
?
本课小结
再 见